Esimerkki

Segmentin jakaminen kahtia

Bisection ongelma. Käytä kompassia ja viivainta tämän segmentin jakamiseen AB kahteen yhtä suureen osaan. Yksi ratkaisuista näkyy kuvassa:

• Piirrämme kompassin avulla ympyröitä, joiden keskipisteet ovat pisteissä A Ja B säde AB.
• Risteyspisteiden etsiminen P Ja K kaksi rakennettua ympyrää (kaari).
• Piirrä viivaimella jana tai viiva, joka kulkee pisteiden läpi P Ja K.
• Janan halutun keskipisteen löytäminen AB- leikkauspiste AB Ja PQ.

Muodollinen määritelmä

Rakennustehtävissä otetaan huomioon tason kaikkien pisteiden joukko, tason kaikkien suorien joukko ja tason kaikkien ympyröiden joukko, joille sallitaan seuraavat toiminnot:

1. Valitse piste kaikkien pisteiden joukosta:
   1. mielivaltainen piste
   2. mielivaltainen piste tietyllä viivalla
   3. mielivaltainen piste annetulla ympyrällä
   4. kahden annetun suoran leikkauspiste
   5. tietyn suoran ja tietyn ympyrän leikkauspiste/tangentti
   6. kahden annetun ympyrän leikkauspisteet/tangentti
2. "Käyttämällä hallitsijat» valitse rivi kaikkien rivien joukosta:
   1. mielivaltainen suora viiva
   2. mielivaltainen suora, joka kulkee tietyn pisteen kautta
   3. kahden tietyn pisteen kautta kulkeva suora viiva
3. "Käyttämällä kompassi» valitse piiri kaikkien piirien joukosta:
   1. mielivaltainen ympyrä
   2. mielivaltainen ympyrä, jonka keskipiste on annettu piste
   3. mielivaltainen ympyrä, jolla on säde, yhtä suuri kuin etäisyys kahden annetun pisteen välillä
   4. ympyrä, jonka keskipiste on tietyssä pisteessä ja jonka säde on yhtä suuri kuin kahden tietyn pisteen välinen etäisyys

Ongelman olosuhteissa on määritelty tietty joukko pisteitä. On tarpeen rakentaa toinen pistejoukko, joka on tietyssä suhteessa alkuperäiseen joukkoon, käyttämällä äärellistä määrää operaatioita yllä luetelluista hyväksyttävistä operaatioista.

Rakennusongelman ratkaisu sisältää kolme olennaista osaa:

1. Kuvaus menetelmästä tietyn joukon muodostamiseksi.
2. Todiste siitä, että kuvatulla tavalla rakennettu joukko on todellakin tietyssä suhteessa alkuperäiseen joukkoon. Yleensä konstruktion todistus suoritetaan lauseen säännöllisenä todistuksena aksioomien ja muiden todistettujen lauseiden perusteella.
3. Kuvatun rakennusmenetelmän analyysi sen soveltuvuuden suhteen alkuolosuhteiden eri versioihin sekä kuvatulla menetelmällä saadun ratkaisun ainutlaatuisuudesta tai ei-ainutlaatuisuudesta.

Tunnetut ongelmat

• Apolloniuksen ongelma kolmen ympyrän tangentin muodostamisesta. Jos mikään annetuista ympyröistä ei ole toisen sisällä, niin tällä tehtävällä on 8 merkittävästi erilaista ratkaisua.
• Brahmaguptan ongelma piirretyn nelikulmion rakentamisesta sen neljältä sivulta.

Säännöllisten polygonien rakentaminen

Muinaiset geometrit osasivat rakentaa oikein n-gons , , ja .

Mahdollisia ja mahdottomia rakenteita

Kaikki rakenteet ovat vain ratkaisuja johonkin yhtälöön, ja tämän yhtälön kertoimet liittyvät annettujen segmenttien pituuksiin. Siksi on kätevää puhua luvun rakentamisesta - graafisesta ratkaisusta tietyn tyyppiseen yhtälöön. Yllä olevien vaatimusten puitteissa seuraavat rakenteet ovat mahdollisia:

• Lineaaristen yhtälöiden ratkaisujen rakentaminen.
• Ratkaisujen rakentaminen toisen asteen yhtälöille.

Toisin sanoen, on mahdollista rakentaa vain aritmeettisia lausekkeita vastaavia lukuja käyttämällä alkuperäisten lukujen (osien pituuksien) neliöjuuria. Esimerkiksi,

Muunnelmia ja yleistyksiä

• Rakennukset yhdellä kompassilla. Mohr-Mascheronin lauseen mukaan yhden kompassin avulla voit rakentaa minkä tahansa kompassilla ja viivaimella rakennettavan hahmon. Tässä tapauksessa suoraa pidetään rakennettuna, jos sille on määritetty kaksi pistettä.
• Rakenteet yhdellä viivaimella. On helppo nähdä, että yhden viivaimen avulla voidaan toteuttaa vain projektiivis-invariantteja konstruktioita. Erityisesti on mahdotonta edes jakaa segmenttiä kahteen yhtä suureen osaan tai löytää piirretyn ympyrän keskipistettä. Mutta jos tasossa on valmiiksi piirretty ympyrä, jossa on merkitty keskipiste, voit tehdä viivaimella samat rakenteet kuin kompassilla ja viivaimella (Poncelet-Steinerin lause ( Englanti)), 1833. Jos viivaimessa on kaksi lovea, niin sitä käyttävät rakenteet vastaavat kompassia ja viivainta käyttäviä rakenteita (Napoleon otti tärkeän askeleen todistaessaan tämän).
• Rakennukset, joissa käytetään rajoitettuja työkaluja. Tällaisissa ongelmissa työkaluja (toisin kuin ongelman klassista muotoilua) pidetä ei ihanteellisena, vaan rajoitettuna: suora viiva kahden pisteen läpi voidaan vetää viivaimella vain, jos näiden pisteiden välinen etäisyys ei ylitä tiettyä arvo; kompassilla piirrettyjen ympyröiden sädettä voidaan rajoittaa ylhäältä, alhaalta tai sekä ylhäältä että alhaalta.
• Rakennukset litteällä origamilla. katso Hujitin säännöt

Katso myös

• Dynaamisten geometriaohjelmien avulla voit tehdä rakenteita kompassin ja viivaimen avulla tietokoneella.

Huomautuksia

Kirjallisuus

• A. Adler Geometristen rakenteiden teoria / Käännös saksasta G. M. Fikhtengolts. - Kolmas painos. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 s.
• I. I. Aleksandrov Geometristen rakennusongelmien kokoelma. - Kahdeksastoista painos. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 s.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - Toinen painos. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 s.
• A. M. Voronets Kompassin geometria. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 s. - (Suosittu matematiikan kirjasto L. A. Lyusternikin päätoimituksella).
• V. A. Geiler Ratkaisemattomat rakennusongelmat // jäähdytysnestettä. - 1999. - nro 12. - s. 115-118.
• V. A. Kirichenko Rakenteet kompassilla ja viivaimella sekä Galois'n teoria // Kesäkoulu "Moderni matematiikka". - Dubai, 2005.
• Yu I. Manin Kirja IV. Geometria // Alkeismatematiikan tietosanakirja. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 s.
• Y. Petersen Menetelmiä ja teorioita geometristen rakennusongelmien ratkaisemiseksi. - M.: E. Lissnerin ja Y. Romanin kirjapaino, 1892. - 114 s.
• V. V. Prasolov Kolme klassista rakennusongelmaa. Kuution tuplaus, kulman kolminleikkaus, ympyrän neliöinti. - M.: Nauka, 1992. - 80 s. - (Suosittuja matematiikan luentoja).
• J. Steiner Geometriset rakenteet suoritettuja käyttämällä suoraa ja kiinteää ympyrää. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 s.
• Valinnainen matematiikan kurssi. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaja. - M.: Koulutus, 1991. - S. 80. - 383 s. - ISBN 5-09-001287-3

Wikimedia Foundation. 2010.

