Scopo del servizio. Usando questo servizio online puoi trovare complementi algebrici, matrice trasposta AT, matrice alleata e matrice inversa.
Calcolatore in linea. Inversa di una matrice.
La decisione viene effettuata direttamente sul sito (online) ed è gratuita. I risultati del calcolo vengono presentati in un report in formato Word ed Excel (ovvero è possibile verificare la soluzione). vedere l'esempio di progettazione.
- Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per questo.
- Calcolo del determinante di una matrice. Se non è uguale a zero continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
- Fanno un controllo: moltiplicano la matrice originale e quella risultante. Il risultato dovrebbe essere una matrice identità.
Addizioni algebriche.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Poi matrice inversa può essere scritto come:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Trovare la matrice inversa
La matrice A-1 si dice matrice inversa rispetto alla matrice se A*A-1 = , dove è la matrice identità del th ordine. Una matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate.
vedi anche Matrice inversa usando il metodo Jordano-Gauss
Algoritmo per trovare la matrice inversa
- Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per questo.
- Calcolo del determinante di una matrice. Se non è uguale a zero continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
- Trovare la matrice trasposta AT.
- Definizione di complementi algebrici. Sostituisci ogni elemento della matrice con il suo complemento algebrico.
- Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice risultante viene diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Fanno un controllo: moltiplicano la matrice originale e quella risultante. Il risultato dovrebbe essere una matrice identità.
Il seguente algoritmo per trovare la matrice inversa è simile al precedente, ad eccezione di alcuni passaggi: prima vengono calcolati i complementi algebrici e poi viene determinata la matrice alleata.
- Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per questo.
- Calcolo del determinante di una matrice. Se non è uguale a zero continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
- Definizione di complementi algebrici.
- Compilazione della matrice dell'unione (reciproca, aggiunta).
- Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice aggiunta viene diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Fanno un controllo: moltiplicano la matrice originale e quella risultante. Il risultato dovrebbe essere una matrice identità.
Esempio n. 1. Scriviamo la matrice nella forma:
Una matrice inversa esiste se il determinante della matrice è diverso da zero. Troviamo il determinante della matrice:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Il determinante è 10 e non è uguale a zero. Continuiamo con la soluzione.
Troviamo la matrice trasposta:
Addizioni algebriche.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Poi matrice inversa può essere scritto come:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Un altro algoritmo per trovare la matrice inversa
Presentiamo un altro schema per trovare la matrice inversa.
- Trova il determinante di questa matrice quadrata.
- Troviamo complementi algebrici a tutti gli elementi della matrice.
- Scriviamo addizioni algebriche di elementi di riga alle colonne (trasposizione).
- Dividiamo ogni elemento della matrice risultante per il determinante della matrice.
Come vediamo, l'operazione di trasposizione può essere applicata sia all'inizio, sulla matrice originale, sia alla fine, sulle addizioni algebriche risultanti.
Caso speciale: l'inverso della matrice identità è la matrice identità.
Esempio n.2. Trova la matrice inversa di una matrice 
.
Soluzione.
1. Troviamo 
.
2. Cerchiamo i complementi algebrici di ciascun elemento della matrice A: 
; 
; 
.
Abbiamo ottenuto i complementi algebrici degli elementi della prima riga.
Trova la matrice inversa online
Allo stesso modo, per gli elementi della seconda e terza riga otteniamo: 
; 
; 
. 
; 
; 
.
Combinando i punti 3 e 4, otteniamo la matrice inversa 
.
Per verificare, assicurati che A-1A = E.
Istruzioni. Per ottenere una soluzione è necessario specificare la dimensione della matrice. Successivamente, compila la matrice nella nuova finestra di dialogo.
Trovare la matrice inversa
La matrice A-1 si dice matrice inversa rispetto alla matrice se A*A-1 = , dove è la matrice identità del th ordine. Una matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate.
