17.02.2017

Excel është një spreadsheet. Mund të përdoret për të krijuar një sërë raportesh. Në këtë program, është shumë i përshtatshëm për të kryer llogaritje të ndryshme. Shumë prej tyre nuk përdorin as gjysmën e aftësive të Excel.

Mund t'ju duhet të gjeni vlerën mesatare të numrave në shkollë, si dhe gjatë punës. Mënyra klasike Përcaktimi i mesatares aritmetike pa përdorimin e programeve është të mblidhen të gjithë numrat, dhe më pas shuma që rezulton duhet të pjesëtohet me numrin e termave. Nëse numrat janë mjaft të mëdhenj, ose nëse operacioni duhet të kryhet shumë herë për qëllime raportimi, llogaritjet mund të zgjasin shumë. Ky është një humbje joracionale e kohës dhe përpjekjes, është shumë më mirë të përdorni aftësitë e Excel.

Gjetja e mesatares aritmetike

Shumë të dhëna tashmë janë regjistruar fillimisht në Excel, por nëse kjo nuk ndodh, është e nevojshme të transferohen të dhënat në një tabelë. Çdo numër për llogaritjen duhet të jetë në një qelizë të veçantë.

Metoda 1: Llogaritni vlerën mesatare përmes "Function Wizard"

Në këtë metodë, ju duhet të shkruani një formulë për llogaritjen e mesatares aritmetike dhe ta zbatoni atë në qelizat e specifikuara.

Problemi kryesor i kësaj metode është se ju duhet të futni manualisht qelizat për çdo term. Në prani të një numër i madh numrat nuk janë shumë të përshtatshëm.

Metoda 2: Llogaritja automatike e rezultatit në qelizat e zgjedhura

Në këtë metodë, llogaritja e mesatares aritmetike kryhet vetëm me disa klikime të miut. Shumë i përshtatshëm për çdo numër numrash.

Disavantazhi i kësaj metode është llogaritja e vlerës mesatare vetëm për numrat e vendosur afër. Nëse termat e nevojshëm janë të shpërndara, atëherë ato nuk mund të zgjidhen për llogaritje. Nuk është e mundur as të zgjidhen dy kolona, ​​me ç'rast rezultatet do të paraqiten veçmas për secilën prej tyre.

Metoda 3: Përdorimi i shiritit të formulës

Një mënyrë tjetër për të shkuar në dritaren e funksionit:

Shumica mënyrë të shpejtë, në të cilën nuk keni nevojë të kërkoni artikuj në meny për një kohë të gjatë.

Metoda 4: Hyrja manuale

Nuk është e nevojshme të përdorni mjetet në menunë Excel për të llogaritur vlerën mesatare, mund të shkruani manualisht funksionin e nevojshëm.

Të shpejtë dhe mënyrë e përshtatshme për ata që preferojnë të krijojnë formula me duart e tyre, në vend që të kërkojnë programe të gatshme në menu.

Falë këtyre veçorive, është shumë e lehtë për të llogaritur vlerën mesatare të çdo numri, pavarësisht nga numri i tyre, dhe gjithashtu mund të përpiloni statistika pa i llogaritur ato manualisht. Me ndihmën e mjeteve të programit Excel, çdo llogaritje është shumë më e lehtë për t'u bërë sesa në mendje ose duke përdorur një kalkulator.

Për të gjetur vlerën mesatare në Excel (qoftë ajo numerike, tekstuale, përqindje ose vlerë tjetër), ka shumë funksione. Dhe secila prej tyre ka karakteristikat dhe avantazhet e veta. Në fund të fundit, disa kushte mund të vendosen në këtë detyrë.

Për shembull, vlerat mesatare të një serie numrash në Excel llogariten duke përdorur funksione statistikore. Ju gjithashtu mund të futni manualisht formulën tuaj. Le të shqyrtojmë opsione të ndryshme.

Si të gjeni mesataren aritmetike të numrave?

Për të gjetur mesataren aritmetike, shtoni të gjithë numrat në grup dhe ndani shumën me numrin. Për shembull, notat e një studenti në shkencat kompjuterike: 3, 4, 3, 5, 5. Çfarë vlen për një të katërtën: 4. Ne gjetëm mesataren aritmetike duke përdorur formulën: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Si ta bëni shpejt duke përdorur funksionet e Excel? Merrni për shembull një seri numrash të rastësishëm në një varg:

Ose: bëni qelizën aktive dhe thjesht futni manualisht formulën: =AVERAGE(A1:A8).

Tani le të shohim se çfarë tjetër mund të bëjë funksioni AVERAGE.

Gjeni mesataren aritmetike të dy numrave të parë dhe tre të fundit. Formula: =MESATARE (A1:B1;F1:H1). Rezultati:

Mesatare sipas kushteve

Kushti për gjetjen e mesatares aritmetike mund të jetë një kriter numerik ose një tekst. Do të përdorim funksionin: =AVERAGEIF().

Gjeni mesataren aritmetike të numrave që janë më të mëdhenj ose të barabartë me 10.

Funksioni: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Rezultati i përdorimit të funksionit AVERAGEIF në kushtin ">=10":

Argumenti i tretë - "Mesatarja e intervalit" - është lënë jashtë. Së pari, nuk kërkohet. Së dyti, diapazoni i analizuar nga programi përmban VETËM vlera numerike. Në qelizat e specifikuara në argumentin e parë, kërkimi do të kryhet sipas kushtit të specifikuar në argumentin e dytë.

Kujdes! Kriteri i kërkimit mund të specifikohet në një qelizë. Dhe në formulë për të bërë një referencë për të.

Le të gjejmë vlerën mesatare të numrave sipas kriterit të tekstit. Për shembull, shitjet mesatare të produktit "tabela".

Funksioni do të duket si ky: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Gama - një kolonë me emrat e produkteve. Kriteri i kërkimit është një lidhje me një qelizë me fjalën "tabela" (mund të futni fjalën "tabela" në vend të lidhjes A7). Gama mesatare - ato qeliza nga të cilat do të merren të dhënat për të llogaritur vlerën mesatare.

Si rezultat i llogaritjes së funksionit, marrim vlerën e mëposhtme:

Kujdes! Për një kriter teksti (kusht), duhet të specifikohet diapazoni mesatar.

Si të llogarisni çmimin mesatar të ponderuar në Excel?

Si e dimë çmimin mesatar të ponderuar?

Formula: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

Duke përdorur formulën SUMPRODUCT, ne zbulojmë të ardhurat totale pas shitjes së të gjithë sasisë së mallit. Dhe funksioni SUM - përmbledh sasinë e mallrave. Duke pjesëtuar të ardhurat totale nga shitja e mallrave me numrin total të njësive të mallrave, gjetëm çmimin mesatar të ponderuar. Ky tregues merr parasysh "peshën" e çdo çmimi. Pjesa e tij në masën totale të vlerave.

Devijimi standard: formula në Excel

Dalloni midis devijimit standard për popullatën e përgjithshme dhe për kampionin. Në rastin e parë, kjo është rrënja e variancës së përgjithshme. Në të dytën, nga varianca e mostrës.

Për të llogaritur këtë tregues statistikor, përpilohet një formulë dispersioni. Rrënja merret prej saj. Por në Excel ekziston një funksion i gatshëm për gjetjen e devijimit standard.

Devijimi standard është i lidhur me shkallën e të dhënave burimore. Kjo nuk mjafton për një paraqitje figurative të variacionit të diapazonit të analizuar. Për të marrë nivelin relativ të shpërndarjes në të dhëna, llogaritet koeficienti i variacionit:

devijimi standard / mesatarja aritmetike

Formula në Excel duket si kjo:

STDEV (varg vlerash) / AVERAGE (varg vlerash).