Katso, mitä "Rakentaminen kompassin ja viivaimen avulla" on muissa sanakirjoissa:

Viivaimet - hanki toimiva alennuskuponki Akademikasta AllInstrumentsissa tai osta viivoittimet voitolla ilmaisella toimituksella AllInstrumentsissa

Muinaisista ajoista tunnettu euklidisen geometrian haara. Rakennustehtävissä ovat mahdollisia seuraavat toiminnot: Merkitse mielivaltainen piste tasolle, piste jollekin rakennetuista suorista tai kahden rakennetun suoran leikkauspiste. Wikipedian avulla

Kompassia ja viivoja käyttävät rakenteet ovat muinaisista ajoista lähtien tunnettu euklidisen geometrian haara. Rakennustehtävissä ovat mahdollisia seuraavat toiminnot: Merkitse mielivaltainen piste tasolle, piste jollekin rakennetuista suorista tai piste... ... Wikipedia

Substantiivi, s., käytetty. vertailla usein Morfologia: (ei) mitä? rakentaminen, mitä? rakentaminen, (näen) mitä? rakentaminen, mitä? rakentaminen, mistä? rakentamisesta; pl. Mitä? rakentaminen, (ei) mitä? rakenteet, miksi? rakenteet, (näen) mitä? rakentaminen, millä?... Dmitrievin selittävä sanakirja

KRIMIN OPPILASTEN PIENI TIETEET

"ETSIJÄ"

Osa "Matematiikka"

GEOMETRISET RAKENTEET KAKSIPUOLISELLA VIVOITTIMELLA

Olen tehnyt työn A

_____________

Luokan oppilas

Tieteellinen johtaja

JOHDANTO…………………………………………………………………………………..…..3

I. GEOMETRISET RAKENTEET TASOSSA………………………4

I.1. Konstruktiivisen geometrian yleiset aksioomit. Matemaattisten välineiden aksioomit……………………………………………………………………………………

I.2. ……………………….....5

I.3. Geometriset rakenteet yhdellä viivaimella………………………………..7

minä.4. Perustehtävät kaksipuolisella viivaimella rakentamiseen…………………..8

I.5. Erilaisten rakennusongelmien ratkaiseminen ………………………………………12

I.6. Rakenteet yksipuolisella viivaimella…………………………………………………………………………………………………………………………………………

I.7. Kaksipuolisen viivaimen vaihdettavuus kompassin ja viivaimen kanssa....21

JOHTOPÄÄTÖKSET………………………………………………………………….24

Viiteluettelo………………………………..………….25

Johdanto

Rajallisin keinoin rakentamiseen liittyviä ongelmia ovat esimerkiksi vain kompassilla ja viivaimella rakentaminen, jotka huomioidaan koulun opetussuunnitelmassa. Onko mahdollista ratkaista rakennusongelmat yhdellä viivoituksella? Usein sinulla ei ole kompassia käsillä, mutta voit aina löytää viivaimen.

Geometrian rakenteiden ongelmat ovat kiehtova osa. Kiinnostus sitä kohtaan johtuu geometrisen sisällön kauneudesta ja yksinkertaisuudesta. Näiden ongelmien pohtimisen merkitys kasvaa, koska niitä käytetään käytännössä. Kyky käyttää yhtä viivainta tässä työssä käsiteltyjen ongelmien ratkaisemiseen on erittäin tärkeää käytännön toimintaa, koska Kohtaamme jatkuvasti ongelmia segmentin jakamisessa puolikkaassa, tietyn segmentin kaksinkertaistamisessa jne.

Tässä artikkelissa tarkastellaan tärkeimpiä rakennustehtäviä, jotka toimivat perustana monimutkaisempien ongelmien ratkaisemiselle.

Kuten kokemus osoittaa, rakennustehtävät herättävät kiinnostusta ja edistävät henkisen toiminnan aktivointia. Niitä ratkaistaessa hyödynnetään aktiivisesti tietoa hahmojen ominaisuuksista, kehitetään päättelykykyä ja parannetaan geometristen rakenteiden taitoja. Tämän seurauksena rakentavat kyvyt kehittyvät, mikä on yksi geometrian opiskelun tavoitteista.

Hypoteesi: kaikki rakennusongelmat, jotka voidaan ratkaista kompassin ja viivaimen avulla, voidaan ratkaista vain käyttämällä kaksipuolista viivainta.

Opintokohde: rakennustehtävät ja kaksipuolinen viivain.

Tutkimuksen tavoitteet: todistaa, että kaikki rakennusongelmat voidaan ratkaista vain kaksipuolisen viivaimen avulla.

Tutkimuksen tavoitteet: rakennusongelmien ratkaisemisen teoreettisten perusteiden tutkiminen; ratkaise perusrakennusongelmat kaksipuolisella viivaimella; anna esimerkkejä monimutkaisemmista rakennusongelmista; systematisoi teoreettista ja käytännön materiaalia.

I. GEOMETRISET RAKENTEET TASOSSA

I.1. Konstruktiivisen geometrian yleiset aksioomit. Matemaattisten työkalujen aksioomat

Rakentavaa geometriaa varten tarvitaan tarkka ja matemaattisia tarkoituksia varten täydellinen kuvaus tietystä työkalusta. Tämä kuvaus annetaan aksioomien muodossa. Nämä aksioomit abstraktissa matemaattisessa muodossa ilmaisevat todellisten piirustusinstrumenttien ominaisuuksia, joita käytetään geometrisissa rakenteissa.

Yleisimmin käytetyt geometriset rakennustyökalut ovat:viivain (yksipuolinen) , kompassi, kaksipuolinen viivain (samansuuntaiset reunat) ja jotkut muut.

A. Viivain aksiooma.

Viivain antaa sinun suorittaa seuraavat geometriset rakenteet:
a) rakentaa jana, joka yhdistää kaksi rakennettua pistettä;

b) rakentaa kahden rakennetun pisteen kautta kulkeva suora;

c) rakentaa säteen, joka lähtee konstruoidusta pisteestä ja kulkee toisen konstruoidun pisteen läpi.

B. Kompassin aksiooma.

Kompassin avulla voit suorittaa seuraavat geometriset rakenteet:
a) muodostaa ympyrän, jos ympyrän keskipiste ja ympyrän (tai sen päiden) säteen mukainen jana on muodostettu;

B. Kaksipuolisen viivaimen aksiooma.

Kaksipuolisen viivaimen avulla voit:

a) suorittaa jokin aksioomassa A luetelluista rakenteista;

b) rakentaa jokaiseen rakennetun suoran määrittelemään puolitasoon tämän suoran kanssa yhdensuuntainen ja siitä etäisyyden päässä kulkeva suoraA, Missä A - tietylle viivaimelle kiinteä segmentti (viivaimen leveys);

c) jos kaksi pistettä A ja B rakennetaan, määritä onko AB suurempi kuin tietty kiinteä segmenttiA (viivaimen leveys), ja jos AB >A , muodosta sitten kaksi paria yhdensuuntaisia ​​suoria, jotka kulkevat pisteiden A ja B kautta ja jotka ovat erillään toisistaan ​​etäisyyden päässäA .

