Jakie konstrukcje można wykonać za pomocą linijki. Konstrukcja za pomocą linijki i kompasu. Konstrukcje możliwe i niemożliwe

Przykład

Dzielenie odcinka na pół

Problem bisekcji. Użyj kompasu i linijki, aby podzielić ten segment AB na dwie równe części. Jedno z rozwiązań pokazano na rysunku:

  • Za pomocą kompasu rysujemy okręgi ze środkami w punktach A I B promień AB.
  • Znajdowanie punktów przecięcia P I Q dwa skonstruowane okręgi (łuki).
  • Za pomocą linijki narysuj odcinek lub linię przechodzącą przez punkty P I Q.
  • Znalezienie żądanego punktu środkowego odcinka AB- punkt przecięcia AB I PQ.

Definicja formalna

W zagadnieniach konstrukcyjnych uwzględnia się zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, zbiór wszystkich linii płaszczyzny oraz zbiór wszystkich okręgów płaszczyzny, na których dozwolone są następujące operacje:

  1. Wybierz punkt ze zbioru wszystkich punktów:
    1. dowolny punkt
    2. dowolny punkt na danej linii
    3. dowolny punkt na danym okręgu
    4. punkt przecięcia dwóch danych prostych
    5. punkt przecięcia/styczności danej linii z danym okręgiem
    6. punkty przecięcia/styczności dwóch danych okręgów
  2. "Używając władcy» wybierz linię ze zbioru wszystkich linii:
    1. dowolna linia prosta
    2. dowolną linię prostą przechodzącą przez dany punkt
    3. prostą przechodzącą przez dwa dane punkty
  3. "Używając kompas» wybierz okrąg ze zbioru wszystkich okręgów:
    1. dowolne koło
    2. dowolne koło ze środkiem w punkcie dany punkt
    3. dowolny okrąg o promieniu, równa odległości pomiędzy dwoma danymi punktami
    4. okrąg o środku w danym punkcie i promieniu równym odległości między dwoma danymi punktami

W warunkach problemu określony jest pewien zbiór punktów. Należy przy pomocy skończonej liczby operacji spośród wymienionych wyżej operacji zbudować kolejny zbiór punktów pozostający w zadanej relacji ze zbiorem pierwotnym.

Rozwiązanie problemu konstrukcyjnego składa się z trzech zasadniczych części:

  1. Opis sposobu konstruowania danego zbioru.
  2. Dowód na to, że tak skonstruowany zbiór rzeczywiście pozostaje w zadanej relacji ze zbiorem pierwotnym. Zwykle dowód konstrukcji przeprowadza się jako zwykły dowód twierdzenia, w oparciu o aksjomaty i inne udowodnione twierdzenia.
  3. Analiza opisanej metody konstrukcji pod kątem jej przydatności dla różnych wersji warunków początkowych oraz jednoznaczności lub niejednoznaczności rozwiązania uzyskanego opisaną metodą.

Znane problemy

  • Problem Apoloniusza dotyczący budowy koła stycznego do trzech danych okręgów. Jeśli żaden z podanych okręgów nie leży wewnątrz drugiego, to problem ten ma 8 znacząco różnych rozwiązań.
  • Problem Brahmagupty polegający na skonstruowaniu czworoboku wpisanego za pomocą jego czterech boków.

Konstrukcja wielokątów foremnych

Starożytni geometrzy wiedzieli, jak prawidłowo budować N-gons dla , , i .

Konstrukcje możliwe i niemożliwe

Wszystkie konstrukcje są niczym innym jak rozwiązaniami jakiegoś równania, a współczynniki tego równania są odniesione do długości danych odcinków. Dlatego wygodnie jest mówić o konstruowaniu liczby - graficznym rozwiązaniu równania określonego typu. W ramach powyższych wymagań możliwe są następujące konstrukcje:

  • Konstrukcja rozwiązań równań liniowych.
  • Konstruowanie rozwiązań równań kwadratowych.

Innymi słowy, liczby równe wyrażeniom arytmetycznym można konstruować jedynie przy użyciu pierwiastka kwadratowego z liczb pierwotnych (długości odcinków). Na przykład,

Odmiany i uogólnienia

  • Konstrukcje wykorzystujące jeden kompas. Zgodnie z twierdzeniem Mohra-Mascheroniego za pomocą jednego kompasu można skonstruować dowolną figurę, którą można zbudować za pomocą kompasu i linijki. W takim przypadku linię prostą uważa się za zbudowaną, jeśli określono na niej dwa punkty.
  • Konstrukcje wykorzystujące jedną linijkę.Łatwo zauważyć, że za pomocą jednej linijki można wykonać tylko konstrukcje rzutowo-niezmiennicze. W szczególności nie da się nawet podzielić odcinka na dwie równe części, ani znaleźć środka narysowanego okręgu. Ale jeśli na płaszczyźnie znajduje się wstępnie narysowany okrąg z zaznaczonym środkiem, za pomocą linijki możesz wykonać te same konstrukcje, co za pomocą kompasu i linijki (twierdzenie Ponceleta-Steinera (twierdzenie Ponceleta-Steinera ( język angielski)), 1833. Jeżeli na linijce znajdują się dwa nacięcia, to konstrukcje wykorzystujące je są równoznaczne z konstrukcjami wykorzystującymi kompas i linijkę (Ważny krok w udowodnieniu tego zrobił Napoleon).
  • Konstrukcje z wykorzystaniem narzędzi o ograniczonych możliwościach. W problemach tego typu narzędzia (w przeciwieństwie do klasycznego sformułowania problemu) uważa się za nieidealne, ale ograniczone: linię prostą przechodzącą przez dwa punkty można za pomocą linijki poprowadzić tylko wtedy, gdy odległość między tymi punktami nie przekracza określonej wartość; promień okręgów narysowanych za pomocą kompasu można ograniczyć od góry, od dołu lub zarówno od góry, jak i od dołu.
  • Konstrukcje z wykorzystaniem płaskiego origami. zobacz zasady Hujit

Zobacz też

  • Programy do geometrii dynamicznej umożliwiają wykonywanie konstrukcji za pomocą kompasu i linijki na komputerze.