Scopo del servizio. Usando questo servizio online puoi trovare complementi algebrici, matrice trasposta AT, matrice alleata e matrice inversa. La decisione viene effettuata direttamente sul sito (online) ed è gratuita. I risultati del calcolo vengono presentati in un report in formato Word ed Excel (ovvero è possibile verificare la soluzione). vedere l'esempio di progettazione.
Trovare la matrice inversa online
vedi anche Matrice inversa usando il metodo Jordano-Gauss
Algoritmo per trovare la matrice inversa
- Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per questo.
- Calcolo del determinante di una matrice. Se non è uguale a zero continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
- Trovare la matrice trasposta AT.
- Definizione di complementi algebrici. Sostituisci ogni elemento della matrice con il suo complemento algebrico.
- Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice risultante viene diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Fanno un controllo: moltiplicano la matrice originale e quella risultante. Il risultato dovrebbe essere una matrice identità.
Il seguente algoritmo per trovare la matrice inversa è simile al precedente, ad eccezione di alcuni passaggi: prima vengono calcolati i complementi algebrici e poi viene determinata la matrice alleata.
- Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per questo.
- Calcolo del determinante di una matrice. Se non è uguale a zero continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
- Definizione di complementi algebrici.
- Compilazione della matrice dell'unione (reciproca, aggiunta).
- Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice aggiunta viene diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Fanno un controllo: moltiplicano la matrice originale e quella risultante. Il risultato dovrebbe essere una matrice identità.
Esempio n. 1. Scriviamo la matrice nella forma:
Una matrice inversa esiste se il determinante della matrice è diverso da zero. Troviamo il determinante della matrice:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Il determinante è 10 e non è uguale a zero. Continuiamo con la soluzione.
Troviamo la matrice trasposta:
Addizioni algebriche.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Poi matrice inversa può essere scritto come:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Un altro algoritmo per trovare la matrice inversa
Presentiamo un altro schema per trovare la matrice inversa.
- Trova il determinante di questa matrice quadrata.
- Troviamo complementi algebrici a tutti gli elementi della matrice.
- Scriviamo addizioni algebriche di elementi di riga alle colonne (trasposizione).
- Dividiamo ogni elemento della matrice risultante per il determinante della matrice.
Come vediamo, l'operazione di trasposizione può essere applicata sia all'inizio, sulla matrice originale, sia alla fine, sulle addizioni algebriche risultanti.
Per verificare, assicurati che A-1A = E.
Istruzioni. Per ottenere una soluzione è necessario specificare la dimensione della matrice. Successivamente, compila la matrice nella nuova finestra di dialogo.
Trovare l'inversa di una matrice è una componente importante nella sezione di algebra lineare. Utilizzando tali matrici, se esistono, puoi trovare rapidamente una soluzione a un sistema di equazioni lineari.
Una matrice si dice inversa di una matrice se valgono le seguenti uguaglianze.
Se il determinante di una matrice è diverso da zero, la matrice si dice non speciale o non singolare.
Affinché una matrice abbia un'inversa è necessario e sufficiente che sia non singolare
Algoritmo per trovare la matrice inversa
Consideriamo una matrice quadrata
e devi trovare il contrario. Per fare ciò è necessario fare quanto segue:
1. Trova il determinante della matrice. Se non è zero, eseguire le seguenti azioni. Altrimenti, questa matrice è singolare e non esiste alcun inverso
2. Trova i complementi algebrici degli elementi della matrice. Sono pari ai minori moltiplicati per la potenza della somma della riga e della colonna che stiamo cercando.
3. Comporre una matrice dai complementi algebrici degli elementi della matrice matrice e trasporla. Questa matrice è detta aggiunta o alleata ed è denotata con .
4. Dividi la matrice aggiunta per il suo determinante. La matrice risultante sarà inversa e avrà le proprietà descritte all'inizio dell'articolo.
Trova la matrice inversa alla matrice (Dubovik V.P., Yurik I.I.
