Uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna per i loro complementi algebrici, cioè , dove i 0 è fisso.
L'espressione (*) è chiamata l'espansione del determinante D negli elementi della riga numerata i 0 .
Scopo del servizio. Questo servizio è progettato per trovare online il determinante di una matrice con l'intero processo di soluzione registrato in formato Word. Inoltre, viene creato un modello di soluzione in Excel.
Istruzioni. Selezionare la dimensione della matrice, fare clic su Avanti. Il determinante può essere calcolato in due modi: a-prior E per riga o colonna. Se devi trovare il determinante creando zeri in una delle righe o colonne, puoi utilizzare questa calcolatrice.
Algoritmo per trovare il determinante
- Per matrici di ordine n=2 il determinante si calcola con la formula: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
- Per matrici di ordine n=3 il determinante si calcola tramite addizioni algebriche oppure Metodo Sarrus.
- Una matrice avente dimensione maggiore di tre viene scomposta in complementi algebrici, per i quali vengono calcolati i loro determinanti (minori). Per esempio, Determinante della matrice del 4° ordine trovato tramite espansione in righe o colonne (vedi esempio).
Usiamo il metodo di scomposizione lungo la prima riga.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sen(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)
Metodi per il calcolo dei determinanti
Trovare il determinante mediante addizioni algebricheè un metodo comune. Una versione semplificata di esso è il calcolo del determinante mediante la regola di Sarrus. Tuttavia, quando la dimensione della matrice è grande, vengono utilizzati i seguenti metodi:- calcolo del determinante utilizzando il metodo di riduzione dell'ordine
- calcolo del determinante utilizzando il metodo gaussiano (riducendo la matrice a forma triangolare).
Uso applicato dei determinanti
I determinanti vengono calcolati, di regola, per un sistema specifico specificato sotto forma di matrice quadrata. Consideriamo alcuni tipi di problemi su trovare il determinante di una matrice.
A volte è necessario trovare un parametro sconosciuto a per il quale il determinante sarebbe uguale a zero. Per fare ciò, è necessario creare un'equazione determinante (ad esempio, secondo regola del triangolo) e, uguagliandolo a 0, calcolare il parametro a. scomposizione in colonne (prima colonna):
Minore per (1,1): cancella la prima riga e la prima colonna dalla matrice.
Troviamo un determinante per questo minore. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.
Determiniamo il minore per (2,1): per fare ciò eliminiamo la seconda riga e la prima colonna dalla matrice.
Troviamo un determinante per questo minore. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Minore per (3,1): cancella la 3a riga e la 1a colonna dalla matrice.Troviamo un determinante per questo minore. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Il determinante principale è: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14
Troviamo il determinante utilizzando l'espansione riga per riga (per la prima riga):
Minore per (1,1): cancella la prima riga e la prima colonna dalla matrice.
Troviamo un determinante per questo minore. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Minore per (1,2): cancella la prima riga e la seconda colonna dalla matrice. Calcoliamo il determinante di questo minore. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. E per trovare il minore di (1,3), cancelliamo la prima riga e la terza colonna dalla matrice. Troviamo un determinante per questo minore. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Trovare il determinante principale: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14
Il concetto di determinante è uno dei principali nel corso di algebra lineare. Questo concetto è inerente SOLO alle MATRICI QUADRATE, e questo articolo è dedicato a questo concetto. Qui parleremo dei determinanti di matrici i cui elementi sono numeri reali (o complessi). In questo caso, il determinante è un numero reale (o complesso). Tutta l'ulteriore presentazione sarà una risposta alle domande su come calcolare il determinante e quali proprietà ha.
Innanzitutto, diamo la definizione del determinante di una matrice quadrata di ordine n per n come somma dei prodotti delle permutazioni degli elementi della matrice. Sulla base di questa definizione, scriveremo le formule per il calcolo dei determinanti delle matrici del primo, secondo e terzo ordine e analizzeremo in dettaglio le soluzioni di diversi esempi.
Successivamente passiamo alle proprietà del determinante, che formuleremo sotto forma di teoremi senza dimostrazione. Qui otterremo un metodo per calcolare il determinante attraverso la sua espansione negli elementi di una riga o di una colonna. Questo metodo consente di ridurre il calcolo del determinante di una matrice di ordine n per n al calcolo dei determinanti di matrici di ordine 3 per 3 o meno. Mostreremo sicuramente le soluzioni a diversi esempi.
In conclusione, ci concentreremo sul calcolo del determinante utilizzando il metodo gaussiano. Questo metodo è utile per trovare i valori dei determinanti di matrici di ordine superiore a 3 per 3, poiché richiede meno sforzo computazionale. Vedremo anche le soluzioni degli esempi.
Navigazione della pagina.
Determinazione del determinante di una matrice, calcolo del determinante di una matrice per definizione.
Ricordiamo alcuni concetti ausiliari.
Definizione.
Permutazione dell'ordinanza n Si dice un insieme ordinato di numeri composto da n elementi.
Per un insieme contenente n elementi, ci sono n! (n fattoriali) permutazioni di ordine n. Le permutazioni differiscono l'una dall'altra solo nell'ordine in cui appaiono gli elementi.
Ad esempio, considera un insieme composto da tre numeri: . Scriviamo tutte le permutazioni (ce ne sono sei in totale, poiché 
):
Definizione.
Per inversione in una permutazione dell'ordine n Viene chiamata qualsiasi coppia di indici p e q per cui l'elemento p-esimo della permutazione è maggiore del q-esimo.
Nell'esempio precedente, l'inverso della permutazione 4, 9, 7 è la coppia p=2, q=3, poiché il secondo elemento della permutazione è uguale a 9 ed è maggiore del terzo, pari a 7. L'inversione della permutazione 9, 7, 4 sarà di tre coppie: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) e p=2, q=3 (7>4).
Saremo più interessati al numero di inversioni nella permutazione, piuttosto che all'inversione stessa.
Sia una matrice quadrata di ordine n per n sul campo dei numeri reali (o complessi). Sia l'insieme di tutte le permutazioni di ordine n dell'insieme . Il set contiene n! permutazioni. Indichiamo la k-esima permutazione dell'insieme come , e il numero di inversioni nella k-esima permutazione come .
