Konstruksi apa yang dapat dibuat dengan menggunakan penggaris. Konstruksi menggunakan penggaris dan kompas. Konstruksi yang mungkin dan tidak mungkin

Contoh

Membagi segmen menjadi dua

Masalah bagi dua. Gunakan kompas dan penggaris untuk membagi segmen ini AB menjadi dua bagian yang sama besar. Salah satu solusinya ditunjukkan pada gambar:

  • Dengan menggunakan kompas kita menggambar lingkaran dengan pusat di titik-titik A Dan B radius AB.
  • Menemukan titik persimpangan P Dan Q dua lingkaran yang dibangun (busur).
  • Dengan menggunakan penggaris, gambarlah sebuah segmen atau garis yang melalui titik-titik tersebut P Dan Q.
  • Menemukan titik tengah segmen yang diinginkan AB- titik persimpangan AB Dan PQ.

Definisi formal

Dalam soal konstruksi, himpunan semua titik pada bidang, himpunan semua garis pada bidang, dan himpunan semua lingkaran pada bidang dipertimbangkan, di mana operasi berikut diperbolehkan:

  1. Pilih satu titik dari himpunan semua titik:
    1. titik sewenang-wenang
    2. titik sembarang pada garis tertentu
    3. titik sembarang pada lingkaran tertentu
    4. titik potong dua garis tertentu
    5. titik potong/singgung suatu garis dan lingkaran tertentu
    6. titik potong/singgung dua lingkaran tertentu
  2. "Dengan menggunakan penguasa» pilih satu baris dari kumpulan semua baris:
    1. garis lurus sewenang-wenang
    2. garis lurus sembarang yang melalui suatu titik tertentu
    3. garis lurus yang melalui dua titik tertentu
  3. "Dengan menggunakan kompas» pilih sebuah lingkaran dari kumpulan semua lingkaran:
    1. lingkaran sewenang-wenang
    2. lingkaran sembarang dengan pusat di titik tertentu
    3. lingkaran sembarang dengan jari-jari, sama dengan jarak antara dua titik tertentu
    4. lingkaran yang berpusat di suatu titik tertentu dan berjari-jari sama dengan jarak antara dua titik tertentu

Dalam kondisi masalah, sekumpulan poin tertentu ditentukan. Diperlukan, dengan menggunakan sejumlah operasi terbatas dari antara operasi yang diizinkan yang tercantum di atas, untuk membangun himpunan titik lain yang mempunyai hubungan tertentu dengan himpunan aslinya.

Pemecahan masalah konstruksi mengandung tiga bagian penting:

  1. Deskripsi metode untuk membangun himpunan tertentu.
  2. Bukti bahwa himpunan yang dibangun dengan cara yang dijelaskan memang mempunyai hubungan tertentu dengan himpunan aslinya. Biasanya pembuktian konstruksinya dilakukan sebagai pembuktian teorema biasa, berdasarkan aksioma dan teorema lain yang terbukti.
  3. Analisis metode konstruksi yang dijelaskan untuk penerapannya pada berbagai versi kondisi awal, serta keunikan atau non-keunikan solusi yang diperoleh dengan metode yang dijelaskan.

Masalah Dikenal

  • Masalah Apollonius dalam membuat lingkaran yang bersinggungan dengan tiga lingkaran tertentu. Jika tidak ada lingkaran yang terletak di dalam lingkaran yang lain, maka soal ini mempunyai 8 penyelesaian yang berbeda secara signifikan.
  • Masalah Brahmagupta dalam membangun segi empat bertulisan menggunakan keempat sisinya.

Konstruksi poligon beraturan

Ahli geometri kuno tahu cara membangun dengan benar N-gon untuk , , dan .

Konstruksi yang mungkin dan tidak mungkin

Semua konstruksi tidak lebih dari solusi persamaan tertentu, dan koefisien persamaan ini berhubungan dengan panjang segmen tertentu. Oleh karena itu, lebih mudah untuk berbicara tentang membangun bilangan - solusi grafis untuk persamaan tipe tertentu. Dalam kerangka persyaratan di atas, konstruksi berikut dimungkinkan:

  • Konstruksi solusi persamaan linear.
  • Membangun solusi persamaan kuadrat.

Dengan kata lain, bilangan yang sama dengan ekspresi aritmatika hanya dapat dibuat dengan menggunakan akar kuadrat dari bilangan asli (panjang ruas). Misalnya,

Variasi dan generalisasi

  • Konstruksi menggunakan satu kompas. Menurut teorema Mohr-Mascheroni, dengan bantuan satu kompas Anda dapat membuat bangun apa pun yang dapat dibuat dengan kompas dan penggaris. Dalam hal ini, suatu garis lurus dianggap dibangun jika terdapat dua titik di atasnya.
  • Konstruksi menggunakan satu penggaris. Sangat mudah untuk melihat bahwa dengan bantuan satu penggaris, hanya konstruksi proyektif-invarian yang dapat dilakukan. Secara khusus, tidak mungkin membagi suatu segmen menjadi dua bagian yang sama, atau menemukan pusat lingkaran yang digambar. Tetapi jika ada lingkaran yang telah digambar sebelumnya pada bidang dengan pusat yang ditandai, dengan menggunakan penggaris, Anda dapat melakukan konstruksi yang sama seperti menggunakan kompas dan penggaris (Teorema Poncelet-Steiner ( Bahasa inggris)), 1833. Jika terdapat dua takik pada penggaris, maka konstruksi yang menggunakannya setara dengan konstruksi yang menggunakan kompas dan penggaris (Napoleon mengambil langkah penting dalam membuktikan hal ini).
  • Konstruksi menggunakan alat dengan kemampuan terbatas. Dalam soal-soal semacam ini, alat-alat (berlawanan dengan rumusan soal klasik) dianggap tidak ideal, tetapi terbatas: suatu garis lurus yang melalui dua titik dapat ditarik dengan menggunakan penggaris hanya jika jarak antara titik-titik tersebut tidak melebihi jarak tertentu. nilai; jari-jari lingkaran yang digambar dengan kompas dapat dibatasi dari atas, bawah, atau keduanya atas dan bawah.
  • Konstruksi menggunakan origami datar. lihat aturan Hujit

Lihat juga

  • Program geometri dinamis memungkinkan Anda melakukan konstruksi menggunakan kompas dan penggaris di komputer.

