Esempio

Dividere un segmento a metà

Problema di bisezione. Usa un compasso e un righello per dividere questo segmento AB in due parti uguali. Una delle soluzioni è mostrata in figura:

• Usando un compasso disegniamo cerchi con i centri nei punti UN E B raggio AB.
• Trovare punti di intersezione P E Q due cerchi costruiti (archi).
• Usando un righello, disegna un segmento o una linea che passa attraverso i punti P E Q.
• Trovare il punto medio desiderato del segmento AB- punto di intersezione AB E PQ.

Definizione formale

Nei problemi di costruzione si considera l'insieme di tutti i punti del piano, l'insieme di tutte le rette del piano e l'insieme di tutte le circonferenze del piano, sui quali sono consentite le seguenti operazioni:

1. Selezionare un punto dall'insieme di tutti i punti:
   1. punto arbitrario
   2. punto arbitrario su una determinata linea
   3. punto arbitrario su una circonferenza data
   4. il punto di intersezione di due rette date
   5. punto di intersezione/tangenza di una data linea e di un dato cerchio
   6. punti di intersezione/tangenza di due circonferenze date
2. "Usando governanti» selezionare una riga dall'insieme di tutte le righe:
   1. linea retta arbitraria
   2. una linea retta arbitraria che passa per un punto dato
   3. una retta passante per due punti dati
3. "Usando bussola» seleziona un cerchio dall'insieme di tutti i cerchi:
   1. cerchio arbitrario
   2. un cerchio arbitrario con centro in dato punto
   3. cerchio arbitrario con raggio, uguale alla distanza tra due punti dati
   4. una circonferenza con centro in un punto dato e raggio pari alla distanza tra due punti dati

Nelle condizioni del problema, viene specificato un certo insieme di punti. È necessario, utilizzando un numero finito di operazioni tra quelle ammissibili sopra elencate, costruire un altro insieme di punti che sia in una determinata relazione con l'insieme originale.

La soluzione al problema della costruzione contiene tre parti essenziali:

1. Descrizione del metodo per costruire un dato insieme.
2. Prova che l'insieme costruito nel modo descritto è effettivamente in una determinata relazione con l'insieme originale. Solitamente la dimostrazione della costruzione viene effettuata come una normale dimostrazione del teorema, basata su assiomi e altri teoremi dimostrati.
3. Analisi del metodo di costruzione descritto per la sua applicabilità a diverse versioni delle condizioni iniziali, nonché per l'unicità o non unicità della soluzione ottenuta con il metodo descritto.

Problemi noti

• Il problema di Apollonio di costruire una circonferenza tangente a tre circonferenze date. Se nessuno dei cerchi indicati si trova all'interno dell'altro, allora questo problema ha 8 soluzioni significativamente diverse.
• Il problema di Brahmagupta di costruire un quadrilatero inscritto utilizzando i suoi quattro lati.

Costruzione di poligoni regolari

Gli antichi geometri sapevano come costruire correttamente N-gon per , , e .

Costruzioni possibili e impossibili

Tutte le costruzioni non sono altro che soluzioni a qualche equazione, e i coefficienti di questa equazione sono legati alla lunghezza di determinati segmenti. Pertanto, è conveniente parlare di costruzione di un numero: una soluzione grafica a un'equazione di un certo tipo. Nell'ambito dei requisiti di cui sopra, sono possibili le seguenti costruzioni:

• Costruzione di soluzioni di equazioni lineari.
• Costruire soluzioni di equazioni quadratiche.

In altre parole, è possibile costruire numeri uguali a espressioni aritmetiche solo utilizzando la radice quadrata dei numeri originali (lunghezza dei segmenti). Per esempio,

Variazioni e generalizzazioni

• Costruzioni utilizzando una bussola. Secondo il teorema di Mohr-Mascheroni, con l'aiuto di un compasso puoi costruire qualsiasi figura che possa essere costruita con un compasso e una riga. In questo caso una linea retta si considera costruita se su di essa sono specificati due punti.
• Costruzioni utilizzando un righello.È facile vedere che con l'aiuto di un righello si possono eseguire solo costruzioni proiettive-invarianti. In particolare, è impossibile anche solo dividere un segmento in due parti uguali, o trovare il centro di un cerchio disegnato. Ma se sul piano è presente un cerchio già tracciato con un centro segnato, utilizzando un righello si possono eseguire le stesse costruzioni che si fanno con compasso e righello (teorema di Poncelet-Steiner ( Inglese)), 1833. Se ci sono due tacche su un righello, le costruzioni che lo utilizzano equivalgono alle costruzioni che utilizzano compasso e righello (Napoleone fece un passo importante per dimostrarlo).
• Costruzioni che utilizzano strumenti con capacità limitate. In problemi di questo tipo gli strumenti (a differenza della formulazione classica del problema) sono considerati non ideali, ma limitati: una linea retta passante per due punti può essere tracciata con un righello solo se la distanza tra questi punti non supera un certo valore; il raggio dei cerchi disegnati utilizzando un compasso può essere limitato dall'alto, dal basso o sia dall'alto che dal basso.
• Costruzioni utilizzando origami piatti. vedi le regole Hujit

Guarda anche

• I programmi di geometria dinamica ti consentono di eseguire costruzioni utilizzando un compasso e un righello su un computer.

Appunti

Letteratura

• A.Adler Teoria delle costruzioni geometriche / Traduzione dal tedesco di G. M. Fikhtengolts. - Terza edizione. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 p.
• I. I. Alexandrov Raccolta di problemi di costruzione geometrica. - Diciottesima edizione. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 p.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - Seconda edizione. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
• A. M. Voronets Geometria della bussola. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 p. - (Biblioteca popolare di matematica sotto la direzione generale di L. A. Lyusternik).
• VA Geiler Problemi costruttivi irrisolvibili // refrigerante. - 1999. - N. 12. - P. 115-118.
• V. A. Kirichenko Costruzioni con compasso e riga e teoria di Galois // Scuola Estiva “Matematica Moderna”. - Dubna, 2005.
• Yu.I. Manin Libro IV. Geometria // Enciclopedia della matematica elementare. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 p.
• Y. Petersen Metodi e teorie per la soluzione dei problemi costruttivi geometrici. - M.: Tipografia di E. Lissner e Y. Roman, 1892. - 114 p.
• V. V. Prasolov Tre classici problemi di costruzione. Raddoppiare un cubo, trisezionare un angolo, quadrare un cerchio. - M.: Nauka, 1992. - 80 pag. - (Lezioni divulgative di matematica).
• J. Steiner Costruzioni geometriche eseguite utilizzando una linea retta e un cerchio fisso. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 p.
• Corso facoltativo di matematica. 7-9/Comp. I. L. Nikolskaya. - M.: Educazione, 1991. - P. 80. - 383 p. - ISBN 5-09-001287-3

Fondazione Wikimedia. 2010.