Definizione.
Determinante della matrice E c'è un numero uguale a 
.
Descriviamo questa formula a parole. Il determinante di una matrice quadrata di ordine n per n è la somma contenente n! termini. Ogni termine è un prodotto di n elementi della matrice, e ogni prodotto contiene un elemento di ogni riga e di ogni colonna della matrice A. Un coefficiente (-1) appare prima del k-esimo termine se gli elementi della matrice A nel prodotto sono ordinati per numero di riga e il numero di inversioni nella k-esima permutazione dell'insieme di numeri di colonna è dispari.
Il determinante della matrice A è solitamente indicato come , e viene utilizzato anche det(A). Potresti anche sentire il determinante chiamato determinante.
COSÌ, 
.
Da ciò è chiaro che il determinante di una matrice del primo ordine è l'elemento di questa matrice.
Calcolo del determinante di una matrice quadrata del secondo ordine - formula ed esempio.
circa 2 per 2 in generale.
In questo caso n=2 , quindi n!=2!=2 .
.
Abbiamo 
Pertanto, abbiamo ottenuto una formula per calcolare il determinante di una matrice di ordine 2 per 2, ha la forma 
.
Esempio.
ordine .
Soluzione.
Nel nostro esempio. Applichiamo la formula risultante 
:
Calcolo del determinante di una matrice quadrata del terzo ordine - formula ed esempio.
Troviamo il determinante di una matrice quadrata 
circa 3 per 3 in generale.
In questo caso n=3, quindi n!=3!=6.
Organizziamo sotto forma di tabella i dati necessari per applicare la formula .
Abbiamo 
Pertanto, abbiamo ottenuto una formula per calcolare il determinante di una matrice di ordine 3 per 3, ha la forma 
Allo stesso modo, è possibile ottenere formule per il calcolo dei determinanti delle matrici di ordine 4 per 4, 5 per 5 e superiori. Sembreranno molto voluminosi.
Esempio.
Calcolare il determinante di una matrice quadrata 
circa 3 per 3.
Soluzione.
Nel nostro esempio 
Applichiamo la formula risultante per calcolare il determinante di una matrice del terzo ordine: 
Le formule per il calcolo dei determinanti delle matrici quadrate del secondo e terzo ordine vengono utilizzate molto spesso, quindi ti consigliamo di ricordarle.
Proprietà del determinante di una matrice, calcolo del determinante di una matrice utilizzando le proprietà.
Sulla base della definizione data, è vero quanto segue: proprietà del determinante della matrice.
- da elementi della 3a riga,
- dagli elementi della 2a colonna.
Il determinante della matrice A è uguale al determinante della matrice trasposta A T, cioè .
Esempio.
Assicurati del determinante della matrice 
è uguale al determinante della matrice trasposta.
Soluzione.
Usiamo la formula per calcolare il determinante di una matrice di ordine 3 per 3: 
Traspone la matrice A: 
Calcoliamo il determinante della matrice trasposta: 
Infatti, il determinante della matrice trasposta è uguale al determinante della matrice originale.
Se in una matrice quadrata tutti gli elementi di almeno una delle righe (una delle colonne) sono zero, il determinante di tale matrice è uguale a zero.
Esempio.
Verificare che il determinante della matrice 
l'ordine 3 per 3 è zero.
Soluzione.
Infatti, il determinante di una matrice con una colonna zero è uguale a zero.
Se riorganizzi due righe (colonne) qualsiasi in una matrice quadrata, il determinante della matrice risultante sarà opposto a quello originale (ovvero, il segno cambierà).
Esempio.
Date due matrici quadrate di ordine 3 per 3 
E 
. Mostrare che i loro determinanti sono opposti.
Soluzione.
Matrice B si ottiene dalla matrice A sostituendo la terza riga con la prima e la prima con la terza. A seconda della proprietà considerata, i determinanti di tali matrici devono differire di segno. Verifichiamolo calcolando i determinanti utilizzando la formula ben nota. 
Veramente, .
Se in una matrice quadrata almeno due righe (due colonne) sono uguali, il suo determinante è uguale a zero.
Esempio.
Dimostrare che il determinante della matrice 
uguale a zero.
Soluzione.
In questa matrice la seconda e la terza colonna sono uguali, quindi secondo la proprietà considerata il suo determinante deve essere uguale a zero. Controlliamolo. 
Infatti, il determinante di una matrice con due colonne identiche è zero.
Se in una matrice quadrata tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) vengono moltiplicati per un certo numero k, allora il determinante della matrice risultante sarà uguale al determinante della matrice originale moltiplicato per k. Per esempio, 
Esempio.
Dimostrare che il determinante della matrice 
pari al triplo del determinante della matrice 
.
Soluzione.
Gli elementi della prima colonna della matrice B si ottengono dai corrispondenti elementi della prima colonna della matrice A moltiplicando per 3. Allora, data la proprietà considerata, deve valere l’uguaglianza. Verifichiamolo calcolando i determinanti delle matrici A e B. 
Pertanto, questo è ciò che doveva essere dimostrato.
NOTA.
Non confondere o mescolare i concetti di matrice e determinante! La proprietà considerata del determinante di una matrice e l'operazione di moltiplicare una matrice per un numero non sono la stessa cosa. 
, Ma 
.
Se tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) di una matrice quadrata rappresentano la somma di s termini (s è un numero naturale maggiore di uno), allora il determinante di tale matrice sarà uguale alla somma di s determinanti delle matrici ottenute da quello originale, se gli elementi della riga (colonna) sono: lasciare un termine alla volta. Per esempio, 
Esempio.
Dimostrare che il determinante di una matrice è uguale alla somma dei determinanti delle matrici 
.
Soluzione.
Nel nostro esempio 
, quindi, a causa della proprietà considerata del determinante della matrice, l'uguaglianza deve essere soddisfatta 
. Controlliamolo calcolando i determinanti corrispondenti delle matrici di ordine 2 per 2 utilizzando la formula .