Catatan

literatur

  • A.Adler Teori konstruksi geometris / Terjemahan dari bahasa Jerman oleh G. M. Fikhtengolts. - Edisi ketiga. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 hal.
  • I.I.Alexandrov Kumpulan soal konstruksi geometri. - Edisi kedelapan belas. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 hal.
  • B.I.Argunov, M.B.Balk. - Edisi kedua. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 hal.
  • A.M.Voronet Geometri kompas. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 hal. - (Perpustakaan populer tentang matematika di bawah redaksi umum L. A. Lyusternik).
  • V.A.Giler Masalah konstruksi yang tidak dapat dipecahkan // pendingin. - 1999. - No. 12. - Hal. 115-118.
  • V.A.Kirichenko Konstruksi dengan kompas dan penggaris dan teori Galois // Sekolah Musim Panas “Matematika Modern”. - Dubna, 2005.
  • Yu.I.Manin Buku IV. Geometri // Ensiklopedia matematika dasar. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 hal.
  • Y.Petersen Metode dan teori penyelesaian masalah konstruksi geometri. - M.: Percetakan E. Lissner dan Y. Roman, 1892. - 114 hal.
  • V.V.Prasolov Tiga masalah konstruksi klasik. Menggandakan kubus, membagi tiga sudut, mengkuadratkan lingkaran. - M.: Nauka, 1992. - 80 hal. - (Kuliah populer tentang matematika).
  • J.Steiner Konstruksi geometris dilakukan dengan menggunakan garis lurus dan lingkaran tetap. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 hal.
  • Kursus opsional dalam matematika. 7-9 / Komp. I.L. Nikolskaya. - M.: Pencerahan, 1991. - Hal. 80. - 383 hal. - ISBN 5-09-001287-3

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu “Konstruksi menggunakan kompas dan penggaris” di kamus lain:

    Penggaris - dapatkan kupon kerja untuk mendapatkan diskon di AllInstruments di Akademika atau beli penggaris dengan untung dengan pengiriman gratis untuk dijual di AllInstruments

    Cabang geometri Euclidean yang dikenal sejak zaman kuno. Dalam tugas konstruksi, operasi berikut dapat dilakukan: Tandai titik sembarang pada bidang, titik pada salah satu garis yang dibangun, atau titik perpotongan dua garis yang dibangun. Dengan bantuan... ... Wikipedia

    Konstruksi menggunakan kompas dan penggaris merupakan salah satu cabang geometri Euclidean yang dikenal sejak zaman kuno. Dalam tugas konstruksi, operasi berikut dapat dilakukan: Tandai titik sembarang pada bidang, titik pada salah satu garis yang dibangun, atau titik... ... Wikipedia

    Kata benda, s., digunakan. membandingkan sering Morfologi: (tidak) apa? konstruksi, apa? konstruksi, (saya mengerti) apa? konstruksi, apa? konstruksi, tentang apa? tentang konstruksi; hal. Apa? konstruksi, (tidak) apa? konstruksi, apa? konstruksi, (saya mengerti) apa? konstruksi, dengan apa?... ... Kamus Penjelasan Dmitriev

AKADEMI KECIL ILMU PENGETAHUAN ANAK SEKOLAH KRIMEA

"PENCARI"

Bagian "Matematika"

KONSTRUKSI GEOMETRI MENGGUNAKAN PENGgaris GANDA

Saya sudah menyelesaikan pekerjaannya A

_____________

Siswa kelas

Direktur Ilmiah

PENDAHULUAN…………………………………………………………………………………..…..3

I. KONSTRUKSI GEOMETRI PADA BIDANG…………4

saya.1. Aksioma umum geometri konstruktif. Aksioma instrumen matematika………………………………………………………………………..4

saya.2. ……………………….....5

saya.3. Konstruksi geometris dengan satu penggaris……………………………..7

SAYA.4. Tugas dasar membangun dengan penggaris dua sisi………………..8

Saya.5. Menyelesaikan berbagai masalah konstruksi …………………………………12

Saya.6. Konstruksi dengan penggaris satu sisi…………………………….....20

Saya.7. Dapat dipertukarkannya penggaris dua sisi dengan kompas dan penggaris....21

KESIMPULAN…………………………………………………………….24

Daftar referensi……………………………..………….25

Perkenalan

Masalah-masalah yang melibatkan konstruksi dengan sarana terbatas mencakup masalah-masalah yang melibatkan konstruksi hanya dengan menggunakan kompas dan penggaris, yang termasuk dalam kurikulum sekolah. Apakah mungkin menyelesaikan permasalahan konstruksi hanya dengan satu penggaris? Seringkali Anda tidak memiliki kompas, tetapi Anda selalu dapat menemukan penggaris.

Permasalahan konstruksi geometri merupakan bagian yang menarik. Ketertarikan terhadapnya karena keindahan dan kesederhanaan isi geometrisnya. Relevansi pertimbangan masalah-masalah ini meningkat karena fakta bahwa masalah-masalah tersebut digunakan dalam praktik. Kemampuan untuk menggunakan satu penggaris untuk memecahkan masalah yang dibahas dalam karya ini sangatlah penting kegiatan praktis, Karena Kita terus-menerus dihadapkan pada masalah membagi segmen menjadi dua, menggandakan segmen tertentu, dll.

Makalah ini mengkaji tugas-tugas konstruksi utama yang menjadi dasar untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks.

Pengalaman menunjukkan, tugas konstruksi membangkitkan minat dan berkontribusi pada aktivasi aktivitas mental. Saat menyelesaikannya, pengetahuan tentang sifat-sifat bangun digunakan secara aktif, kemampuan bernalar dikembangkan, dan keterampilan konstruksi geometris ditingkatkan. Akibatnya, kemampuan konstruktif berkembang, yang merupakan salah satu tujuan mempelajari geometri.

Hipotesis: semua soal konstruksi yang dapat diselesaikan dengan menggunakan kompas dan penggaris hanya dapat diselesaikan dengan menggunakan penggaris dua sisi.

Objek kajian: tugas konstruksi dan penggaris dua sisi.

Tujuan penelitian: membuktikan bahwa semua masalah konstruksi hanya dapat diselesaikan dengan bantuan penggaris dua sisi.

Tujuan penelitian: mempelajari landasan teori pemecahan masalah konstruksi; selesaikan masalah konstruksi dasar menggunakan penggaris dua sisi; memberikan contoh permasalahan konstruksi yang lebih kompleks; mensistematisasikan materi teoritis dan praktis.

I. KONSTRUKSI GEOMETRI PADA BIDANG

saya.1. Aksioma umum geometri konstruktif. Aksioma alat matematika

Untuk geometri konstruktif, diperlukan deskripsi yang akurat dan, untuk tujuan matematis, lengkap tentang alat tertentu. Deskripsi ini diberikan dalam bentuk aksioma. Aksioma-aksioma dalam bentuk matematika abstrak ini mengungkapkan sifat-sifat instrumen gambar nyata yang digunakan untuk konstruksi geometris.

Alat konstruksi geometris yang paling umum digunakan adalah:penggaris (satu sisi) , kompas, dua sisi penggaris (dengan tepi sejajar) dan beberapa lainnya.

A. Aksioma penguasa.

Penggaris memungkinkan Anda melakukan konstruksi geometris berikut:
a) buatlah suatu segmen yang menghubungkan dua titik yang dibangun;

b) membuat garis lurus yang melalui dua titik yang dibangun;

c) buatlah sinar yang memancar dari suatu titik yang dibangun dan melalui titik yang dibangun lainnya.

B. Aksioma kompas.

Kompas memungkinkan Anda melakukan konstruksi geometris berikut:
a) membuat lingkaran jika pusat lingkaran dan ruas yang sama dengan jari-jari lingkaran (atau ujung-ujungnya) telah dibuat;

B. Aksioma penggaris dua sisi.

Penggaris dua sisi memungkinkan Anda untuk:

a) melakukan salah satu konstruksi yang tercantum dalam aksioma A;

b) di setiap setengah bidang yang ditentukan oleh garis yang dibangun, buatlah sebuah garis yang sejajar dengan garis ini dan melewatinya pada jarak tertentuA, Di mana A - segmen yang ditetapkan untuk penggaris tertentu (lebar penggaris);

c) jika dua titik A dan B dibangun, tentukan apakah AB lebih besar dari segmen tetap tertentuA (lebar penggaris), dan jika AB >A , kemudian buatlah dua pasang garis sejajar yang masing-masing melalui titik A dan B dan berjarak satu sama lainA .