Lueteltujen työkalujen lisäksi voit käyttää muita työkaluja geometrisiin rakenteisiin: mielivaltainen kulma, neliö, viivain merkeillä, pari suorakulmia, erilaisia ​​​​laitteita erityisten käyrien piirtämiseen jne.

I.2. Yleiset periaatteet rakentamisongelmien ratkaisemiseksi

Rakennustehtävä koostuu siitä, että tietty kuva on rakennettava määritetyillä työkaluilla, jos jokin muu kuvio on annettu ja tietyt suhteet halutun kuvion elementtien ja tämän kuvion elementtien välillä on osoitettu.

Jokainen kuvio, joka täyttää ongelman ehdot, kutsutaanpäätös tämä tehtävä.

Löytää ratkaisu rakennustehtävä tarkoittaa sen pelkistämistä äärelliseen määrään perusrakenteita, eli äärellisen perusrakenteiden sarjan osoittamista, jonka jälkeen haluttu kuvio katsotaan jo konstruoiduksi konstruktiivisen geometrian hyväksyttyjen aksioomien perusteella. Luettelo hyväksyttävistä perusrakenteista ja sitä kautta ongelman ratkaisun edistyminen riippuu merkittävästi siitä, mitä työkaluja rakenteissa käytetään.

Ratkaise rakennusongelma - tarkoittaa, löytää kaikki ratkaisunsa .

Viimeinen määritelmä vaatii hieman selvennystä. Ongelman ehdot täyttävät hahmot voivat vaihdella sekä muodoltaan tai kooltaan että sijainniltaan tasossa. Tasossa olevat asentoerot otetaan huomioon tai ei huomioida riippuen itse rakennusongelman muotoilusta, siitä, tarjoaako ongelman tila halutun hahmon tietyn sijainnin tiettyyn kuvioon nähden vai ei. .

Jos ongelmaan löytyy ratkaisu, niin jatkossa tätä ratkaisua saa käyttää "kokonaisuutena" eli jakamatta sitä päärakenteisiin.

On olemassa useita yksinkertaisia ​​geometrisia rakennustehtäviä, jotka erityisen usein sisällytetään komponentteina monimutkaisempien ongelmien ratkaisuun. Kutsumme niitä alkeellisiin geometrisiin rakennusongelmiin. Perustehtävien luettelo on tietysti ehdollinen. Perustehtävät sisältävät yleensä seuraavat:

Jaa tämä segmentti puoliksi.

Tietyn kulman jakaminen puoliksi.

Tietylle suoralle janan rakentaminen, joka on yhtä suuri kuin annettu.

Tietyn kulman muodostaminen.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran rakentaminen yhdensuuntaisesti tietyn suoran kanssa.

Tietyn pisteen läpi kulkevan ja tiettyä suoraa vastaan ​​kohtisuoran suoran rakentaminen.

Segmentin jako tässä suhteessa.

Kolmion rakentaminen käyttämällä kolmea annettua sivua.

Kolmion rakentaminen käyttämällä sivua ja kahta vierekkäistä kulmaa.

Kolmion rakentaminen käyttämällä kahta sivua ja niiden välistä kulmaa.

Kun ratkaistaan ​​mitä tahansa monimutkaista rakennusongelmaa, herää kysymys, kuinka perustella, jotta löydettäisiin tapa ratkaista ongelma, saadaan kaikki ratkaisut ongelmaan, selvitetään edellytykset ongelman ratkaisumahdollisuudelle jne. , kun he ratkaisevat rakentavia ongelmia, he käyttävät ratkaisumallia , joka koostuu seuraavista neljästä vaiheesta:

1) analyysi;
2) rakentaminen;
3) todiste;
4) tutkimus.

I.3. Geometriset rakenteet yhdellä viivaimella

Tarkastellaan viivainta kahdesta näkökulmasta: viivaimena ja kaksipuolisena viivaimena.

1. Kaksipuolinen viivain leveys A kutsumme viivainta, jonka yhdensuuntaiset reunat sijaitsevat etäisyydellä A toisistaan, jolloin on mahdollista rakentaa suoraan:

a) mielivaltainen suora;

b) suora, joka kulkee kahden ongelman ratkaisuprosessissa annetun tai saadun pisteen kautta;

c) yhdensuuntaiset suorat, joista jokainen kulkee yhden pisteen läpi, joiden väliset etäisyydet ovat suuremmatA (tässä konstruktiossa viivain on sellaisessa asennossa, että kummassakin sen kahdessa yhdensuuntaisessa reunassa on yksi kahdesta annetusta pisteestä; tässä tapauksessa puhutaan suorasta rakentamisesta).

Viivaimen leveyttä tässä rakenteessa pidetään vakiona, ja siksi, jos tietyn ongelman ratkaisemisen aikana on tarpeen suorittaa suora rakentaminen suhteessa joihinkin saatuihin pisteisiinA Ja SISÄÄN , niin meidän on todistettava, että pituusAB kauemmin A .

Pidämme pistettä rakennettavana, jos se on yksi tiedoista tai kahden konstruoidun suoran leikkauspiste; puolestaan ​​katsomme suoraa muodostettavaksi, jos se kulkee konstruoitujen tai annettujen pisteiden läpi.

Kaksipuolisella viivaimella voit rakentaa seuraavan.

a) Minkä tahansa kahden pisteen kautta voit piirtää suoran ja vain yhden.

b) Riippumatta suorasta, tasossa on täsmälleen kaksi suoraa, yhdensuuntaisia ​​sen kanssa ja erotettu siitä etäisyyden päässäa .

c) Kahden pisteen A ja B kautta AB:ssa A on mahdollista piirtää kaksi rinnakkaisparia suoraan; jossa AB = A voit piirtää parin yhdensuuntaisia ​​viivoja, joiden välinen etäisyys on yhtä suuriA .

Jos annetaan yksi, kaksi, kolme pistettä, uusia pisteitä ei voida rakentaa

(Kuvio 1);

jos annetaan neljä pistettä, joista noin kolme (tai kaikki neljä) ovat samalla viivalla, ei muita pisteitä voida muodostaa (kuva 2);

Jos sinulle annetaan neljä pistettä, jotka sijaitsevat suunnikkaan kärjessä, voit rakentaa vain yhden pisteen - sen keskipisteen. (Kuva 3).

Hyväksyttyään edellä mainitut, tarkastelkaamme erikseen kaksipuolisen viivaimen ratkaisemia ongelmia.

minä.4. Perustehtävät kaksipuolisella viivaimella rakentamiseen

1
. Muodosta kulman ABC puolittaja.

Ratkaisu: (Kuva 4)

A  (SISÄÄN C) Ja b  (Bändi  b = D .

Saamme B D– puolittaja  ABC.

Todellakin, hankittu

suunnikkaan rakentaminen on

rombi, koska sen korkeudet ovat yhtä suuret. SISÄÄND –

rombin diagonaali on puolittaja ABC. Kuva 4

2
. Kaksinkertaistaa annettu kulma ABC

Ratkaisu : (Kuva 5) a) A  (AB),

A  (SISÄÄN C)= D , kohtien B ja kautta D

b suoraan;

b) kohtien B ja kauttaD m  b

suoraan,b Ç a = F .

Saamme Ð AB F = 2 Ð ABC .