Trovare la matrice inversa
"Matematica superiore. Raccolta di problemi")
1) Trovare il determinante della matrice
Poiché il determinante non è uguale a zero (), esiste la matrice inversa. Troviamo una matrice composta da addizioni algebriche
La matrice del complemento assumerà la forma
Lo trasponiamo e otteniamo l'aggiunto
Dividilo per il determinante e ottieni l'inverso
Vediamo che nel caso in cui il determinante è uguale a uno, le matrici si sommano e le inverse sono le stesse.
2) Calcolare il determinante della matrice
Trovare la matrice delle addizioni algebriche
Vista finale della matrice del complemento
Lo trasponiamo e troviamo la matrice di unione
Trovare la matrice inversa
3) Calcoliamo il determinante della matrice. Per fare ciò, espandiamolo alla prima riga. Di conseguenza, otteniamo due termini diversi da zero
Troviamo la matrice delle addizioni algebriche. Schedulamo il determinante lungo le righe e le colonne che hanno più elementi zero (indicati in nero).
La forma finale della matrice del complemento è la seguente
Lo trasponiamo e troviamo la matrice aggiunta
Poiché il determinante della matrice è uguale a uno, la matrice inversa coincide con la matrice aggiunta. Questo esempio è al contrario.
Quando si calcola la matrice inversa, gli errori tipici sono associati a segni errati nel calcolo della matrice determinante e complementare.
Matematica superiore » Matrici e determinanti » Matrice inversa » Calcolo della matrice inversa mediante addizioni algebriche.
Algoritmo per il calcolo della matrice inversa mediante addizioni algebriche: il metodo delle matrici aggiunte.
La matrice $A^(-1)$ è detta inversa della matrice quadrata $A$ se è soddisfatta la condizione $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, dove $E$ è la matrice identità, il cui ordine è uguale all'ordine della matrice $A$.
Una matrice non singolare è una matrice il cui determinante non è uguale a zero. Pertanto, una matrice singolare è quella il cui determinante è uguale a zero.
La matrice inversa $A^(-1)$ esiste se e solo se la matrice $A$ non è singolare. Se la matrice inversa $A^(-1)$ esiste, allora è unica.
Esistono diversi modi per trovare l'inverso di una matrice e ne esamineremo due. Questa pagina discuterà il metodo della matrice aggiunta, che è considerato standard nella maggior parte dei corsi di matematica superiore. Il secondo metodo per trovare la matrice inversa (il metodo delle trasformazioni elementari), che prevede l'utilizzo del metodo di Gauss o del metodo di Gauss-Jordan, viene discusso nella seconda parte.
Metodo delle matrici aggiunte
Sia data la matrice $A_(n\times n)$. Per trovare la matrice inversa $A^(-1)$ sono necessari tre passaggi:
- Trova il determinante della matrice $A$ e assicurati che $\Delta A\neq 0$, cioè che la matrice A è non singolare.
- Componi i complementi algebrici $A_(ij)$ di ogni elemento della matrice $A$ e scrivi la matrice $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ dall'algebrico trovato complementi.
- Scrivi la matrice inversa tenendo conto della formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
La matrice $(A^(*))^T$ è spesso chiamata aggiunta (reciproca, alleata) alla matrice $A$.
Se la soluzione viene eseguita manualmente, il primo metodo è valido solo per matrici di ordine relativamente piccolo: secondo (esempio n. 2), terzo (esempio n. 3), quarto (esempio n. 4). Per trovare l'inverso di una matrice di ordine superiore, vengono utilizzati altri metodi. Ad esempio, il metodo gaussiano, discusso nella seconda parte.
Esempio n. 1
Trova l'inverso della matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
matrice inversa
Poiché tutti gli elementi della quarta colonna sono uguali a zero, allora $\Delta A=0$ (cioè la matrice $A$ è singolare). Poiché $\Delta A=0$, non esiste una matrice inversa alla matrice $A$.