Koeficienti i variacionit llogaritet si përqindje. Prandaj, ne vendosim formatin e përqindjes në qelizë.

Për zgjidhje e suksesshme problemi 19 nga pjesa 3 duhet të dini disa funksionet e Excel. Një nga këto funksione është MESATAR. Le ta shqyrtojmë më në detaje.

shkëlqejnë ju lejon të gjeni mesataren aritmetike të argumenteve. Sintaksa për këtë funksion është:

MESATAR (numri 1, [numri 2],…)

Mos harroni se futja e një formule në një qelizë fillon me shenjën "=".

Në kllapa, ne mund të rendisim numrat mesataren e të cilëve duam të gjejmë. Për shembull, nëse shkruajmë në një qelizë =MESATARE (1, 2, -7, 10, 7, 5, 9), atëherë marrim 3.857142857. Kjo është e lehtë për t'u kontrolluar - nëse mbledhim të gjithë numrat në kllapa (1 + 2 + (-7) + 10 + 7 + 5 + 9 = 27) dhe pjesëtojmë me numrin e tyre (7), marrim 3.857142857142857.

Vini re numrat në kllapa të ndara me një pikëpresje (; ). Kështu, ne mund të specifikojmë deri në 255 numra.

Për shembull, unë jam duke përdorur Microsort Excel 2010.

Përveç kësaj, me ndihmën funksionet AVERAGE ne mund të gjejmë vlera mesatare e një sërë qelizash. Supozoni se kemi disa numra të ruajtur në rangun A1:A7 dhe duam të gjejmë mesataren e tyre aritmetike.

Le të vendosim në qelizën B1 mesataren aritmetike të diapazonit A1:A7. Për ta bërë këtë, vendosni kursorin në qelizën B1 dhe shkruani =MESATARE (A1:A7). Në kllapa, tregova gamën e qelizave. Vini re se kufizuesi është karakteri zorrës së trashë (: ). Do të ishte edhe më e lehtë për ta bërë - shkruani në qelizën B1 =MESATARE(, dhe më pas zgjidhni gamën e dëshiruar me miun.

Si rezultat, në qelizën B1 do të marrim numrin 15.85714286 - kjo është mesatarja aritmetike e diapazonit A1:A7.

Si një ngrohje, unë propozoj të gjej vlerën mesatare të numrave nga 1 në 100 (1, 2, 3, etj. deri në 100). Personi i parë që përgjigjet saktë në komente do të marrë 50 rubla në telefonin Ne jemi duke punuar.

Udhëzim

Le të ketë një grup prej katër numrash. Duhet gjetur mesatare kuptimi këtë grup. Për ta bërë këtë, së pari gjejmë shumën e të gjithë këtyre numrave. Le të themi se këta numra janë 1, 3, 8, 7. Shuma e tyre është S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Bashkësia e numrave duhet të përbëhet nga numra të së njëjtës shenjë, përndryshe kuptimi i llogaritjes së vlerës mesatare është humbur.

Mesatare kuptimi grupi i numrave është i barabartë me shumën e numrave S të pjesëtuar me numrin e këtyre numrave. Kjo është, rezulton se mesatare kuptimi barazohet me: 19/4 = 4,75.

Për të vendosur numrin mund të gjendet edhe jo vetëm mesatare aritmetike, por mesatare gjeometrike. Mesatarja gjeometrike e disa numrave realë pozitivë është një numër që mund të zëvendësojë secilin prej këtyre numrave në mënyrë që prodhimi i tyre të mos ndryshojë. Mesatarja gjeometrike G gjendet me formulën: rrënja e shkallës N-të të prodhimit të një grupi numrash, ku N është numri i numrave në bashkësi. Konsideroni të njëjtin grup numrash: 1, 3, 8, 7. Gjeni ato mesatare gjeometrike. Për ta bërë këtë, ne llogarisim produktin: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Tani nga numri 168 është e nevojshme të nxirret rrënja e shkallës së 4-të: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Kështu mesatare bashkësia gjeometrike e numrave është 3.61.

Mesatare mesatarja gjeometrike në përgjithësi përdoret më rrallë se mesatarja aritmetike, por mund të jetë e dobishme kur llogaritet mesatarja e treguesve që ndryshojnë me kalimin e kohës (paga e një punonjësi individual, dinamika e performancës akademike, etj.).

Do t'ju duhet

• Llogaritësi inxhinierik

Udhëzim

Për të gjetur mesataren gjeometrike të një serie numrash, së pari duhet të shumëzoni të gjithë këta numra. Për shembull, ju jepet një grup prej pesë treguesish: 12, 3, 6, 9 dhe 4. Le t'i shumëzojmë të gjithë këta numra: 12x3x6x9x4=7776.

Tani, nga numri që rezulton, duhet të nxirrni rrënjën e shkallës së barabartë me numrin e elementeve në seri. Në rastin tonë, nga numri 7776, do t'ju duhet të nxirrni rrënjën e shkallës së pestë duke përdorur një kalkulator inxhinierik. Numri i marrë pas këtij operacioni - në këtë rast numri 6 - do të jetë mesatarja gjeometrike për grupin origjinal të numrave.

Nëse nuk keni një kalkulator inxhinierik në dorë, atëherë mund të llogarisni mesataren gjeometrike të një serie numrash duke përdorur funksionin CPGEOM në Excel ose duke përdorur një nga kalkulatorët në internet të krijuar posaçërisht për të llogaritur vlerat mesatare gjeometrike.

shënim

Nëse ju duhet të gjeni mesataren gjeometrike për vetëm dy numra, atëherë nuk do t'ju duhet një kalkulator inxhinierik: mund të nxirrni rrënjën e shkallës së dytë (rrënjën katrore) të çdo numri duke përdorur kalkulatorin më të zakonshëm.

Këshilla të dobishme

Për dallim nga mesatarja aritmetike, mesatarja gjeometrike nuk ndikohet aq fort nga devijimet dhe luhatjet e mëdha midis vlerave individuale në grupin e treguesve të studiuar.

Burimet:

• Llogaritësi online që llogarit mesataren gjeometrike
• formula e mesme gjeometrike

Mesatare vlera është një nga karakteristikat e një grupi numrash. Përfaqëson një numër që nuk mund të jetë jashtë gamës së përcaktuar nga vlerat më të mëdha dhe më të vogla në këtë grup numrash. Mesatare vlera aritmetike - shumëllojshmëria e mesatareve më të përdorura.

Udhëzim

Shtoni të gjithë numrat në grup dhe pjesëtoni me numrin e termave për të marrë mesataren aritmetike. Në varësi të kushteve specifike të llogaritjes, ndonjëherë është më e lehtë të ndash secilin prej numrave me numrin e vlerave në grup dhe të përmbledhë rezultatin.

Përdorni, për shembull, kalkulatorin e përfshirë me Windows nëse nuk është e mundur të llogaritni mesataren aritmetike në kokën tuaj. Mund ta hapni duke përdorur dialogun e nisësit të programit. Për ta bërë këtë, shtypni "çelësat e nxehtë" WIN + R ose klikoni butonin "Start" dhe zgjidhni komandën "Run" nga menyja kryesore. Më pas shkruani calc në fushën e hyrjes dhe shtypni Enter në tastierë ose klikoni butonin OK. E njëjta gjë mund të bëhet përmes menusë kryesore - hapeni atë, shkoni te seksioni "Të gjitha programet" dhe në seksionin "Standard" dhe zgjidhni rreshtin "Llogaritësi".

Futni të gjithë numrat në grup me radhë duke shtypur tastin Plus në tastierë pas secilit prej tyre (përveç të fundit) ose duke klikuar butonin përkatës në ndërfaqen e kalkulatorit. Ju gjithashtu mund të futni numra si nga tastiera ashtu edhe duke klikuar butonat përkatës të ndërfaqes.