Kuva 5

3 . Tietylle suoralle M N Tässä

piirrä kohtisuora pisteeseen A

Ratkaisu : (Kuva 6)

1) (AA 1) || (BB 1) || (SS 1) –

suoraan (B (M N),

KANSSA Î (M N)); 2) A:n ja B:n kautta

m || n - suoraan,

m Ç (SS 1) = D .

Saamme (A D )  (M N ).

Kuva 6.

4
. Tietyn pisteen kautta ei makaa

annettu rivi, piirrä kohtisuora

Vastaanottaja tämä rivi.

Ratkaisu: Tämän pisteen O kautta piirrämme

kaksi suoraa, jotka leikkaavat annetun

suora viiva AB ja kaksinkertaistaa saadun kulmat

kolmiot tämän vieressä

suoraan.  OA N = 2  OAV ja

OB N = 2  OVA (kuvio 7).

Kuva 7

5. Rakenna piste, joka on symmetrinen tietylle suoralle suhteessa annettuun suoraan.

Ratkaisu: katso tehtävä 4. (piste O on symmetrinen pisteen kanssaN. kuva 7)

6. Suorita suora viiva rinnakkain tämän kanssa

P
suora M N , pisteen A kautta, ei

kuuluu linjaan M N .

Ratkaisu 1: (Kuva 8)

1) (AA 1) || (BB 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (КК 1) -

– suoraan, (SA)Ç (BB 1) = C2;

2) (2 kt:lla) Ç (DD 1 ) = F .

(A F ) on haluttu suora.

Kuva 8

Ratkaisu 2 . Kuvassa 8 1 on numeroitu

suorien viivojen sarja,

joista 1, 2 ja 3 ovat yhdensuuntaisia

suora rakentaminen;

(A F) || (M N).

Kuva 8 1

7
. Jaa tämä segmentti AB kahtia.

Ratkaisu 1. (Kuva 9) (vain siinä tapauksessa, että viivaimen leveys on pienempi kuin tämän segmentin pituus). Piirrä kaksi paria yhdensuuntaisia ​​viivoja suoraan läpi

tämän segmentin päät ja sitten diagonaali

tuloksena oleva rombi. O – keskimmäinen AB.

Riisi. 9.

Ratkaisu 2. (Kuva 9,a)

1) a || (Bändi b || (AB) – suoraan;

2) (AR), (AR)Ç a = C, (AP) Ç b = D ;

3) (D SISÄÄN) Ç a = M, (SV) Ç b = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D TO) Ç (A N ) = F ;

6) (B F ) Ç b = D 1, (B F ) Ç a = C1;

7) (D SISÄÄN ) Ç (A D 1) = X,

(AC 1) Ç (SV) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) =O. Saamme AO = OB.

Kuva 9,a

Ratkaisu 3 .( Riisi. 9,b)

Kuten tiedetään , keskimmäisessä trapetsissa

tukikohdat, leikkauspiste

diagonaalit ja leikkauspiste

sivujen laajennukset

makaa samalla suoralla linjalla.

1) m || (AB) – suoraan;

2) C Î m , D Î m , (KUTEN) Ç (SISÄÄN D ) = TO; Kuva 9, b

3) (NE) Ç (A D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) =O. Saamme AO = OB.

I.5. Erilaisten rakennusongelmien ratkaiseminen

Seuraavien rakennusongelmien ratkaisemisessa pelkällä kaksipuolisella viivoittimella käytetään rinnakkaisten viivojen suoraa rakentamista ja edellä esitettyjä seitsemää päätehtävää.

1. Piirrä kaksi keskenään kohtisuoraa viivaa tämän pisteen läpi.

R ratkaisu: mennään tämän pisteen läpi

kaksi mielivaltaista riviä,

ja sitten - puolittajat

vierekkäiset kulmat. (Kuva 10)

Kuva 10

2. Annettu segmentti A D annettu pituus a.

Rakenna segmentti, jonka pituus on yhtä suuri kuin .

R
päätös : Toteutetaan m  A Ja h || m kautta

kohta A. f || (A D ) , k || (ILMOITUS) suoraan.

Piirretään AB ja AC, missä B =f  m ,

a C = m  k . Tunnetulla tavalla

jaa AB ja AC puoliksi ja

piirretään kolmion mediaanit

ABC. Mediaanien ominaisuuden mukaan

kolmio, O D = – haettiin

segmentti (kuva 11)

Riisi. yksitoista

3. Muodosta segmentti, jonka pituus on

yhtä suuri kuin annetun kolmion kehä.

Ratkaisu: (Kuva 12). Rakennetaan puolittajat

kolmion kaksi ulkokulmaa ja sitten

3 huippua SISÄÄN piirretään kohtisuorat

näihin puolittajiin.

DE = a + b + s

Kuva 12

4. Annettu segmentti, jonka pituus on a. Rakenna pituussegmenttejä 2a, 3a.

R ratkaisu: (Kuva 13)

1 milj N) || (AB) ja (M1 N 1 ) || (M N) || (M 2 N 2 ) –

Suoraan;

2) (CA) ja (CB) A:n ja B:n kautta.

Segmentit A 1 B 1 ja A 2 B 2 vaaditaan.

Toinen ratkaisu tähän ongelmaan voi olla

saatu tehtävän 7 ratkaisusta.

Riisi. 13

5. Suoralle on annettu kaksi segmenttiä, joiden pituudet ovat a ja b . Muodosta segmenttejä, joiden pituus on yhtä suuri kuin + b , b - A, ( a + b )/2 ja ( b - a )/2 .

Ratkaisu: ja varten a + b(Kuva 14,a)

Kuvio 14, a

b) varten ( a + b)/2 (kuva 14, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) – suoraan;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (A 1 B 1 ) = N, (M H) Ç (A 1 B 1 ) = P;

3) (PY) Ç (A 2 B 2) = L, (LZ ) Ç (A 1 B 1 ) = Oi

Saamme: N O = N.P. + P.O. =
.

Riisi. 14, b

c) varten b - A(Kuva 14, c)

Riisi. 14, v

c) varten ( b - a )/2 (Kuva 14, d)

Riisi. 14,g

6
. Rakenna tämän ympyrän keskipiste.

Ratkaisu : (Kuva 15) Piirretään suora viiva AB,

leikkaa ympyrän pisteissä A ja B;

Aurinko  AB, jossa C on leikkauspiste

ympyrän kanssa.

Piirretään pisteen C kautta yhdensuuntaisesti AB:n kanssa

suora C D; KANSSADleikkaa ympyrän

pisteessäD.

YhdistämälläDB:llä ja A:lla C:llä saamme

haluttu piste on ympyrän keskipiste. Riisi. 15

Ratkaisu 2: (Kuva 16) Muodosta kaksi yhdensuuntaista jännettä kaksipuolisella viivaimellaILMOITUS JaB.C. . Saamme tasakylkisen puolisuunnikkaanABCD. AntaaK JaP - viivojen leikkauspisteetA.C. JaBD , AB JaDC . Siis suoraanP K kulkee niihin nähden kohtisuorassa olevan puolisuunnikkaan kannan keskipisteiden läpi, mikä tarkoittaa, että se kulkee annetun ympyrän keskipisteen läpi. Rakentamalla samalla tavalla toinen tällainen suora, löydämme ympyrän keskipisteen.