Esempio n.2
Trova l'inverso della matrice $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Usiamo il metodo della matrice aggiunta. Innanzitutto, troviamo il determinante della matrice data $A$:
$$ \Delta A=\sinistra| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Poiché $\Delta A \neq 0$, esiste la matrice inversa, quindi continueremo la soluzione. Troviamo i complementi algebrici di ciascun elemento di una data matrice:
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(allineato)
Componiamo una matrice di addizioni algebriche: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Trasponiamo la matrice risultante: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (la la matrice risultante è spesso chiamata matrice aggiunta o alleata alla matrice $A$). Utilizzando la formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, abbiamo:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Quindi si trova la matrice inversa: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\destra) $. Per verificare la verità del risultato è sufficiente verificare la verità di una delle uguaglianze: $A^(-1)\cdot A=E$ oppure $A\cdot A^(-1)=E$. Controlliamo l'uguaglianza $A^(-1)\cdot A=E$. Per lavorare meno con le frazioni, sostituiremo la matrice $A^(-1)$ non nella forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, e nella forma $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Esempio n.3
Trova la matrice inversa della matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
Cominciamo calcolando il determinante della matrice $A$. Quindi il determinante della matrice $A$ è:
$$ \Delta A=\sinistra| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Poiché $\Delta A\neq 0$, esiste la matrice inversa, quindi continueremo la soluzione. Troviamo i complementi algebrici di ciascun elemento di una data matrice:
Componiamo una matrice di addizioni algebriche e la trasponiamo:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Utilizzando la formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, otteniamo:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Quindi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Per verificare la verità del risultato è sufficiente verificare la verità di una delle uguaglianze: $A^(-1)\cdot A=E$ oppure $A\cdot A^(-1)=E$. Controlliamo l'uguaglianza $A\cdot A^(-1)=E$. Per lavorare meno con le frazioni, sostituiremo la matrice $A^(-1)$ non nella forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ e nella forma $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
La verifica ha avuto esito positivo, la matrice inversa $A^(-1)$ è stata trovata correttamente.
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Esempio n.4
Trova la matrice inversa della matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Per una matrice del quarto ordine, trovare la matrice inversa utilizzando le addizioni algebriche è alquanto difficile. Tuttavia, tali esempi si verificano nei documenti di prova.
Per trovare l'inversa di una matrice, devi prima calcolare il determinante della matrice $A$. Il modo migliore per farlo in questa situazione è espandere il determinante lungo una riga (colonna). Selezioniamo qualsiasi riga o colonna e troviamo i complementi algebrici di ciascun elemento della riga o colonna selezionata.
Ad esempio, per la prima riga otteniamo:
Il determinante della matrice $A$ si calcola utilizzando la seguente formula:
$$ \Delta A=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14)= 6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$
Matrice dei complementi algebrici: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.
Matrice aggiunta: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$
Matrice inversa:
$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$
Visita medica:
Pertanto la matrice inversa è stata trovata correttamente.
Risposta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right )$.
Nella seconda parte considereremo un altro modo per trovare la matrice inversa, che prevede l'uso delle trasformazioni del metodo gaussiano o del metodo Gauss-Jordan.
Lezioni online di matematica superiore
Trovare la matrice inversa
La matrice A-1 si dice matrice inversa rispetto alla matrice se A*A-1 = , dove è la matrice identità del th ordine. Una matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate.
Scopo del servizio. Usando questo servizio online puoi trovare complementi algebrici, matrice trasposta AT, matrice alleata e matrice inversa. La decisione viene effettuata direttamente sul sito (online) ed è gratuita. I risultati del calcolo vengono presentati in un report in formato Word ed Excel (ovvero è possibile verificare la soluzione). vedere l'esempio di progettazione.
vedi anche Matrice inversa usando il metodo Jordano-Gauss
Algoritmo per trovare la matrice inversa
- Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per questo.
- Calcolo del determinante di una matrice. Se non è uguale a zero continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
- Trovare la matrice trasposta AT.
- Definizione di complementi algebrici. Sostituisci ogni elemento della matrice con il suo complemento algebrico.
- Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice risultante viene diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Fanno un controllo: moltiplicano la matrice originale e quella risultante. Il risultato dovrebbe essere una matrice identità.