Dai risultati ottenuti è chiaro che 
. Questo completa la dimostrazione.
Se agli elementi di una certa riga (colonna) di una matrice vengono aggiunti gli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna) moltiplicati per un numero arbitrario k, il determinante della matrice risultante sarà uguale al determinante della matrice originale .
Esempio.
Assicurati che sia agli elementi della terza colonna della matrice 
aggiungi gli elementi corrispondenti della seconda colonna di questa matrice, moltiplicati per (-2), e aggiungi gli elementi corrispondenti della prima colonna della matrice, moltiplicati per un numero reale arbitrario, quindi il determinante della matrice risultante sarà uguale a il determinante della matrice originaria.
Soluzione.
Se partiamo dalla proprietà considerata del determinante, allora il determinante della matrice ottenuto dopo tutte le trasformazioni specificate nel problema sarà uguale al determinante della matrice A.
Innanzitutto, calcoliamo il determinante della matrice originale A: 
Eseguiamo ora le trasformazioni necessarie della matrice A.
Aggiungiamo agli elementi della terza colonna della matrice i corrispondenti elementi della seconda colonna della matrice, dopo averli precedentemente moltiplicati per (-2). Successivamente la matrice assumerà la forma: 
Agli elementi della terza colonna della matrice risultante aggiungiamo i corrispondenti elementi della prima colonna, moltiplicati per: 
Calcoliamo il determinante della matrice risultante e assicuriamoci che sia uguale al determinante della matrice A, ovvero -24: 
Il determinante di una matrice quadrata è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga (colonna) per i loro addizioni algebriche.
Ecco il complemento algebrico dell'elemento di matrice , .
Questa proprietà permette di calcolare i determinanti di matrici di ordine superiore a 3 per 3 riducendoli alla somma di più determinanti di matrici di ordine inferiore. In altre parole, questa è una formula ricorrente per calcolare il determinante di una matrice quadrata di qualsiasi ordine. Ti consigliamo di ricordarlo per la sua applicabilità abbastanza frequente.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Esempio.
circa 4 per 4, espandendolo
Soluzione.
Usiamo la formula per decomporre il determinante negli elementi della 3a riga 
Abbiamo 
Quindi il problema di trovare il determinante di una matrice di ordine 4 per 4 è stato ridotto al calcolo di tre determinanti di matrici di ordine 3 per 3: 
Sostituendo i valori ottenuti arriviamo al risultato: 
Usiamo la formula per scomporre il determinante negli elementi della 2a colonna 
e noi agiamo allo stesso modo.
Non descriveremo in dettaglio il calcolo dei determinanti delle matrici del terzo ordine. 
Esempio.
Calcolare il determinante della matrice 
circa 4 per 4.
Soluzione.
È possibile espandere il determinante di una matrice negli elementi di qualsiasi colonna o riga, ma è più vantaggioso scegliere la riga o la colonna che contiene il maggior numero di elementi zero, poiché ciò aiuterà a evitare calcoli non necessari. Espandiamo il determinante negli elementi della prima riga: 
Calcoliamo i determinanti risultanti delle matrici di ordine 3 per 3 utilizzando la formula a noi nota: 
Sostituisci i risultati e ottieni il valore desiderato 
Esempio.
Calcolare il determinante della matrice 
circa 5 per 5.
Soluzione.
La quarta riga della matrice ha il maggior numero di elementi zero tra tutte le righe e colonne, quindi è consigliabile espandere il determinante della matrice proprio in base agli elementi della quarta riga, poiché in questo caso avremo bisogno di meno calcoli. 
I determinanti risultanti delle matrici di ordine 4 per 4 sono stati trovati negli esempi precedenti, quindi utilizziamo i risultati già pronti: 
Esempio.
Calcolare il determinante della matrice 
circa 7 per 7.
Soluzione.
Non dovresti affrettarti immediatamente a ordinare il determinante negli elementi di qualsiasi riga o colonna. Se osservi attentamente la matrice, noterai che gli elementi della sesta riga della matrice possono essere ottenuti moltiplicando per due gli elementi corrispondenti della seconda riga. Cioè, se gli elementi corrispondenti della seconda riga vengono aggiunti agli elementi della sesta riga, moltiplicati per (-2), il determinante non cambierà a causa della settima proprietà e la sesta riga della matrice risultante sarà costituita di zeri. Il determinante di tale matrice è uguale a zero per la seconda proprietà.
Risposta:
Va notato che la proprietà considerata consente di calcolare i determinanti di matrici di qualsiasi ordine, ma è necessario eseguire molte operazioni computazionali. Nella maggior parte dei casi, è più vantaggioso trovare il determinante delle matrici di ordine superiore al terzo utilizzando il metodo gaussiano, che considereremo di seguito.
La somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga (colonna) di una matrice quadrata per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di un'altra riga (colonna) è uguale a zero. 
Esempio.
Mostra che la somma dei prodotti degli elementi della terza colonna della matrice 
sui complementi algebrici dei corrispondenti elementi della prima colonna è pari a zero.
Soluzione.
Il determinante del prodotto di matrici quadrate dello stesso ordine è uguale al prodotto dei loro determinanti, cioè 
, dove m è un numero naturale maggiore di uno, A k, k=1,2,...,m sono matrici quadrate dello stesso ordine.
Esempio.
Verificare che il determinante del prodotto di due matrici 
ed è uguale al prodotto dei loro determinanti.
Soluzione.
Troviamo innanzitutto il prodotto dei determinanti delle matrici A e B: 
Ora effettuiamo la moltiplicazione di matrici e calcoliamo il determinante della matrice risultante: 
Così, 
, che è ciò che doveva essere mostrato.
Calcolo del determinante di una matrice utilizzando il metodo gaussiano.
Descriviamo l'essenza di questo metodo. Utilizzando trasformazioni elementari, la matrice A viene ridotta a una forma tale che nella prima colonna tutti gli elementi tranne quelli diventano zero (questo può sempre essere fatto se il determinante della matrice A è diverso da zero). Descriveremo questa procedura un po 'più tardi, ma ora spiegheremo perché ciò viene fatto. Si ottengono elementi zero per ottenere l'espansione più semplice del determinante sugli elementi della prima colonna. Dopo tale trasformazione della matrice A, tenendo conto dell'ottava proprietà e, otteniamo 
Dove - ordine minore (n-1)., ottenuto dalla matrice A eliminando gli elementi della sua prima riga e prima colonna.