Notatki

Literatura

  • A. Adler Teoria konstrukcji geometrycznych / Tłumaczenie z języka niemieckiego: G. M. Fikhtengolts. - Trzecia edycja. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 s.
  • I. I. Aleksandrow Zbiór problemów konstrukcji geometrycznych. – Wydanie osiemnaste. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 s.
  • B. I. Argunov, M. B. Balk. - Druga edycja. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 s.
  • A. M. Woronec Geometria kompasu. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 s. - (Popularna biblioteka matematyczna pod redakcją generalną L. A. Lyusternika).
  • V. A. Geiler Nierozwiązywalne problemy konstrukcyjne // płyn chłodzący. - 1999. - nr 12. - s. 115-118.
  • V. A. Kirichenko Konstrukcje z kompasem i linijką oraz teorią Galois // Szkoła Letnia „Matematyka Nowoczesna”. - Dubna, 2005.
  • Yu. I. Manin Księga IV. Geometria // Encyklopedia matematyki elementarnej. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 s.
  • Y. Petersena Metody i teorie rozwiązywania problemów konstrukcji geometrycznych. - M.: Drukarnia E. Lissnera i Y. Romana, 1892. - 114 s.
  • V. V. Prasolov Trzy klasyczne problemy konstrukcyjne. Podwojenie sześcianu, przecięcie kąta, podniesienie koła do kwadratu. - M.: Nauka, 1992. - 80 s. - (Popularne wykłady z matematyki).
  • J. Steinera Konstrukcje geometryczne wykonywane przy użyciu linii prostej i okręgu stałego. - M .: Uchpedgiz, 1939. - 80 s.
  • Opcjonalny kurs matematyki. 7-9 / komp. I. L. Nikolskaya. - M.: Edukacja, 1991. - s. 80. - 383 s. - ISBN 5-09-001287-3

Fundacja Wikimedia. 2010.

Zobacz, co „Budowanie za pomocą kompasu i linijki” znajduje się w innych słownikach:

    Linijki - zdobądź działający kupon na zniżkę na AllInstruments w Akademika lub kup linijki z zyskiem z darmową dostawą w promocji w AllInstruments

    Gałąź geometrii euklidesowej, znana od czasów starożytnych. W zadaniach konstrukcyjnych możliwe są następujące operacje: Zaznacz dowolny punkt na płaszczyźnie, punkt na jednej z budowanych linii lub punkt przecięcia dwóch skonstruowanych linii. Z pomocą... ...Wikipedii

    Konstrukcje wykorzystujące kompasy i linijki są gałęzią geometrii euklidesowej znanej od czasów starożytnych. W zadaniach konstrukcyjnych możliwe są następujące operacje: Zaznacz dowolny punkt na płaszczyźnie, punkt na jednej z skonstruowanych linii lub punkt... ... Wikipedia

    Rzeczownik, s., używany. porównywać często Morfologia: (nie) co? budowa, co? budowa, (widzę) co? budowa, co? budowa, o czym? o budowie; pl. Co? budowa, (nie) co? konstrukcje, co? konstrukcje, (widzę) co? budowa, z czego?... ... Słownik wyjaśniający Dmitriewa

MAŁA AKADEMIA NAUK UCZNIÓW KRYMU

"OSOBA UBIEGAJĄCA SIĘ O"

Sekcja „Matematyka”

KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Z WYKORZYSTANIEM DWUSTRONNEJ LINIJKI

Wykonałem tę pracę A

_____________

Uczeń klasy

Dyrektor naukowy

WPROWADZENIE……………………………………………………………………………..…..3

I. KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE NA PŁASZCZYZNIE……………...4

I.1. Ogólne aksjomaty geometrii konstrukcyjnej. Aksjomaty instrumentów matematycznych……………………………………………………………………………..4

I.2. ……………………….....5

I.3. Konstrukcje geometryczne z jedną linijką……………………………..7

I.4. Podstawowe zadania konstruowania za pomocą dwustronnej linijki……………..8

I.5. Rozwiązywanie różnych problemów konstrukcyjnych ………………………………12

I.6. Konstrukcje z linijką jednostronną………………………………….....20

I.7. Zamienność dwustronnej linijki z kompasem i linijką....21

WNIOSEK…………………………………………………………….24

Lista referencji……………………………..………….25

Wstęp

Do zadań związanych z budową przy ograniczonych środkach zaliczają się zadania polegające na konstruowaniu wyłącznie przy użyciu kompasu i linijki, które są uwzględniane w szkolnym programie nauczania. Czy można rozwiązać problemy konstrukcyjne za pomocą tylko jednej linijki? Często nie masz pod ręką kompasu, ale zawsze możesz znaleźć linijkę.

Fascynującą sekcją są zagadnienia dotyczące konstrukcji z geometrii. Zainteresowanie nim wynika z piękna i prostoty treści geometrycznych. Znaczenie rozważenia tych problemów wzrasta ze względu na fakt, że są one stosowane w praktyce. Umiejętność posługiwania się jedną linijką do rozwiązywania problemów rozpatrywanych w tej pracy ma ogromne znaczenie w zajęcia praktyczne, ponieważ Stale stajemy przed problemami podzielenia odcinka na pół, podwojenia danego odcinka itp.

W artykule przeanalizowano główne zadania konstrukcyjne, które służą jako podstawa do rozwiązywania bardziej złożonych problemów.

Jak pokazuje doświadczenie, zadania konstrukcyjne budzą zainteresowanie i przyczyniają się do aktywacji aktywności umysłowej. Przy ich rozwiązywaniu aktywnie wykorzystuje się wiedzę o właściwościach figur, rozwija zdolność rozumowania i doskonali umiejętności konstrukcji geometrycznych. W rezultacie rozwijają się zdolności konstruktywne, co jest jednym z celów studiowania geometrii.

Hipoteza: wszystkie problemy konstrukcyjne, które można rozwiązać za pomocą kompasu i linijki, można rozwiązać tylko za pomocą dwustronnej linijki.

Przedmiot nauki: zadania konstrukcyjne i linijka dwustronna.

Cele badawcze: wykazanie, że wszelkie problemy konstrukcyjne można rozwiązać jedynie przy pomocy dwustronnej linijki.

Cele badawcze: poznanie teoretycznych podstaw rozwiązywania problemów konstrukcyjnych; rozwiązywać podstawowe problemy konstrukcyjne za pomocą dwustronnej linijki; podać przykłady bardziej złożonych problemów konstrukcyjnych; usystematyzować materiał teoretyczny i praktyczny.

I. KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE NA PŁASZCZYZNIE

I.1. Ogólne aksjomaty geometrii konstrukcyjnej. Aksjomaty narzędzi matematycznych

Do geometrii konstrukcyjnej niezbędny jest dokładny, a dla celów matematycznych pełny opis konkretnego narzędzia. Opis ten jest podany w formie aksjomatów. Te aksjomaty w abstrakcyjnej formie matematycznej wyrażają właściwości rzeczywistych instrumentów rysunkowych używanych do konstrukcji geometrycznych.

Do najczęściej stosowanych narzędzi konstrukcji geometrycznych należą:linijka (jednostronna) , kompas, dwustronny linijka (z równoległymi krawędziami) i kilka innych.

A. Aksjomat władcy.

Linijka umożliwia wykonanie następujących konstrukcji geometrycznych:
a) skonstruować odcinek łączący dwa skonstruowane punkty;

b) skonstruować linię prostą przechodzącą przez dwa skonstruowane punkty;

c) skonstruować promień wychodzący ze skonstruowanego punktu i przechodzący przez inny skonstruowany punkt.