Scopri cos'è "Costruzione utilizzando compasso e righello" in altri dizionari:

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Un ramo della geometria euclidea, conosciuto fin dall'antichità. Nelle attività di costruzione sono possibili le seguenti operazioni: Contrassegnare un punto arbitrario sul piano, un punto su una delle linee costruite o il punto di intersezione di due linee costruite. Con l'aiuto di... ...Wikipedia

Le costruzioni con compasso e righe sono una branca della geometria euclidea conosciuta fin dall'antichità. Nelle attività di costruzione sono possibili le seguenti operazioni: Contrassegnare un punto arbitrario sul piano, un punto su una delle linee costruite o un punto... ... Wikipedia

Sostantivo, s., usato. confrontare spesso Morfologia: (no) cosa? costruzione, cosa? costruzione, (vedo) cosa? costruzione, cosa? costruzione, riguardo a cosa? sulla costruzione; per favore Che cosa? costruzione, (no) cosa? costruzioni, perché? costruzioni, (vedo) cosa? costruzione, con cosa?... ... Dizionario esplicativo di Dmitriev

PICCOLA ACCADEMIA DELLE SCIENZE DEGLI SCOLARI DELLA CRIMEA

"CERCATORE"

Sezione "Matematica"

COSTRUZIONI GEOMETRICHE CON L'UTILIZZO DI UN RIGHELLO A DOPPIA FACCIA

Ho finito il lavoro UN

_____________

Studente di classe

Direttore scientifico

INTRODUZIONE…………………..…..3

I. COSTRUZIONI GEOMETRICHE SUL PIANO………………...4

I.1. Assiomi generali della geometria costruttiva. Assiomi degli strumenti matematici…………………..……………..4

I.2. ……………………….....5

I.3. Costruzioni geometriche con un righello……………..7

IO.4. Compiti di base per costruire con un righello a doppia faccia………………..8

I.5. Risolvere vari problemi di costruzione …………………12

I.6. Costruzioni con righello unilaterale……………..20

I.7. Intercambiabilità di un righello bifacciale con un compasso e un righello....21

CONCLUSIONE…………………….24

Elenco dei riferimenti……………..………….25

introduzione

I problemi che coinvolgono la costruzione con mezzi limitati includono problemi che coinvolgono la costruzione utilizzando solo compasso e righello, che sono considerati nel curriculum scolastico. È possibile risolvere problemi di costruzione con un solo righello? Spesso non hai una bussola a portata di mano, ma puoi sempre trovare un righello.

I problemi sulle costruzioni in geometria sono una sezione affascinante. L'interesse per esso è dovuto alla bellezza e alla semplicità del contenuto geometrico. L'importanza di considerare questi problemi aumenta a causa del fatto che vengono utilizzati nella pratica. La capacità di utilizzare un righello per risolvere i problemi considerati in questo lavoro è di grande importanza attività pratiche, Perché Ci troviamo costantemente di fronte al problema di dividere un segmento a metà, raddoppiare un determinato segmento, ecc.

Nel presente contributo vengono esaminati i principali problemi costruttivi che fungono da base per la risoluzione di problemi più complessi.

Come dimostra l'esperienza, i compiti di costruzione suscitano interesse e contribuiscono all'attivazione dell'attività mentale. Quando li risolvono, viene utilizzata attivamente la conoscenza delle proprietà delle figure, viene sviluppata la capacità di ragionare e le abilità delle costruzioni geometriche vengono migliorate. Di conseguenza, si sviluppano abilità costruttive, che è uno degli obiettivi dello studio della geometria.

Ipotesi: tutti i problemi costruttivi risolvibili con compasso e riga possono essere risolti solo con una riga a doppia faccia.

Oggetto di studio: compiti di costruzione e righello a doppia faccia.

Obiettivi della ricerca: dimostrare che tutti i problemi di costruzione possono essere risolti solo con l'aiuto di un righello a doppia faccia.

Obiettivi della ricerca: studiare i fondamenti teorici per la risoluzione dei problemi di costruzione; risolvere problemi di costruzione di base utilizzando un righello a doppia faccia; fornire esempi di compiti di costruzione più complessi; sistematizzare il materiale teorico e pratico.

I. COSTRUZIONI GEOMETRICHE SUL PIANO

I.1. Assiomi generali della geometria costruttiva. Assiomi degli strumenti matematici

Per la geometria costruttiva è necessario avere una descrizione accurata e, ai fini matematici, completa di un particolare utensile. Questa descrizione è data sotto forma di assiomi. Questi assiomi in forma matematica astratta esprimono quelle proprietà degli strumenti di disegno reali utilizzati per le costruzioni geometriche.

Gli strumenti di costruzione geometrica più comunemente utilizzati sono:righello (unilaterale) , bussola, bifacciale righello (con bordi paralleli) e alcuni altri.

A. Assioma del sovrano.

Il righello consente di eseguire le seguenti costruzioni geometriche:
a) costruire un segmento che collega due punti costruiti;

b) costruire una retta passante per due punti costruiti;

c) costruire un raggio che parte da un punto costruito e passa per un altro punto costruito.

B. L'assioma della bussola.

Il compasso permette di eseguire le seguenti costruzioni geometriche:
a) costruire un cerchio se sono stati costruiti il ​​centro del cerchio e un segmento uguale al raggio del cerchio (o ai suoi estremi);

B. Assioma di un righello a doppia faccia.

Il righello a doppia faccia ti consente di:

a) realizzare una qualsiasi delle costruzioni elencate nell'assioma A;

b) costruire in ciascuno dei semipiani definiti dalla linea costruita una linea parallela a questa linea e passante da essa a distanzaUN, Dove UN - un segmento fissato per un dato righello (larghezza del righello);

c) se si costruiscono due punti A e B, determinare se AB sarà maggiore di un certo segmento fissoUN (larghezza del righello) e se AB >UN , quindi costruire due coppie di rette parallele passanti rispettivamente per i punti A e B e distanziate tra loro a distanzaUN .