Il seguente algoritmo per trovare la matrice inversa è simile al precedente, ad eccezione di alcuni passaggi: prima vengono calcolati i complementi algebrici e poi viene determinata la matrice alleata.
- Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per questo.
- Calcolo del determinante di una matrice. Se non è uguale a zero continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
- Definizione di complementi algebrici.
- Compilazione della matrice dell'unione (reciproca, aggiunta).
- Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice aggiunta viene diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Fanno un controllo: moltiplicano la matrice originale e quella risultante. Il risultato dovrebbe essere una matrice identità.
Esempio n. 1. Scriviamo la matrice nella forma:
Una matrice inversa esiste se il determinante della matrice è diverso da zero. Troviamo il determinante della matrice:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Il determinante è 10 e non è uguale a zero. Continuiamo con la soluzione.
Troviamo la matrice trasposta:
Addizioni algebriche.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Poi matrice inversa può essere scritto come:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Un altro algoritmo per trovare la matrice inversa
Presentiamo un altro schema per trovare la matrice inversa.
- Trova il determinante di questa matrice quadrata.
- Troviamo complementi algebrici a tutti gli elementi della matrice.
- Scriviamo addizioni algebriche di elementi di riga alle colonne (trasposizione).
- Dividiamo ogni elemento della matrice risultante per il determinante della matrice.
Come vediamo, l'operazione di trasposizione può essere applicata sia all'inizio, sulla matrice originale, sia alla fine, sulle addizioni algebriche risultanti.
Per verificare, assicurati che A-1A = E.
Istruzioni. Per ottenere una soluzione è necessario specificare la dimensione della matrice. Successivamente, compila la matrice nella nuova finestra di dialogo.
Per poter trovare online la matrice inversa sarà necessario indicare la dimensione della matrice stessa. Per fare ciò, fai clic sulle icone “+” o “-” finché non sei soddisfatto del numero di colonne e righe. Successivamente, inserisci gli elementi richiesti nei campi. Di seguito è riportato il pulsante "Calcola": facendo clic su di esso, riceverai una risposta sullo schermo con una soluzione dettagliata.
Nell'algebra lineare, molto spesso si ha a che fare con il processo di calcolo della matrice inversa. Esiste solo per matrici inespresse e per matrici quadrate a condizione che il determinante sia diverso da zero. In linea di principio calcolarlo non è particolarmente difficile, soprattutto se si ha a che fare con una matrice piccola. Ma se hai bisogno di calcoli più complessi o di un ricontrollo approfondito della tua decisione, è meglio usare questo calcolatore online. Con il suo aiuto, puoi risolvere in modo rapido e preciso una matrice inversa.
Usando questo calcolatore online, puoi rendere i tuoi calcoli molto più semplici. Inoltre, aiuta a consolidare il materiale ottenuto in teoria: è una sorta di simulatore per il cervello. Non deve essere considerato un sostituto dei calcoli manuali; può darti molto di più, rendendo più semplice la comprensione dell’algoritmo stesso. Inoltre, non fa mai male ricontrollare te stesso.
La matrice A -1 è detta matrice inversa rispetto alla matrice A se A*A -1 = E, dove E è la matrice identità dell'ordine n-esimo. Una matrice inversa può esistere solo per matrici quadrate.
Scopo del servizio. Usando questo servizio online puoi trovare complementi algebrici, matrice trasposta A T, matrice alleata e matrice inversa. La decisione viene effettuata direttamente sul sito (online) ed è gratuita. I risultati del calcolo vengono presentati in un report in formato Word ed Excel (ovvero è possibile verificare la soluzione). vedere l'esempio di progettazione.
Istruzioni. Per ottenere una soluzione è necessario specificare la dimensione della matrice. Successivamente, compila la matrice A nella nuova finestra di dialogo.
Vedi anche Matrice inversa utilizzando il metodo Jordano-Gauss
Algoritmo per trovare la matrice inversa
- Trovare la matrice trasposta A T .