B. Aksjomat kompasu.

Kompas umożliwia wykonanie następujących konstrukcji geometrycznych:
a) skonstruować okrąg, jeżeli skonstruowano środek okręgu i odcinek równy promieniowi okręgu (lub jego końce);

B. Aksjomat linijki dwustronnej.

Dwustronna linijka pozwala na:

a) wykonać dowolną z konstrukcji wymienionych w aksjomacie A;

b) w każdej z półpłaszczyzn wyznaczonych przez konstruowaną linię skonstruować linię równoległą do tej linii i przechodzącą od niej w odległościA, Gdzie A - odcinek ustalony dla danej linijki (szerokość linijki);

c) jeśli zbudowane zostaną dwa punkty A i B, to określ, czy AB będzie większe od pewnego stałego odcinkaA (szerokość linijki) i jeśli AB >A , następnie skonstruuj dwie pary linii równoległych przechodzących odpowiednio przez punkty A i B i oddalonych od siebie w pewnej odległościA .

Oprócz wymienionych narzędzi możesz użyć innych narzędzi do konstrukcji geometrycznych: dowolnego kąta, kwadratu, linijki ze znakami, pary kątów prostych, różnych urządzeń do rysowania specjalnych krzywych itp.

I.2. Ogólne zasady rozwiązywania problemów konstrukcyjnych

Zadanie konstrukcyjne polega na tym, że wymagane jest zbudowanie określonej figury za pomocą określonych narzędzi, jeśli zostanie podana inna figura i wskazane zostaną pewne relacje pomiędzy elementami pożądanej figury a elementami tej figury.

Każda figura spełniająca warunki zadania nazywana jestdecyzja to zadanie.

Znaleźć rozwiązanie Zadanie konstrukcyjne polega na sprowadzeniu jej do skończonej liczby konstrukcji podstawowych, czyli wskazaniu skończonego ciągu konstrukcji podstawowych, po którym pożądana figura będzie już uważana za zbudowaną na mocy przyjętych aksjomatów geometrii konstrukcyjnej. Lista akceptowalnych konstrukcji podstawowych, a co za tym idzie, postęp w rozwiązaniu problemu, w istotny sposób zależy od tego, jakie konkretne narzędzia zostaną użyte do konstrukcji.

Rozwiąż problem konstrukcyjny - Oznacza, znaleźć wszystkie jego rozwiązania .

Ostatnia definicja wymaga pewnego wyjaśnienia. Figury spełniające warunki problemu mogą różnić się zarówno kształtem, rozmiarem, jak i położeniem na płaszczyźnie. Różnice w położeniu na płaszczyźnie są uwzględniane lub nie, w zależności od sformułowania samego problemu konstrukcyjnego, od tego, czy stan zadania zapewnia, czy też nie, pewne położenie pożądanej figury względem dowolnych figur .

Jeśli zostanie znalezione rozwiązanie problemu, w przyszłości można zastosować to rozwiązanie „jako całość”, to znaczy bez dzielenia go na główne konstrukcje.

Istnieje wiele prostych problemów konstrukcji geometrycznych, które szczególnie często są uwzględniane jako komponenty w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów. Nazwiemy je elementarnymi problemami konstrukcji geometrycznych. Lista podstawowych zadań jest oczywiście warunkowa. Podstawowe zadania zazwyczaj obejmują:

    Podziel ten segment na pół.

    Dzielenie danego kąta na pół.

    Konstruowanie na danej linii odcinka równego danemu.

    Konstruowanie kąta równego danemu.

    Konstruowanie prostej przechodzącej przez dany punkt, równoległej do danej prostej.

    Konstruowanie prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej.

    Podział segmentu pod tym względem.

    Konstruowanie trójkąta z trzech podanych boków.

    Konstruowanie trójkąta z boku i dwóch sąsiednich kątów.

    Konstruowanie trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

Przy rozwiązywaniu dowolnego nieco złożonego problemu konstrukcyjnego pojawia się pytanie, jak rozumować, aby znaleźć sposób rozwiązania problemu, uzyskać wszystkie rozwiązania problemu, znaleźć warunki możliwości rozwiązania problemu itp. Dlatego też przy rozwiązywaniu problemów konstrukcyjnych stosują schemat rozwiązania składający się z następujących czterech etapów:

1) analiza;
2) budownictwo;
3) dowód;
4) badania.

I.3. Konstrukcje geometryczne z jedną linijką

Rozważymy władcę z dwóch punktów widzenia: jako władcę i jako władcę dwustronnego.

1. Dwustronna linijka szerokość A nazwiemy linijkę z równoległymi krawędziami umieszczonymi w pewnej odległości A od siebie, dzięki czemu można bezpośrednio budować:

a) dowolna linia prosta;

b) linia prosta przechodząca przez dwa punkty podane lub uzyskane w procesie rozwiązywania problemu;

c) linie równoległe, z których każda przechodzi przez jeden z punktów, których odległości są większeA (w tej konstrukcji linijka jest w takim położeniu, że na każdej z jej dwóch równoległych krawędzi znajduje się jeden z dwóch danych punktów; w tym przypadku będziemy mówić o konstrukcji bezpośredniej).

Szerokość linijki w tej konstrukcji uważa się za stałą, dlatego jeśli w procesie rozwiązywania konkretnego problemu konieczne stanie się wykonanie bezpośredniej konstrukcji w stosunku do niektórych uzyskanych punktówA I W , to musimy udowodnić, że długośćAB dłużej A .

Punkt do zbudowania rozważymy, jeśli jest to jedna z danych lub jest przecięciem dwóch skonstruowanych linii; z kolei za zbudowaną linię prostą będziemy uważać, jeśli przechodzi ona przez skonstruowane lub dane punkty.

Za pomocą dwustronnej linijki możesz skonstruować następujące elementy.

a) Przez dowolne dwa punkty można poprowadzić linię prostą i tylko przez jeden.

b) Niezależnie od linii prostej, na płaszczyźnie znajdują się dokładnie dwie linie proste, równoległe do niej i oddalone od niej o pewną odległośćA .

c) Przez dwa punkty A i B w ABA można narysować dwie pary równoległe prosty; z AB = A możesz narysować parę równoległych linii, których odległość jest równaA .

Jeśli zostanie podany jeden, dwa, trzy punkty, wówczas nie będzie można zbudować żadnych nowych punktów

(Rysunek 1);

jeśli dane są cztery punkty, z których niektóre trzy (lub wszystkie cztery) leżą na tej samej prostej, wówczas nie można skonstruować żadnych innych punktów (ryc. 2);

Jeśli masz cztery punkty leżące na wierzchołkach równoległoboku, możesz skonstruować tylko jeden punkt – jego środek. (ryc. 3).

Przyjmując powyższe, rozważmy osobno problemy rozwiązywane za pomocą dwustronnej linijki.

I.4. Podstawowe zadania konstruowania za pomocą linijki dwustronnej

1
. Skonstruuj dwusieczną kąta ABC.

Rozwiązanie: (ryc. 4)

A  (W C) I B  (Zespół B = D .