Oltre agli strumenti elencati, puoi utilizzare altri strumenti per costruzioni geometriche: un angolo arbitrario, un quadrato, un righello con segni, una coppia di angoli retti, vari dispositivi per disegnare curve speciali, ecc.

I.2. Principi generali per la soluzione dei problemi costruttivi

Compito di costruzione consiste nel fatto che è necessario costruire una certa figura con gli strumenti specificati se viene data un'altra figura e vengono indicate determinate relazioni tra gli elementi della figura desiderata e gli elementi di questa figura.

Viene chiamata ogni figura che soddisfa le condizioni del problemadecisione questo compito.

Trovare una soluzione compito di costruzione significa ridurlo a un numero finito di costruzioni di base, cioè indicare una sequenza finita di costruzioni di base, dopodiché la figura desiderata sarà già considerata costruita in virtù degli assiomi accettati della geometria costruttiva. L'elenco delle costruzioni di base accettabili e, di conseguenza, il progresso nella risoluzione del problema, dipende in modo significativo da quali strumenti specifici vengono utilizzati per le costruzioni.

Risolvere il problema della costruzione - Significa, trovare tutte le sue soluzioni .

L’ultima definizione richiede alcuni chiarimenti. Le figure che soddisfano le condizioni del problema possono differire sia per forma o dimensione, sia per posizione sul piano. Le differenze di posizione sul piano vengono prese in considerazione o meno a seconda della formulazione del problema di costruzione stesso, a seconda che la condizione del problema preveda o meno una determinata posizione della figura desiderata rispetto a qualsiasi figura data .

Se viene trovata una soluzione al problema, in futuro sarà consentito utilizzare questa soluzione "nel suo insieme", cioè senza dividerla in costruzioni principali.

Esistono numerosi semplici problemi di costruzione geometrica, che vengono spesso inclusi come componenti nella risoluzione di problemi più complessi. Li chiameremo problemi di costruzione geometrica elementare. L'elenco dei compiti elementari è, ovviamente, condizionale. Le attività di base di solito includono quanto segue:

Dividi questo segmento a metà.

Dividere un dato angolo a metà.

Costruire su una retta data un segmento uguale a quello dato.

Costruire un angolo uguale ad uno dato.

Costruire una retta passante per un punto dato parallela ad una retta data.

Costruzione di una retta passante per un punto dato e perpendicolare ad una retta data.

Divisione di un segmento a questo riguardo.

Costruire un triangolo utilizzando tre lati dati.

Costruzione di un triangolo utilizzando un lato e due angoli adiacenti.

Costruire un triangolo utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro.

Quando si risolve un problema di costruzione un po' complesso, sorge la domanda su come ragionare per trovare un modo per risolvere il problema, per ottenere tutte le soluzioni al problema, per scoprire le condizioni per la possibilità di risolvere il problema, ecc. Pertanto , quando risolvono problemi costruttivi, utilizzano uno schema di soluzione, costituito dalle seguenti quattro fasi:

1) analisi;
2) costruzione;
3) prova;
4) ricerca.

I.3. Costruzioni geometriche con un righello

Considereremo il sovrano da due punti di vista: come sovrano e come sovrano a doppia faccia.

1. Righello a doppia faccia larghezza UN chiameremo un righello con bordi paralleli situati a distanza UN tra loro, consentendo di costruire direttamente:

a) una linea retta arbitraria;

b) una retta passante per due punti dati o ottenuti nel processo di risoluzione del problema;

c) linee parallele, ciascuna delle quali passa per uno dei punti, le cui distanze sono maggioriUN (in questa costruzione il regolo è in posizione tale che su ciascuno dei suoi due spigoli paralleli si trova uno dei due punti dati; in questo caso si parlerà di costruzione diretta).

La larghezza del righello in questa costruzione è considerata costante e quindi, se nel processo di risoluzione di un problema specifico diventa necessario eseguire una costruzione diretta relativa ad alcuni punti ottenutiUN E IN , allora dobbiamo dimostrare che la lunghezzaAB più a lungo UN .

Considereremo un punto da costruire se è uno dei dati oppure è l'intersezione di due linee costruite; a nostra volta considereremo costruita una retta se passa per i punti costruiti o dati.

Usando un righello a doppia faccia puoi costruire quanto segue.

a) Attraverso due punti qualsiasi puoi tracciare una linea retta, e solo una.

b) Qualunque sia la retta, nel piano ci sono esattamente due rette, parallele ad essa e separate da essa da una distanzaUN .

c) Per due punti A e B in AB UN è possibile disegnare due coppie di parallele Dritto; con AB = UN puoi disegnare una coppia di linee parallele, la cui distanza è ugualeUN .

Se vengono dati uno, due, tre punti, non è possibile costruire nuovi punti

(Figura 1);

se sono dati quattro punti, di cui tre (o tutti e quattro) giacciono sulla stessa retta, allora non è possibile costruire altri punti (Fig. 2);

Se ti vengono dati quattro punti che giacciono ai vertici di un parallelogramma, puoi costruire solo un punto: il suo centro. (Fig.3).

Accettato quanto sopra, consideriamo separatamente i problemi risolti da un righello a doppia faccia.

IO.4. Compiti di base per costruire con un righello a doppia faccia

1
. Costruisci la bisettrice dell'angolo ABC.

Soluzione: (Fig. 4)

UN  (IN C) E B  (Una banda  B = D .

Otteniamo B D– bisettrice  ABC.

Infatti, ottenuto da

costruire un parallelogramma è

rombo, poiché le sue altezze sono uguali. IND –

la diagonale del rombo è una bisettrice ABC. Fig.4

2
. Raddoppia l'angolo ABC dato

Soluzione : (Fig. 5) a) UN  (AB),

UN  (IN C)= D , attraverso i punti B e D

B direttamente;

b) attraverso i punti B eD M  B

direttamente,B Ç un = F .

Noi abbiamo Ð AB F = 2 Ð ABC .

Fig.5

3 . Ad una data retta M N in questo

traccia una perpendicolare al punto A

Soluzione : (Fig.6)

1) (AA1) || (BB1) || (SS1) –

direttamente (b (M N),

CON Î (M N)); 2) attraverso A e B

M || N - direttamente,

M Ç (SS 1) = D .

Otteniamo (A D )  (M N ).

Fig.6.