Selain alat yang terdaftar, Anda dapat menggunakan alat lain untuk konstruksi geometris: sudut sembarang, persegi, penggaris dengan tanda, sepasang sudut siku-siku, berbagai perangkat untuk menggambar kurva khusus, dll.

saya.2. Prinsip umum untuk memecahkan masalah konstruksi

Tugas konstruksi terdiri dari kenyataan bahwa diperlukan untuk membuat gambar tertentu dengan alat yang ditentukan jika beberapa gambar lain diberikan dan hubungan tertentu antara elemen gambar yang diinginkan dan elemen gambar ini ditunjukkan.

Setiap angka yang memenuhi kondisi permasalahan disebutkeputusan tugas ini.

Mencari solusi tugas konstruksi berarti mereduksinya menjadi sejumlah konstruksi dasar yang terbatas, yaitu menunjukkan urutan konstruksi dasar yang terbatas, setelah itu gambar yang diinginkan akan dianggap dibangun berdasarkan aksioma geometri konstruktif yang diterima. Daftar konstruksi dasar yang dapat diterima, dan akibatnya, kemajuan pemecahan masalah, sangat bergantung pada alat khusus apa yang digunakan untuk konstruksi.

Memecahkan masalah konstruksi - Cara, temukan semua solusinya .

Definisi terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Angka-angka yang memenuhi syarat permasalahan dapat berbeda baik bentuk, ukuran, maupun posisinya pada bidang. Perbedaan posisi pada bidang diperhitungkan atau tidak tergantung pada rumusan masalah konstruksi itu sendiri, apakah kondisi masalah menyediakan atau tidak menyediakan lokasi tertentu dari gambar yang diinginkan relatif terhadap gambar yang diberikan. .

Jika suatu masalah ditemukan solusinya, maka di kemudian hari diperbolehkan menggunakan solusi tersebut “secara keseluruhan”, yaitu tanpa membaginya menjadi konstruksi utama.

Ada sejumlah masalah konstruksi geometri sederhana, yang sering kali dimasukkan sebagai komponen dalam menyelesaikan masalah yang lebih kompleks. Kami akan menyebutnya masalah konstruksi geometri dasar. Daftar tugas dasar, tentu saja, bersyarat. Tugas dasar biasanya meliputi hal-hal berikut:

    Bagilah segmen ini menjadi dua.

    Membagi sudut tertentu menjadi dua.

    Membangun pada suatu garis tertentu sebuah segmen yang sama dengan yang diberikan.

    Membangun sudut yang sama dengan sudut tertentu.

    Membangun garis yang melalui suatu titik tertentu sejajar dengan garis tertentu.

    Membangun garis yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

    Pembagian segmen dalam hal ini.

    Membangun segitiga menggunakan tiga sisi yang diberikan.

    Membangun segitiga menggunakan sisi dan dua sudut yang berdekatan.

    Membuat segitiga menggunakan dua sisi dan sudut di antara keduanya.

Ketika menyelesaikan suatu masalah konstruksi yang agak rumit, timbul pertanyaan tentang bagaimana bernalar agar dapat menemukan cara penyelesaian masalah, memperoleh segala penyelesaian masalah, mengetahui syarat-syarat kemungkinan penyelesaian masalah, dan sebagainya. , ketika menyelesaikan masalah konstruktif, mereka menggunakan skema solusi , yang terdiri dari empat tahap berikut:

1) analisis;
2) konstruksi;
3) bukti;
4) penelitian.

saya.3. Konstruksi geometris dengan satu penggaris

Kami akan mempertimbangkan penggaris dari dua sudut pandang: sebagai penggaris dan sebagai penggaris dua sisi.

1. Penggaris dua sisi lebar A kita akan menyebut penggaris dengan tepi sejajar yang terletak di kejauhan A satu sama lain, sehingga memungkinkan untuk langsung membangun:

a) garis lurus sembarang;

b) garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan atau diperoleh dalam proses penyelesaian masalah;

c) garis sejajar yang masing-masing melewati salah satu titik yang jaraknya lebih jauhA (dalam konstruksi ini, penggaris berada pada posisi sedemikian rupa sehingga pada masing-masing dari dua sisi sejajarnya terdapat salah satu dari dua titik tertentu; dalam hal ini, kita akan berbicara tentang konstruksi langsung).

Lebar penggaris dalam konstruksi ini dianggap konstan, oleh karena itu, jika dalam proses penyelesaian suatu masalah tertentu perlu dilakukan konstruksi langsung terhadap beberapa titik yang diperoleh.A Dan DI DALAM , maka kita harus membuktikan panjangnyaAB lebih lama A .

Kami akan mempertimbangkan suatu titik yang akan dibangun jika itu adalah salah satu data atau merupakan perpotongan dua garis yang dibangun; pada gilirannya, kita akan menganggap sebuah garis lurus harus dibangun jika melewati titik-titik yang dibangun atau titik-titik tertentu.

Dengan menggunakan penggaris dua sisi, Anda dapat membuat yang berikut ini.

a) Melalui dua titik mana saja dapat ditarik sebuah garis lurus, dan hanya satu.

b) Apapun garis lurusnya, pada bidang tersebut terdapat tepat dua garis lurus yang sejajar dan dipisahkan oleh jarakA .

c) Melalui dua titik A dan B di ABA adalah mungkin untuk menggambar dua pasang paralel lurus; dengan AB = A Anda dapat menggambar sepasang garis sejajar yang jarak keduanya samaA .

Jika satu, dua, tiga titik diberikan, maka tidak ada titik baru yang dapat dibuat

(Gambar 1);

jika diberikan empat titik, tiga di antaranya (atau keempatnya) terletak pada garis yang sama, maka tidak ada titik lain yang dapat dibangun (Gbr. 2);

Jika Anda diberikan empat titik yang terletak di titik sudut jajar genjang, Anda hanya dapat membuat satu titik - pusatnya. (Gbr.3).

Setelah menerima penjelasan di atas, mari kita pertimbangkan secara terpisah masalah-masalah yang diselesaikan dengan penggaris dua sisi.

SAYA.4. Tugas dasar membangun dengan penggaris dua sisi

1
. Buatlah garis bagi sudut ABC.

Larutan: (Gbr. 4)

A  (DI DALAM C) Dan B  (Sebuah band B = D .

Kami mendapatkan B D– garis bagi ABC.

Memang diperoleh dengan

membuat jajar genjang adalah

belah ketupat karena tingginya sama. DI DALAMD –

diagonal belah ketupat adalah garis bagi ABC. Gambar.4

2
. Gandakan sudut ABC yang diberikan

Larutan : (Gbr. 5) a) A  (AB),

A (DI DALAM C)= D , melalui titik B dan D

B secara langsung;

b) melalui titik B danD M  B

secara langsung,B Ç sebuah = F .

Kita mendapatkan Ð AB F = 2 Ð ABC .