Dostajemy B D– dwusieczna ABC.

Rzeczywiście, uzyskane przez

konstruowanie równoległoboku jest

romb, ponieważ jego wysokości są równe. WD –

przekątna rombu jest dwusieczną ABC. Ryc.4

2
. Podwoić podany kąt ABC

Rozwiązanie : (ryc. 5) a) A  (AB),

A (W C)= D , przez punkty B i D

B bezpośrednio;

b) przez punkty B iD M  B

bezpośrednio,B Ç a = F .

Dostajemy Ð AB F = 2 Ð ABC .

Ryc.5


3 . Do danej prostej M N w tym

narysuj prostopadłą do punktu A

Rozwiązanie : (ryc. 6)

1) (AA 1) || (BB 1) || (SS 1) –

bezpośrednio (B(M N),

Z Î (M N)); 2) przez A i B

M || N - bezpośrednio,

M Ç (SS 1) = D .

Dostajemy (A D ) (M N ).

Ryc.6.

4
. Przez dany punkt nie leży

dana linia, narysuj prostopadłą

Do ta linia.

Rozwiązanie: Przez ten punkt O rysujemy

dwie linie przecinające daną

prostą AB i podwoić kąty powstałe

sąsiadujące z nim trójkąty

prosty. OA N = 2 OAV i

OB N = 2 OVA (ryc. 7).

Ryc.7

5. Skonstruuj punkt symetryczny do danej prostej względem danej prostej.

Rozwiązanie: zobacz zadanie 4. (punkt O jest symetryczny do punktuN. Ryc.7)

6. Wykonuj linię prostą równolegle do tego

P
prosto M N , przez punkt A, nie

należący do linii M N .

Rozwiązanie 1: (ryc. 8)

1)(AA 1) || (BB 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (KК 1) -

– bezpośrednio, (SA)Ç (BB1) = C2;

2) (Z 2 K) Ç (DD 1 ) = F .

(A F ) jest pożądaną linią prostą.

Ryc. 8

Rozwiązanie 2 . Na ryc. 8 1 jest ponumerowany

sekwencja linii prostych,

z czego 1, 2 i 3 są równoległe

konstrukcja bezpośrednia;

(A F) || (M N).

Ryc.8 1

7
. Podziel ten odcinek AB na pół.

Rozwiązanie 1. (ryc. 9) (tylko w przypadku, gdy szerokość linijki jest mniejsza niż długość tego odcinka). Narysuj bezpośrednio dwie pary równoległych linii

końce tego odcinka, a następnie przekątna

powstały romb. O – środkowy AB.

Ryż. 9.

Rozwiązanie 2. (ryc. 9, a)

1) || (Zespół B || (AB) – bezpośrednio;

2) (AR), (AR)Ç a = C, (AP) Ç B = D ;

3) (D W) Ç a = M, (SV) Ç B = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D DO) Ç (A N ) = F ;

6) (B F ) Ç B = D 1, (B F ) Ç a = C1;

7) (D W ) Ç (A D 1 ) = X,

(KP 1) Ç (SV) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) =O. Otrzymujemy AO = OB.

Ryc.9,a

Rozwiązanie 3 .( Ryż. 9, b)

Jak wiadomo , w środkowym trapezie

podstawy, punkt przecięcia

przekątne i punkt przecięcia

przedłużenia boków

leżeć na tej samej linii prostej.

1) M || (AB) – bezpośrednio;

2) C Î M , D Î M , (JAK) Ç (W D ) = DO; Ryc.9,b

3) (NE) Ç (A D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) =O. Otrzymujemy AO = OB.

I.5. Rozwiązywanie różnych problemów konstrukcyjnych

Przy rozwiązywaniu poniższych problemów konstrukcyjnych przy użyciu wyłącznie dwustronnej linijki stosuje się bezpośrednią konstrukcję linii równoległych i siedem głównych problemów podanych powyżej.

1. Narysuj dwie wzajemnie prostopadłe linie przechodzące przez ten punkt.

R rozwiązanie: przejdźmy przez ten punkt

dwie dowolne linie,

a następnie - dwusieczne

sąsiadujące rogi. (ryc. 10)

Ryc.10

2. Biorąc pod uwagę odcinek A D podana długość a.

Skonstruuj odcinek, którego długość jest równa .

R
decyzja : Przeprowadźmy M A I H || M Poprzez

punkt A. F || (A D ) , k || (OGŁOSZENIE) bezpośrednio.

Narysujmy AB i AC, gdzie B =F M ,

C = M k . W znany sposób

podziel AB i AC na pół i

narysujmy środkowe trójkąta

ABC. Według własności median

trójkąt, o D = - poszukiwany

segment (ryc. 11)

Ryż. jedenaście

3. Skonstruuj odcinek, którego długość wynosi

równy obwodowi danego trójkąta.

Rozwiązanie: (ryc. 12). Skonstruujmy dwusieczne

dwa zewnętrzne rogi trójkąta, a następnie

3 szczyty W narysujmy prostopadłe

do tych dwusiecznych.

DE = + B + s

Ryc.12

4. Biorąc pod uwagę odcinek o długości a. Konstruuj odcinki długości 2a, 3a.

R rozwiązanie: (ryc. 13)

1M N) || (AB) i (M 1 N 1 ) || (M N) || (M2 N 2 ) –

Bezpośrednio;

2) (CA) i (CB) do A i B.

Wymagane są odcinki A 1 B 1 i A 2 B 2.

Może być inne rozwiązanie tego problemu

otrzymane z rozwiązania zadania 7.

Ryż. 13

5. Na linii prostej podane są dwa odcinki, których długości wynoszą a i B . Skonstruuj odcinki, których długość jest równa + B , B - A, ( A + B )/2 i ( B - A )/2 .

Rozwiązanie: i dla A + B(ryc. 14,a)

Ryc. 14, a

b) dla ( A + B)/2 (ryc. 14, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) – bezpośrednio;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (A 1 B 1 ) = N, (M H) Ç (A 1 B 1 ) = P;

3) (PY) Ç (A 2 B 2) = L, (LZ ) Ç (A 1 B 1 ) = O,

Otrzymujemy: N O = N.P. + PO =
.

Ryż. 14, ur

c) za B - A(ryc. 14, c)

Ryż. 14, w

c) za ( B - A )/2 (ryc. 14, d)

Ryż. 14, gł

6
. Skonstruuj środek tego okręgu.

Rozwiązanie : (Rys. 15) Narysujmy prostą AB,

przecinający okrąg w punktach A i B;

Słońce AB, gdzie C jest punktem przecięcia

z kółkiem.

Przez punkt C rysujemy równolegle do AB

prosto C D; ZDprzecina okrąg

w tym punkcieD.