4
. Attraverso un dato punto non sdraiato

data linea, tracciare una perpendicolare

A questa linea.

Soluzione: Attraverso questo punto O disegniamo

due linee che intersecano un dato

retta AB e raddoppia gli angoli della risultante

triangoli adiacenti a questo

Dritto.  OA N = 2  OAV e

OB N = 2  OVA (Fig. 7).

Fig.7

5. Costruisci un punto simmetrico a una data linea rispetto a una data linea.

Soluzione: vedere il problema 4. (il punto O è simmetrico al puntoN. Fig.7)

6. Eseguire una linea retta parallelo a questo

P
dritto M N , attraverso il punto A, no

appartenente alla linea M N .

Soluzione 1: (Fig. 8)

1)(AA1) || (BB1) || (SS1) || (GG 1 ) || (KK 1) -

– direttamente, (SA)Ç (BB 1) = C 2;

2) (Con 2 K) Ç (GG 1 ) = F .

(UN F ) è la retta desiderata.

Figura 8

Soluzione 2 . Nella Fig. 8 1 è numerato

sequenza di linee rette,

di cui 1, 2 e 3 sono paralleli

costruzione diretta;

(UN F) || (M N).

Fig.8 1

7
. Dividi questo segmento AB a metà.

Soluzione 1. (Fig. 9) (solo nel caso in cui la larghezza del righello sia inferiore alla lunghezza di questo segmento). Disegna direttamente due coppie di linee parallele

le estremità di questo segmento e poi la diagonale

il rombo risultante. O – medio AB.

Riso. 9.

Soluzione 2. (Fig. 9, a)

1)a || (Una banda B || (AB) – direttamente;

2) (AR), (AR)Ç un = C, (AP) Ç B = D ;

3) (D IN) Ç a = M, (SV) Ç B = N ;

4) (m N ) Ç (AB) = K;

5) (D A) Ç (UN N ) = F ;

6) (B F ) Ç B = D 1, (B F ) Ç a = C1;

7) (D IN ) Ç (UN D 1 ) = X,

(CA 1) Ç (SV) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) =O. Otteniamo AO = OB.

Figura 9,a

Soluzione 3 .( Riso. 9,b)

Come è noto , nel trapezio medio

basi, punto di intersezione

diagonali e punto di intersezione

estensioni dei lati

giacciono sulla stessa linea retta.

1) M || (AB) – direttamente;

2)C Î M , D Î M , (COME) Ç (IN D ) = A; Fig.9,b

3) (NE) Ç (UN D ) = F ; 4) (k F ) Ç (AB) =O. Otteniamo AO = OB.

I.5. Risoluzione di vari problemi di costruzione

Nel risolvere i seguenti problemi di costruzione utilizzando solo un righello a doppia faccia, vengono utilizzati la costruzione diretta di linee parallele e i sette problemi principali sopra indicati.

1. Disegna due linee reciprocamente perpendicolari attraverso questo punto.

R soluzione: passiamo oltre questo punto

due linee arbitrarie,

e poi - bisettrici

angoli adiacenti. (Fig.10)

Fig.10

2. Dato un segmento A D data la lunghezza a.

Costruisci un segmento la cui lunghezza sia uguale a .

R
decisione : Eseguiamo M  UN E H || M Attraverso

punto A. F || (UN D ) , K || (ANNO DOMINI) direttamente.

Disegniamo AB e AC, dove B =F  M ,

un C = M  K . In modo noto

dividere AB e AC a metà e

disegniamo le mediane del triangolo

ABC. Per la proprietà delle mediane

triangolo, O D = - cercato

segmento (Fig. 11)

Riso. undici

3. Costruisci un segmento la cui lunghezza è

uguale al perimetro del triangolo dato.

Soluzione: (Fig. 12). Costruiamo bisettrici

due angoli esterni del triangolo, e poi

3 picchi IN disegniamo le perpendicolari

a queste bisettrici.

DE = un+ B + s

Fig.12

4. Dato un segmento di lunghezza a. Costruisci segmenti di lunghezza 2a, 3a.

R soluzione: (Fig.13)

1M N) || (AB) e (M1 N 1 ) || (M N) || (M2 N 2 ) –

Direttamente;

2) (CA) e (CB) attraverso A e B.

I segmenti A 1 B 1 e A 2 B 2 sono obbligatori.

Un'altra soluzione a questo problema può essere

ottenuto dalla soluzione del problema 7.

Riso. 13

5. Su una linea retta sono dati due segmenti le cui lunghezze sono a e B . Costruisci segmenti la cui lunghezza sia uguale a + B , B - UN, ( UN + B )/2 e ( B - UN )/2 .

Soluzione: e per UN + B(Fig. 14, a)

Figura 14, a

b) per ( UN + B)/2 (Fig. 14, b)

1) (A1B1) || (A2B2) || (AB) – direttamente;

2)M Î (A2B2), (MX) Ç (A1B1) = N, (M H) Ç (A1B1) = P;

3) (PI) Ç (A2B2) = l, (LZ ) Ç (A1B1) = Oh,

Noi abbiamo: N O = NP + P.O. =
.

Riso. 14, b

c) per B - UN(Fig. 14, c)

Riso. 14,v

c) per ( B - UN )/2 (Fig. 14,d)

Riso. 14, g

6
. Costruisci il centro di questo cerchio.

Soluzione : (Fig. 15) Disegniamo una linea retta AB,

intersecare il cerchio nei punti A e B;

Sole  AB, dove C è il punto di intersezione

con un cerchio.

Attraverso il punto C tracciamo la parallela ad AB

dritto C D; CONDinterseca un cerchio

al puntoD.

ConnessioneDcon B e A con C, otteniamo

il punto desiderato è il centro del cerchio. Riso. 15

Soluzione 2: (Fig. 16) Utilizzando un righello a doppia faccia, costruisci due accordi paralleliANNO DOMINI EAVANTI CRISTO. . Otteniamo un trapezio isosceleABCD. PermettereK EP - punti di intersezione di lineeAC. EB.D , AB EDC . Poi drittoP K passa per i punti medi delle basi del trapezio perpendicolare ad esse, cioè passa per il centro della circonferenza data. Costruendo in modo simile un'altra retta simile, troviamo il centro del cerchio.