- Definizione di complementi algebrici. Sostituisci ogni elemento della matrice con il suo complemento algebrico.
- Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice risultante viene diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Determina se la matrice è quadrata. In caso contrario, non esiste una matrice inversa per questo.
- Calcolo del determinante della matrice A. Se non è uguale a zero continuiamo la soluzione, altrimenti la matrice inversa non esiste.
- Definizione di complementi algebrici.
- Compilazione della matrice di unione (reciproca, aggiunta) C .
- Compilazione di una matrice inversa da addizioni algebriche: ogni elemento della matrice aggiunta C è diviso per il determinante della matrice originale. La matrice risultante è l'inverso della matrice originale.
- Fanno un controllo: moltiplicano la matrice originale e quella risultante. Il risultato dovrebbe essere una matrice identità.
Esempio n. 1. Scriviamo la matrice nella forma:
| A-1 = |
|
Un altro algoritmo per trovare la matrice inversa
Presentiamo un altro schema per trovare la matrice inversa.- Trovare il determinante di una data matrice quadrata A.
- Troviamo i complementi algebrici a tutti gli elementi della matrice A.
- Scriviamo addizioni algebriche di elementi di riga alle colonne (trasposizione).
- Dividiamo ciascun elemento della matrice risultante per il determinante della matrice A.
Un caso speciale: L'inverso della matrice identità E è la matrice identità E.
Per ogni matrice A non singolare esiste un'unica matrice A -1 tale che
LA*LA -1 =LA -1 *LA = MI,
dove E è la matrice identità degli stessi ordini di A. La matrice A -1 è chiamata l'inverso della matrice A.
Nel caso qualcuno lo dimenticasse, nella matrice identità, ad eccezione della diagonale piena di unità, tutte le altre posizioni sono riempite con zeri, un esempio di matrice identità:
Trovare la matrice inversa utilizzando il metodo delle matrici aggiunte
La matrice inversa è definita dalla formula:
dove A ij - elementi a ij.
Quelli. Per calcolare la matrice inversa, è necessario calcolare il determinante di questa matrice. Quindi trova i complementi algebrici di tutti i suoi elementi e componi una nuova matrice da essi. Successivamente è necessario trasportare questa matrice. E dividi ogni elemento della nuova matrice per il determinante della matrice originale.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Trova A -1 per una matrice
Soluzione Troviamo A -1 utilizzando il metodo della matrice aggiunta. Abbiamo det A = 2. Troviamo i complementi algebrici degli elementi della matrice A. In questo caso i complementi algebrici degli elementi della matrice saranno i corrispondenti elementi della matrice stessa, presi con segno secondo la formula
Abbiamo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formiamo la matrice aggiunta
Trasportiamo la matrice A*:
Troviamo la matrice inversa utilizzando la formula:
Noi abbiamo:
Usando il metodo della matrice aggiunta, trova A -1 se
Soluzione Innanzitutto calcoliamo la definizione di questa matrice per verificare l'esistenza della matrice inversa. Abbiamo
Qui abbiamo aggiunto agli elementi della seconda riga gli elementi della terza riga, precedentemente moltiplicati per (-1), e poi espanso il determinante per la seconda riga. Poiché la definizione di questa matrice è diversa da zero, esiste la sua matrice inversa. Per costruire la matrice aggiunta, troviamo i complementi algebrici degli elementi di questa matrice. Abbiamo
Secondo la formula
matrice di trasporto A*:
Quindi secondo la formula
Trovare la matrice inversa utilizzando il metodo delle trasformazioni elementari
Oltre al metodo per trovare la matrice inversa, che segue dalla formula (il metodo della matrice aggiunta), esiste un metodo per trovare la matrice inversa, chiamato metodo delle trasformazioni elementari.
Trasformazioni di matrici elementari
Le seguenti trasformazioni sono chiamate trasformazioni di matrici elementari:
1) riorganizzazione delle righe (colonne);
2) moltiplicare una riga (colonna) per un numero diverso da zero;
3) sommando agli elementi di una riga (colonna) i corrispondenti elementi di un'altra riga (colonna), precedentemente moltiplicati per un certo numero.