Gambar.5


3 . Ke garis lurus tertentu M N di dalam

gambarlah garis tegak lurus titik A

Larutan : (Gbr.6)

1) (AA 1) || (BB 1) || (SS 1) –

secara langsung (B(M N),

DENGAN Î (M N)); 2) melalui A dan B

M || N - secara langsung,

M Ç (SS 1) = D .

Kita mendapatkan (A D ) (M N ).

Gambar.6.

4
. Melalui titik tertentu tidak berbohong

garis yang diberikan, menggambar tegak lurus

Ke garis ini.

Larutan: Melalui titik O ini kita menggambar

dua garis yang memotong suatu titik tertentu

garis lurus AB, dan gandakan sudut yang dihasilkan

segitiga yang berdekatan dengan ini

lurus. OA N = 2 OAV dan

OB N = 2 OVA (Gbr. 7).

Gambar.7

5. Buatlah sebuah titik yang simetris terhadap suatu garis relatif terhadap suatu garis tertentu.

Larutan: lihat soal 4. (titik O simetris dengan titikN. Gambar.7)

6. Gambarlah garis lurus sejajar dengan yang ini

P
lurus M N , melalui titik A, tidak

milik garis M N .

Solusi 1: (Gbr. 8)

1)(AA 1) || (BB 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (KK 1) -

– secara langsung, (SA)Ç (BB 1) = C 2;

2) (Dengan 2K) Ç (DD 1 ) = F .

(A F ) adalah garis lurus yang diinginkan.

Gambar 8

Solusi 2 . Pada Gambar 8 1 diberi nomor

rangkaian garis lurus,

dimana 1, 2 dan 3 sejajar

konstruksi langsung;

(A F) || (M N).

Gambar 8 1

7
. Bagilah segmen AB ini menjadi dua.

Solusi 1. (Gbr. 9) (hanya jika lebar penggaris kurang dari panjang segmen ini). Gambarlah secara langsung dua pasang garis sejajar yang melaluinya

ujung segmen ini, dan kemudian diagonal

belah ketupat yang dihasilkan. O – AB tengah.

Beras. 9.

Solusi 2. (Gbr. 9, a)

1) sebuah || (Sebuah band B || (AB) – secara langsung;

2) (AR), (AR)Ç a = C, (AP) Ç B = D ;

3) (D DI DALAM) Ç a = M, (SV) Ç B = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D KE) Ç (A N ) = F ;

6) (B F ) Ç B = D 1, (B F ) Ç a = C 1;

7) (D DI DALAM ) Ç (A D 1 ) = X,

(AC 1) Ç (SV) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) =O. Kita mendapatkan AO = OB.

Gambar 9,a

Solusi 3 .( Beras. 9,b)

Seperti yang diketahui , di trapesium tengah

pangkalan, titik potong

diagonal dan titik potongnya

perpanjangan sisinya

berbaring pada garis lurus yang sama.

1) M || (AB) – secara langsung;

2)C Î M , D Î M , (SEBAGAI) Ç (DI DALAM D ) = KE; Gambar.9,b

3) (NE) Ç (A D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) =O. Kita mendapatkan AO = OB.

Saya.5. Memecahkan berbagai masalah konstruksi

Dalam menyelesaikan soal konstruksi berikut hanya dengan menggunakan penggaris dua sisi, digunakan konstruksi garis lurus sejajar dan tujuh soal utama yang diberikan di atas.

1. Gambarlah dua garis yang saling tegak lurus melalui titik ini.

R larutan: mari kita lewati titik ini

dua garis sewenang-wenang,

dan kemudian - garis bagi

sudut yang berdekatan. (Gbr.10)

Gambar 10

2. Diberikan segmen A D panjang tertentu a.

Buatlah segmen yang panjangnya sama dengan .

R
keputusan : Mari kita lakukan M A Dan H || M melalui

titik A. F || (A D ) , k || (IKLAN) secara langsung.

Mari kita menggambar AB dan AC, dimana B =F M ,

sebuah C = M k . Dengan cara yang diketahui

membagi AB dan AC menjadi dua dan

mari kita menggambar median segitiga

ABC. Oleh properti median

segitiga, O D = - dicari

segmen (Gbr. 11)

Beras. sebelas

3. Buatlah segmen yang panjangnya

sama dengan keliling segitiga yang diberikan.

Larutan: (Gbr. 12). Mari kita buat garis bagi

dua sudut luar segitiga, dan kemudian

3 puncak DI DALAM mari kita menggambar garis tegak lurus

kepada garis bagi ini.

DE = sebuah + B + s

Gambar 12

4. Diketahui suatu ruas yang panjangnya a. Buatlah segmen yang panjangnya 2a, 3a.

R larutan: (Gbr. 13)

1M N) || (AB) dan (M 1 N 1 ) || (M N) || (M 2 N 2 ) –

Secara langsung;

2) (CA) dan (CB) melalui A dan B.

Segmen A 1 B 1 dan A 2 B 2 diperlukan.

Solusi lain untuk masalah ini bisa jadi

diperoleh dari penyelesaian masalah 7.

Beras. 13

5. Diberikan dua ruas garis lurus yang panjangnya a dan B . Buatlah segmen yang panjangnya sama dengan a + B , B - A, ( A + B )/2 dan ( B - A )/2 .

Larutan: dan untuk A + B(Gbr. 14,a)

Gambar 14, sebuah

b) untuk ( A + B)/2 (Gbr. 14, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) – secara langsung;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (A 1 B 1 ) = N, (M H) Ç (A 1 B 1 ) = P;

3) (PY) Ç (A 2 B 2) = L, (LZ ) Ç (A 1 B 1 ) = HAI,

Kita mendapatkan: N HAI = N.P. + PO. =
.

Beras. 14,b

c) untuk B - A(Gbr. 14, c)

Beras. 14,v

c) untuk ( B - A )/2 (Gbr. 14,d)

Beras. 14,g

6
. Bangunlah pusat lingkaran ini.

Larutan : (Gbr. 15) Mari kita menggambar garis lurus AB,

memotong lingkaran di titik A dan B;

Matahari AB, dimana C adalah titik potongnya

dengan lingkaran.

Melalui titik C kita menggambar sejajar dengan AB

lurus C D; DENGANDmemotong sebuah lingkaran

pada intinyaD.

Dengan menghubungkanDdengan B dan A dengan C, kita peroleh

titik yang diinginkan adalah pusat lingkaran. Beras. 15

Solusi 2: (Gbr. 16) Dengan menggunakan penggaris dua sisi, buatlah dua tali busur sejajarIKLAN DanSM . Kami mendapatkan trapesium sama kakiABCD. MembiarkanK DanP - titik potong garisAC DanBD , AB DanDC . Lalu lurusP K melalui titik tengah alas trapesium yang tegak lurus terhadapnya, artinya melalui pusat lingkaran tertentu. Dengan membuat garis lurus serupa lainnya, kita menemukan pusat lingkaran.