Riisi. 16

7. Ympyrän kaari on annettu. Rakenna ympyrän keskipiste

Ratkaisu . (Kuva 17) Merkitse tälle kaarelle kolme pistettä A, B ja C. Aseta viivain janan AB päihin ja piirrä sen reunat. Saamme kaksi yhdensuuntaista suoraa. Muuttamalla viivaimen sijaintia piirrämme vielä kaksi yhdensuuntaista viivaa. Saamme rombin (suunnikas, jonka korkeus on yhtä suuri). Yksi rombin lävistäjistä on janan puolittaja kohtisuorassaAB , koska rombin lävistäjä on kohtisuorassa puolittajalla toiseen lävistäjään nähden. Samoin rakennamme kohtisuoran puolittajan segmenttiinA.C. . Muodostettujen puolittajien leikkauspiste on halutun ympyrän keskipiste.

Riisi. 17

8. Annettu jana AB, ei-rinnakkaisviiva l ja sillä oleva piste M. Muodosta yhden kaksipuolisen viivaimen avulla suoran l leikkauspisteet säteeltään AB ympyrän kanssa, jonka keskipiste on M.

Ratkaisu: (Kuva 18)

Täydennetään kolmioA.B.M. suunnikkaaseenABNM . Muodostetaan puolittajat MT jaNEITIvälisiä kulmiaMNja suoraanl . Piirretään pisteen läpiN näiden puolittajien kanssa yhdensuuntaiset suorat:N.Q. || NEITI, NR || M.T.. MT│ NEITIvierekkäisten kulmien puolittajina. tarkoittaa,N.Q. │ MT, eli kolmiossaNMQpuolittaja on korkeus, joten kolmio on tasakylkinen:MQ = MN. SamoinHERRA. = MN. PisteetKJaRetsitty.

Riisi. 18

9. Annettu suora l ja l:n suuntainen jana OA. Muodosta yhden kaksipuolisen viivaimen avulla suoran l ja säteittäisen OA ympyrän ja keskipisteen O leikkauspisteet.

Ratkaisu: (Kuva 19,a)

Tehdään suoral 1 , yhdensuuntainen linjan kanssaO.A. ja kaukana siitä kaukaaa . Otetaan se suoraanl mielivaltainen pisteB . AntaaB 1 - viivojen leikkauspisteO.B. Jal 1 . Piirretään pisteen läpiB 1 suora, yhdensuuntainenAB ; tämä viiva leikkaa suoranO.A. pisteessäA 1 . Piirretään nyt pisteet läpiO JaA 1 rinnakkaisten viivojen pari, niiden välinen etäisyys ona (tällaista viivaparia voi olla kaksi); antaaX JaX 1 - pisteen kautta kulkevan suoran leikkauspisteetO , suorilla viivoillal Jal 1 . KoskaO.A. 1 = HÄRKÄ 1 ja ∆O.A. 1 X 1 ∆ OAX , niin OA = OX, pisteX haluttu.

Samalla tavalla rakennamme ympyrän ja suoran toisen leikkauspisteen - pisteenY(Kuva 18, b).

Riisi. 18,a

Riisi. 18, b

I.6.Rakenteet yksipuolisella viivaimella

Z
Tässä tarkastellaan erikoistapausta: annetaan pisteet P,K, R 1 JaK 1 . ja ne sijaitsevat puolisuunnikkaan kärjessä.

1. Jaa segmentti P K puoliksi

Ratkaisu näkyy kuvassa 19

Pisteet P annetaan,K, R 1 JaK 1 ja yhdensuuntaiset viivat

RK, R 1 K 1 . Toteutetaan RK 1  KR 1 = B , RR 1  QQ 1 = A

Yhdistetään pisteet A ja B. AB RK = F– keskellä

segmentti PK.

Riisi. 19

2. Tuplaa segmentti R 1 K 1.

R
päätös näkyy kuvassa 20. Rakennetaan

kohtaF– segmentin P keskikohtaKja liitä se

KanssaK 1. R 1 K FQ 1 = M. Suoritetaan RM. RM R 1 K 1 = R

tasa-arvoRQja P 1 K 1 seuraa samankaltaisuudesta

kolmiot RMFJa RMK 1 ,

FMKJa R 1 MK 1 , ja tasa-arvot PFJaFQ.

Riisi. 20

3
. Rakenna pituussegmentti n  R 1 K 1 .

m – 1 yhtä suuret segmentit PK 2 , K 2 K 3, … K m -1 K m

Sitten rakennamme (RR 1 ) JaK m K 1 ja yhdistä

niiden leikkauspiste A pisteiden kanssa

K 2 , K 3, … K m Otettu vastaanm -1 suoraan

jakaaR 1 K 1 päälläm yhtä suuri osat.

vartenm = 4 ratkaisu näkyy kuvassa 22

Kuva 22

I.7. Kaksipuolisen viivaimen vaihdettavuus kompassin ja viivaimen kanssa

Osoittakaamme, että kaksipuolinen viivain on vaihdettavissa kompassin ja viivaimen kanssa. Tätä varten todistamme seuraavat väitteet:

Väite 1: kaikki kompassilla ja viivaimella tehtävissä olevat rakenteet voidaan tehdä kaksipuolisella viivaimella.

Koska kompassilla ja viivaimella rakennettaessa viivaaja piirtää linjan kahden pisteen läpi ja kompassi muodostaa ympyrän (löytää joukon pisteitä yhtä kaukana annetusta), niin kaikki kompassilla ja viivaimella tehdyt rakenteet pelkistetään kahden suoran, kahden ympyrän ja suoran ympyrän leikkauspisteen rakentaminen.

Kahden suoran leikkauspiste voidaan muodostaa viivaimella.

Ympyrän ja suoran leikkauspiste (kuva 23):

Rakenne:Olkoon jana AB annettu - ympyrän säde, suoral , ympyrän O keskipiste, sitten:

1) Suoritamme käyttöjärjestelmän ||l , OS = AB.

2) Suoritamme käyttöjärjestelmän ||kja kaukosäätimeen a.

3) Me toteutammeO.D., O.D. l = D; O.D. k) Seurauksena Thaleen lauseesta

4) Tasa-arvojen transitiivisuuden lain mukaan

5) HarkitseOMQE. OMQEon suuntaviiva, koska OM ||EQja OE ||M.C.(viivaimen sivut ovat yhdensuuntaiset). Todistetaan, että tämä on rombi.

5.1) KäyttäytyminenQZ O.C.JaQG PÄÄLLÄ, SittenQG = QZ = a.

5.2)  OMQ =  RQM(makaa ristikkäin);  OS =PÄÄLLÄ, mikä oli todistettava.

Kahden ympyrän leikkauspiste: samanlainen.

Väite 2: kaikki kaksipuolisella viivaimella suoritettavat rakenteet voidaan tehdä kompassilla ja suoraviivalla.

Tätä varten suoritamme kaksipuolisen viivaimen rakennestandardin kompassin ja viivoittimen avulla.

1) Kahta pistettä käyttävä suora viiva on helppo rakentaa viivaimella.

2) Tietyn kanssa yhdensuuntaisen suoran rakentaminen ja siitä irrottaminen tietyllä etäisyydellä:

2.1) Olkoon suorakja pituussegmenttia.

2.2) Muodosta mielivaltainen suorab k, antaak b= B.

2.3) Päälläbpisteen molemmilla puolillaBsuoralla linjallablaita sivuun pala pituuttaa, anna pisteitäCJaD.

2.4) Pisteen kauttaCrakentaa suora viivac k.

2.5) Pisteen kauttaDrakentaa suora viivad k.