Per trovare la matrice A -1, costruiamo una matrice rettangolare B = (A|E) di ordine (n; 2n), assegnando alla matrice A di destra la matrice identità E attraverso una linea di demarcazione:
Diamo un'occhiata a un esempio.
Usando il metodo delle trasformazioni elementari, trova A -1 se
Soluzione Formiamo la matrice B:
Indichiamo le righe della matrice B con α 1, α 2, α 3. Eseguiamo le seguenti trasformazioni sulle righe della matrice B.
www.sito ti permette di trovare matrice inversa in linea. Il sito esegue il calcolo matrice inversa in linea. In pochi secondi il server fornirà una soluzione accurata. Matrice inversa sarà così matrice, moltiplicazione dell'originale matrici per cui dà unità matrice, a condizione che il determinante dell'iniziale matrici non uguale a zero, altrimenti matrice inversa per lei non esiste. Nei problemi quando calcoliamo matrice inversa in linea, è necessario che il determinante matrici era diverso da zero, altrimenti www.sito visualizzerà un messaggio corrispondente sull'impossibilità di calcolare matrice inversa in linea. come questo matrice detto anche degenerato. Trovare matrice inversa in modalità in linea possibile solo per quadrato matrici. Operazione di ricerca matrice inversa in linea si riduce al calcolo del determinante matrici, quindi un intermedio matrice secondo una regola ben nota, e alla fine dell'operazione - moltiplicando il determinante precedentemente trovato per l'intermedio trasposto matrice. Il risultato esatto dalla definizione matrice inversa in linea può essere raggiunto studiando la teoria in questo corso. Questa operazione occupa un posto speciale nella teoria matrici e l'algebra lineare, consente di risolvere sistemi di equazioni lineari utilizzando il cosiddetto metodo delle matrici. Il compito di trovare matrice inversa in linea avviene già all'inizio dello studio della matematica superiore ed è presente in quasi tutte le discipline matematiche come concetto base dell'algebra, essendo uno strumento matematico nei problemi applicati. www.sito trova matrice inversa data dimensione in modalità in linea immediatamente. Calcolo matrice inversa in linea data la sua dimensione, questa è una scoperta matrici la stessa dimensione nel suo valore numerico, nonché nel suo valore simbolico, rilevata secondo la regola di calcolo matrice inversa. Trovare matrice inversa in linea ampiamente accettato in teoria matrici. Risultato della ricerca matrice inversa in linea utilizzato quando si risolve un sistema lineare di equazioni utilizzando il metodo della matrice. Se il determinante matrici sarà quindi pari a zero matrice inversa, per il quale si trova il determinante zero, non esiste. Per calcolare matrice inversa o trovarne diversi contemporaneamente matrici ad essi corrispondenti inversione, devi dedicare molto tempo e impegno, mentre il nostro server lo troverà in pochi secondi matrice inversa in linea. In questo caso, la risposta alla ricerca matrice inversa sarà corretto e con sufficiente precisione, anche se i numeri verranno trovati matrice inversa in linea sarà irrazionale. Sul posto www.sito negli elementi sono consentite voci di caratteri matrici, questo è matrice inversa in linea può essere rappresentato in forma simbolica generale durante il calcolo matrice inversa in linea. È utile controllare la risposta ottenuta quando si risolve il problema della ricerca matrice inversa in linea utilizzando il sito www.sito. Quando si esegue un'operazione di calcolo matrice inversa in linea devi stare attento ed estremamente concentrato quando risolvi questo problema. A sua volta, il nostro sito ti aiuterà a verificare la tua decisione sull'argomento matrice inversa in linea. Se non hai tempo per lunghe verifiche dei problemi risolti, allora www.sito sarà sicuramente uno strumento utile per verificare durante la ricerca e il calcolo matrice inversa in linea.