Shtypni tastin e pjerrët ose klikoni këtë ikonë në ndërfaqen e kalkulatorit pasi të keni futur vlerën e fundit të grupit dhe të printoni numrin e numrave në sekuencë. Më pas shtypni shenjën e barazimit dhe kalkulatori do të llogarisë dhe do të shfaqë mesataren aritmetike.

Ju mund të përdorni një redaktues fletëllogaritëse për të njëjtin qëllim. Microsoft Excel. Në këtë rast, filloni redaktorin dhe futni të gjitha vlerat e sekuencës së numrave në qelizat ngjitur. Nëse pas futjes së çdo numri shtypni Enter ose tastin e shigjetës poshtë ose djathtas, vetë redaktori do ta zhvendosë fokusin e hyrjes në qelizën ngjitur.

Zgjidhni të gjitha vlerat e futura dhe në këndin e poshtëm të majtë të dritares së redaktuesit (në shiritin e statusit) do të shihni mesataren aritmetike për qelizat e zgjedhura.

Klikoni në qelizën pranë numrit të fundit që keni futur, nëse nuk dëshironi të shihni vetëm mesataren aritmetike. Zgjero listën rënëse me imazhin e shkronjës greke sigma (Σ) në grupin Redaktimi i komandave në skedën Home. Zgjidhni rreshtin " Mesatare” dhe redaktori do të fusë formulën e dëshiruar për llogaritjen e mesatares aritmetike në qelizën e zgjedhur. Shtypni tastin Enter dhe vlera do të llogaritet.

Mesatarja aritmetike është një nga matësit e tendencës qendrore, e përdorur gjerësisht në matematikë dhe llogaritjet statistikore. Gjetja e mesatares aritmetike të disa vlerave është shumë e thjeshtë, por secila detyrë ka nuancat e veta, të cilat thjesht duhet të njihen për të kryer llogaritjet e sakta.

Cila është mesatarja aritmetike

Mesatarja aritmetike përcakton vlerën mesatare për të gjithë grupin origjinal të numrave. Me fjalë të tjera, nga një grup i caktuar numrash, zgjidhet një vlerë e përbashkët për të gjithë elementët, krahasimi matematik i së cilës me të gjithë elementët është afërsisht i barabartë. Mesatarja aritmetike përdoret kryesisht në përgatitjen e raporteve financiare dhe statistikore ose për llogaritjen e rezultateve sasiore të eksperimenteve të tilla.

Si të gjeni mesataren aritmetike

Kërkimi për mesataren aritmetike për një grup numrash duhet të fillojë me përcaktimin e shumës algjebrike të këtyre vlerave. Për shembull, nëse grupi përmban numrat 23, 43, 10, 74 dhe 34, atëherë shuma algjebrike e tyre do të jetë 184. Gjatë shkrimit, mesatarja aritmetike shënohet me shkronjën μ (mu) ose x (x me shirit) . Më pas, shuma algjebrike duhet të pjesëtohet me numrin e numrave në grup. Në këtë shembull, kishte pesë numra, kështu që mesatarja aritmetike do të jetë 184/5 dhe do të jetë 36.8.

Karakteristikat e punës me numra negativë

Nëse ka numra negativë në grup, atëherë mesatarja aritmetike gjendet duke përdorur një algoritëm të ngjashëm. Ka një ndryshim vetëm kur llogaritet në mjedisin e programimit, ose nëse ka kushte shtesë në detyrë. Në këto raste, gjetja e mesatares aritmetike të numrave me shenja të ndryshme zbret në tre hapa:

1. Gjetja e mesatares së përbashkët aritmetike me metodën standarde;
2. Gjetja e mesatares aritmetike të numrave negativë.
3. Llogaritja e mesatares aritmetike të numrave pozitivë.

Përgjigjet e secilit prej veprimeve shkruhen të ndara me presje.

Thyesat natyrore dhe dhjetore

Nëse grupi i numrave përfaqësohet me thyesa dhjetore, zgjidhja ndodh sipas metodës së llogaritjes së mesatares aritmetike të numrave të plotë, por rezultati zvogëlohet sipas kërkesave të problemës për saktësinë e përgjigjes.

Kur punoni me thyesa natyrore, ato duhet të reduktohen në një emërues të përbashkët, i cili shumëzohet me numrin e numrave në grup. Numëruesi i përgjigjes do të jetë shuma e numëruesve të dhënë të elementeve thyesore origjinale.

Mesatarja gjeometrike e numrave varet jo vetëm nga vlera absolute e vetë numrave, por edhe nga numri i tyre. Mos ngatërroni mesataren gjeometrike dhe mesataren aritmetike të numrave, pasi ato gjenden duke përdorur metoda të ndryshme. Mesatarja gjeometrike është gjithmonë më e vogël ose e barabartë me mesataren aritmetike.

Për të gjetur mesataren gjeometrike të më shumë se dy numrave, përdorni gjithashtu rregullin bazë. Për ta bërë këtë, gjeni produktin e të gjithë numrave për të cilët dëshironi të gjeni mesataren gjeometrike. Nga produkti që rezulton, nxirrni rrënjën e shkallës së barabartë me numrin e numrave. Për shembull, për të gjetur mesataren gjeometrike të numrave 2, 4 dhe 64, gjeni produktin e tyre. 2•4•64=512. Meqenëse duhet të gjeni rezultatin e mesatares gjeometrike të tre numrave, nxirrni rrënjën e shkallës së tretë nga produkti. Është e vështirë ta bësh këtë me gojë, prandaj përdorni një kalkulator inxhinierik. Për ta bërë këtë, ai ka një buton "x ^ y". Telefononi numrin 512, shtypni butonin "x^y", më pas thirrni numrin 3 dhe shtypni butonin "1/x", për të gjetur vlerën 1/3, shtypni butonin "=". Marrim rezultatin e ngritjes së 512 në fuqinë 1/3, që korrespondon me rrënjën e shkallës së tretë. Merrni 512^1/3=8. Kjo është mesatarja gjeometrike e numrave 2.4 dhe 64.

Duke përdorur një kalkulator inxhinierik, ju mund të gjeni mesataren gjeometrike në një mënyrë tjetër. Gjeni butonin log në tastierën tuaj. Pas kësaj, merrni logaritmin për secilin nga numrat, gjeni shumën e tyre dhe pjesëtojeni atë me numrin e numrave. Nga numri që rezulton, merrni antilogaritmin. Kjo do të jetë mesatarja gjeometrike e numrave. Për shembull, për të gjetur mesataren gjeometrike të të njëjtëve numra 2, 4 dhe 64, bëni një grup veprimesh në kalkulator. Shkruani numrin 2, më pas shtypni butonin log, shtypni butonin "+", shkruani numrin 4 dhe shtypni log dhe "+" përsëri, shkruani 64, shtypni log dhe "=". Rezultati do të jetë një numër i barabartë me shumën e logaritmeve dhjetore të numrave 2, 4 dhe 64. Pjesëtojeni numrin që rezulton me 3, pasi ky është numri i numrave me të cilët kërkohet mesatarja gjeometrike. Nga rezultati, merrni antilogaritmin duke ndërruar çelësin e regjistrimit dhe përdorni të njëjtin çelës log. Rezultati është numri 8, ky është mesatarja e dëshiruar gjeometrike.

shënim

Mesatarja nuk mund të jetë më e madhe se numri më i madh në grup dhe më i vogël se numri më i vogël.

Këshilla të dobishme

Në statistikat matematikore, vlera mesatare e një sasie quhet pritshmëri matematikore.