Con la matrice a cui corrisponde minor si esegue lo stesso procedimento per ottenere zero elementi nella prima colonna. E così via fino al calcolo finale del determinante.
Ora resta da rispondere alla domanda: "Come ottenere zero elementi nella prima colonna"?
Descriviamo l'algoritmo delle azioni.
Se , allora gli elementi corrispondenti della kesima riga vengono sommati agli elementi della prima riga della matrice, in cui . (Se tutti gli elementi della prima colonna della matrice A, senza eccezione, sono zero, allora il suo determinante è uguale a zero per la seconda proprietà e non è necessario alcun metodo gaussiano). Dopo tale trasformazione, il “nuovo” elemento sarà diverso da zero. Il determinante della “nuova” matrice sarà uguale al determinante della matrice originaria per via della settima proprietà.
Ora abbiamo una matrice con . Quando agli elementi della seconda riga aggiungiamo gli elementi corrispondenti della prima riga, moltiplicati per , agli elementi della terza riga - i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per . E così via. Infine, agli elementi dell'ennesima riga aggiungiamo i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per . Ciò si tradurrà in una matrice trasformata A, tutti gli elementi della prima colonna della quale, tranne , saranno zero. Il determinante della matrice risultante sarà uguale al determinante della matrice originale a causa della settima proprietà.
Diamo un'occhiata al metodo quando risolviamo un esempio, sarà più chiaro.
Esempio.
Calcolare il determinante di una matrice di ordine 5 per 5 
.
Soluzione.
Usiamo il metodo gaussiano. Trasformiamo la matrice A in modo che tutti gli elementi della sua prima colonna, tranne , diventino zero.
Poiché l'elemento è inizialmente , aggiungiamo agli elementi della prima riga della matrice i corrispondenti elementi, ad esempio, della seconda riga, poiché: 
Il segno "~" indica l'equivalenza.
Ora aggiungiamo agli elementi della seconda riga i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per 
, agli elementi della terza riga – i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per 
, e procedere allo stesso modo fino alla sesta riga: 
Noi abbiamo 
Con matrice 
Eseguiamo la stessa procedura per ottenere zero elementi nella prima colonna: 
Quindi, 
Ora eseguiamo trasformazioni con la matrice 
:
Commento.
Ad un certo punto della trasformazione della matrice utilizzando il metodo gaussiano, può verificarsi una situazione in cui tutti gli elementi delle ultime righe della matrice diventano zero. Ciò indicherà che il determinante è uguale a zero.
Riassumere.
Il determinante di una matrice quadrata i cui elementi sono numeri è un numero. Abbiamo esaminato tre modi per calcolare il determinante:
- attraverso la somma di prodotti di combinazioni di elementi di matrice;
- attraverso la scomposizione del determinante negli elementi di una riga o colonna della matrice;
- riducendo la matrice ad una matrice triangolare superiore (metodo gaussiano).
Sono state ottenute formule per il calcolo dei determinanti delle matrici di ordine 2 per 2 e 3 per 3.
Abbiamo esaminato le proprietà del determinante di una matrice. Alcuni di essi ti permettono di capire rapidamente che il determinante è zero.
Quando si calcolano i determinanti di matrici di ordine superiore a 3 per 3, è consigliabile utilizzare il metodo gaussiano: eseguire trasformazioni elementari della matrice e ridurla a una triangolare superiore. Il determinante di tale matrice è uguale al prodotto di tutti gli elementi sulla diagonale principale.
Formulazione del problema
L'attività richiede che l'utente acquisisca familiarità con i concetti di base dei metodi numerici, come la matrice determinante e inversa, e i vari modi per calcolarli. Questo rapporto teorico introduce innanzitutto i concetti e le definizioni di base in un linguaggio semplice e accessibile, sulla base del quale vengono svolte ulteriori ricerche. L'utente potrebbe non avere conoscenze specifiche nel campo dei metodi numerici e dell'algebra lineare, ma può facilmente utilizzare i risultati di questo lavoro. Per chiarezza, viene fornito un programma per calcolare il determinante di una matrice utilizzando diversi metodi, scritto nel linguaggio di programmazione C++. Il programma viene utilizzato come supporto di laboratorio per creare illustrazioni per il rapporto. È inoltre in corso uno studio sui metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari. L'inutilità del calcolo della matrice inversa è dimostrata, quindi il lavoro fornisce modi più ottimali per risolvere le equazioni senza calcolarla. Spiega perché esistono così tanti metodi diversi per il calcolo dei determinanti e delle matrici inverse e ne discute i limiti. Vengono considerati anche gli errori nel calcolo del determinante e viene valutata l'accuratezza raggiunta. Oltre ai termini russi, l'opera utilizza anche i loro equivalenti inglesi per capire sotto quali nomi cercare le procedure numeriche nelle biblioteche e cosa significano i loro parametri.
Definizioni fondamentali e proprietà più semplici
Determinante
Introduciamo la definizione di determinante di una matrice quadrata di qualsiasi ordine. Questa definizione sarà ricorrente, cioè per stabilire qual è il determinante della matrice d'ordine, è necessario sapere già qual è il determinante della matrice d'ordine. Si noti inoltre che il determinante esiste solo per matrici quadrate.
Indicheremo il determinante di una matrice quadrata con o det.
Definizione 1. Determinante matrice quadrata 
viene chiamato il secondo numero d'ordine 
.
Determinante 
matrice quadrata di ordine, è chiamata numero 
dove è il determinante della matrice dell'ordine ottenuta dalla matrice eliminando la prima riga e colonna con numero .
Per chiarezza, scriviamo come si può calcolare il determinante di una matrice del quarto ordine: 
Commento. In casi eccezionali viene utilizzato il calcolo effettivo dei determinanti per matrici superiori al terzo ordine basato sulla definizione. Tipicamente, il calcolo viene effettuato utilizzando altri algoritmi, di cui parleremo più avanti e che richiedono meno lavoro computazionale.