Riso. 16

7. È dato un arco di cerchio. Costruisci il centro del cerchio

Soluzione . (Fig.17) Segna tre punti A, B e C su questo arco. Applica un righello alle estremità del segmento AB e delinea i suoi bordi. Otteniamo due linee parallele. Cambiando la posizione del righello, disegniamo altre due linee parallele. Otteniamo un rombo (un parallelogramma con uguali altezze). Una delle diagonali di un rombo è la bisettrice perpendicolare al segmentoAB , poiché la diagonale di un rombo giace sulla bisettrice perpendicolare all'altra diagonale. Allo stesso modo, costruiamo la bisettrice perpendicolare al segmentoAC. . Il punto di intersezione delle bisettrici costruite è il centro del cerchio desiderato.

Riso. 17

8. Dato un segmento AB, una retta non parallela le un punto M su di essa. Utilizzando un righello a doppia faccia, costruisci i punti di intersezione della retta l con una circonferenza di raggio AB e centro M.

Soluzione: (Fig.18)

Completiamo il triangoloA.B.M. al parallelogrammaABNM . Costruiamo le bisettrici MT eSMangoli traMNe drittol . Esaminiamo il puntoN rette parallele a queste bisettrici:NQ || SM, NR || M.T.. MT│ SMcome bisettrici di angoli adiacenti. Significa,NQ │ MT, cioè in un triangoloNMQla bisettrice è l'altitudine, quindi il triangolo è isoscele:MQ = MN. Allo stesso modo,SIG. = MN. PuntiQERcercato.

Riso. 18

9. Data una retta l e un segmento OA parallelo a l. Utilizzando un righello a doppia faccia, costruisci i punti di intersezione della retta l con una circonferenza di raggio OA e centro O.

Soluzione: (Fig. 19,a)

Facciamo una direttal 1 , parallelo alla lineaO.A. e distante da esso a distanzaUN . Prendiamolo in linea rettal punto arbitrarioB . PermettereB 1 - punto di intersezione delle lineeO.B. El 1 . Esaminiamo il puntoB 1 dritto, paralleloAB ; questa linea interseca la lineaO.A. al puntoUN 1 . Vediamo ora i puntiO EUN 1 una coppia di linee parallele, la distanza tra loro èUN (possono esserci due di queste coppie di linee); permettereX EX 1 - punti di intersezione di una linea passante per un puntoO , con linee rettel El 1 . PerchéO.A. 1 = BUE 1 e ∆O.A. 1 X 1 ∆ OAX , allora OA = OX, puntoX ricercato.

Allo stesso modo, costruiamo il secondo punto di intersezione del cerchio e della linea: il puntoY(Fig. 18, b).

Riso. 18,a

Riso. 18, b

I.6.Costruzioni con righello unilaterale

Z
Consideriamo qui un caso speciale: siano dati i punti P,Q, R 1 EQ 1 . e giacciono ai vertici del trapezio.

1. Dividere il segmento P Q a metà

Soluzione mostrato nella Figura 19

Dati i punti P,Q, R 1 EQ 1 e linee parallele

RQ, R 1 Q 1 . Eseguiamo RQ 1  QR 1 =B , RR 1  QQ 1 =A

Colleghiamo i punti A e B. AB RQ = F- mezzo

segmento PQ.

Riso. 19

2. Raddoppia il segmento R 1 Q 1.

R
decisione mostrato nella Figura 20. Costruiamo

puntoF– la metà del segmento PQe collegarlo

ConQ 1. R 1 Q FQ 1 = M. Eseguiamo RM. RM R 1 Q 1 = R

uguaglianzaRQe p 1 Q 1 segue dalla somiglianza

triangoli RMFE RMQ 1 ,

FMQE R 1 MQ 1 e le uguaglianze PFEFQ.

Riso. 20

3
. Costruisci un segmento di lunghezza N  R 1 Q 1 .

M – 1 segmenti uguali PQ 2 , Q 2 Q 3, … Q M -1 Q M

Quindi costruiamo (RR 1 ) EQ M Q 1 e connettersi

il loro punto di intersezione A con i punti

Q 2 , Q 3, … Q M RicevutoM -1 diretto

dividereR 1 Q 1 SUM pari parti.

PerM = 4 la soluzione è mostrata nella Figura 22

Fig.22

I.7. Intercambiabilità del righello bifacciale con compasso e righello

Dimostriamo che un righello a doppia faccia è intercambiabile con un compasso e un righello. Per fare ciò dimostriamo le seguenti affermazioni:

Enunciato 1: tutte le costruzioni che si possono fare con compasso e riga si possono fare con un righello a doppia faccia.

Poiché quando si costruisce con un compasso e un righello, il righello traccia una linea che passa attraverso due punti e il compasso costruisce un cerchio (trova un insieme di punti equidistanti da uno dato), quindi tutte le costruzioni con un compasso e un righello si riducono a costruire l'intersezione di due rette, due cerchi e un cerchio con una retta.

L'intersezione di due rette può essere costruita utilizzando un righello.

L'intersezione di un cerchio e una linea retta (Fig. 23):

Costruzione:Sia dato il segmento AB: il raggio del cerchio, una linea rettal , il centro del cerchio O, quindi:

1) Eseguiamo il sistema operativo ||l , OS = AB.

2) Eseguiamo il sistema operativo ||Ke remoto ad a.

3) EseguiamoD.O., D.O. l = D; D.O. k) Per corollario del teorema di Talete

4) Secondo la legge di transitività delle uguaglianze

5) ConsideraOMQE. OMQEè un parallelogramma, poiché OM ||EQe OE ||M.C.(i lati del righello sono paralleli). Dimostriamo che questo è un rombo.

5.1) CondottaQZ O.C.EQG SU, PoiQG = QZ = UN.

5.2)  OMQ =  RQM(disteso trasversalmente);  sistema operativo =SU, che era ciò che doveva essere dimostrato.

Intersezione di due cerchi: simile.

Enunciato 2: tutte le costruzioni che possono essere fatte con un righello a doppia faccia possono essere fatte con compasso e riga.

Per fare ciò, eseguiremo la costruzione standard di un righello a doppia faccia utilizzando un compasso e un righello.

1) Una linea retta che utilizza due punti può essere facilmente costruita utilizzando un righello.

2) Costruzione di una retta parallela ad una data e allontanata da essa ad una data distanza:

2.1) Sia data una rettaKe segmento di lunghezzaUN.

2.2) Costruire una retta arbitrariaB K, permettereK B= B.

2.3) AccesoBsu entrambi i lati del puntoBsu una linea rettaBmettere da parte un pezzo di lunghezzaUN, passiamo ai puntiCED.