Burimet:

• si të llogaritet mesatarja
• Gjeni mesataren aritmetike të të gjithë numrave të plotë nga 1 deri në 1000
• Gjetja e mesatares gjeometrike

Në shumicën e rasteve, të dhënat përqendrohen rreth një pike qendrore. Kështu, për të përshkruar çdo grup të dhënash, mjafton të tregohet vlera mesatare. Konsideroni në mënyrë të njëpasnjëshme tre karakteristika numerike që përdoren për të vlerësuar vlerën mesatare të shpërndarjes: mesatarja aritmetike, mediana dhe mënyra.

Mesatare

Mesatarja aritmetike (shpesh e referuar thjesht si mesatare) është vlerësimi më i zakonshëm i mesatares së një shpërndarjeje. Është rezultat i pjesëtimit të shumës së të gjitha vlerave numerike të vëzhguara me numrin e tyre. Për një mostër numrash X 1, X 2, ..., Xn, mesatarja e mostrës (e shënuar me simbolin ) barazohet \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, ose

ku është mesatarja e mostrës, n- Madhësia e mostrës, Xi – elementi i-të mostrat.

Shkarkoni shënimin në ose format, shembuj në format

Merrni parasysh llogaritjen e mesatares aritmetike të kthimeve mesatare vjetore pesëvjeçare të 15 fondeve të përbashkëta me rrezik shumë të lartë (Figura 1).

Oriz. 1. Kthimi mesatar vjetor i 15 fondeve të përbashkëta me rrezik shumë të lartë

Mesatarja e mostrës llogaritet si më poshtë:

Ky është një kthim i mirë, veçanërisht kur krahasohet me kthimin 3-4% që kanë marrë depozituesit e bankës ose të unionit të kreditit gjatë të njëjtës periudhë kohore. Nëse renditni vlerat e kthimit, është e lehtë të shihet se tetë fonde kanë një kthim më të lartë, dhe shtatë - nën mesataren. Mesatarja aritmetike vepron si një pikë balancimi, në mënyrë që fondet me të ardhura të ulëta të balancojnë fondet me të ardhura të larta. Të gjithë elementët e kampionit janë të përfshirë në llogaritjen e mesatares. Asnjë nga vlerësuesit e tjerë të mesatares së shpërndarjes nuk e ka këtë veti.

Kur të llogaritet mesatarja aritmetike. Meqenëse mesatarja aritmetike varet nga të gjithë elementët e mostrës, prania e vlerave ekstreme ndikon ndjeshëm në rezultat. Në situata të tilla, mesatarja aritmetike mund të shtrembërojë kuptimin e të dhënave numerike. Prandaj, kur përshkruani një grup të dhënash që përmban vlera ekstreme, është e nevojshme të tregohet mesatarja ose mesatarja aritmetike dhe mediana. Për shembull, nëse kthimi i fondit të rritjes në zhvillim të RS hiqet nga kampioni, mesatarja e kampionit të kthimit të 14 fondeve zvogëlohet me pothuajse 1% në 5.19%.

mesatare

Mediana është vlera e mesme e një grupi të renditur numrash. Nëse grupi nuk përmban numra të përsëritur, atëherë gjysma e elementeve të tij do të jenë më pak se dhe gjysma më shumë se mesatarja. Nëse kampioni përmban vlera ekstreme, është më mirë të përdoret mesatarja dhe jo mesatarja aritmetike për të vlerësuar mesataren. Për të llogaritur mesataren e një kampioni, së pari duhet të renditet.

Kjo formulë është e paqartë. Rezultati i tij varet nëse numri është çift apo tek. n:

• Nëse kampioni përmban një numër tek artikujsh, mesatarja është (n+1)/2-elementi.
• Nëse kampioni përmban një numër çift elementesh, mesatarja qëndron midis dy elementeve të mesit të kampionit dhe është e barabartë me mesataren aritmetike të llogaritur mbi këta dy elementë.

Për të llogaritur mesataren për një kampion prej 15 fondesh të përbashkëta me rrezik shumë të lartë, së pari duhet të renditim të dhënat e papërpunuara (Figura 2). Atëherë medianaja do të jetë e kundërt me numrin e elementit të mesëm të mostrës; në shembullin tonë numër 8. Excel ka një funksion të veçantë =MEDIAN() që funksionon edhe me vargje të pa renditura.

Oriz. 2. Mesatarja 15 fonde

Kështu, mesatarja është 6.5. Kjo do të thotë se gjysma e fondeve me rrezik shumë të lartë nuk i kalon 6.5, ndërsa gjysma tjetër e bën këtë. Vini re se mesatarja prej 6.5 është pak më e madhe se mesatarja e 6.08.

Nëse heqim përfitimin e fondit të rritjes në zhvillim të RS nga kampioni, atëherë mesatarja e 14 fondeve të mbetura do të ulet në 6.2%, domethënë jo aq domethënëse sa mesatarja aritmetike (Fig. 3).

Oriz. 3. Fondet mesatare 14

Moda

Termi u prezantua për herë të parë nga Pearson në 1894. Moda është numri që shfaqet më shpesh në mostër (më në modë). Moda përshkruan mirë, për shembull, reagimin tipik të shoferëve ndaj një sinjali rrugor për të ndaluar trafikun. Një shembull klasik i përdorimit të modës është zgjedhja e madhësisë së grupit të këpucëve të prodhuara ose ngjyra e letër-muri. Nëse një shpërndarje ka mënyra të shumta, atëherë thuhet se është multimodale ose multimodale (ka dy ose më shumë "maja"). Multimodaliteti i shpërndarjes jep informacion i rendesishem për natyrën e ndryshores në studim. Për shembull, në anketat sociologjike, nëse një variabël përfaqëson një preferencë ose qëndrim ndaj diçkaje, atëherë multimodaliteti mund të nënkuptojë se ka disa mendime dukshëm të ndryshme. Multimodaliteti është gjithashtu një tregues që kampioni nuk është homogjen dhe se vëzhgimet mund të gjenerohen nga dy ose më shumë shpërndarje "të mbivendosura". Ndryshe nga mesatarja aritmetike, vlerat e jashtme nuk ndikojnë në modalitetin. Për variabla të rastësishme të shpërndara vazhdimisht, të tilla si kthimet mesatare vjetore të fondeve të përbashkëta, mënyra ndonjëherë nuk ekziston fare (ose nuk ka kuptim). Meqenëse këta tregues mund të marrin një sërë vlerash, vlerat e përsëritura janë jashtëzakonisht të rralla.

kuartilët

Kuartilët janë masa që përdoren më së shpeshti për të vlerësuar shpërndarjen e të dhënave kur përshkruajnë vetitë e mostrave të mëdha numerike. Ndërsa mediana ndan grupin e renditur në gjysmë (50% e elementeve të grupit janë më pak se mesatarja dhe 50% janë më të mëdhenj), kuartilët thyejnë grupin e renditur të të dhënave në katër pjesë. Vlerat Q 1, mesatare dhe Q 3 janë respektivisht përqindja e 25-të, e 50-të dhe e 75-të. Kuartili i parë Q 1 është një numër që e ndan kampionin në dy pjesë: 25% e elementeve janë më pak se dhe 75% janë më shumë se çerekli i parë.

Kuartili i tretë Q 3 është një numër që gjithashtu e ndan kampionin në dy pjesë: 75% e elementeve janë më pak se dhe 25% janë më shumë se çerekli i tretë.