ŁączącDz B i A z C, otrzymujemy

żądany punkt to środek okręgu. Ryż. 15

Rozwiązanie 2: (ryc. 16) Za pomocą dwustronnej linijki skonstruuj dwa równoległe cięciwyOGŁOSZENIE IPNE. . Otrzymujemy trapez równoramiennyABCD. PozwalaćK IP - punkty przecięcia liniiAC IBD , AB IDC . Potem prostoP K przechodzi przez środki podstaw trapezu prostopadle do nich, czyli przechodzi przez środek danego okręgu. Konstruując w podobny sposób kolejną taką linię prostą, znajdujemy środek okręgu.

Ryż. 16

7. Dany jest łuk koła. Skonstruuj środek okręgu

Rozwiązanie . (ryc. 17) Zaznacz na tym łuku trzy punkty A, B i C. Przyłóż linijkę do końców odcinka AB i obrysuj jego krawędzie. Otrzymujemy dwie równoległe linie. Zmieniając położenie linijki, rysujemy jeszcze dwie równoległe linie. Otrzymujemy romb (równoległobok o równych wysokościach). Jedna z przekątnych rombu jest dwusieczną prostopadłą do odcinkaAB , ponieważ przekątna rombu leży na dwusiecznej prostopadłej do drugiej przekątnej. Podobnie konstruujemy dwusieczną prostopadłą do odcinkaAC . Punkt przecięcia skonstruowanych dwusiecznych jest środkiem pożądanego okręgu.

Ryż. 17

8. Dany jest odcinek AB, nierównoległa linia l i leżący na niej punkt M. Za pomocą dwustronnej linijki skonstruuj punkty przecięcia prostej l z okręgiem o promieniu AB i środku M.

Rozwiązanie: (ryc. 18)

Uzupełnijmy trójkątA.B.M. do równoległobokuABNM . Skonstruujmy dwusieczne MT iSMkąty pomiędzyMNi prostel . Przeciągnijmy przez punktN linie równoległe do tych dwusiecznych:NQ || SM, NR || MT. MT│ SMjako dwusieczne sąsiednich kątów. Oznacza,NQ │ MT, czyli w trójkącieNMQdwusieczna to wysokość, zatem trójkąt jest równoramienny:MQ = MN. Podobnie,PAN. = MN. ZwrotnicaQIRposzukiwany.

Ryż. 18

9. Biorąc pod uwagę prostą l i odcinek OA równoległy do ​​l. Za pomocą dwustronnej linijki skonstruuj punkty przecięcia prostej l z okręgiem o promieniu OA i środku O.

Rozwiązanie: (ryc. 19, a)

Zróbmy bezpośrednil 1 , równolegle do liniiO.A. i odległych od niego na odległośćA . Weźmy to po linii prostejl dowolny punktB . PozwalaćB 1 - punkt przecięcia liniiO.B. Il 1 . Przeciągnijmy przez punktB 1 proste, równoległeAB ; ta linia przecina tę linięO.A. w tym punkcieA 1 . Przeciągnijmy teraz przez punktyO IA 1 para równoległych linii, odległość między nimi wynosiA (mogą być dwie takie pary linii); pozwalaćX IX 1 - punkty przecięcia prostej przechodzącej przez punktO , z liniami prostymil Il 1 . PonieważO.A. 1 = WÓŁ 1 i ∆O.A. 1 X 1 ∆ OAX , wówczas OA = OX, punktX podążał za.

Podobnie konstruujemy drugi punkt przecięcia okręgu i prostej – punktY(ryc. 18, b).

Ryż. 18, o

Ryż. 18, ur

I.6.Konstrukcje z linijką jednostronną

Z
Rozważmy tutaj szczególny przypadek: niech zostaną dane punkty P,Q, R 1 IQ 1 . i leżą w wierzchołkach trapezu.

1. Podziel odcinek P Q w połowie

Rozwiązanie pokazano na rysunku 19

Podano punkty P,Q, R 1 IQ 1 i linie równoległe

RQ, R 1 Q 1 . Wykonajmy RQ 1 QR 1 = B , RR 1 Pytanie 1 = A

Połączmy punkty A i B. ABRQ = F- środek

odcinek PQ.

Ryż. 19

2. Podwój segment R 1 Q 1.

R
decyzja pokazano na rysunku 20. Budujmy

punktF– środek odcinka PQi podłącz to

ZQ 1. R 1 QPytanie 1 = M. Przeprowadźmy RM. RMR 1 Q 1 = R

równośćpytaniei p 1 Q 1 wynika z podobieństwa

trójkąty RMFI RMQ 1 ,

FMQI R 1 MQ 1 , i równości PFIPytanie.

Ryż. 20

3
. Zbuduj odcinek długości N R 1 Q 1 .

M – 1 równe odcinki PQ 2 , Q 2 Q 3, … Q M -1 Q M

Następnie budujemy (RR 1 ) IQ M Q 1 i połącz

ich punkt przecięcia A z punktami

Q 2 , Q 3, … Q M OtrzymaneM -1 bezpośredni

dzielićR 1 Q 1 NAM równy Części.

DlaM = 4 rozwiązanie pokazano na rysunku 22

Ryc.22

I.7. Wymienność linijki dwustronnej z kompasem i linijką

Udowodnijmy, że dwustronna linijka jest wymienna z kompasem i linijką. W tym celu udowadniamy następujące twierdzenia:

Stwierdzenie 1: wszystkie konstrukcje, które można wykonać za pomocą kompasu i linijki, można wykonać za pomocą dwustronnej linijki.

Ponieważ konstruując za pomocą kompasu i linijki, linijka rysuje linię przez dwa punkty, a kompas konstruuje okrąg (znajdzie zbiór punktów w jednakowej odległości od danego), to wszystkie konstrukcje z kompasem i linijką sprowadzają się do konstruowanie przecięcia dwóch prostych, dwóch okręgów i okręgu z prostą.

Przecięcie dwóch prostych można skonstruować za pomocą linijki.

Przecięcie okręgu i prostej (ryc. 23):

Budowa:Niech będzie dany odcinek AB - promień okręgu, linia prostal , środek okręgu O, wówczas:

1) Wykonujemy system operacyjny ||l , OS = AB.

2) Wykonujemy system operacyjny ||ki odległe od a.

3) WykonujemyOD, ODl = D; ODk) Zgodnie z twierdzeniem Talesa

4) Zgodnie z prawem przechodniości równości

5) RozważOMQE. OMQEjest równoległobokiem, ponieważ OM ||EQi OE ||MC(boki linijki są równoległe). Udowodnijmy, że to jest romb.

5.1) PostępowanieQZOCIQGNA, NastępnieQG = QZ = A.

5.2) OMQ = RQM(leży w poprzek); system operacyjny =NA, co należało udowodnić.

Przecięcie dwóch okręgów: podobne.

Stwierdzenie 2: wszystkie konstrukcje, które można wykonać za pomocą dwustronnej linijki, można wykonać za pomocą kompasu i linijki.

W tym celu wykonamy standard konstrukcji dwustronnej linijki za pomocą kompasu i linijki.