2.6) SuoracJad-pakollinen, koskaB.C.JaBDyhtä suuriarakenteen mukaan ja ovat yhtä suuria kuin suoran etäisyyskja suoraan

3) Toistensa kanssa yhdensuuntaisten ja kahden tietyn pisteen läpi kulkevien suorien rakentaminen, ja niiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin annettu jana:

3.1) Annetaan pisteetAJaBja pituussegmenttia.

3.2) Ympyrän rakentaminen, jonka keskipiste on pisteessäAja sädea.

3.3) Muodosta tangentti tietylle ympyrälle pisteen kauttaB; on olemassa kaksi tällaista tangenttia, josBsijaitsee ympyrän ulkopuolella (josAB> a), yksi josBmakaa ympyrällä (josAB= a), ei mitään josBsijaitsee ympyrän sisällä (AB< a). Tämä tangentti on yksi etsimistämme linjoista; jäljellä on kulkea pisteen läpiAsen suuntainen suora viiva.

3.4) Koska yksi suorista on kohtisuorassa ympyrän säteeseen nähden tangenttina, toinen on myös kohtisuorassa siihen nähden (koska ne ovat yhdensuuntaisia), joten niiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin säde, joka rakenteellisesti on yhtä suuri kuina, joka oli hankittava.

Olemme siis todistaneet kaksipuolisen viivaimen sekä kompassin ja viivaimen vaihdettavuuden.

Johtopäätös: Kaksipuolinen viivain on vaihdettavissa kompassin ja viivaimen kanssa.

Johtopäätös

Joten kysymystä mahdollisuudesta käyttää yhtä viivainta klassisten rakennusongelmien ratkaisemiseen kompassin ja viivaimen avulla on harkittu ja ratkaistu. Osoittautuu, että rakennusongelmat voidaan ratkaista käyttämällä vain yhdensuuntaista viivainta. Monimutkaisempia ongelmia ratkaistaessa tulee edelleen tukeutua tässä työssä käsiteltyihin ns. perusrakenteisiin.

Esitetyllä materiaalilla voi olla suoraa käyttöä paitsi matematiikan tunneilla, matematiikan ympyrän tunneilla, myös käytännön toiminnassa.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta

Aliev A.V. Geometriset rakenteet. Matematiikka koulussa. 1978 nro 3

Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. M., valaistuminen. 1981.

Depman I.Ya. Matematiikan oppikirjan sivujen takana. M.. Valaistus 1989.

Elensky Shch Pythagoraan jalanjäljissä. M., Detgiz. 1961.

Nuoren matemaatikon tietosanakirja. M., Pedagogia. 1985

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Rakentaminen viivaimen ja kompassin geometrialla">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Muodosta jana, joka vastaa annettua Ú Tehtävä A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Tietyn kulman muodostaminen Harkitse kolmioita"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Kulman puolittajan muodostaminen Tehtävä Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Pystysuorien viivojen rakentaminen Ú Tehtävä Annettu viiva"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Janan keskipisteen rakentaminen Tehtävä Ú Muodosta janan keskipiste annettu"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Kunnan budjettikoulutuslaitos

lukio nro 34, jossa opitaan syvällisesti yksittäisiä aineita

MAN, fysiikan ja matematiikan osa

"Geometriset rakenteet kompassin ja viivaimen avulla"

Täydentäjä: luokan 7 "A" oppilas

Batishcheva Victoria

Pää: Koltovskaya V.V.

Voronež, 2013

3. Kulman muodostaminen, joka on yhtä suuri kuin annettu.

P Piirretään mielivaltainen ympyrä, jonka keskipiste on tietyn kulman kärjessä A (kuva 3). Olkoot B ja C ympyrän ja kulman sivujen leikkauspisteet. Piirrämme säteellä AB ympyrän, jonka keskipiste on pisteessä O, tämän puoliviivan alkupisteessä. Merkitään tämän ympyrän ja tämän puoliviivan leikkauspiste C:ksi 1 . Kuvataan ympyrä, jonka keskipiste on C 1 ja kuvio 3

lentokoneen säde. Kohta B 1 konstruoitujen ympyröiden leikkauspiste ilmoitetussa puolitasossa on halutun kulman puolella.

6. Pystysuorien viivojen rakentaminen.

Piirretään ympyrä, jonka säde on mielivaltainen ja jonka keskipiste on kuvan 6 pisteessä O. Ympyrä leikkaa suoran pisteissä A ja B.Pisteistä A ja B piirretään ympyröitä, joiden säde on AB. Olkoon melankolia C näiden ympyröiden leikkauspiste. Saimme pisteet A ja B ensimmäisessä vaiheessa, kun rakennettiin mielivaltaisen säteen omaava ympyrä.

Haluttu suora kulkee pisteiden C ja O kautta.

Kuva 6

Tunnetut ongelmat

1.Brahmaguptan ongelma

Muodosta piirretty nelikulmio käyttämällä sen neljää sivua. Yksi ratkaisu käyttää Apollonius-ympyrää.Ratkaistaan ​​Apolloniuksen ongelma kolmion ja kolmion välisen analogian avulla. Kuinka löydämme kolmioon piirretyn ympyrän: rakennamme puolittajien leikkauspisteen, pudotamme siitä kohtisuorat kolmion sivuille, kohtisuorien kannaille (pystysuoran leikkauspisteet sen sivun kanssa, jolla se on pudotetaan) ja anna meille kolme pistettä, jotka sijaitsevat halutulla ympyrällä. Piirrä ympyrä näiden kolmen pisteen läpi - ratkaisu on valmis. Teemme samoin Apolloniuksen ongelman kanssa.

2. Apolloniuksen ongelma

Muodosta kompassin ja viivaimen avulla ympyrä, joka tangentti kolmea annettua ympyrää. Legendan mukaan ongelman muotoili Apollonius Pergalainen noin vuonna 220 eaa. e. kirjassa "Touch", joka katosi, mutta jonka François Viète, "gallilainen Apollonius", ennallisti vuonna 1600, kuten hänen aikalaisensa kutsuivat häntä.

Jos mikään annetuista ympyröistä ei ole toisen sisällä, niin tällä tehtävällä on 8 merkittävästi erilaista ratkaisua.

Säännöllisten polygonien rakentaminen.

P

oikea (tai tasasivuinen ) kolmio - Tämä säännöllinen monikulmiokolme sivua, ensimmäinen säännöllisistä monikulmioista. Kaikki säännöllisen kolmion sivut ovat tasa-arvoisia keskenään ja kaikki kulmat ovat 60°. Tasasivuisen kolmion rakentamiseksi sinun on jaettava ympyrä 3 yhtä suureen osaan. Tätä varten on tarpeen piirtää tämän ympyrän säteen R kaari vain halkaisijan yhdestä päästä, saamme ensimmäisen ja toisen jaon. Kolmas jako on halkaisijan vastakkaisessa päässä. Yhdistämällä nämä pisteet saadaan tasasivuinen kolmio.

Tavallinen kuusikulmio Voirakentaa kompassin ja viivaimen avulla. Allarakennustapa on annettujakamalla ympyrän 6 osaan. Käytämme säännöllisen kuusikulmion sivujen yhtäläisyyttä rajatun ympyrän säteeseen. Ympyrän yhden halkaisijan vastakkaisista päistä kuvataan kaaria, joiden säde on R. Näiden kaarien leikkauspisteet tietyn ympyrän kanssa jakavat sen 6:ksi yhtä suuret osat. Yhdistämällä löydetyt pisteet peräkkäin saadaan säännöllinen kuusikulmio.