Për të llogaritur kuartilet në versionet e Excel-it para vitit 2007, është përdorur funksioni =QUARTILE (array, pjesë). Duke filluar me Excel 2010, zbatohen dy funksione:

• =QUARTILE.ON (varg, pjesë)
• =QUARTILE.EXC (varg, pjesë)

Këto dy funksione japin vlera paksa të ndryshme (Figura 4). Për shembull, kur llogariten kuartilet e një kampioni që përmban të dhëna për kthimin mesatar vjetor të 15 fondeve të përbashkëta me rrezik shumë të lartë, Q 1 = 1,8 ose -0,7 për QUARTILE.INC dhe QUARTILE.EXC, përkatësisht. Nga rruga, funksioni QUARTILE i përdorur më herët korrespondon me funksionin modern QUARTILE.ON. Për të llogaritur kuartilet në Excel duke përdorur formulat e mësipërme, grupi i të dhënave mund të lihet i pa renditur.

Oriz. 4. Llogaritni kuartilët në Excel

Le të theksojmë përsëri. Excel mund të llogarisë kuartilët për njëndryshim seri diskrete, që përmban vlerat e një ndryshoreje të rastësishme. Llogaritja e kuartileve për një shpërndarje të bazuar në frekuencë është dhënë në seksionin më poshtë.

mesatare gjeometrike

Ndryshe nga mesatarja aritmetike, mesatarja gjeometrike mat se sa ka ndryshuar një ndryshore me kalimin e kohës. Mesatarja gjeometrike është rrënja n shkalla e th nga produkti n vlerat (në Excel, përdoret funksioni = CUGEOM):

G= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Një parametër i ngjashëm - mesatarja gjeometrike e shkallës së kthimit - përcaktohet nga formula:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

ku R i- norma e kthimit i- periudha e kohshme.

Për shembull, supozoni se investimi fillestar është 100,000 dollarë. Në fund të vitit të parë, ai bie në 50,000 dollarë dhe deri në fund të vitit të dytë, rikuperohet në 100,000 dollarë fillestarë. Shkalla e kthimit të këtij investimi mbi dy periudha vjetore është e barabartë me 0, pasi shuma fillestare dhe përfundimtare e fondeve janë të barabarta me njëra-tjetrën. Megjithatë, mesatarja aritmetike e normave vjetore të kthimit është = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ose 25%, pasi norma e kthimit në vitin e parë R 1 = (50,000 - 100,000) / 100,000 = -0,5 , dhe në të dytën R 2 = (100,000 - 50,000) / 50,000 = 1. Në të njëjtën kohë, mesatarja gjeometrike e normës së kthimit për dy vjet është: G = [(1–0,5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Kështu, mesatarja gjeometrike pasqyron më saktë ndryshimin (më saktë mungesën e ndryshimit) në vëllimin e investimeve gjatë dyvjetorit sesa mesatarja aritmetike.

Fakte interesante. Së pari, mesatarja gjeometrike do të jetë gjithmonë më e vogël se mesatarja aritmetike e të njëjtëve numra. Me përjashtim të rastit kur të gjithë numrat e marrë janë të barabartë me njëri-tjetrin. Së dyti, duke marrë parasysh vetitë e një trekëndëshi kënddrejtë, mund të kuptohet pse mesatarja quhet gjeometrike. Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë, e ulur në hipotenuzë, është proporcionaliteti mesatar midis projeksioneve të këmbëve në hipotenuzë, dhe secila këmbë është proporcionaliteti mesatar midis hipotenuzës dhe projeksionit të saj në hipotenuzë (Fig. 5). Kjo jep një mënyrë gjeometrike të ndërtimit të mesatares gjeometrike të dy segmenteve (gjatësi): duhet të ndërtoni një rreth mbi shumën e këtyre dy segmenteve si diametër, pastaj lartësinë, të rivendosur nga pika e lidhjes së tyre në kryqëzimin me rrethi, do të japë vlerën e dëshiruar:

Oriz. 5. Natyra gjeometrike e mesatares gjeometrike (figura nga Wikipedia)

Vetia e dytë e rëndësishme e të dhënave numerike është e tyre variacion duke karakterizuar shkallën e shpërndarjes së të dhënave. Dy mostra të ndryshme mund të ndryshojnë si në vlerat mesatare ashtu edhe në variacione. Megjithatë, siç tregohet në fig. 6 dhe 7, dy mostra mund të kenë të njëjtin ndryshim, por mjete të ndryshme, ose të njëjtën mesatare dhe variacion krejtësisht të ndryshëm. Të dhënat që korrespondojnë me poligonin B në Fig. 7 ndryshojnë shumë më pak se të dhënat nga të cilat është ndërtuar poligoni A.

Oriz. 6. Dy shpërndarje simetrike në formë zile me të njëjtën përhapje dhe vlera mesatare të ndryshme

Oriz. 7. Dy shpërndarje simetrike në formë zile me të njëjtat vlera mesatare dhe shpërndarje të ndryshme

Ekzistojnë pesë vlerësime të variacionit të të dhënave:

• hapësirë,
• diapazoni ndërkuartilor,
• dispersion,
• devijimi standard,
• koeficienti i variacionit.

fushëveprimi

Gama është diferenca midis elementeve më të mëdhenj dhe më të vegjël të mostrës:

Rrëshqitni = XMax-XMin

Gama e një kampioni që përmban kthimet mesatare vjetore të 15 fondeve të përbashkëta me rrezik shumë të lartë mund të llogaritet duke përdorur një grup të porositur (shih Figurën 4): diapazoni = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Kjo do të thotë se diferenca midis kthimit mesatar vjetor më të lartë dhe më të ulët për fondet me rrezik shumë të lartë është 24.6%.

Gama mat përhapjen e përgjithshme të të dhënave. Megjithëse diapazoni i mostrës është një vlerësim shumë i thjeshtë i përhapjes totale të të dhënave, dobësia e tij është se nuk merr parasysh saktësisht se si shpërndahen të dhënat midis elementeve minimale dhe maksimale. Ky efekt shihet mirë në Fig. 8 i cili ilustron mostrat që kanë të njëjtin gamë. Shkalla B tregon se nëse kampioni përmban të paktën një vlerë ekstreme, diapazoni i mostrës është një vlerësim shumë i pasaktë i shpërndarjes së të dhënave.

Oriz. 8. Krahasimi i tre mostrave me të njëjtin diapazon; trekëndëshi simbolizon mbështetjen e bilancit, dhe vendndodhja e tij korrespondon me vlerën mesatare të mostrës

Gama ndërkuartilore

Diapazoni ndërkuartil, ose mesatar, është ndryshimi midis kuartilit të tretë dhe të parë të kampionit:

Gama ndërkuartilale \u003d Q 3 - Q 1

Kjo vlerë bën të mundur që të vlerësohet përhapja e 50% e elementeve dhe të mos merret parasysh ndikimi i elementeve ekstreme. Gama ndërkuartilore për një kampion që përmban të dhëna mbi kthimet mesatare vjetore të 15 fondeve të përbashkëta me rrezik shumë të lartë mund të llogaritet duke përdorur të dhënat në Fig. 4 (për shembull, për funksionin QUARTILE.EXC): Gama ndërkuartilore = 9,8 - (-0,7) = 10,5. Intervali midis 9.8 dhe -0.7 shpesh quhet gjysma e mesme.

Duhet të theksohet se vlerat Q 1 dhe Q 3, dhe rrjedhimisht diapazoni ndërkuartilor, nuk varen nga prania e pikave të jashtme, pasi llogaritja e tyre nuk merr parasysh asnjë vlerë që do të ishte më e vogël se Q 1 ose më e madhe se Q 3. . Karakteristikat totale sasiore, të tilla si mesatarja, kuartilët e parë dhe të tretë dhe diapazoni ndërkuartil, të cilat nuk ndikohen nga vlerat e jashtme, quhen tregues të fortë.