2.4) Attraverso un puntoCcostruire una linea rettaC K.

2.5) Attraverso un puntoDcostruire una linea rettaD K.

2.6) DirettoCED-richiesto, perchéAVANTI CRISTO.EB.DpariUNper costruzione e sono pari alla distanza tra la rettaKe dritto

3) Costruzione di rette parallele tra loro e passanti per due punti dati, e la loro distanza è uguale al segmento dato:

3.1) Diamo i puntiUNEBe segmento di lunghezzaUN.

3.2) Costruzione di una circonferenza con centro in un puntoUNe raggioUN.

3.3) Costruisci una tangente ad una circonferenza data passante per un puntoB; ci sono due di queste tangenti seBsi trova fuori dal cerchio (seAB> UN), uno seBgiace sul cerchio (seAB= UN), nessuno seBsi trova all'interno del cerchio (AB< UN). Questa tangente è una delle rette che stiamo cercando; resta da passare per il puntoUNretta ad esso parallela.

3.4) Poiché una delle rette è perpendicolare al raggio del cerchio come tangente, anche la seconda è perpendicolare ad essa (poiché sono parallele), quindi la distanza tra loro è uguale al raggio, che per costruzione è uguale aUN, che è quanto era necessario ottenere.

Pertanto, abbiamo dimostrato l'intercambiabilità di un righello a doppia faccia, di un compasso e di un righello.

Conclusione: un righello a doppia faccia è intercambiabile con un compasso e un righello.

Conclusione

Quindi, la questione della possibilità di utilizzare un righello per risolvere i problemi di costruzione classici utilizzando un compasso e un righello è stata considerata e risolta. Si scopre che i problemi di costruzione possono essere risolti utilizzando solo un righello con bordi paralleli. Quando si risolvono problemi più complessi, si dovrebbe fare affidamento ulteriormente sulle cosiddette costruzioni di base discusse in questo lavoro.

Il materiale presentato può essere applicato direttamente non solo nelle lezioni di matematica, nelle lezioni del circolo matematico, ma anche nelle attività pratiche.

Elenco della letteratura usata

Aliev A.V. Costruzioni geometriche. Matematica a scuola. 1978 n. 3

Glazer G.I. Storia della matematica a scuola. M., Illuminismo. 1981.

Depman I.Ya. Dietro le pagine di un libro di matematica. M..Illuminismo.1989.

Elensky Shch.Sulle orme di Pitagora. M., Detgiz. 1961.

Dizionario enciclopedico di un giovane matematico. M., Pedagogia. 1985

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Costruzione con righello e compasso Geometria">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Costruisci un segmento uguale al dato Ú Problema A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Costruire un angolo uguale a un dato Considera i triangoli"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Costruire la bisettrice di un angolo Problema Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Costruzione di rette perpendicolari Ú Problema Data una retta"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Costruire il punto medio di un segmento Attività Ú Costruire il punto medio di un dato"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Istituzione educativa di bilancio comunale

scuola secondaria n. 34 con approfondimento delle singole materie

MAN, sezione fisica e matematica

“Costruzioni geometriche con compasso e riga”

Completato da: studente del grado 7 “A”

Batishcheva Victoria

Responsabile: Koltovskaya V.V.

Voronež, 2013

3. Costruire un angolo uguale a quello dato.

P Disegniamo un cerchio arbitrario con centro nel vertice A di un dato angolo (Fig. 3). Siano B e C i punti di intersezione della circonferenza con i lati dell'angolo. Con raggio AB disegniamo una circonferenza con centro nel punto O, punto iniziale di questa semiretta. Indichiamo il punto di intersezione di questo cerchio con questa semiretta come C 1 . Descriviamo una circonferenza di centro C 1 e Fig.3

raggio dell'aereo. Punto B1 l'intersezione dei cerchi costruiti nel semipiano indicato si trova dal lato dell'angolo desiderato.

6. Costruzione di linee perpendicolari.

Disegniamo un cerchio con un raggio arbitrario r con un centro nel punto O in Fig. 6. Il cerchio interseca la retta nei punti A e B.Dai punti A e B tracciamo cerchi di raggio AB. Sia la malinconia C il punto di intersezione di questi cerchi. Abbiamo ottenuto i punti A e B nel primo passaggio, costruendo un cerchio con un raggio arbitrario.

La retta desiderata passa per i punti C e O.

Fig.6

Problemi noti

1.Il problema di Brahmagupta

Costruisci un quadrilatero inscritto utilizzando i suoi quattro lati. Una soluzione utilizza il cerchio di Apollonio.Risolviamo il problema di Apollonio utilizzando l'analogia tra un tricerchio e un triangolo. Come troviamo un cerchio inscritto in un triangolo: costruiamo il punto di intersezione delle bisettrici, portiamo da esso le perpendicolari ai lati del triangolo, le basi delle perpendicolari (i punti di intersezione della perpendicolare con il lato su cui si trova viene lasciato cadere) e assegnarci tre punti che giacciono sul cerchio desiderato. Disegna un cerchio attraverso questi tre punti: la soluzione è pronta. Faremo lo stesso con il problema di Apollonio.

2. Il problema di Apollonio

Utilizzando compasso e righello, costruisci una circonferenza tangente ai tre cerchi indicati. Secondo la leggenda il problema fu formulato da Apollonio di Perga intorno al 220 a.C. e. nel libro "Il tocco", andato perduto, ma restaurato nel 1600 da François Viète, il "gallico Apollonio", come lo chiamavano i suoi contemporanei.

Se nessuno dei cerchi indicati si trova all'interno dell'altro, allora questo problema ha 8 soluzioni significativamente diverse.

Costruzione di poligoni regolari.

P

corretto (O equilatero ) triangolo - Questo poligono regolarecon tre lati, il primo dei poligoni regolari. Tutto lati di un triangolo regolare sono uguali tra loro e tutti gli angoli sono 60°. Per costruire un triangolo equilatero, devi dividere il cerchio in 3 parti uguali. Per fare ciò, è necessario tracciare un arco di raggio R di questo cerchio solo da un'estremità del diametro, otteniamo la prima e la seconda divisione. La terza divisione è all'estremità opposta del diametro. Unendo questi punti otteniamo un triangolo equilatero.