Säännöllisen viisikulmion rakentaminen.

P
tavallinen viisikulmio voi ollarakennettu käyttämällä kompassia ja viivainta tai sovittamalla se annettuunympyrä tai tiettyyn sivuun perustuva rakenne. Tämän prosessin kuvaa Euclidhänen elementeissään noin 300 eaa. e.

Tässä on yksi menetelmä säännöllisen viisikulmion rakentamiseksi annettuun ympyrään:

Muodosta ympyrä, johon viisikulmio piirretään, ja merkitse sen keskipisteeksiO . (Tämä on vihreä ympyrä oikealla olevassa kaaviossa).

Valitse piste ympyrästäA , joka on yksi viisikulmion pisteistä. Muodosta suora viiva läpiO JaA .

Muodosta suora kohtisuoraan suoraa vastaanO.A. , kulkee pisteen läpiO . Määritä yksi sen leikkauspisteistä ympyrän kanssa pisteeksiB .

Piirrä kohtaC välissäO JaB .

C pisteen läpiA . Merkitse sen leikkauspiste viivan kanssaO.B. (alkuperäisen ympyrän sisällä) pisteenäD .

Piirrä ympyrä, jonka keskipiste on kohdassaA pisteen D kautta merkitse tämän ympyrän ja alkuperäisen (vihreän ympyrän) leikkauspisteiksiE JaF .

Piirrä ympyrä, jonka keskipiste on kohdassaE pisteen läpiA G .

Piirrä ympyrä, jonka keskipiste on kohdassaF pisteen läpiA . Merkitse sen toinen leikkauspiste alkuperäisen ympyrän kanssa pisteeksiH .

Rakenna säännöllinen viisikulmioAEGHF .

Ratkaisemattomia ongelmia

Seuraavat kolme rakennustehtävää asetettiin antiikin aikana:

Kulman kolmioleikkaus - jaa mielivaltainen kulma kolmeen yhtä suureen osaan.

Toisin sanoen on tarpeen rakentaa kulmatrisektorit - säteet, jotka jakavat kulman kolmeen yhtä suureen osaan. P. L. Wanzel osoitti vuonna 1837, että ongelma on ratkaistavissa vain silloin, kun esimerkiksi kolmioleikkaus on mahdollista kulmille α = 360°/n, edellyttäen, että kokonaisluku n ei ole jaollinen kolmella. Lehdistössä kuitenkin silloin tällöin (väärin ) on julkaistu menetelmiä kulman kolminleikkaukseen kompassilla ja viivaimella.

Kuution tuplaaminen - Klassinen antiikin ongelma rakentaa kompassilla ja viivaimella kuution reuna, jonka tilavuus on kaksi kertaa tietyn kuution tilavuus.

Nykyaikaisessa merkinnässä ongelma on pelkistetty yhtälön ratkaisemiseen. Kaikki johtuu pituuden segmentin rakentamisen ongelmasta. P. Wantzel osoitti vuonna 1837, että tätä ongelmaa ei voitu ratkaista kompassin ja suoran reunan avulla.

Ympyrän neliöinti - tehtävä, jossa etsitään kompassin ja viivaimen avulla neliö, jonka pinta-ala on annettu ympyrän kanssa.

Kuten tiedät, kompassin ja viivaimen avulla voit suorittaa kaikki 4 aritmeettista operaatiota ja poimia neliöjuuren; tästä seuraa, että ympyrän neliöinti on mahdollista silloin ja vain, jos käyttämällä äärellistä määrää tällaisia ​​toimintoja on mahdollista rakentaa segmentti, jonka pituus on π. Siten tämän ongelman ratkaisemattomuus johtuu luvun π ei-algebrallisesta luonteesta (transsendenssista), jonka Lindemann osoitti vuonna 1882.

Toinen tunnettu ongelma, jota ei voida ratkaista kompassin ja viivaimen avulla, onkolmion rakentaminen käyttämällä kolmea annettua puolittajan pituutta .

Lisäksi tämä ongelma pysyy ratkaisemattomana jopa kolmisektorin läsnä ollessa.

Vasta 1800-luvulla todistettiin, että kaikkia kolmea ongelmaa ei voitu ratkaista vain kompassin ja suoraviivan avulla. Kysymys rakentamisen mahdollisuudesta ratkaistaan ​​täysin Galois'n teoriaan perustuvilla algebrallisilla menetelmillä.

TIESITKÖ ETTÄ...

(geometristen rakennusten historiasta)

Olipa kerran mystinen merkitys säännöllisten polygonien rakentamiseen.

Näin ollen pythagoralaiset, Pythagoraan perustaman uskonnollisen ja filosofisen opetuksen seuraajat, jotka asuivat muinaisessa Kreikassa (V Minä-minä Vvuosisadat eKr eKr.), otettiin merkiksi heidän liitostaan ​​tähden muotoisen monikulmion, jonka muodostavat säännöllisen viisikulmion lävistäjät.

Säännöt joidenkin säännöllisten monikulmioiden tiukalle geometriselle rakentamiselle on esitetty muinaisen kreikkalaisen matemaatikon Euklidisen kirjassa "Elements", joka asui vuonna.IIIV. eKr. Näiden rakenteiden toteuttamiseen Eukleides ehdotti vain viivaimen ja kompassin käyttöä, joissa ei tuolloin ollut saranoitua laitetta jalkojen yhdistämiseksi (tällainen instrumenttien rajoitus oli muinaisen matematiikan muuttumaton vaatimus).

Säännöllisiä polygoneja löydetty laaja sovellus ja muinaisessa tähtitiedessä. Jos Euclid oli kiinnostunut näiden lukujen rakentamisesta matematiikan näkökulmasta, niin antiikin kreikkalaiselle tähtitieteilijälle Claudius Ptolemaiolle (noin 90 - 160 jKr) se osoittautui välttämättömäksi apuvälineenä tähtitieteellisten ongelmien ratkaisemisessa. Joten Almagestien ensimmäisessä kirjassa koko kymmenes luku on omistettu säännöllisten viisikulmioiden ja kymmenkulmioiden rakentamiselle.

Kuitenkin puhtaasti tieteellisten töiden lisäksi säännöllisten polygonien rakentaminen oli olennainen osa rakentajien, käsityöläisten ja taiteilijoiden kirjoja. Taitoa kuvata näitä hahmoja on vaadittu pitkään arkkitehtuurissa, koruissa ja kuvataiteessa.

Roomalaisen arkkitehdin Vitruviuksen (joka asui noin 63-14 eKr.) "Kymmenen kirjaa arkkitehtuurista" sanoo, että kaupungin muurien tulisi olla suunnitelmassa säännöllisen monikulmion muotoisia ja linnoituksen tornit "tulee tehdä pyöreiksi tai monikulmioiksi. , nelikulmiolle, jonka piiritysaseet tuhosivat."

Kaupunkien ulkoasu kiinnosti Vitruviusta, joka uskoi, että kadut oli suunniteltava niin, etteivät päätuulet puhaltaneet niitä pitkin. Oletettiin, että tällaisia ​​tuulia oli kahdeksan ja että ne puhalsivat tiettyihin suuntiin.

Renessanssin aikana säännöllisten polygonien ja erityisesti viisikulmion rakentaminen ei ollut yksinkertainen matemaattinen peli, vaan se oli välttämätön edellytys linnoitusten rakentamiselle.