Ndërsa diapazoni dhe diapazoni ndërkuartil ofrojnë një vlerësim të shpërndarjes totale dhe mesatare të kampionit, respektivisht, asnjë nga këto vlerësime nuk merr parasysh saktësisht se si shpërndahen të dhënat. Varianca dhe devijimi standard të lirë nga kjo mangësi. Këta tregues ju lejojnë të vlerësoni shkallën e luhatjes së të dhënave rreth mesatares. Varianca e mostrësështë një përafrim i mesatares aritmetike të llogaritur nga diferencat në katror ndërmjet secilit element të mostrës dhe mesatares së mostrës. Për një kampion prej X 1 , X 2 , ... X n varianca e mostrës (e shënuar me simbolin S 2 jepet me formulën e mëposhtme:

Në përgjithësi, varianca e kampionit është shuma e diferencave në katror midis elementeve të mostrës dhe mesatares së mostrës, e ndarë me një vlerë të barabartë me madhësinë e kampionit minus një:

ku - mesatarja aritmetike, n- Madhësia e mostrës, X i - i-elementi i mostrës X. Në Excel para versionit 2007, funksioni =VAR() është përdorur për të llogaritur variancën e mostrës, që nga versioni 2010, përdoret funksioni =VAR.V().

Vlerësimi më praktik dhe i pranuar gjerësisht i shpërndarjes së të dhënave është devijimi standard. Ky tregues shënohet me simbolin S dhe është i barabartë me rrënjën katrore të variancës së mostrës:

Në Excel para versionit 2007, funksioni =STDEV() është përdorur për të llogaritur devijimin standard, nga versioni 2010 është përdorur funksioni =STDEV.B(). Për të llogaritur këto funksione, grupi i të dhënave mund të jetë i parregulluar.

As varianca e mostrës dhe as devijimi standard i mostrës nuk mund të jenë negative. E vetmja situatë në të cilën treguesit S 2 dhe S mund të jenë zero është nëse të gjithë elementët e kampionit janë të barabartë. Në këtë rast krejtësisht të pamundur, diapazoni dhe diapazoni ndërkuartil janë gjithashtu zero.

Të dhënat numerike janë në thelb të paqëndrueshme. Çdo variabël mund të marrë një grup vlera të ndryshme. Për shembull, fonde të ndryshme të përbashkëta kanë norma të ndryshme kthimi dhe humbje. Për shkak të ndryshueshmërisë së të dhënave numerike, është shumë e rëndësishme të studiohen jo vetëm vlerësimet e mesatares, të cilat kanë natyrë përmbledhëse, por edhe vlerësimet e variancës, të cilat karakterizojnë shpërndarjen e të dhënave.

Varianca dhe devijimi standard na lejojnë të vlerësojmë përhapjen e të dhënave rreth mesatares, me fjalë të tjera, të përcaktojmë se sa elementë të mostrës janë më pak se mesatarja dhe sa janë më të mëdhenj. Dispersioni ka disa veti të vlefshme matematikore. Sidoqoftë, vlera e tij është katrori i një njësie matëse - një përqindje katrore, një dollar katror, ​​një inç katror, ​​etj. Prandaj, një vlerësim natyror i variancës është devijimi standard, i cili shprehet në njësitë e zakonshme të matjes - përqindja e të ardhurave, dollarë ose inç.

Devijimi standard ju lejon të vlerësoni sasinë e luhatjeve të elementeve të mostrës rreth vlerës mesatare. Pothuajse në të gjitha situatat, shumica e vlerave të vëzhguara qëndrojnë brenda plus ose minus një devijim standard nga mesatarja. Prandaj, duke ditur mesataren aritmetike të elementeve të mostrës dhe devijimin standard të mostrës, është e mundur të përcaktohet intervali të cilit i përket pjesa më e madhe e të dhënave.

Devijimi standard i kthimeve për 15 fonde të përbashkëta me rrezik shumë të lartë është 6.6 (Figura 9). Kjo do të thotë që përfitimi i pjesës më të madhe të fondeve ndryshon nga vlera mesatare me jo më shumë se 6.6% (d.m.th., ai luhatet në intervalin nga - S= 6,2 – 6,6 = –0,4 deri + S= 12.8). Në fakt, ky interval përmban një kthim mesatar vjetor pesëvjeçar prej 53.3% (8 nga 15) të fondeve.

Oriz. 9. Devijimi standard

Vini re se në procesin e mbledhjes së diferencave në katror, ​​artikujt që janë më larg nga mesatarja fitojnë më shumë peshë sesa artikujt që janë më afër. Kjo veti është arsyeja kryesore pse mesatarja aritmetike përdoret më shpesh për të vlerësuar mesataren e një shpërndarjeje.

Koeficienti i variacionit

Ndryshe nga vlerësimet e mëparshme të shpërndarjes, koeficienti i variacionit është një vlerësim relativ. Ajo matet gjithmonë si përqindje, jo në njësitë origjinale të të dhënave. Koeficienti i variacionit, i shënuar me simbolet CV, mat shpërndarjen e të dhënave rreth mesatares. Koeficienti i variacionit është i barabartë me devijimin standard të ndarë me mesataren aritmetike dhe shumëzuar me 100%:

ku S- devijimi standard i mostrës, - mesatarja e mostrës.

Koeficienti i variacionit ju lejon të krahasoni dy mostra, elementët e të cilave shprehen në njësi të ndryshme matëse. Për shembull, menaxheri i një shërbimi të dërgimit të postës synon të përmirësojë flotën e kamionëve. Kur ngarkoni paketat, duhen marrë parasysh dy lloje kufizimesh: pesha (në paund) dhe vëllimi (në këmbë kub) të secilës paketë. Supozoni se në një kampion prej 200 çanta, pesha mesatare është 26.0 paund, devijimi standard i peshës është 3.9 paund, vëllimi mesatar i paketimit është 8.8 metra kub dhe devijimi standard i vëllimit është 2.2 këmbë kub. Si të krahasoni përhapjen e peshës dhe vëllimit të paketave?

Meqenëse njësitë e matjes për peshën dhe vëllimin ndryshojnë nga njëra-tjetra, menaxheri duhet të krahasojë përhapjen relative të këtyre vlerave. Koeficienti i variacionit të peshës është CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, dhe koeficienti i variacionit të vëllimit CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25% . Kështu, shpërndarja relative e vëllimeve të paketave është shumë më e madhe se shpërndarja relative e peshave të tyre.

Formulari i shpërndarjes

Vetia e tretë e rëndësishme e kampionit është forma e shpërndarjes së saj. Kjo shpërndarje mund të jetë simetrike ose asimetrike. Për të përshkruar formën e një shpërndarjeje, është e nevojshme të llogaritet mesatarja dhe mediana e saj. Nëse këto dy masa janë të njëjta, ndryshorja thuhet se është e shpërndarë në mënyrë simetrike. Nëse vlera mesatare e një variabli është më e madhe se mediana, shpërndarja e saj ka një anim pozitiv (Fig. 10). Nëse mesatarja është më e madhe se mesatarja, shpërndarja e ndryshores anon negativisht. Shtrëngimi pozitiv ndodh kur mesatarja rritet në vlera jashtëzakonisht të larta. Shtrëngimi negativ ndodh kur mesatarja zvogëlohet në vlera jashtëzakonisht të vogla. Një variabël shpërndahet në mënyrë simetrike nëse nuk merr ndonjë vlerë ekstreme në asnjërin drejtim, në mënyrë që vlerat e mëdha dhe të vogla të ndryshores anulojnë njëra-tjetrën.