Beras. 16

7. Diberikan sebuah busur lingkaran. Bangunlah pusat lingkaran

Larutan . (Gbr. 17) Tandai tiga titik A, B dan C pada busur ini. Oleskan penggaris pada ujung segmen AB dan jiplak tepinya. Kami mendapatkan dua garis paralel. Mengubah posisi penggaris, kita menggambar dua garis sejajar lagi. Kami mendapatkan belah ketupat (jajaran genjang dengan ketinggian yang sama). Salah satu diagonal belah ketupat merupakan garis bagi yang tegak lurus terhadap ruas tersebutAB , karena diagonal belah ketupat terletak pada garis bagi yang tegak lurus diagonal lainnya. Demikian pula, kita membuat garis bagi yang tegak lurus terhadap segmen tersebutAC . Titik potong garis-bagi yang dibangun adalah pusat lingkaran yang diinginkan.

Beras. 17

8. Diberikan ruas AB, garis tak sejajar l dan titik M di atasnya. Dengan menggunakan penggaris dua sisi, buatlah titik potong garis lurus l dengan lingkaran berjari-jari AB dan pusat M.

Larutan: (Gbr.18)

Mari kita selesaikan segitiganyaA.B.M. ke jajaran genjangABNM . Mari kita buat garis bagi MT danMSsudut antaraM Ndan lurusaku . Mari kita bahas pokok permasalahannyaN garis yang sejajar dengan garis bagi berikut:NQ || MS, tidak || M.T.. MT│ MSsebagai garis bagi sudut-sudut yang berdekatan. Cara,NQ │ MT, yaitu dalam segitigaNMQgaris bagi adalah tinggi, maka segitiga tersebut sama kaki:MQ = M N. Juga,TN. = M N. PoinQDanRdicari.

Beras. 18

9. Diberikan garis l dan ruas OA yang sejajar dengan l. Dengan menggunakan penggaris dua sisi, buatlah titik potong garis lurus l dengan lingkaran berjari-jari OA dengan pusat O.

Larutan: (Gbr. 19, a)

Ayo buat langsungaku 1 , sejajar dengan garisO.A. dan menjauh darinya pada jarak tertentuA . Mari kita ambil garis lurusaku titik sewenang-wenangB . MembiarkanB 1 - titik potong garisO.B. Danaku 1 . Mari kita bahas pokok permasalahannyaB 1 lurus, paralelAB ; garis ini memotong garisO.A. pada intinyaA 1 . Sekarang mari kita lihat poin-poinnyaHAI DanA 1 sepasang garis sejajar, jarak keduanya adalahA (bisa ada dua pasang garis seperti itu); membiarkanX DanX 1 - titik potong garis yang melalui suatu titikHAI , dengan garis lurusaku Danaku 1 . KarenaO.A. 1 = SAPI 1 dan ∆O.A. 1 X 1 ∆ OAKS , maka OA = OX, titikX dicari-cari.

Demikian pula, kita membuat titik perpotongan kedua lingkaran dan garis – titikY(Gbr. 18, b).

Beras. 18,a

Beras. 18,b

Saya.6.Konstruksi dengan penggaris satu sisi

Z
Di sini kita mempertimbangkan kasus khusus: misalkan poin P diberikan,Q, R 1 DanQ 1 . dan mereka terletak di titik sudut trapesium.

1. Bagilah segmen P Q setengah

Larutan ditunjukkan pada Gambar 19

Diberikan poin P,Q, R 1 DanQ 1 dan garis sejajar

RQ, R 1 Q 1 . Mari kita lakukan RQ 1 QR 1 = B , RR 1 QQ 1 = SEBUAH

Mari kita hubungkan titik A dan B. ABRQ = F- tengah

segmen PQ.

Beras. 19

2. Gandakan segmennya R 1 Q 1.

R
keputusan ditunjukkan pada Gambar 20. Mari kita membangun

titikF– bagian tengah ruas PQdan menghubungkannya

DenganQ 1. R 1 Qpertanyaan umum 1 = M. Ayo kita laksanakan RM. RMR 1 Q 1 = R

persamaanRQdan P 1 Q 1 berikut dari persamaannya

segitiga RMFDan RMQ 1 ,

FMQDan R 1 MQ 1 , dan persamaan PFDanpertanyaan umum.

Beras. 20

3
. Buatlah segmen panjang N R 1 Q 1 .

M – 1 segmen yang sama PQ 2 , Q 2 Q 3, … Q M -1 Q M

Kemudian kita membangun (RR 1 ) DanQ M Q 1 dan terhubung

titik potongnya A dengan titik

Q 2 , Q 3, … Q M DiterimaM -1 langsung

membagiR 1 Q 1 padaM setara bagian.

UntukM = 4 solusinya ditunjukkan pada Gambar 22

Gambar 22

Saya.7. Dapat dipertukarkan penggaris dua sisi dengan kompas dan penggaris

Mari kita buktikan bahwa penggaris dua sisi dapat dipertukarkan dengan kompas dan penggaris. Untuk melakukan ini, kami membuktikan pernyataan berikut:

Pernyataan 1: semua konstruksi yang dapat dilakukan dengan kompas dan penggaris dapat dilakukan dengan penggaris dua sisi.

Karena ketika membuat dengan kompas dan penggaris, penggaris menggambar garis melalui dua titik, dan kompas membuat lingkaran (menemukan sekumpulan titik yang berjarak sama dari titik tertentu), maka semua konstruksi dengan kompas dan penggaris direduksi menjadi membuat perpotongan dua garis lurus, dua lingkaran dan satu lingkaran dengan garis lurus.

Perpotongan dua garis lurus dapat dibuat dengan menggunakan penggaris.

Perpotongan lingkaran dan garis lurus (Gbr. 23):

Konstruksi:Misalkan segmen AB diberikan - jari-jari lingkaran, garis lurusaku , pusat lingkaran O, maka:

1) Kami menjalankan OS ||aku , OS = AB.

2) Kami menjalankan OS ||kdan jauh ke a.

3) Kami melaksanakanOD., OD.aku = D; OD.k) Akibat wajar dari teorema Thales

4) Menurut hukum transitivitas persamaan

5) PertimbangkanOMQE. OMQEadalah jajar genjang, karena OM ||persamaandan OE ||M.C.(sisi-sisi penggaris sejajar). Mari kita buktikan bahwa ini adalah belah ketupat.

5.1) PerilakuQZO.C.DanQGPADA, KemudianQG = QZ = A.

5.2) Ya ampun = RQM(berbaring melintang); sistem operasi =PADA, itulah yang perlu dibuktikan.

Persimpangan dua lingkaran: serupa.

Pernyataan 2: semua konstruksi yang dapat dilakukan dengan penggaris dua sisi dapat dilakukan dengan kompas dan penggaris.

Untuk melakukan ini, kita akan melakukan konstruksi standar untuk penggaris dua sisi menggunakan kompas dan penggaris.

1) Garis lurus yang menggunakan dua titik mudah dibuat dengan menggunakan penggaris.

2) Konstruksi garis lurus yang sejajar dengan garis tertentu dan dihilangkan pada jarak tertentu:

2.1) Misalkan diberikan garis luruskdan segmen panjangA.

2.2) Buatlah garis lurus sembarangBk, membiarkankB= B.

2.3) AktifBdi kedua sisi titikBpada garis lurusBsisihkan sebagian panjangnyaA, biarkan poinnyaCDanD.

2.4) Melalui suatu titikCmembangun garis lurusCk.

2.5) Melalui suatu titikDmembangun garis lurusDk.