1) Linię prostą składającą się z dwóch punktów można łatwo zbudować za pomocą linijki.

2) Konstrukcja prostej równoległej do danej i oddalonej od niej w zadanej odległości:

2.1) Niech zostanie podana linia prostaki odcinek długościA.

2.2) Skonstruuj dowolną linię prostąBk, pozwalaćkB= B.

2.3) WłączoneBpo obu stronach punktuBna linii prostejBodłóż kawałek długościA, niech punktyCID.

2.4) Przez punktCzbuduj linię prostąCk.

2.5) Przez punktDzbuduj linię prostąDk.

2.6) BezpośrednieCID-wymagane, ponieważPNE.IBDrównyAkonstrukcyjnie i są równe odległości pomiędzy linią prostąki proste

3) Konstrukcja prostych równoległych do siebie i przechodzących przez dwa dane punkty, a odległość między nimi jest równa zadanemu odcinkiowi:

3.1) Niech zostaną przyznane punktyAIBi odcinek długościA.

3.2) Konstruowanie okręgu ze środkiem w punkcieAi promieńA.

3.3) Skonstruuj styczną do okręgu przechodzącą przez punktB; istnieją dwie takie styczne jeśliBleży poza okręgiem (jeśliAB> A), jeden jeśliBleży na okręgu (jeśliAB= A), brak jeśliBleży wewnątrz okręgu (AB< A). Ta styczna jest jedną z szukanych linii; pozostaje przejść przez ten punktAprostą równoległą do niej.

3.4) Ponieważ jedna z linii jest prostopadła do promienia okręgu jako styczna, druga jest również do niej prostopadła (ponieważ są równoległe), zatem odległość między nimi jest równa promieniowi, który zgodnie z konstrukcją jest równyAczyli to, co należało uzyskać.

W ten sposób udowodniliśmy wymienność dwustronnej linijki oraz kompasu i linijki.

Wniosek: Dwustronna linijka jest wymienna z kompasem i linijką.

Wniosek

Zatem rozważono i rozstrzygnięto kwestię możliwości wykorzystania jednej linijki do rozwiązywania klasycznych problemów konstrukcyjnych za pomocą kompasu i linijki. Okazuje się, że problemy konstrukcyjne można rozwiązać jedynie za pomocą linijki o równoległych krawędziach. Przy rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów należy w dalszym ciągu opierać się na omawianych w tej pracy tzw. konstrukcjach podstawowych.

Prezentowany materiał może mieć bezpośrednie zastosowanie nie tylko na lekcjach matematyki, zajęciach koła matematycznego, ale także w zajęciach praktycznych.

Wykaz używanej literatury

    Aliev A.V. Konstrukcje geometryczne. Matematyka w szkole. 1978 nr 3

    Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. M., Oświecenie. 1981.

    Depman I.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. M.. Oświecenie 1989.

    Elensky Szch. Śladami Pitagorasa. M., Detgiz. 1961.

    Słownik encyklopedyczny młodego matematyka. M., Pedagogika. 1985

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Konstrukcja przy użyciu linijki i kompasu Geometria">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Skonstruuj odcinek równy podanemu Ú Problem A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Konstruowanie kąta równego danemu Rozważmy trójkąty"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Konstruowanie dwusiecznej kąta Zadanie Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Konstrukcja prostych prostopadłych Ú Problem Dana prosta"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Konstruowanie środka odcinka Zadanie Ú Skonstruuj środek odcinka dany"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Miejska budżetowa instytucja oświatowa

szkoła średnia nr 34 z pogłębioną nauką poszczególnych przedmiotów

MAN, sekcja fizyki i matematyki

„Konstrukcje geometryczne z wykorzystaniem kompasu i linijki”

Ukończył: uczeń klasy 7 „A”

Batiszczewa Wiktoria

Kierownik: Koltovskaya V.V.

Woroneż, 2013

3. Konstruowanie kąta równego danemu.

P Narysujmy dowolny okrąg ze środkiem w wierzchołku A o zadanym kącie (rys. 3). Niech B i C będą punktami przecięcia okręgu z bokami kąta. Za pomocą promienia AB rysujemy okrąg ze środkiem w punkcie O, który jest punktem początkowym tej półprostej. Oznaczmy punkt przecięcia tego okręgu z tą półprostą jako C 1 . Opiszmy okrąg o środku C 1 i ryc.3

promień samolotu. Punkt B1 przecięcie skonstruowanych okręgów we wskazanej półpłaszczyźnie leży po stronie pożądanego kąta.

6. Konstrukcja prostych prostopadłych.

Rysujemy okrąg o dowolnym promieniu r ze środkiem w punkcie O na ryc. 6. Okrąg przecina linię w punktach A i B.Z punktów A i B rysujemy okręgi o promieniu AB. Niech melancholia C będzie punktem przecięcia tych okręgów. Punkty A i B otrzymaliśmy w pierwszym kroku, konstruując okrąg o dowolnym promieniu.

Pożądana linia prosta przechodzi przez punkty C i O.


Ryc.6

Znane problemy

1.Problem Brahmagupty

Skonstruuj czworokąt wpisany, korzystając z jego czterech boków. Jedno z rozwiązań wykorzystuje okrąg Apoloniusza.Rozwiążmy problem Apoloniusza, korzystając z analogii między trójokręgiem a trójkątem. Jak znajdujemy okrąg wpisany w trójkąt: konstruujemy punkt przecięcia dwusiecznych, upuszczamy z niego prostopadłe na boki trójkąta, podstawy prostopadłych (punkty przecięcia prostopadłej z bokiem, na którym się znajduje) zostaje upuszczony) i daje nam trzy punkty leżące na żądanym okręgu. Narysuj okrąg przez te trzy punkty - rozwiązanie jest gotowe. To samo zrobimy z problemem Apoloniusza.

2. Problem Apoloniusza

Używając kompasu i linijki, zbuduj okrąg styczny do trzech danych okręgów. Według legendy problem ten sformułował Apoloniusz z Perge około 220 roku p.n.e. mi. w książce „Dotyk”, która zaginęła, ale została przywrócona w 1600 r. przez François Viète, „galijskiego Apoloniusza”, jak nazywali go współcześni.

Jeśli żaden z podanych okręgów nie leży wewnątrz drugiego, to problem ten ma 8 znacząco różnych rozwiązań.


Konstrukcja wielokątów foremnych.

P

prawidłowy (Lub równoboczny ) trójkąt - Ten regularny wielokątz trzema bokami, pierwszy z wielokątów foremnych. Wszystko boki regularnego trójkąta są sobie równi i w ogóle kąty wynoszą 60°. Aby zbudować trójkąt równoboczny, musisz podzielić okrąg na 3 równe części. Aby to zrobić, konieczne jest narysowanie łuku o promieniu R tego koła tylko z jednego końca średnicy, otrzymamy pierwszy i drugi podział. Trzeci podział znajduje się na przeciwległym końcu średnicy. Łącząc te punkty, otrzymujemy trójkąt równoboczny.