Commento. Nella Definizione 1 sarebbe più accurato dire che il determinante è una funzione definita sull'insieme delle matrici quadrate d'ordine e che assume valori nell'insieme dei numeri.
Commento. In letteratura, al posto del termine “determinante”, viene utilizzato anche il termine “determinante”, che ha lo stesso significato. Dalla parola "determinante" è apparsa la designazione det.
Consideriamo alcune proprietà dei determinanti, che formuleremo sotto forma di affermazioni.
Dichiarazione 1. Quando si traspone una matrice, il determinante non cambia, cioè .
Dichiarazione 2. Il determinante del prodotto di matrici quadrate è uguale al prodotto dei determinanti dei fattori, cioè.
Dichiarazione 3. Se due righe di una matrice vengono scambiate, il suo determinante cambierà segno.
Dichiarazione 4. Se una matrice ha due righe identiche, il suo determinante è zero.
In futuro, dovremo aggiungere stringhe e moltiplicare una stringa per un numero. Eseguiremo queste azioni sulle righe (colonne) allo stesso modo delle azioni sulle matrici di righe (matrici di colonne), cioè elemento per elemento. Il risultato sarà una riga (colonna), che, di regola, non coincide con le righe della matrice originale. Se ci sono operazioni di addizione di righe (colonne) e di moltiplicazione per un numero, possiamo anche parlare di combinazioni lineari di righe (colonne), cioè somme con coefficienti numerici.
Dichiarazione 5. Se una riga di una matrice viene moltiplicata per un numero, il suo determinante verrà moltiplicato per questo numero.
Dichiarazione 6. Se una matrice contiene una riga zero, allora il suo determinante è zero.
Dichiarazione 7. Se una delle righe della matrice è uguale a un'altra, moltiplicata per un numero (le righe sono proporzionali), allora il determinante della matrice è uguale a zero.
Dichiarazione 8. Lascia che la i-esima riga della matrice abbia la forma . Quindi , dove la matrice si ottiene dalla matrice sostituendo la riga i-esima con la riga , e la matrice si ottiene sostituendo la riga i-esima con la riga .
Dichiarazione 9. Se aggiungi un'altra riga a una delle righe della matrice, moltiplicata per un numero, il determinante della matrice non cambierà.
Dichiarazione 10. Se una delle righe di una matrice è una combinazione lineare delle altre righe, il determinante della matrice è uguale a zero.
Definizione 2. Complemento algebrico a un elemento della matrice è un numero uguale a , dove è il determinante della matrice ottenuta dalla matrice eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna. Il complemento algebrico di un elemento di matrice è indicato con .
Esempio. Permettere 
. Poi 
Commento. Usando le addizioni algebriche, la definizione di 1 determinante può essere scritta come segue: 
Dichiarazione 11. Espansione del determinante in una stringa arbitraria.
La formula per il determinante della matrice è 
Esempio. Calcolare 
.
Soluzione. Usiamo l'espansione lungo la terza riga, questo è più redditizio, poiché nella terza riga due dei tre numeri sono zeri. Noi abbiamo 
Dichiarazione 12. Per una matrice quadrata di ordine at, vale la relazione: 
.
Dichiarazione 13. Tutte le proprietà del determinante formulate per le righe (istruzioni 1 - 11) valgono anche per le colonne, in particolare vale la scomposizione del determinante nella j-esima colonna 
e uguaglianza 
A .
Dichiarazione 14. Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi della sua diagonale principale.
Conseguenza. Il determinante della matrice identità è uguale a uno, .
Conclusione. Le proprietà sopra elencate consentono di trovare determinanti di matrici di ordine sufficientemente elevato con un numero di calcoli relativamente piccolo. L'algoritmo di calcolo è il seguente.
Algoritmo per creare zeri in una colonna. Supponiamo di dover calcolare il determinante dell'ordine. Se , scambia la prima riga con qualsiasi altra riga in cui il primo elemento non è zero. Di conseguenza, il determinante , sarà uguale al determinante della nuova matrice con segno opposto. Se il primo elemento di ogni riga è uguale a zero, allora la matrice ha una colonna zero e, secondo le affermazioni 1, 13, il suo determinante è uguale a zero.
Quindi, crediamo che già nella matrice originale . Lasciamo invariata la prima riga. Aggiungi alla seconda riga la prima riga moltiplicata per il numero . Quindi il primo elemento della seconda riga sarà uguale a 
.
Indichiamo gli elementi rimanenti della nuova seconda riga con , . Il determinante della nuova matrice secondo l'affermazione 9 è uguale a . Moltiplica la prima riga per un numero e aggiungila alla terza. Il primo elemento della nuova terza riga sarà uguale a 
Indichiamo gli elementi rimanenti della nuova terza riga con , . Il determinante della nuova matrice secondo l'affermazione 9 è uguale a .
Continueremo il processo per ottenere zeri invece dei primi elementi delle linee. Infine, moltiplica la prima riga per un numero e aggiungila all'ultima riga. Il risultato è una matrice, chiamiamola , che ha la forma 
E . Per calcolare il determinante della matrice, utilizziamo l'espansione nella prima colonna
Da allora 
Sul lato destro c'è il determinante della matrice dell'ordine. Applichiamo lo stesso algoritmo ad esso e il calcolo del determinante della matrice si ridurrà al calcolo del determinante della matrice dell'ordine. Ripetiamo il processo finché non raggiungiamo il determinante del secondo ordine, che viene calcolato per definizione.
Se la matrice non ha proprietà specifiche, non è possibile ridurre significativamente la quantità di calcoli rispetto all'algoritmo proposto. Un altro aspetto positivo di questo algoritmo è che è facile usarlo per creare un programma per computer per calcolare i determinanti di matrici di grandi ordini. I programmi standard per il calcolo dei determinanti utilizzano questo algoritmo con piccole modifiche legate alla minimizzazione dell'influenza degli errori di arrotondamento e degli errori dei dati di input nei calcoli del computer.