2.6) LangsungCDanD-wajib, karenaSMDanBDsetaraAmenurut konstruksi dan sama dengan jarak antara garis luruskdan lurus

3) Konstruksi garis-garis yang sejajar satu sama lain dan melalui dua titik tertentu, dan jarak antara keduanya sama dengan segmen tertentu:

3.1) Biarkan poinnya diberikanADanBdan segmen panjangA.

3.2) Membuat lingkaran yang berpusat di suatu titikAdan radiusA.

3.3) Buatlah garis singgung lingkaran tertentu melalui suatu titikB; ada dua garis singgung jikaBterletak di luar lingkaran (jikaAB> A), satu jikaBterletak pada lingkaran (jikaAB= A), tidak ada jikaBterletak di dalam lingkaran (AB< A). Garis singgung ini adalah salah satu garis yang kita cari; masih harus melewati titik tersebutAgaris lurus sejajar dengannya.

3.4) Karena salah satu garis tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran sebagai garis singgung, garis kedua juga tegak lurus terhadap garis tersebut (karena sejajar), oleh karena itu, jarak antara keduanya sama dengan jari-jari, yang menurut konstruksi sama denganA, itulah yang diperlukan untuk diperoleh.

Dengan demikian, kami telah membuktikan dapat dipertukarkannya penggaris dua sisi dengan kompas dan penggaris.

Kesimpulan: Penggaris dua sisi dapat diganti dengan kompas dan penggaris.

Kesimpulan

Jadi, pertanyaan tentang kemungkinan menggunakan satu penggaris untuk menyelesaikan masalah konstruksi klasik dengan menggunakan kompas dan penggaris telah dipertimbangkan dan diselesaikan. Ternyata permasalahan konstruksi dapat diselesaikan hanya dengan menggunakan penggaris yang tepinya sejajar. Ketika memecahkan masalah yang lebih kompleks, seseorang harus lebih mengandalkan apa yang disebut konstruksi dasar yang dibahas dalam karya ini.

Materi yang disampaikan dapat diterapkan langsung tidak hanya dalam pembelajaran matematika, di kelas lingkaran matematika, tetapi juga dalam kegiatan praktik.

Daftar literatur bekas

    Aliev A.V. Konstruksi geometris. Matematika di sekolah. 1978 Nomor 3

    Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. M., Pencerahan. 1981.

    Depman I.Ya. Di balik halaman buku teks matematika. M.. Pencerahan.

    Elensky Shch. Mengikuti jejak Pythagoras. M., Detgiz. 1961.

    Kamus ensiklopedis seorang ahli matematika muda. M., Pedagogi. 1985

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Konstruksi menggunakan penggaris dan kompas Geometri">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Buatlah ruas yang sama dengan soal yang diberikan A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Membangun sudut yang sama dengan sudut tertentu Perhatikan segitiga"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Membangun garis bagi suatu sudut Soal Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Konstruksi garis tegak lurus Ú Soal Diberikan sebuah garis"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Membangun titik tengah segmen Tugas Ú Membangun titik tengah sebuah diberikan"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Lembaga pendidikan anggaran kota

sekolah menengah No. 34 dengan studi mendalam tentang mata pelajaran individu

MAN, bagian fisika dan matematika

“Konstruksi geometris menggunakan kompas dan penggaris”

Diselesaikan oleh: siswa kelas 7 “A”

Batishcheva Victoria

Kepala: Koltovskaya V.V.

Voronezh, 2013

3. Membangun sudut yang sama dengan sudut tertentu.

P Mari kita menggambar lingkaran sembarang yang berpusat di titik sudut A dengan sudut tertentu (Gbr. 3). Misalkan B dan C adalah titik potong lingkaran dengan sisi-sisi sudutnya. Dengan jari-jari AB kita menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O, titik awal setengah garis tersebut. Mari kita nyatakan titik potong lingkaran ini dengan setengah garis ini sebagai C 1 . Mari kita gambarkan sebuah lingkaran dengan pusat C 1 dan Gambar.3

radius pesawat. Poin B 1 perpotongan lingkaran yang dibangun pada setengah bidang yang ditunjukkan terletak pada sisi sudut yang diinginkan.

6. Konstruksi garis tegak lurus.

Kita menggambar sebuah lingkaran dengan jari-jari sembarang r dengan pusat di titik O pada Gambar 6. Lingkaran tersebut memotong garis di titik A dan B.Dari titik A dan B kita menggambar lingkaran dengan jari-jari AB. Biarkan melankolis C menjadi titik potong lingkaran-lingkaran ini. Kita memperoleh titik A dan B pada langkah pertama, saat membuat lingkaran dengan jari-jari sembarang.

Garis lurus yang diinginkan melewati titik C dan O.


Gambar.6

Masalah Dikenal

1.Masalah Brahmagupta

Buatlah segi empat bertulisan menggunakan keempat sisinya. Salah satu solusinya adalah dengan menggunakan lingkaran Apollonius.Mari kita selesaikan masalah Apollonius dengan menggunakan analogi antara lingkaran tiga dan segitiga. Bagaimana kita menemukan sebuah lingkaran yang tertulis dalam sebuah segitiga: kita membuat titik potong dari garis-bagi, menjatuhkan garis tegak lurus dari lingkaran tersebut ke sisi-sisi segitiga, alas dari garis-garis tegak lurus (titik-titik perpotongan dari garis tegak lurus dengan sisi di mana lingkaran itu berada). dijatuhkan) dan beri kami tiga titik yang terletak pada lingkaran yang diinginkan. Gambarlah sebuah lingkaran melalui ketiga titik ini - solusinya sudah siap. Kami akan melakukan hal yang sama dengan masalah Apollonius.

2. masalah Apollonius

Dengan menggunakan kompas dan penggaris, buatlah sebuah lingkaran yang menyinggung ketiga lingkaran tersebut. Menurut legenda, masalah tersebut dirumuskan oleh Apollonius dari Perga sekitar tahun 220 SM. e. dalam buku "Touch", yang hilang, tetapi dipulihkan pada tahun 1600 oleh François Viète, "Gallic Apollonius", sebagaimana orang-orang sezamannya memanggilnya.

Jika tidak ada lingkaran yang terletak di dalam lingkaran yang lain, maka soal ini mempunyai 8 penyelesaian yang berbeda secara signifikan.


Konstruksi poligon beraturan.

P

benar (atau sama sisi ) segi tiga - Ini poligon beraturandengan tiga sisi, yang pertama dari poligon beraturan. Semua sisi-sisi segitiga beraturan sama satu sama lain, dan semuanya sudutnya 60°. Untuk membuat segitiga sama sisi, Anda perlu membagi lingkaran menjadi 3 bagian yang sama besar. Untuk melakukan ini, perlu menggambar busur berjari-jari R dari lingkaran ini hanya dari salah satu ujung diameternya, kita mendapatkan pembagian pertama dan kedua. Pembagian ketiga berada di ujung diameter yang berlawanan. Dengan menghubungkan titik-titik ini, kita mendapatkan segitiga sama sisi.

segi enam biasa Bisamembangun menggunakan kompas dan penggaris. Di bawahmetode konstruksi diberikandengan membagi lingkaran menjadi 6 bagian. Kami menggunakan persamaan sisi segi enam beraturan dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi. Dari ujung yang berlawanan dari salah satu diameter lingkaran kita gambarkan busur berjari-jari R. Titik potong busur ini dengan lingkaran tertentu akan membaginya menjadi 6 bagian yang sama. Dengan menghubungkan titik-titik yang ditemukan secara berurutan, diperoleh segi enam beraturan.