Säännöllinen kuusikulmio oli suuren saksalaisen tähtitieteilijän ja matemaatikon Johannes Keplerin (1571-1630) erikoistutkimuksen kohteena, josta hän puhuu kirjassaan " Uudenvuoden lahja tai kuusikulmaisista lumihiutaleista." Keskustelemalla syistä, miksi lumihiutaleilla on kuusikulmio, hän huomauttaa erityisesti seuraavaa: "... taso voidaan peittää ilman aukkoja vain seuraavilla kuvioilla: tasasivuiset kolmiot, neliöt ja säännölliset kuusikulmiot. Näistä lukuista säännöllinen kuusikulmio kattaa suurimman alueen."

Yksi tunnetuimmista geometristen rakenteiden tutkijoista oli suuri saksalainen taiteilija ja matemaatikko Albrecht Durer (1471 -1528), joka omisti heille merkittävän osan kirjastaan ​​"Manuals...". Hän ehdotti sääntöjä säännöllisten polygonien rakentamiseksi, joissa on 3, 4, 5... 16 sivua. Dürerin ehdottamat menetelmät ympyrän jakamiseksi eivät ole yleisiä, jokaisessa tapauksessa käytetään yksilöllistä tekniikkaa.

Dürer käytti menetelmiä säännöllisten polygonien rakentamiseen taiteellisessa käytännössä, esimerkiksi luodessaan erilaisia ​​koristeita ja kuvioita parketille. Hän piirsi tällaisia ​​kuvioita matkalla Alankomaihin, missä parkettilattiat löytyivät monista kodeista.

Dürer sävelsi koristeita säännöllisistä monikulmioista, jotka on yhdistetty renkaiksi (kuuden tasasivuisen kolmion renkaat, neljä nelikulmiota, kolme tai kuusi kuusikulmiota, neljätoista seitsemänkulmiota, neljä kahdeksankulmiota).

Johtopäätös

Niin,geometriset rakenteet on menetelmä ongelman ratkaisemiseksi, jossa vastaus saadaan graafisesti. Rakennukset suoritetaan piirustustyökaluilla mahdollisimman tarkasti ja tarkasti, koska ratkaisun oikeellisuus riippuu tästä.

Tämän työn ansiosta tutustuin kompassin syntyhistoriaan, tutustuin paremmin geometristen rakenteiden suorittamisen sääntöihin, sain uutta tietoa ja sovelsin sitä käytännössä.
Kompassien ja viivaimen avulla rakentamiseen liittyvien ongelmien ratkaiseminen on hyödyllistä ajanvietettä, jonka avulla voit tarkastella geometristen kuvioiden ja niiden elementtien tunnettuja ominaisuuksia tuoreella tavalla.Tässä artikkelissa käsitellään tärkeimpiä ongelmia, jotka liittyvät geometrisiin rakenteisiin kompassien ja viivainten avulla. Pääongelmat pohditaan ja niihin esitetään ratkaisut. Annetut ongelmat ovat käytännönläheisiä, vahvistavat hankittua geometriaa ja ovat hyödynnettävissä käytännön työ.
Siten työn tavoite on saavutettu, määrätyt tehtävät on suoritettu.

Rakennusongelmissa otamme huomioon rakentamisen geometrinen kuvio joka voidaan tehdä viivaimen ja kompassin avulla.

Viivaimen avulla voit:

mielivaltainen suora viiva;

mielivaltainen suora, joka kulkee tietyn pisteen kautta;

kahden tietyn pisteen kautta kulkeva suora viiva.

Kompassin avulla voit kuvata tietyn säteen omaavaa ympyrää tietystä keskustasta.

Kompassin avulla voit piirtää janan tietylle suoralle tietystä pisteestä.

Tarkastellaan tärkeimpiä rakennustehtäviä.

Tehtävä 1. Muodosta kolmio, jonka sivut ovat a, b, c (kuva 1).

Ratkaisu. Piirrä viivaimella mielivaltainen suora viiva ja ota sille mielivaltainen piste B. Kuvaamme ympyrää, jonka keskipiste on B ja jonka säde on a. Olkoon C sen ja suoran leikkauspiste. Kun kompassin aukko on yhtä suuri kuin c, kuvaamme ympyrää keskustasta B ja kompassin aukolla b, kuvaamme ympyrää keskustasta C. Olkoon A näiden ympyröiden leikkauspiste. Kolmion ABC sivut ovat a, b, c.

Kommentti. Jotta kolme suoraa segmenttiä voisi toimia kolmion sivuina, on välttämätöntä, että suurin niistä on pienempi kuin kahden muun summa (ja< b + с).

Tehtävä 2.

Ratkaisu. Tämä kulma kärjen A ja säteen OM kanssa on esitetty kuvassa 2.

Piirretään mielivaltainen ympyrä, jonka keskipiste on annetun kulman kärjessä A. Olkoot B ja C ympyrän ja kulman sivujen leikkauspisteet (kuva 3, a). Säteellä AB piirrämme ympyrän, jonka keskipiste on pisteessä O - tämän säteen aloituspiste (kuva 3, b). Merkitään tämän ympyrän ja tämän säteen leikkauspisteeksi C 1 . Kuvataan ympyrä, jonka keskipiste on C 1 ja säde BC. Kahden ympyrän leikkauspiste B 1 on halutun kulman puolella. Tämä seuraa yhtälöstä Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (kolmioiden tasa-arvon kolmas merkki).

Tehtävä 3. Muodosta tämän kulman puolittaja (kuva 4).

Ratkaisu. Tietyn kulman kärjestä A, kuten keskustasta, piirretään mielivaltaisen säteen omaava ympyrä. Olkoot B ja C sen leikkauspisteet kulman sivujen kanssa. Pisteistä B ja C kuvataan ympyröitä, joilla on sama säde. Olkoon D niiden leikkauspiste, joka on eri kuin A. Säteen AD puolittaa kulman A. Tämä seuraa yhtälöstä Δ ABD = Δ ACD (kolmas kolmioiden yhtäläisyyden kriteeri).

Tehtävä 4. Piirrä kohtisuora puolittaja tähän segmenttiin (kuva 5).

Ratkaisu. Käyttämällä mielivaltaista mutta identtistä kompassin aukkoa (suurempi kuin 1/2 AB) kuvaamme kaksi kaaria, joiden keskipisteet ovat pisteissä A ja B ja jotka leikkaavat toisensa joissakin pisteissä C ja D. Suora CD on haluttu kohtisuora. Todellakin, kuten konstruktiosta voidaan nähdä, kukin pisteistä C ja D ovat yhtä kaukana A:sta ja B:stä; siksi näiden pisteiden on sijaittava janan AB kohtisuorassa puolittajassa.

Tehtävä 5. Jaa tämä segmentti puoliksi. Se ratkaistaan ​​samalla tavalla kuin tehtävä 4 (katso kuva 5).

Tehtävä 6. Piirrä tietyn pisteen kautta viiva, joka on kohtisuora annettuun viivaan nähden.

Ratkaisu. On kaksi mahdollista tapausta:

1) annettu piste O on annetulla suoralla a (kuva 6).

Pisteestä O piirretään mielivaltaisen säteen omaava ympyrä, joka leikkaa suoran a pisteissä A ja B. Piirretään pisteistä A ja B ympyröitä, joilla on sama säde. Olkoon O 1 niiden leikkauspiste, joka on eri kuin O. Saadaan OO 1 ⊥ AB. Itse asiassa pisteet O ja O 1 ovat yhtä kaukana janan AB päistä ja ovat siten kohtisuoralla puolittajalla tähän janaan nähden.