Esempio. Calcolare il determinante della matrice 
.
Soluzione. Lasciamo invariata la prima riga. Alla seconda riga aggiungiamo la prima, moltiplicata per il numero:
Il determinante non cambia. Alla terza riga aggiungiamo la prima, moltiplicata per il numero:
Il determinante non cambia. Alla quarta riga aggiungiamo la prima, moltiplicata per il numero:
Il determinante non cambia. Di conseguenza otteniamo 
Utilizzando lo stesso algoritmo, calcoliamo il determinante della matrice di ordine 3, situata a destra. Lasciamo invariata la prima riga, aggiungiamo la prima riga moltiplicata per il numero alla seconda riga 
:
Alla terza riga aggiungiamo la prima, moltiplicata per il numero 
:
Di conseguenza otteniamo 
Risposta. .
Commento. Sebbene nei calcoli siano state utilizzate le frazioni, il risultato si è rivelato un numero intero. Infatti, sfruttando le proprietà dei determinanti e il fatto che i numeri originali sono interi, si potrebbero evitare operazioni con le frazioni. Ma nella pratica ingegneristica, i numeri sono estremamente raramente interi. Pertanto, di norma, gli elementi del determinante saranno frazioni decimali e non è opportuno utilizzare trucchi per semplificare i calcoli.
matrice inversa
Definizione 3. La matrice si chiama matrice inversa per una matrice quadrata, se .
Dalla definizione segue che la matrice inversa sarà una matrice quadrata dello stesso ordine della matrice (altrimenti uno dei prodotti o non sarebbe definito).
L'inverso di una matrice si indica con . Quindi, se esiste, allora .
Dalla definizione di matrice inversa segue che la matrice è l'inverso della matrice, cioè . Possiamo dire delle matrici che sono tra loro inverse o mutuamente inverse.
Se il determinante di una matrice è zero, allora il suo inverso non esiste.
Poiché per trovare la matrice inversa è importante che il determinante della matrice sia uguale a zero oppure no, introduciamo le seguenti definizioni.
Definizione 4. Chiamiamo matrice quadrata degenerare O matrice speciale, Se non degenerato O matrice non singolare, Se .
Dichiarazione. Se la matrice inversa esiste, allora è unica.
Dichiarazione. Se una matrice quadrata non è singolare, allora esiste il suo inverso e 
(1) dove sono i complementi algebrici degli elementi.
Teorema. Una matrice inversa per una matrice quadrata esiste se e solo se la matrice è non singolare, la matrice inversa è unica e la formula (1) è valida.
Commento. Particolare attenzione va posta ai posti occupati dalle addizioni algebriche nella formula della matrice inversa: il primo indice mostra il numero colonna e il secondo è il numero linee, in cui devi scrivere l'addizione algebrica calcolata.
Esempio. 
.
Soluzione. Trovare il determinante
Poiché , allora la matrice non è degenere ed esiste il suo inverso. Trovare i complementi algebrici: 
Componiamo la matrice inversa, ponendo le addizioni algebriche trovate in modo che il primo indice corrisponda alla colonna e il secondo alla riga: 
(2)
La matrice risultante (2) serve come risposta al problema.
Commento. Nell'esempio precedente, sarebbe più accurato scrivere la risposta in questo modo: 
(3)
Tuttavia, la notazione (2) è più compatta ed è più conveniente effettuare con essa ulteriori calcoli, se necessario. Pertanto, scrivere la risposta nella forma (2) è preferibile se gli elementi della matrice sono interi. E viceversa, se gli elementi della matrice sono frazioni decimali, allora è meglio scrivere la matrice inversa senza fattore davanti.
Commento. Quando si trova la matrice inversa, è necessario eseguire numerosi calcoli e la regola per disporre le addizioni algebriche nella matrice finale è insolita. Pertanto la probabilità di errore è elevata. Per evitare errori, dovresti controllare: calcola il prodotto della matrice originale e della matrice finale in un ordine o nell'altro. Se il risultato è una matrice identità, allora la matrice inversa è stata trovata correttamente. Altrimenti, devi cercare un errore.
Esempio. Trova l'inversa di una matrice 
.
Soluzione.
- esiste.
Risposta: 
.
Conclusione. Trovare la matrice inversa utilizzando la formula (1) richiede troppi calcoli. Per matrici del quarto ordine e superiori ciò è inaccettabile. L'algoritmo vero e proprio per trovare la matrice inversa verrà fornito più avanti.
Calcolo del determinante e della matrice inversa utilizzando il metodo gaussiano
Il metodo gaussiano può essere utilizzato per trovare la matrice determinante e inversa.
Vale a dire, il determinante della matrice è uguale a det.
La matrice inversa si trova risolvendo sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di eliminazione gaussiana:
Dov'è la j-esima colonna della matrice identità, è il vettore desiderato.
I vettori della soluzione risultanti formano ovviamente colonne della matrice, poiché .
Formule per il determinante
1. Se la matrice non è singolare, allora e (prodotto degli elementi principali).
Quando si risolvono problemi di matematica superiore, molto spesso si presenta la necessità calcolare il determinante di una matrice. Il determinante di una matrice appare nell'algebra lineare, nella geometria analitica, nell'analisi matematica e in altri rami della matematica superiore. Pertanto, è semplicemente impossibile fare a meno dell'abilità di risolvere i determinanti. Inoltre, per l'autotest, puoi scaricare gratuitamente un calcolatore dei determinanti; non ti insegnerà come risolvere i determinanti da solo, ma è molto comodo, poiché è sempre utile conoscere la risposta corretta in anticipo!
Non darò una definizione matematica rigorosa del determinante e, in generale, cercherò di ridurre al minimo la terminologia matematica; questo non renderà il compito più facile per la maggior parte dei lettori. Lo scopo di questo articolo è insegnarti come risolvere i determinanti del secondo, terzo e quarto ordine. Tutto il materiale è presentato in una forma semplice e accessibile, e anche una teiera piena (vuota) in matematica superiore, dopo aver studiato attentamente il materiale, sarà in grado di risolvere correttamente i determinanti.