Esagono regolare Poterecostruire utilizzando compasso e righello. Sottoviene fornito il metodo di costruzionedividendo il cerchio in 6 parti. Usiamo l'uguaglianza dei lati di un esagono regolare al raggio del cerchio circoscritto. Dalle estremità opposte di uno dei diametri del cerchio descriviamo archi di raggio R. I punti di intersezione di questi archi con un dato cerchio lo divideranno in 6 parti uguali. Collegando in sequenza i punti trovati si ottiene un esagono regolare.

Costruzione di un pentagono regolare.

P
può esserlo un pentagono regolarecostruito utilizzando compasso e righello, oppure inserendolo in un datocerchio o costruzione basata su un dato lato. Questo processo è descritto da Euclidenei suoi Elementi intorno al 300 a.C. e.

Ecco un metodo per costruire un pentagono regolare in un dato cerchio:

Costruisci un cerchio in cui sarà inscritto il pentagono e segna il suo centro comeO . (Questo è il cerchio verde nel diagramma a destra).

Seleziona un punto sulla circonferenzaUN , che sarà uno dei vertici del pentagono. Costruisci una linea retta passanteO EUN .

Costruisci una linea perpendicolare alla lineaO.A. , passando per il puntoO . Designare una delle sue intersezioni con il cerchio come puntoB .

Traccia un puntoC nel mezzoO EB .

C attraverso il puntoUN . Segna la sua intersezione con la lineaO.B. (all'interno del cerchio originale) come puntoD .

Disegna un cerchio con centro inUN attraverso il punto D, segnare l'intersezione di questo cerchio con l'originale (cerchio verde) come puntiE EF .

Disegna un cerchio con centro inE attraverso il puntoUN G .

Disegna un cerchio con centro inF attraverso il puntoUN . Etichetta la sua altra intersezione con il cerchio originale come un puntoH .

Costruisci un pentagono regolareAEGHF .

Problemi irrisolvibili

Nell’antichità furono fissati i seguenti tre compiti di costruzione:

Trisezione di un angolo - dividere un angolo arbitrario in tre parti uguali.

In altre parole, è necessario costruire trisettori angolari: raggi che dividono l'angolo in tre parti uguali. P. L. Wanzel dimostrò nel 1837 che il problema è risolvibile solo quando, ad esempio, è possibile la trisezione per angoli α = 360°/n, a condizione che l'intero n non sia divisibile per 3. Tuttavia, nella stampa di tanto in tanto (errore errato ) vengono pubblicati i metodi per trisecare un angolo con compasso e righello.

Raddoppiare il cubo - classico problema antico di costruire con compasso e righello lo spigolo di un cubo, il cui volume è il doppio del volume di un dato cubo.

Nella notazione moderna, il problema si riduce alla risoluzione dell'equazione. Tutto si riduce al problema di costruire un segmento di lunghezza. P. Wantzel dimostrò nel 1837 che questo problema non poteva essere risolto utilizzando compasso e riga.

Quadratura di un cerchio - un compito che consiste nel trovare una costruzione utilizzando un compasso e un righello di un quadrato uguale in area al cerchio dato.

Come sai, con l'aiuto di un compasso e di un righello puoi eseguire tutte e 4 le operazioni aritmetiche ed estrarre la radice quadrata; ne consegue che la quadratura del cerchio è possibile se e solo se, utilizzando un numero finito di tali azioni, è possibile costruire un segmento di lunghezza π. Pertanto, l'irrisolvibilità di questo problema deriva dalla natura non algebrica (trascendenza) del numero π, dimostrata nel 1882 da Lindemann.

Un altro problema ben noto che non può essere risolto utilizzando compasso e righello ècostruire un triangolo utilizzando tre lunghezze bisettrici date .

Inoltre, questo problema rimane irrisolvibile anche in presenza di un trisettore.

Fu solo nel 19° secolo che fu dimostrato che tutti e tre i problemi erano irrisolvibili utilizzando solo compasso e riga. La questione della possibilità di costruzione è completamente risolta con metodi algebrici basati sulla teoria di Galois.

LO SAPEVI...

(dalla storia delle costruzioni geometriche)

Un tempo la costruzione di poligoni regolari aveva un significato mistico.

Così i Pitagorici, seguaci dell'insegnamento religioso e filosofico fondato da Pitagora, e che vissero nell'antica Grecia (V Io-io Vsecoli AVANTI CRISTO a.C.), adottarono come segno della loro unione un poligono a forma di stella formato dalle diagonali di un pentagono regolare.

Le regole per la rigorosa costruzione geometrica di alcuni poligoni regolari sono esposte nel libro “Elementi” dell'antico matematico greco Euclide, che visse aIIIV. AVANTI CRISTO. Per realizzare queste costruzioni, Euclide propose di utilizzare solo una riga e un compasso, che a quel tempo non avevano un dispositivo incernierato per collegare le gambe (tale limitazione negli strumenti era un requisito immutabile della matematica antica).

Trovati poligoni regolari ampia applicazione e nell'astronomia antica. Se Euclide era interessato alla costruzione di queste figure dal punto di vista matematico, allora per l'antico astronomo greco Claudio Tolomeo (circa 90-160 d.C.) si rivelò necessario come strumento ausiliario per risolvere problemi astronomici. Così, nel 1° libro degli Almagesti, l'intero decimo capitolo è dedicato alla costruzione dei pentagoni e dei decagoni regolari.

Tuttavia, oltre ai lavori puramente scientifici, la costruzione di poligoni regolari era parte integrante di libri per costruttori, artigiani e artisti. La capacità di rappresentare queste figure è stata a lungo richiesta in architettura, gioielleria e belle arti.

I “Dieci libri sull’architettura” dell’architetto romano Vitruvio (vissuto intorno al 63-14 a.C.) dicono che le mura della città dovrebbero avere la forma di un poligono regolare in pianta, e le torri della fortezza “dovrebbero essere rotonde o poligonali , per un quadrilatero piuttosto distrutto dalle armi d’assedio”.

La disposizione delle città era di grande interesse per Vitruvio, il quale credeva che fosse necessario pianificare le strade in modo che i venti principali non soffiassero lungo di esse. Si presumeva che esistessero otto venti di questo tipo e che soffiassero in determinate direzioni.

Durante il Rinascimento, la costruzione dei poligoni regolari, e in particolare del pentagono, non era un semplice gioco matematico, ma era un prerequisito necessario per la costruzione delle fortezze.