Oriz. 10. Tre lloje të shpërndarjeve

Të dhënat e paraqitura në shkallën A kanë një anim negativ. Kjo figurë tregon një bisht të gjatë dhe një anim të majtë të shkaktuar nga vlera jashtëzakonisht të vogla. Këto vlera jashtëzakonisht të vogla e zhvendosin vlerën mesatare në të majtë, dhe ajo bëhet më e vogël se mesatarja. Të dhënat e paraqitura në shkallën B shpërndahen në mënyrë simetrike. Gjysma e majtë dhe e djathtë e shpërndarjes janë imazhet e tyre pasqyre. Vlerat e mëdha dhe të vogla balancojnë njëra-tjetrën, dhe mesatarja dhe mesatarja janë të barabarta. Të dhënat e paraqitura në shkallën B kanë një shtrembërim pozitiv. Kjo figurë tregon një bisht të gjatë dhe anim në të djathtë, të shkaktuar nga prania e vlerave jashtëzakonisht të larta. Këto vlera shumë të mëdha e zhvendosin mesataren në të djathtë dhe ai bëhet më i madh se mesatarja.

Në Excel, statistikat përshkruese mund të merren duke përdorur shtesën Paketa e analizës. Kaloni nëpër menu Të dhënat → Analiza e të dhënave, në dritaren që hapet, zgjidhni rreshtin Statistika përshkruese dhe klikoni Ne rregull. Në dritare Statistika përshkruese sigurohuni që të tregoni intervali i hyrjes(Fig. 11). Nëse dëshironi të shihni statistika përshkruese në të njëjtën fletë me të dhënat origjinale, zgjidhni butonin e radios intervali i daljes dhe specifikoni qelizën ku dëshironi të vendosni këndin e sipërm të majtë të statistikave të shfaqura (në shembullin tonë, $C$1). Nëse dëshironi të nxirrni të dhëna në një fletë të re ose në një libër të ri pune, thjesht zgjidhni butonin e duhur të radios. Kontrolloni kutinë pranë Statistikat përfundimtare. Opsionale, ju gjithashtu mund të zgjidhni Niveli i vështirësisë,k-të më e vogla dhek-të më e madhja.

Nëse në depozitë Të dhënat në zonë Analiza ju nuk e shihni ikonën Analiza e të dhënave, fillimisht duhet të instaloni shtesën Paketa e analizës(shih, për shembull,).

Oriz. 11. Statistikat përshkruese të kthimeve mesatare vjetore pesëvjeçare të fondeve me nivele shumë të larta rreziku, të llogaritura duke përdorur shtesën Analiza e të dhënave programet Excel

Excel llogarit një numër statistikash të diskutuara më sipër: mesatarja, mediana, modaliteti, devijimi standard, varianca, diapazoni ( intervali), minimale, maksimale dhe madhësia e mostrës ( kontrolloni). Për më tepër, Excel llogarit disa statistika të reja për ne: gabim standard, kurtozë dhe shtrembërim. gabim standardështë e barabartë me devijimin standard të ndarë me rrënjën katrore të madhësisë së kampionit. asimetri karakterizon devijimin nga simetria e shpërndarjes dhe është një funksion që varet nga kubi i diferencave midis elementeve të mostrës dhe vlerës mesatare. Kurtoza është një masë e përqendrimit relativ të të dhënave rreth mesatares kundrejt bishtit të shpërndarjes dhe varet nga ndryshimet midis mostrës dhe mesatares së ngritur në fuqinë e katërt.

Llogaritja e statistikave përshkruese për popullatën e përgjithshme

Mesatarja, shpërndarja dhe forma e shpërndarjes së diskutuar më sipër janë karakteristika të bazuara në mostër. Megjithatë, nëse grupi i të dhënave përmban matje numerike të të gjithë popullatës, atëherë parametrat e tij mund të llogariten. Këto parametra përfshijnë mesataren, variancën dhe devijimin standard të popullatës.

Vlera e pritshmeështë e barabartë me shumën e të gjitha vlerave të popullsisë së përgjithshme të ndarë me vëllimin e popullsisë së përgjithshme:

ku µ - vlera e pritur, Xi- i-vëzhgimi i ndryshores X, N- vëllimi i popullsisë së përgjithshme. Në Excel, për të llogaritur pritshmërinë matematikore, përdoret i njëjti funksion si për mesataren aritmetike: =AVERAGE().

Varianca e popullsisë e barabartë me shumën e diferencave në katror ndërmjet elementeve të popullsisë së përgjithshme dhe mat. pritshmëria e ndarë me madhësinë e popullsisë:

ku σ2është varianca e popullatës së përgjithshme. Excel para versionit 2007 përdor funksionin =VAR() për të llogaritur variancën e popullsisë, duke filluar me versionin 2010 =VAR.G().

devijimi standard i popullsisëështë e barabartë me rrënjën katrore të variancës së popullsisë:

Excel para versionit 2007 përdor =STDEV() për të llogaritur devijimin standard të popullsisë, duke filluar me versionin 2010 =STDEV.Y(). Vini re se formulat për variancën e popullsisë dhe devijimin standard janë të ndryshme nga formulat për variancën e mostrës dhe devijimin standard. Gjatë llogaritjes së statistikave të mostrës S2 dhe S emëruesi i thyesës është n - 1, dhe gjatë llogaritjes së parametrave σ2 dhe σ - vëllimi i popullsisë së përgjithshme N.

rregull i madh

Në shumicën e situatave, një pjesë e madhe e vëzhgimeve përqendrohen rreth mesatares, duke formuar një grup. Në grupet e të dhënave me anshmëri pozitive, ky grup ndodhet në të majtë (d.m.th., poshtë) të pritjes matematikore, dhe në grupet me anshmëri negative, ky grup ndodhet në të djathtë (d.m.th., sipër) të pritjes matematikore. Të dhënat simetrike kanë të njëjtën mesatare dhe mesatare, dhe vëzhgimet grumbullohen rreth mesatares, duke formuar një shpërndarje në formë zile. Nëse shpërndarja nuk ka një anim të theksuar dhe të dhënat janë të përqendruara rreth një qendre të caktuar graviteti, mund të përdoret një rregull i madh për të vlerësuar ndryshueshmërinë, i cili thotë: nëse të dhënat kanë një shpërndarje në formë zile, atëherë afërsisht 68% e vëzhgimeve janë më pak se një devijim standard nga pritshmëria matematikore, përafërsisht 95% e vëzhgimeve janë brenda dy devijimeve standarde të vlerës së pritur, dhe 99.7% e vëzhgimeve janë brenda tre devijimeve standarde të vlerës së pritur.

Kështu, devijimi standard, i cili është një vlerësim i luhatjes mesatare rreth pritshmërisë matematikore, ndihmon për të kuptuar se si janë shpërndarë vëzhgimet dhe për të identifikuar vlerat e jashtme. Nga rregulli i përgjithshëm rrjedh se për shpërndarjet në formë zile, vetëm një vlerë në njëzet ndryshon nga pritshmëria matematikore me më shumë se dy devijime standarde. Prandaj, vlerat jashtë intervalit μ ± 2σ, mund të konsiderohen të jashtëm. Përveç kësaj, vetëm tre nga 1000 vëzhgime ndryshojnë nga pritshmëria matematikore me më shumë se tre devijime standarde. Kështu, vlerat jashtë intervalit μ ± 3σ janë pothuajse gjithmonë të jashtzakonshme. Për shpërndarjet që janë shumë të shtrembëruara ose jo në formë zile, mund të zbatohet rregulli i përgjithshëm Biename-Chebyshev.

Më shumë se njëqind vjet më parë, matematikanët Bienamay dhe Chebyshev zbuluan në mënyrë të pavarur një veti të dobishme të devijimit standard. Ata zbuluan se për çdo grup të dhënash, pavarësisht nga forma e shpërndarjes, përqindja e vëzhgimeve që shtrihen në një distancë që nuk e kalon k devijimet standarde nga pritshmëria matematikore, jo më pak (1 – 1/ 2)*100%.