Konstruksi segi lima beraturan.

P
segi lima beraturan bisa jadidibangun dengan menggunakan kompas dan penggaris, atau dengan memasangkannya pada suatu benda tertentulingkaran, atau konstruksi berdasarkan sisi tertentu. Proses ini dijelaskan oleh Eucliddalam karyanya Elemen sekitar 300 SM. e.

Berikut adalah salah satu metode untuk membuat segi lima beraturan dalam lingkaran tertentu:

    Buatlah sebuah lingkaran di mana segi lima akan ditulisi dan tandai pusatnya sebagaiHAI . (Ini adalah lingkaran hijau pada diagram di sebelah kanan).

    Pilih satu titik pada lingkaranA , yang akan menjadi salah satu simpul segi lima. Buatlah garis lurusHAI DanA .

    Buatlah garis yang tegak lurus terhadap garis tersebutO.A. , melewati titik tersebutHAI . Tentukan salah satu titik potongnya dengan lingkaranB .

    Buatlah sebuah titikC di tengah-tengahHAI DanB .

    C melalui titik tersebutA . Tandai perpotongannya dengan garisO.B. (di dalam lingkaran asal) sebagai sebuah titikD .

    Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat diA melalui titik D, tandai perpotongan lingkaran ini dengan titik asal (lingkaran hijau).E DanF .

    Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat diE melalui titik tersebutA G .

    Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat diF melalui titik tersebutA . Beri label perpotongan lainnya dengan lingkaran asli sebagai sebuah titikH .

    Buatlah segi lima beraturanAEGHF .

Masalah yang tidak dapat dipecahkan

Tiga tugas konstruksi berikut ditetapkan pada zaman kuno:

    Tiga bagian sudut - membagi sudut sembarang menjadi tiga bagian yang sama besar.

Dengan kata lain, perlu untuk membuat trisektor sudut - sinar yang membagi sudut menjadi tiga bagian yang sama besar. P. L. Wanzel membuktikan pada tahun 1837 bahwa permasalahan tersebut hanya dapat diselesaikan jika, misalnya, pembagian tiga bagian layak untuk sudut α = 360°/n, asalkan bilangan bulat n tidak habis dibagi 3. Namun, di tekan dari waktu ke waktu (salah ) metode untuk membagi tiga sudut dengan kompas dan penggaris diterbitkan.

    Menggandakan kubus - masalah kuno klasik dalam membuat tepi sebuah kubus dengan kompas dan penggaris, yang volumenya dua kali volume kubus tertentu.

Dalam notasi modern, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian persamaan. Semuanya bermuara pada masalah membangun segmen yang panjangnya. P. Wantzel membuktikan pada tahun 1837 bahwa masalah ini tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan kompas dan penggaris.

    Mengkuadratkan sebuah lingkaran - tugas yang terdiri dari menemukan konstruksi menggunakan kompas dan penggaris persegi yang luasnya sama dengan lingkaran tertentu.

Seperti yang Anda ketahui, dengan bantuan kompas dan penggaris, Anda dapat melakukan keempat operasi aritmatika dan mengekstrak akar kuadrat; maka mengkuadratkan lingkaran adalah mungkin jika dan hanya jika, dengan menggunakan sejumlah tindakan seperti itu, dimungkinkan untuk membuat segmen dengan panjang π. Dengan demikian, tidak terpecahkannya masalah ini berasal dari sifat non-aljabar (transendensi) bilangan π, yang dibuktikan pada tahun 1882 oleh Lindemann.

Masalah terkenal lainnya yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan kompas dan penggaris adalahmembuat segitiga dengan menggunakan tiga panjang garis bagi yang diberikan .

Terlebih lagi, masalah ini masih belum terpecahkan bahkan dengan adanya trisektor.

Baru pada abad ke-19 terbukti bahwa ketiga permasalahan tersebut tidak dapat diselesaikan hanya dengan menggunakan kompas dan penggaris. Pertanyaan tentang kemungkinan konstruksi diselesaikan sepenuhnya dengan metode aljabar berdasarkan teori Galois.

APAKAH ANDA TAHU BAHWA...

(dari sejarah konstruksi geometris)


Dahulu kala, makna mistis ditanamkan dalam konstruksi poligon beraturan.

Jadi, kaum Pythagoras, pengikut ajaran agama dan filsafat yang didirikan oleh Pythagoras, dan yang hidup di Yunani kuno (V aku-aku Vabad SM BC), sebagai tanda penyatuannya, diadopsi poligon berbentuk bintang yang dibentuk oleh diagonal-diagonal segi lima beraturan.

Aturan untuk konstruksi geometris yang ketat dari beberapa poligon beraturan diatur dalam buku “Elemen” oleh ahli matematika Yunani kuno Euclid, yang tinggal diAKU AKU AKUV. SM. Untuk melaksanakan konstruksi ini, Euclid mengusulkan hanya menggunakan penggaris dan kompas, yang pada saat itu tidak memiliki perangkat berengsel untuk menghubungkan kaki (keterbatasan instrumen seperti itu merupakan persyaratan matematika kuno yang tidak dapat diubah).

Poligon beraturan ditemukan aplikasi yang luas dan dalam astronomi kuno. Jika Euclid tertarik dengan konstruksi angka-angka ini dari sudut pandang matematika, maka bagi astronom Yunani kuno Claudius Ptolemy (sekitar 90 - 160 M) ternyata diperlukan sebagai alat bantu dalam memecahkan masalah astronomi. Jadi, dalam buku pertama Almagests, seluruh bab kesepuluh dikhususkan untuk konstruksi segilima dan dekagon beraturan.

Namun, selain karya ilmiah murni, konstruksi poligon beraturan merupakan bagian integral dari buku untuk pembangun, pengrajin, dan seniman. Kemampuan menggambarkan sosok-sosok ini telah lama dibutuhkan dalam arsitektur, perhiasan, dan seni rupa.

“Sepuluh Buku Arsitektur” oleh arsitek Romawi Vitruvius (yang hidup sekitar 63-14 SM) mengatakan bahwa tembok kota harus berbentuk poligon beraturan, dan menara benteng “harus dibuat bulat atau poligonal. , karena segi empat agak hancur karena senjata pengepungan.”

Tata letak kota sangat menarik bagi Vitruvius, yang percaya bahwa jalan-jalan perlu direncanakan agar angin utama tidak bertiup di sepanjang jalan tersebut. Diasumsikan ada delapan angin seperti itu dan bertiup ke arah tertentu.

Selama Renaisans, pembangunan poligon beraturan, dan khususnya segi lima, bukanlah permainan matematika sederhana, tetapi merupakan prasyarat yang diperlukan untuk pembangunan benteng.

