Exemplo

Dividindo um segmento ao meio

Problema de bissecção. Use um compasso e uma régua para dividir este segmento AB em duas partes iguais. Uma das soluções é mostrada na figura:

• Usando um compasso, desenhamos círculos com centros em pontos A E B raio AB.
• Encontrando pontos de interseção P E P dois círculos construídos (arcos).
• Usando uma régua, desenhe um segmento ou linha passando pelos pontos P E P.
• Encontrando o ponto médio desejado do segmento AB- ponto de intersecção AB E QP.

Definição formal

Nos problemas de construção são considerados o conjunto de todos os pontos do plano, o conjunto de todas as retas do plano e o conjunto de todos os círculos do plano, sobre os quais são permitidas as seguintes operações:

1. Selecione um ponto do conjunto de todos os pontos:
   1. ponto arbitrário
   2. ponto arbitrário em uma determinada linha
   3. ponto arbitrário em um determinado círculo
   4. o ponto de intersecção de duas retas dadas
   5. ponto de intersecção/tangência de uma determinada reta e de um determinado círculo
   6. pontos de intersecção/tangência de dois círculos dados
2. “Ao usar governantes» selecione uma linha do conjunto de todas as linhas:
   1. linha reta arbitrária
   2. uma linha reta arbitrária que passa por um determinado ponto
   3. uma linha reta que passa por dois pontos dados
3. “Ao usar bússola» selecione um círculo do conjunto de todos os círculos:
   1. círculo arbitrário
   2. um círculo arbitrário com centro em dado ponto
   3. círculo arbitrário com raio, igual à distância entre dois pontos dados
   4. um círculo com centro em um determinado ponto e com raio igual à distância entre dois pontos dados

Nas condições do problema, um determinado conjunto de pontos é especificado. É necessário, usando um número finito de operações dentre as operações admissíveis listadas acima, construir outro conjunto de pontos que esteja em uma determinada relação com o conjunto original.

A solução para o problema da construção contém três partes essenciais:

1. Descrição do método de construção de um determinado conjunto.
2. Prova de que o conjunto construído da forma descrita está de fato numa determinada relação com o conjunto original. Normalmente a prova da construção é realizada como uma prova regular do teorema, baseada em axiomas e outros teoremas comprovados.
3. Análise do método de construção descrito quanto à sua aplicabilidade a diferentes versões das condições iniciais, bem como quanto à unicidade ou não unicidade da solução obtida pelo método descrito.

Problemas conhecidos

• O problema de Apolônio de construir um círculo tangente a três círculos dados. Se nenhum dos círculos dados estiver dentro do outro, então este problema tem 8 soluções significativamente diferentes.
• O problema de Brahmagupta de construir um quadrilátero inscrito usando seus quatro lados.

Construção de polígonos regulares

Os geômetras antigos sabiam como construir n-gons para,, e.

Construções possíveis e impossíveis

Todas as construções nada mais são do que soluções para alguma equação, e os coeficientes desta equação estão relacionados aos comprimentos de determinados segmentos. Portanto, é conveniente falar sobre a construção de um número - uma solução gráfica para uma equação de um determinado tipo. No âmbito dos requisitos acima, são possíveis as seguintes construções:

• Construção de soluções para equações lineares.
• Construindo soluções para equações quadráticas.

Em outras palavras, só é possível construir números iguais a expressões aritméticas utilizando a raiz quadrada dos números originais (comprimentos dos segmentos). Por exemplo,

Variações e generalizações

• Construções usando uma bússola. De acordo com o teorema de Mohr-Mascheroni, com a ajuda de um compasso você pode construir qualquer figura que possa ser construída com um compasso e uma régua. Neste caso, uma linha reta é considerada construída se nela forem indicados dois pontos.
• Construções usando uma régua.É fácil ver que com a ajuda de uma régua apenas construções invariantes projetivas podem ser realizadas. Em particular, é impossível dividir um segmento em duas partes iguais ou encontrar o centro de um círculo desenhado. Mas se houver um círculo pré-desenhado no plano com centro marcado, usando uma régua, você pode realizar as mesmas construções que com compasso e régua (teorema de Poncelet-Steiner ( Inglês)), 1833. Se houver dois entalhes na régua, então as construções que os utilizam são equivalentes às construções que utilizam compasso e régua (Napoleão deu um passo importante para provar isso).
• Construções utilizando ferramentas com capacidades limitadas. Em problemas deste tipo, as ferramentas (em oposição à formulação clássica do problema) são consideradas não ideais, mas limitadas: uma linha reta através de dois pontos só pode ser traçada com uma régua se a distância entre esses pontos não exceder um certo valor; o raio dos círculos desenhados com uma bússola pode ser limitado de cima, de baixo ou de cima e de baixo.
• Construções em origami plano. veja as regras de Hujit

Veja também

• Os programas de geometria dinâmica permitem realizar construções usando um compasso e uma régua em um computador.