Zwykły sześciokąt Móckonstruuj za pomocą kompasu i linijki. Poniżejpodany jest sposób budowypoprzez podzielenie koła na 6 części. Używamy równości boków sześciokąta foremnego do promienia opisanego koła. Z przeciwległych końców jednej ze średnic okręgu opisujemy łuki o promieniu R. Punkty przecięcia tych łuków z danym okręgiem podzielą je na 6 równe części. Łącząc kolejno znalezione punkty, uzyskuje się regularny sześciokąt.

Budowa pięciokąta foremnego.

P
może być zwykły pięciokątkonstruowane za pomocą kompasu i linijki lub poprzez dopasowanie go do danegookrąg, czyli konstrukcja oparta na danym boku. Proces ten opisuje Euklidesw swoich Elementach około 300 roku p.n.e. mi.

Oto jedna z metod konstruowania pięciokąta foremnego w danym okręgu:

    Skonstruuj okrąg, w który zostanie wpisany pięciokąt i zaznacz jego środek jakoO . (To jest zielone kółko na schemacie po prawej stronie).

    Wybierz punkt na okręguA , który będzie jednym z wierzchołków pięciokąta. Zbuduj linię prostą przechodzącą przez niąO IA .

    Skonstruuj linię prostopadłą do tej prostejO.A. , przechodząc przez punktO . Wyznacz jedno z jego przecięć z okręgiem jako punktB .

    Narysuj punktC w środku pomiędzyO IB .

    C przez punktA . Zaznacz jego przecięcie z liniąO.B. (wewnątrz pierwotnego okręgu) jako punktD .

    Narysuj okrąg o środku w punkcieA przez punkt D oznacz jako punkty przecięcie tego okręgu z oryginałem (zielone kółko).mi IF .

    Narysuj okrąg o środku w punkciemi przez punktA G .

    Narysuj okrąg o środku w punkcieF przez punktA . Oznacz jego drugie przecięcie oryginalnym okręgiem jako punktH .

    Zbuduj pięciokąt foremnyAEGHF .

Nierozwiązywalne problemy

W starożytności postawiono trzy następujące zadania budowlane:

    Trisekcja kąta - podzielić dowolny kąt na trzy równe części.

Inaczej mówiąc, należy skonstruować trójsektory kąta – półproste dzielące kąt na trzy równe części. P. L. Wanzel udowodnił w 1837 r., że problem jest rozwiązywalny tylko wtedy, gdy możliwa jest np. trisekcja dla kątów α = 360°/n, pod warunkiem, że liczba całkowita n nie jest podzielna przez 3. Jednak w prasie od czasu do czasu (błędnie ) opublikowano metody trisekcji kąta za pomocą kompasu i linijki.

    Podwojenie sześcianu - klasyczny starożytny problem konstruowania za pomocą kompasu i linijki krawędzi sześcianu, którego objętość jest dwukrotnie większa od objętości danego sześcianu.

We współczesnej notacji problem sprowadza się do rozwiązania równania. Wszystko sprowadza się do problemu skonstruowania odcinka długości. P. Wantzel udowodnił w 1837 r., że problemu tego nie da się rozwiązać za pomocą kompasu i linijki.

    Kwadratowanie koła - zadanie polegające na znalezieniu konstrukcji za pomocą kompasu i linijki kwadratu o polu powierzchni danego koła.

Jak wiesz, za pomocą kompasu i linijki możesz wykonać wszystkie 4 operacje arytmetyczne i wydobyć pierwiastek kwadratowy; wynika z tego, że podniesienie koła do kwadratu jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy przy skończonej liczbie takich działań można skonstruować odcinek o długości π. Zatem nierozwiązywalność tego problemu wynika z niealgebraicznego charakteru (transcendencji) liczby π, co udowodnił w 1882 roku Lindemann.

Innym dobrze znanym problemem, którego nie można rozwiązać za pomocą kompasu i linijki, jestkonstruowanie trójkąta z trzech podanych długości dwusiecznych .

Co więcej, problem ten pozostaje nierozwiązany nawet w obecności trisektora.

Dopiero w XIX wieku udowodniono, że wszystkich trzech problemów nie da się rozwiązać przy użyciu jedynie kompasu i linijki. Kwestię możliwości konstrukcji całkowicie rozwiązują metody algebraiczne oparte na teorii Galois.

CZY WIEDZIAŁEŚ O TYM...

(z historii konstrukcji geometrycznych)


Dawno, dawno temu konstruowaniu regularnych wielokątów nadano mistyczne znaczenie.

Tak więc pitagorejczycy, wyznawcy nauki religijnej i filozoficznej założonej przez Pitagorasa, a żyjący w starożytnej Grecji (V ja-ja Vwieki pne BC), przyjął na znak ich zjednoczenia wielokąt w kształcie gwiazdy utworzony przez przekątne pięciokąta foremnego.

Zasady ścisłej geometrycznej konstrukcji niektórych wielokątów foremnych zostały określone w książce „Elementy” starożytnego greckiego matematyka Euklidesa, który żył wIIIV. PNE. Do wykonania tych konstrukcji Euklides zaproponował użycie wyłącznie linijki i kompasu, które w tamtym czasie nie posiadały zawiasowego urządzenia do łączenia nóg (takie ograniczenie instrumentów było niezmiennym wymogiem starożytnej matematyki).

Znaleziono wielokąty regularne szerokie zastosowanie oraz w starożytnej astronomii. Jeśli Euklides był zainteresowany konstrukcją tych figur z punktu widzenia matematyki, to dla starożytnego greckiego astronoma Klaudiusza Ptolemeusza (ok. 90–160 r. n.e.) okazało się to niezbędne jako narzędzie pomocnicze w rozwiązywaniu problemów astronomicznych. Tak więc w pierwszej księdze Almagestów cały dziesiąty rozdział poświęcony jest budowie pięciokątów foremnych i dziesięciokątów.

Jednak obok prac czysto naukowych konstrukcja wielokątów foremnych była integralną częścią książek dla budowniczych, rzemieślników i artystów. Umiejętność przedstawiania tych postaci była od dawna wymagana w architekturze, biżuterii i sztukach pięknych.

„Dziesięć ksiąg o architekturze” rzymskiego architekta Witruwiusza (żyjącego około 63-14 p.n.e.) podaje, że mury miejskie powinny mieć w planie regularny wielokąt, a wieże twierdzy „powinny być okrągłe lub wielokątne” , bo czworobok raczej zniszczony przez machiny oblężnicze.”

Układ miast bardzo interesował Witruwiusza, który uważał, że należy tak planować ulice, aby nie wiały po nich główne wiatry. Zakładano, że takich wiatrów jest osiem i wiają w określonych kierunkach.

W okresie renesansu konstrukcja wielokątów foremnych, a zwłaszcza pięciokąta, nie była prostą grą matematyczną, ale była niezbędnym warunkiem wznoszenia twierdz.