Segi enam biasa adalah subjek studi khusus oleh astronom dan matematikawan besar Jerman Johannes Kepler (1571-1630), yang ia bicarakan dalam bukunya “ Hadiah Tahun Baru, atau tentang kepingan salju heksagonal." Membahas alasan mengapa kepingan salju berbentuk heksagonal, ia khususnya mencatat hal-hal berikut: “... sebuah bidang dapat ditutupi tanpa celah hanya dengan gambar-gambar berikut: segitiga sama sisi, bujur sangkar, dan segi enam beraturan. Di antara angka-angka ini, segi enam biasa mencakup area terluas."

Salah satu ilmuwan paling terkenal yang terlibat dalam konstruksi geometris adalah seniman dan matematikawan besar Jerman Albrecht Durer (1471 -1528), yang mendedikasikan sebagian besar bukunya “Manuals…” untuk mereka. Dia mengusulkan aturan untuk membangun poligon beraturan dengan 3, 4, 5... 16 sisi. Metode pembagian lingkaran yang dikemukakan oleh Dürer tidak bersifat universal; teknik individual digunakan dalam setiap kasus tertentu.

Dürer menggunakan metode membangun poligon beraturan dalam praktik artistik, misalnya saat membuat berbagai macam ornamen dan pola untuk parket. Dia membuat sketsa pola seperti itu selama perjalanannya ke Belanda, di mana lantai parket banyak ditemukan di rumah.

Dürer menyusun ornamen dari poligon beraturan, yang dihubungkan menjadi cincin (cincin enam segitiga sama sisi, empat segi empat, tiga atau enam segi enam, empat belas segi tujuh, empat segi delapan).

Kesimpulan

Jadi,konstruksi geometris adalah suatu metode penyelesaian suatu masalah yang jawabannya diperoleh secara grafis. Konstruksi dilakukan dengan menggunakan alat gambar dengan presisi dan akurasi pekerjaan maksimum, karena kebenaran solusi bergantung pada hal ini.

Berkat karya ini, saya mengenal sejarah asal usul kompas, menjadi lebih akrab dengan aturan melakukan konstruksi geometris, memperoleh pengetahuan baru dan menerapkannya dalam praktik.
Memecahkan masalah yang melibatkan konstruksi dengan kompas dan penggaris adalah hobi berguna yang memungkinkan Anda melihat kembali sifat-sifat bangun geometris dan elemen-elemennya yang diketahui.Makalah ini membahas masalah paling mendesak yang terkait dengan konstruksi geometris menggunakan kompas dan penggaris. Masalah-masalah utama dipertimbangkan dan solusinya diberikan. Masalah-masalah yang diberikan memiliki kepentingan praktis yang signifikan, mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dalam geometri dan dapat digunakan untuk kerja praktek.
Dengan demikian, tujuan pekerjaan telah tercapai, tugas yang diberikan telah selesai.

Dalam masalah konstruksi kita akan mempertimbangkan konstruksinya sosok geometris yang dapat dilakukan dengan menggunakan penggaris dan kompas.

Dengan menggunakan penggaris Anda dapat:

    garis lurus sewenang-wenang;

    garis lurus sembarang yang melalui suatu titik tertentu;

    garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Dengan menggunakan kompas, Anda dapat menggambarkan lingkaran dengan radius tertentu dari pusat tertentu.

Dengan menggunakan kompas, Anda dapat memplot suatu segmen pada garis tertentu dari suatu titik tertentu.

Mari kita pertimbangkan tugas konstruksi utama.

Tugas 1. Bangunlah sebuah segitiga dengan sisi-sisi tertentu a, b, c (Gbr. 1).

Larutan. Dengan menggunakan penggaris, gambarlah garis lurus sembarang dan ambil titik sembarang B di atasnya. Dengan menggunakan bukaan kompas yang sama dengan a, kita gambarkan sebuah lingkaran dengan pusat B dan jari-jari a. Misalkan C adalah titik potongnya dengan garis. Dengan bukaan kompas sama dengan c, kita gambarkan sebuah lingkaran dari pusat B, dan dengan bukaan kompas sama dengan b, kita gambarkan sebuah lingkaran dari pusat C. Misalkan A adalah titik potong lingkaran-lingkaran tersebut. Segitiga ABC mempunyai sisi-sisi yang sama dengan a, b, c.

Komentar. Agar tiga ruas lurus dapat berfungsi sebagai sisi-sisi suatu segitiga, ruas terbesarnya harus lebih kecil dari jumlah dua ruas lainnya (dan< b + с).

Tugas 2.

Larutan. Sudut dengan titik sudut A dan sinar OM ditunjukkan pada Gambar 2.

Mari kita menggambar sebuah lingkaran sembarang dengan pusatnya di titik sudut A dari sudut tertentu. Misalkan B dan C adalah titik potong lingkaran dengan sisi-sisi sudutnya (Gbr. 3, a). Dengan jari-jari AB kita menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O - titik awal sinar ini (Gbr. 3, b). Mari kita nyatakan titik potong lingkaran ini dengan sinar ini sebagai C 1 . Mari kita gambarkan sebuah lingkaran dengan pusat C 1 dan jari-jari BC. Titik B 1 perpotongan dua lingkaran terletak pada sisi sudut yang diinginkan. Ini mengikuti persamaan Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (tanda ketiga persamaan segitiga).

Tugas 3. Buatlah garis bagi sudut ini (Gbr. 4).

Larutan. Dari titik sudut A tertentu, seperti dari pusat, kita menggambar sebuah lingkaran dengan jari-jari sembarang. Misalkan B dan C adalah titik potongnya dengan sisi-sisi sudutnya. Dari titik B dan C kita gambarkan lingkaran yang jari-jarinya sama. Misalkan D adalah titik potongnya, berbeda dengan A. Sinar AD membagi dua sudut A. Ini mengikuti persamaan Δ ABD = Δ ACD (kriteria ketiga persamaan segitiga).

Tugas 4. Gambarlah garis bagi yang tegak lurus terhadap segmen ini (Gbr. 5).

Larutan. Dengan menggunakan bukaan kompas yang sembarang namun identik (lebih besar dari 1/2 AB), kita gambarkan dua busur yang berpusat di titik A dan B, yang akan berpotongan satu sama lain di beberapa titik C dan D. Garis lurus CD akan menjadi tegak lurus yang diinginkan. Memang terlihat dari konstruksinya, masing-masing titik C dan D berjarak sama dari A dan B; oleh karena itu, titik-titik tersebut harus terletak pada garis bagi yang tegak lurus ruas AB.

Tugas 5. Bagilah segmen ini menjadi dua. Ini diselesaikan dengan cara yang sama seperti soal 4 (lihat Gambar 5).

Tugas 6. Melalui suatu titik tertentu tariklah sebuah garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut.

Larutan. Ada dua kemungkinan kasus:

1) titik tertentu O terletak pada suatu garis lurus a (Gbr. 6).

Dari titik O kita menggambar sebuah lingkaran dengan jari-jari sembarang yang memotong garis a di titik A dan B. Dari titik A dan B kita menggambar lingkaran dengan jari-jari yang sama. Misalkan O 1 adalah titik potongnya, berbeda dengan O. Kita peroleh OO 1 ⊥ AB. Faktanya, titik O dan O 1 berjarak sama dari ujung-ujung segmen AB dan, oleh karena itu, terletak pada garis-bagi yang tegak lurus terhadap segmen tersebut.



ARTIKEL TERKAIT