Për shembull, nëse k= 2, rregulli Biename-Chebyshev thotë se të paktën (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% e vëzhgimeve duhet të qëndrojnë në interval μ ± 2σ. Ky rregull është i vërtetë për çdo k tejkaluar një. Rregulli Biename-Chebyshev është i një natyre shumë të përgjithshme dhe është i vlefshëm për shpërndarjet e çdo lloji. Ai tregon numrin minimal të vëzhgimeve, distanca nga e cila deri tek pritshmëria matematikore nuk e kalon një vlerë të caktuar. Megjithatë, nëse shpërndarja është në formë zile, rregulli i parë vlerëson më saktë përqendrimin e të dhënave rreth mesatares.

Llogaritja e statistikave përshkruese për një shpërndarje të bazuar në frekuencë

Nëse të dhënat origjinale nuk janë të disponueshme, shpërndarja e frekuencës bëhet burimi i vetëm i informacionit. Në situata të tilla, ju mund të llogaritni vlerat e përafërta të treguesve sasiorë të shpërndarjes, siç janë mesatarja aritmetike, devijimi standard, kuartilët.

Nëse të dhënat e mostrës paraqiten si një shpërndarje frekuence, mund të llogaritet një vlerë e përafërt e mesatares aritmetike, duke supozuar se të gjitha vlerat brenda secilës klasë janë të përqendruara në mes të klasës:

ku - mesatarja e mostrës, n- numri i vëzhgimeve, ose madhësia e mostrës, me- numri i klasave në shpërndarjen e frekuencës, mj- pika e mesme j- klasa e th, fj- frekuenca që korrespondon me j- klasa e th.

Për të llogaritur devijimin standard nga shpërndarja e frekuencës, supozohet gjithashtu se të gjitha vlerat brenda secilës klasë janë të përqendruara në mes të klasës.

Për të kuptuar se si përcaktohen kuartilet e serisë në bazë të frekuencave, le të shqyrtojmë llogaritjen e kuartilit të poshtëm bazuar në të dhënat për vitin 2013 mbi shpërndarjen e popullsisë ruse sipas të ardhurave mesatare për frymë në para (Fig. 12).

Oriz. 12. Pjesa e popullsisë së Rusisë me të ardhura monetare për frymë mesatarisht në muaj, rubla

Për të llogaritur kuartilin e parë të serisë së variacionit të intervalit, mund të përdorni formulën:

ku Q1 është vlera e kuartilit të parë, xQ1 është kufiri i poshtëm i intervalit që përmban kuartilin e parë (intervali përcaktohet nga frekuenca e akumuluar, e para i kalon 25%); i është vlera e intervalit; Σf është shuma e frekuencave të të gjithë kampionit; ndoshta gjithmonë e barabartë me 100%; SQ1–1 është frekuenca kumulative e intervalit që i paraprin intervalit që përmban kuartilin e poshtëm; fQ1 është frekuenca e intervalit që përmban kuartilin e poshtëm. Formula për kuartilin e tretë ndryshon në atë që në të gjitha vendet, në vend të Q1, duhet të përdorni Q3 dhe të zëvendësoni ¾ në vend të ¼.

Në shembullin tonë (Fig. 12), kuartili i poshtëm është në intervalin 7000,1 - 10,000, frekuenca kumulative e së cilës është 26,4%. Kufiri i poshtëm i këtij intervali është 7000 rubla, vlera e intervalit është 3000 rubla, frekuenca e akumuluar e intervalit që i paraprin intervalit që përmban kuartilin e poshtëm është 13.4%, frekuenca e intervalit që përmban kuartilin e poshtëm është 13.0%. Kështu: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 \u003d 9677 rubla.

Grackat që lidhen me statistikat përshkruese

Në këtë shënim, ne shikuam se si të përshkruajmë një grup të dhënash duke përdorur statistika të ndryshme që vlerësojnë mesataren, shpërndarjen dhe shpërndarjen e tij. Hapi tjetër është analizimi dhe interpretimi i të dhënave. Deri më tani, ne kemi studiuar vetitë objektive të të dhënave dhe tani i drejtohemi interpretimit të tyre subjektiv. Dy gabime qëndrojnë në pritë për studiuesin: një subjekt analize i zgjedhur gabimisht dhe një interpretim i gabuar i rezultateve.

Një analizë e performancës së 15 fondeve të përbashkëta me rrezik shumë të lartë është mjaft e paanshme. Ai çoi në përfundime plotësisht objektive: të gjitha fondet e përbashkëta kanë kthime të ndryshme, përhapja e kthimeve të fondeve varion nga -6.1 në 18.5, dhe kthimi mesatar është 6.08. Objektiviteti i analizës së të dhënave sigurohet nga zgjedhja e saktë e treguesve sasiorë total të shpërndarjes. Janë shqyrtuar disa metoda për vlerësimin e mesatares dhe shpërndarjes së të dhënave dhe janë treguar avantazhet dhe disavantazhet e tyre. Si të zgjidhni statistikat e duhura që ofrojnë një analizë objektive dhe të paanshme? Nëse shpërndarja e të dhënave është pak e anuar, a duhet zgjedhur mesatarja mbi mesataren aritmetike? Cili tregues karakterizon më saktë përhapjen e të dhënave: devijimi standard apo diapazoni? A duhet të tregohet anshmëria pozitive e shpërndarjes?

Nga ana tjetër, interpretimi i të dhënave është një proces subjektiv. Njerëz të ndryshëm vijnë në përfundime të ndryshme, duke interpretuar të njëjtat rezultate. Secili ka këndvështrimin e vet. Dikush e konsideron të mirë kthimin mesatar vjetor total të 15 fondeve me nivel shumë të lartë rreziku dhe është mjaft i kënaqur me të ardhurat e marra. Të tjerë mund të mendojnë se këto fonde kanë kthime shumë të ulëta. Kështu, subjektiviteti duhet të kompensohet nga ndershmëria, neutraliteti dhe qartësia e përfundimeve.

Çështjet Etike

Analiza e të dhënave është e lidhur pazgjidhshmërisht me çështjet etike. Duhet të jetë kritik ndaj informacionit të shpërndarë nga gazetat, radio, televizioni dhe interneti. Me kalimin e kohës, do të mësoni të jeni skeptikë jo vetëm për rezultatet, por edhe për qëllimet, subjektin dhe objektivitetin e kërkimit. Politikani i famshëm britanik Benjamin Disraeli e ka thënë më së miri: "Ka tre lloje gënjeshtrash: gënjeshtra, gënjeshtra të mallkuara dhe statistika".

Siç theksohet në shënim, çështjet etike lindin gjatë zgjedhjes së rezultateve që duhet të paraqiten në raport. Rezultatet pozitive dhe negative duhet të publikohen. Përveç kësaj, kur bëni një raport ose raport me shkrim, rezultatet duhet të paraqiten me ndershmëri, neutrale dhe objektive. Dalloni midis prezantimeve të këqija dhe të pandershme. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të përcaktohet se cilat ishin qëllimet e folësit. Ndonjëherë folësi heq informacione të rëndësishme nga padituria, dhe nganjëherë qëllimisht (për shembull, nëse ai përdor mesataren aritmetike për të vlerësuar mesataren e të dhënave qartësisht të shtrembëruara për të marrë rezultatin e dëshiruar). Është gjithashtu e pandershme të shtypësh rezultatet që nuk korrespondojnë me këndvështrimin e studiuesit.

Përdoren materiale nga libri Levin et al Statistika për menaxherët. - M.: Williams, 2004. - f. 178–209

Funksioni QUARTILE u ruajt për t'u lidhur me versionet e mëparshme të Excel