Sześciokąt foremny był przedmiotem specjalnych badań wielkiego niemieckiego astronoma i matematyka Johannesa Keplera (1571-1630), o których opowiada w swojej książce „ Prezent noworoczny lub o sześciokątnych płatkach śniegu.” Omawiając przyczyny, dla których płatki śniegu mają kształt sześciokąta, zauważa w szczególności, co następuje: „... płaszczyznę można pokryć bez przerw tylko figurami: trójkątami równobocznymi, kwadratami i sześciokątami foremnymi. Spośród tych figur regularny sześciokąt zajmuje największą powierzchnię.

Jednym z najsłynniejszych uczonych zajmujących się konstrukcjami geometrycznymi był wielki niemiecki artysta i matematyk Albrecht Durer (1471 -1528), który poświęcił im znaczną część swojej książki „Podręczniki…”. Zaproponował zasady konstruowania wielokątów foremnych o 3, 4, 5... 16 bokach. Metody dzielenia koła zaproponowane przez Dürera nie są uniwersalne, w każdym konkretnym przypadku stosuje się indywidualną technikę.

Metody konstruowania wielokątów foremnych Dürer stosował w praktyce artystycznej, m.in. przy tworzeniu różnego rodzaju ozdób i wzorów na parkiet. Takie wzory naszkicował podczas podróży do Holandii, gdzie w wielu domach odnaleziono parkiety.

Dürer komponował ozdoby z wielokątów foremnych, które łączą się w pierścienie (pierścienie sześciu trójkątów równobocznych, cztery czworokąty, trzy lub sześć sześciokątów, czternaście siedmioboków, cztery ośmiokąty).

Wniosek

Więc,konstrukcje geometryczne to metoda rozwiązania problemu, w której odpowiedź uzyskuje się graficznie. Konstrukcje wykonywane są przy użyciu narzędzi rysunkowych z maksymalną precyzją i dokładnością pracy, ponieważ od tego zależy poprawność rozwiązania.

Dzięki tej pracy zapoznałem się z historią powstania kompasu, bliżej zapoznałem się z zasadami wykonywania konstrukcji geometrycznych, zdobyłem nową wiedzę i zastosowałem ją w praktyce.
Rozwiązywanie problemów konstrukcyjnych za pomocą kompasu i linijki to pożyteczna rozrywka, która pozwala na świeże spojrzenie na znane właściwości figur geometrycznych i ich elementów.W artykule omówiono najpilniejsze problemy związane z konstrukcjami geometrycznymi z wykorzystaniem kompasów i linijek. Omówiono główne problemy i podano ich rozwiązania. Postawione problemy mają duże znaczenie praktyczne, utrwalają zdobytą wiedzę z geometrii i mogą być wykorzystane praktyczna praca.
Tym samym cel pracy został osiągnięty, postawione zadania zostały zrealizowane.

W problemach konstrukcyjnych rozważymy konstrukcję figura geometryczna co można zrobić za pomocą linijki i kompasu.

Za pomocą linijki możesz:

    dowolna linia prosta;

    dowolna linia prosta przechodząca przez dany punkt;

    prostą przechodzącą przez dwa dane punkty.

Za pomocą kompasu można opisać okrąg o danym promieniu wychodzącym z danego środka.

Za pomocą kompasu możesz wykreślić odcinek danej linii z danego punktu.

Rozważmy główne zadania konstrukcyjne.

Zadanie 1. Skonstruuj trójkąt o danych bokach a, b, c (ryc. 1).

Rozwiązanie. Za pomocą linijki narysuj dowolną linię prostą i wyznacz na niej dowolny punkt B. Używając kompasu o średnicy a, opisujemy okrąg o środku B i promieniu a. Niech C będzie punktem przecięcia z prostą. Mając otwór kompasu równy c, opisujemy okrąg wychodzący ze środka B, a mając otwór kompasu równy b, opisujemy okrąg ze środka C. Niech A będzie punktem przecięcia tych okręgów. Trójkąt ABC ma boki równe a, b, c.

Komentarz. Aby trzy proste odcinki służyły za boki trójkąta, konieczne jest, aby największy z nich był mniejszy od sumy dwóch pozostałych (i< b + с).

Zadanie 2.

Rozwiązanie. Kąt ten z wierzchołkiem A i półprostą OM pokazano na rysunku 2.

Narysujmy dowolny okrąg, którego środek znajduje się w wierzchołku A danego kąta. Niech B i C będą punktami przecięcia okręgu z bokami kąta (ryc. 3, a). Za pomocą promienia AB rysujemy okrąg ze środkiem w punkcie O - punkcie początkowym tego promienia (ryc. 3, b). Oznaczmy punkt przecięcia tego okręgu z tym promieniem jako C 1 . Opiszmy okrąg o środku C 1 i promieniu BC. Punkt B 1 przecięcia dwóch okręgów leży po stronie pożądanego kąta. Wynika to z równości Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (trzeci znak równości trójkątów).

Zadanie 3. Skonstruuj dwusieczną tego kąta (ryc. 4).

Rozwiązanie. Z wierzchołka A o zadanym kącie, podobnie jak ze środka, rysujemy okrąg o dowolnym promieniu. Niech B i C będą punktami jego przecięcia z bokami kąta. Z punktów B i C opisujemy okręgi o tym samym promieniu. Niech D będzie ich punktem przecięcia, różnym od punktu A. Promień AD przecina kąt A na pół. Wynika to z równości Δ ABD = Δ ACD (trzecie kryterium równości trójkątów).

Zadanie 4. Narysuj dwusieczną prostopadłą do tego odcinka (ryc. 5).

Rozwiązanie. Używając dowolnego, ale identycznego otwarcia kompasu (większego niż 1/2 AB), opisujemy dwa łuki ze środkami w punktach A i B, które przecinają się w niektórych punktach C i D. Prosta CD będzie pożądaną prostopadłą. Rzeczywiście, jak widać z konstrukcji, każdy z punktów C i D jest jednakowo oddalony od A i B; zatem punkty te muszą leżeć na dwusiecznej prostopadłej do odcinka AB.

Zadanie 5. Podziel ten segment na pół. Rozwiązuje się go w taki sam sposób, jak zadanie 4 (patrz rys. 5).

Zadanie 6. Przez dany punkt poprowadź linię prostopadłą do danej prostej.

Rozwiązanie. Istnieją dwa możliwe przypadki:

1) dany punkt O leży na danej prostej a (rys. 6).

Z punktu O rysujemy okrąg o dowolnym promieniu przecinającym linię a w punktach A i B. Z punktów A i B rysujemy okręgi o tym samym promieniu. Niech O 1 będzie punktem ich przecięcia, różnym od O. Otrzymujemy OO 1 ⊥ AB. W rzeczywistości punkty O i O 1 są w jednakowej odległości od końców odcinka AB i dlatego leżą na dwusiecznej prostopadłej do tego odcinka.



POWIĄZANE ARTYKUŁY