In pratica, molto spesso puoi trovare un determinante del secondo ordine, ad esempio: e un determinante del terzo ordine, ad esempio: 
.
Determinante del quarto ordine 
Inoltre non è un oggetto d'antiquariato e ci arriveremo alla fine della lezione.
Spero che tutti comprendano quanto segue: I numeri all'interno del determinante vivono da soli e non si tratta di sottrazioni! I numeri non possono essere scambiati!
(In particolare, è possibile eseguire riorganizzazioni a coppie di righe o colonne di un determinante cambiando il suo segno, ma spesso ciò non è necessario - vedere la lezione successiva Proprietà del determinante e abbassamento del suo ordine)
Quindi, se viene fornito un determinante, allora Non tocchiamo nulla al suo interno!
Designazioni: Se viene data una matrice 
, allora il suo determinante è indicato con . Inoltre molto spesso il determinante è indicato con una lettera latina o greca.
1)Cosa significa risolvere (trovare, rivelare) un determinante? Calcolare il determinante significa TROVARE IL NUMERO. I punti interrogativi negli esempi precedenti sono numeri del tutto ordinari.
2) Ora resta da capire COME trovare questo numero? Per fare ciò, è necessario applicare alcune regole, formule e algoritmi, di cui parleremo ora.
Cominciamo con il determinante "due" per "due":
QUESTO DEVE ESSERE RICORDATO, almeno mentre studi matematica superiore all'università.
Vediamo subito un esempio:
Pronto. L'IMPORTANTE E' NON CONFONDERSI NEI SEGNI.
Determinante di una matrice tre per tre può essere aperto in 8 modi, di cui 2 semplici e 6 normali.
Cominciamo con due semplici modi
Similmente al determinante due per due, il determinante tre per tre può essere espanso utilizzando la formula:
La formula è lunga ed è facile sbagliare per disattenzione. Come evitare fastidiosi errori? A questo scopo è stato inventato un secondo metodo di calcolo del determinante, che di fatto coincide con il primo. Si chiama metodo Sarrus o metodo delle “strisce parallele”.
La riga di fondo è quella a destra del determinante, assegna la prima e la seconda colonna e disegna attentamente le linee con una matita:
I moltiplicatori situati sulle diagonali “rosse” sono inclusi nella formula con un segno “più”.
I moltiplicatori situati sulle diagonali “blu” sono inclusi nella formula con un segno meno:
Esempio:
Confronta le due soluzioni. È facile vedere che questa è la STESSA cosa, solo nel secondo caso i fattori della formula sono leggermente riorganizzati e, soprattutto, la probabilità di commettere un errore è molto inferiore.
Ora diamo un'occhiata ai sei modi normali per calcolare il determinante
Perché normale? Perché nella stragrande maggioranza dei casi, le qualificazioni devono essere divulgate in questo modo.
Come hai notato, il determinante tre per tre ha tre colonne e tre righe.
Puoi risolvere il determinante aprendolo da qualsiasi riga o da qualsiasi colonna.
Pertanto, ci sono 6 metodi, in tutti i casi utilizzando stesso tipo algoritmo.
Il determinante della matrice è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della riga (colonna) per i corrispondenti complementi algebrici. Allarmante? Tutto è molto più semplice; utilizzeremo un approccio non scientifico ma comprensibile, accessibile anche a una persona lontana dalla matematica.
Nel prossimo esempio espanderemo il determinante sulla prima riga.
Per questo abbiamo bisogno di una matrice di segni: . È facile notare che i segni sono disposti secondo uno schema a scacchiera.
Attenzione! La matrice dei segni è una mia invenzione. Questo concetto non è scientifico, non è necessario utilizzarlo nella progettazione finale degli incarichi, aiuta solo a comprendere l'algoritmo per il calcolo del determinante.
Darò prima la soluzione completa. Prendiamo nuovamente il nostro determinante sperimentale ed eseguiamo i calcoli:
E la domanda principale: COME ottenerlo dal determinante “tre per tre”: 
?
Quindi, il determinante “tre per tre” si riduce alla risoluzione di tre piccoli determinanti, o come vengono anche chiamati, MINOROV. Consiglio di ricordare il termine, soprattutto perché è memorabile: minore – piccolo.
Una volta scelto il metodo di decomposizione del determinante sulla prima riga, è ovvio che tutto ruoti attorno a lei:
Gli elementi vengono solitamente visualizzati da sinistra a destra (o dall'alto verso il basso se è stata selezionata una colonna)
Andiamo, per prima cosa ci occupiamo del primo elemento della linea, cioè con uno:
1) Dalla matrice dei segni scriviamo il segno corrispondente: 
2) Quindi scriviamo l'elemento stesso: 
3) Cancella MENTALMENTE la riga e la colonna in cui compare il primo elemento: 
I restanti quattro numeri formano il determinante “due per due”, che viene chiamato MINORE di un dato elemento (unità).
Passiamo al secondo elemento della linea.
4) Dalla matrice dei segni scriviamo il segno corrispondente:
5) Quindi scrivi il secondo elemento: 
6) Cancella MENTALMENTE la riga e la colonna in cui compare il secondo elemento: 
Bene, il terzo elemento della prima riga. Nessuna originalità:
7) Dalla matrice dei segni scriviamo il segno corrispondente: 
8) Annotare il terzo elemento: 
9) Cancella MENTALMENTE la riga e la colonna che contiene il terzo elemento: 
Scriviamo i restanti quattro numeri in un piccolo determinante.
Le restanti azioni non presentano alcuna difficoltà, poiché sappiamo già come contare i determinanti due a due. NON CONFUDERVI NEI SEGNI!
Allo stesso modo, il determinante può essere espanso su qualsiasi riga o in qualsiasi colonna. Naturalmente in tutti e sei i casi la risposta è la stessa.
Il determinante quattro per quattro può essere calcolato utilizzando lo stesso algoritmo.
In questo caso, la nostra matrice di segni aumenterà:
Nell'esempio seguente ho ampliato il determinante secondo la quarta colonna:
Come è successo, prova a capirlo da solo. Maggiori informazioni arriveranno più tardi. Se qualcuno vuole risolvere il determinante fino alla fine, la risposta corretta è: 18. Per esercitarsi, è meglio risolvere il determinante con qualche altra colonna o altra riga.