L'esagono regolare fu oggetto di uno studio speciale da parte del grande astronomo e matematico tedesco Johannes Kepler (1571-1630), di cui parla nel suo libro “ Regalo di Capodanno, o sui fiocchi di neve esagonali." Discutendo i motivi per cui i fiocchi di neve hanno una forma esagonale, osserva, in particolare, quanto segue: “... un piano può essere coperto senza spazi vuoti solo con le seguenti figure: triangoli equilateri, quadrati ed esagoni regolari. Tra queste figure, l'esagono regolare copre l'area più grande."

Uno dei più famosi scienziati coinvolti nelle costruzioni geometriche fu il grande artista e matematico tedesco Albrecht Dürer (1471 -1528), che dedicò loro una parte significativa del suo libro “Manuali...”. Propose regole per costruire poligoni regolari con 3, 4, 5... 16 lati. I metodi per dividere un cerchio proposti da Dürer non sono universali; in ogni caso specifico viene utilizzata una tecnica individuale.

Dürer utilizzò metodi per costruire poligoni regolari nella pratica artistica, ad esempio, creando vari tipi di ornamenti e motivi per il parquet. Ha abbozzato questi modelli durante un viaggio nei Paesi Bassi, dove in molte case sono stati trovati pavimenti in parquet.

Dürer compose ornamenti da poligoni regolari, che sono collegati in anelli (anelli di sei triangoli equilateri, quattro quadrangoli, tre o sei esagoni, quattordici ettagoni, quattro ottagoni).

Conclusione

COSÌ,costruzioni geometriche è un metodo per risolvere un problema in cui la risposta è ottenuta graficamente. Le costruzioni vengono eseguite utilizzando strumenti di disegno con la massima precisione e accuratezza del lavoro, poiché da questo dipende la correttezza della soluzione.

Grazie a questo lavoro ho conosciuto la storia dell'origine del compasso, ho acquisito maggiore familiarità con le regole per eseguire le costruzioni geometriche, ho acquisito nuove conoscenze e le ho applicate nella pratica.
Risolvere problemi di costruzione con compasso e righello è un passatempo utile che ti permette di dare uno sguardo nuovo alle proprietà conosciute delle figure geometriche e dei loro elementi.Questo articolo discute i problemi più urgenti associati alle costruzioni geometriche utilizzando compassi e righelli. Vengono considerati i principali problemi e vengono fornite le relative soluzioni. I problemi proposti sono di notevole interesse pratico, consolidano le conoscenze acquisite in geometria e possono essere utilizzati per lavoro pratico.
Pertanto, l'obiettivo del lavoro è stato raggiunto, i compiti assegnati sono stati completati.

Nei problemi di costruzione considereremo la costruzione figura geometrica che può essere fatto utilizzando righello e compasso.

Usando un righello puoi:

linea retta arbitraria;

una linea retta arbitraria passante per un dato punto;

una retta passante per due punti dati.

Usando un compasso, puoi descrivere un cerchio di un dato raggio a partire da un dato centro.

Usando un compasso puoi tracciare un segmento su una determinata linea da un dato punto.

Consideriamo i principali compiti di costruzione.

Compito 1. Costruisci un triangolo con i lati dati a, b, c (Fig. 1).

Soluzione. Usando un righello, traccia una linea retta arbitraria e prendi su di essa un punto arbitrario B. Usando l'apertura del compasso uguale ad a, descriviamo un cerchio con centro B e raggio a. Sia C il punto di intersezione con la retta. Con un'apertura del compasso uguale a c, descriviamo un cerchio dal centro B, e con un'apertura del compasso uguale a b, descriviamo un cerchio dal centro C. Sia A il punto di intersezione di questi cerchi. Il triangolo ABC ha i lati uguali ad a, b, c.

Commento. Affinché tre segmenti rettilinei servano da lati di un triangolo, è necessario che il maggiore di essi sia minore della somma degli altri due (e< b + с).

Compito 2.

Soluzione. Questo angolo con vertice A e il raggio OM sono mostrati in Figura 2.

Disegniamo un cerchio arbitrario con centro nel vertice A dell'angolo dato. Sia B e C i punti di intersezione del cerchio con i lati dell'angolo (Fig. 3, a). Con il raggio AB disegniamo un cerchio con il centro nel punto O, il punto iniziale di questo raggio (Fig. 3, b). Indichiamo il punto di intersezione di questo cerchio con questo raggio come C 1 . Descriviamo una circonferenza con centro C 1 e raggio BC. Il punto B 1 dell'intersezione di due cerchi si trova sul lato dell'angolo desiderato. Ciò segue dall'uguaglianza Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (il terzo segno di uguaglianza dei triangoli).

Compito 3. Costruisci la bisettrice di questo angolo (Fig. 4).

Soluzione. Dal vertice A di un dato angolo, come dal centro, tracciamo un cerchio di raggio arbitrario. Siano B e C i punti di intersezione con i lati dell'angolo. Dai punti B e C descriviamo cerchi con lo stesso raggio. Sia D il loro punto di intersezione, diverso da A. Il raggio AD divide in due l'angolo A. Ciò deriva dall'uguaglianza Δ ABD = Δ ACD (il terzo criterio per l'uguaglianza dei triangoli).

Compito 4. Disegna una bisettrice perpendicolare a questo segmento (Fig. 5).

Soluzione. Usando un'apertura arbitraria ma identica della bussola (maggiore di 1/2 AB), descriviamo due archi con centri nei punti A e B, che si intersecheranno in alcuni punti C e D. La linea retta CD sarà la perpendicolare desiderata. Infatti, come si vede dalla costruzione, ciascuno dei punti C e D è equidistante da A e B; pertanto, questi punti devono trovarsi sulla bisettrice perpendicolare al segmento AB.

Compito 5. Dividi questo segmento a metà. Si risolve allo stesso modo del problema 4 (vedi Fig. 5).

Compito 6. Per un punto dato tracciare una linea perpendicolare alla retta data.

Soluzione. I casi possibili sono due:

1) dato punto O giace su una data retta a (Fig. 6).

Dal punto O disegniamo un cerchio di raggio arbitrario che interseca la linea a nei punti A e B. Dai punti A e B disegniamo cerchi con lo stesso raggio. Sia O 1 il punto della loro intersezione, diverso da O. Otteniamo OO 1 ⊥ AB. Infatti i punti O e O 1 sono equidistanti dagli estremi del segmento AB e, quindi, giacciono sulla bisettrice perpendicolare a tale segmento.