Esercitarsi, scoprire, fare calcoli è molto buono e utile. Ma quanto tempo dedicherai alla grande qualificazione? Non esiste un modo più veloce e affidabile? Ti suggerisco di familiarizzare con metodi efficaci per il calcolo dei determinanti nella seconda lezione - Proprietà di un determinante. Ridurre l'ordine del determinante.
STAI ATTENTO!
Nel caso generale, la regola per calcolare i determinanti dell'$n$esimo ordine è piuttosto macchinosa. Per i determinanti di secondo e terzo ordine, esistono modi razionali per calcolarli.
Calcoli di determinanti del secondo ordine
Per calcolare il determinante di una matrice del secondo ordine, è necessario sottrarre il prodotto degli elementi della diagonale secondaria dal prodotto degli elementi della diagonale principale:
$$\sinistra| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$
Esempio
Esercizio. Calcolare il determinante del secondo ordine $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$
Soluzione.$\sinistra| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$
Risposta.$\sinistra| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$
Metodi per il calcolo dei determinanti del terzo ordine
Esistono le seguenti regole per il calcolo dei determinanti del terzo ordine.
Regola del triangolo
Schematicamente, questa regola può essere rappresentata come segue:
Il prodotto degli elementi del primo determinante collegati da rette si prende con il segno più; analogamente, per il secondo determinante, i prodotti corrispondenti si prendono con il segno meno, cioè
$$\sinistra| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) un_(31)+a_(13) un_(21) un_(32)-$$
$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$
Esempio
Esercizio. Calcolare il determinante di $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ utilizzando il metodo del triangolo.
Soluzione.$\sinistra| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Risposta.
Regola Sarrus
A destra del determinante aggiungi le prime due colonne e prendi i prodotti degli elementi sulla diagonale principale e sulle diagonali ad essa parallele con segno più; e i prodotti degli elementi della diagonale secondaria e delle diagonali ad essa parallele, con il segno meno:
$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$
Esempio
Esercizio. Calcolare il determinante di $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ utilizzando la regola di Sarrus.
Soluzione. 
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$
Risposta.$\sinistra| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\destra|=54$
Espansione del determinante per riga o colonna
Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi della riga del determinante e dei loro complementi algebrici. Di solito viene selezionata la riga/colonna che contiene zeri. La riga o colonna lungo la quale verrà effettuata la scomposizione sarà indicata da una freccia.
Esempio
Esercizio. Espandendo lungo la prima riga, calcolare il determinante $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \destra|$
Soluzione.$\sinistra| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \giusto| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$
$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \sinistra| \begin(array)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(array)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(array)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(array)\right|=-3+12-9=0$
Risposta.
Questo metodo consente di ridurre il calcolo del determinante al calcolo di un determinante di ordine inferiore.
Esempio
Esercizio. Calcolare il determinante di $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \destra|$
Soluzione. Eseguiamo le seguenti trasformazioni sulle righe del determinante: dalla seconda riga sottraiamo i primi quattro, e dalla terza la prima riga moltiplicata per sette, di conseguenza, secondo le proprietà del determinante, otteniamo un determinante uguale a quello dato.
$$\sinistra| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \destra|=\sinistra| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$
$$=\sinistra| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ fine(array)\destra|=\sinistra| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$
Il determinante è zero perché la seconda e la terza riga sono proporzionali.
Risposta.$\sinistra| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \destra|=0$
Per calcolare i determinanti del quarto ordine e superiori, vengono utilizzati l'espansione di righe/colonne o la riduzione alla forma triangolare o l'utilizzo del teorema di Laplace.
Scomporre il determinante in elementi di una riga o di una colonna
Esempio
Esercizio. Calcolare il determinante di $\left| \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , scomponendolo in elementi di una riga o di una colonna.
Soluzione. Eseguiamo prima delle trasformazioni elementari sulle righe del determinante, facendo quanti più zeri possibile sia nella riga che nella colonna. Per fare ciò, sottraiamo prima nove terzi dalla prima riga, cinque terzi dalla seconda e tre terzi dalla quarta, otteniamo:
$$\sinistra| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=\left| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ sinistra| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$
Scomponiamo il determinante risultante negli elementi della prima colonna:
$$\sinistra| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \sinistra| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|+0$$
Espanderemo anche il determinante del terzo ordine risultante negli elementi della riga e della colonna, avendo precedentemente ottenuto gli zeri, ad esempio, nella prima colonna. Per fare ciò, sottrai le seconde due righe dalla prima riga e la seconda riga dalla terza:
$$\sinistra| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ fine(array)\destra|=\sinistra| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( array)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Risposta.$\sinistra| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=0$
Commento
Non è stato possibile calcolare l'ultimo e il penultimo determinante, ma concludere immediatamente che sono uguali a zero, poiché contengono righe proporzionali.
Riduzione del determinante alla forma triangolare
Utilizzando trasformazioni elementari su righe o colonne, il determinante viene ridotto a una forma triangolare e quindi il suo valore, secondo le proprietà del determinante, è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
Esempio
Esercizio. Calcolare il determinante $\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ riducendolo alla forma triangolare.
Soluzione. Per prima cosa creiamo degli zeri nella prima colonna sotto la diagonale principale. Tutte le trasformazioni saranno più facili da eseguire se l'elemento $a_(11)$ è uguale a 1. Per fare ciò, scambieremo la prima e la seconda colonna del determinante, che, secondo le proprietà del determinante, lo causeranno per cambiare il suo segno nel contrario:
$$\Delta=\sinistra| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$
$$\Delta=-\sinistra| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$
Successivamente, otteniamo gli zeri nella seconda colonna al posto degli elementi sotto la diagonale principale. Anche in questo caso, se l'elemento diagonale è uguale a $\pm 1$ allora i calcoli saranno più semplici. Per fare ciò, scambia la seconda e la terza riga (e allo stesso tempo cambia il segno opposto del determinante):
$$\Delta=\sinistra| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$