Notas

Literatura

• A. Adler Teoria das construções geométricas / Tradução do alemão por G. M. Fikhtengolts. - Terceira edição. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 p.
• I. Alexandrov Coleção de problemas de construção geométrica. - Décima oitava edição. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 p.
• BI Argunov, MB Balk. - Segunda edição. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 p.
• A. M. Voronets Geometria da bússola. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 p. - (Biblioteca popular de matemática sob a direção geral de L. A. Lyusternik).
• V. A. Geiler Problemas de construção insolúveis // refrigerante. - 1999. - Nº 12. - S. 115-118.
• V. A. Kirichenko Construções com compasso e régua e teoria de Galois // Escola de Verão “Matemática Moderna”. -Dubna, 2005.
• Yu.I.Manin Livro IV. Geometria // Enciclopédia de matemática elementar. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 p.
• Y. Petersen Métodos e teorias para resolução de problemas de construção geométrica. - M.: Imprensa de E. Lissner e Y. Roman, 1892. - 114 p.
• V. V. Prasolov Três problemas clássicos de construção. Duplicar um cubo, trissecionar um ângulo, quadrar um círculo. - M.: Nauka, 1992. - 80 p. - (Palestras populares sobre matemática).
• J. Steiner Construções geométricas realizadas utilizando uma linha reta e um círculo fixo. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 p.
• Curso opcional de matemática. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M.: Educação, 1991. - P. 80. - 383 p. - ISBN 5-09-001287-3

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é “Construção com compasso e régua” em outros dicionários:

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Um ramo da geometria euclidiana, conhecido desde a antiguidade. Nas tarefas de construção são possíveis as seguintes operações: Marcar um ponto arbitrário no plano, um ponto em uma das linhas construídas ou o ponto de intersecção de duas linhas construídas. Com a ajuda de... ... Wikipédia

As construções com compassos e réguas são um ramo da geometria euclidiana conhecida desde a antiguidade. Nas tarefas de construção são possíveis as seguintes operações: Marcar um ponto arbitrário no plano, um ponto em uma das linhas construídas ou um ponto... ... Wikipedia

Substantivo, s., usado. comparar frequentemente Morfologia: (não) o quê? construção, o quê? construção, (entendo) o quê? construção, o quê? construção, sobre o quê? sobre construção; por favor. O que? construção, (não) o quê? construções, por quê? construções, (eu vejo) o quê? construção, com o quê?... ... Dicionário Explicativo de Dmitriev

PEQUENA ACADEMIA DE CIÊNCIAS DE ESCOLARES DA CRIMEIA

"BUSCADOR"

Seção "Matemática"

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS COM RÉGUA DUPLA FACE

Eu fiz o trabalho A

_____________

Aluno da turma

Diretor científico

INTRODUÇÃO………………………………………………………………………………..…..3

I. CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS NO PLANO………………...4

I.1. Axiomas gerais da geometria construtiva. Axiomas de instrumentos matemáticos………………………………………………………………………………..4

I.2. ……………………….....5

I.3. Construções geométricas com uma régua……………………………..7

EU.4. Tarefas básicas para construir com régua dupla-face………………..8

I.5. Resolvendo vários problemas de construção ……………………………… 12

I.6. Construções com régua unilateral……………………………….....20

I.7. Intercambialidade de uma régua de dupla face com um compasso e uma régua....21

CONCLUSÃO………………………………………………………….24

Lista de referências………………………………..………….25

Introdução

Os problemas que envolvem construção com meios limitados incluem problemas que envolvem construção usando apenas compasso e régua, que são considerados no currículo escolar. É possível resolver problemas de construção com apenas uma régua? Muitas vezes você não tem uma bússola em mãos, mas sempre pode encontrar uma régua.

Problemas sobre construções em geometria são uma seção fascinante. O interesse por ela se deve à beleza e simplicidade de seu conteúdo geométrico. A relevância de considerar esses problemas aumenta pelo fato de serem utilizados na prática. A capacidade de usar uma régua para resolver os problemas considerados neste trabalho é de grande importância em atividades práticas, porque Constantemente enfrentamos problemas de divisão de um segmento ao meio, duplicação de um determinado segmento, etc.

Este artigo examina as principais tarefas de construção que servem de base para a resolução de problemas mais complexos.

Como mostra a experiência, as tarefas de construção despertam interesse e contribuem para a ativação da atividade mental. Ao resolvê-los, o conhecimento sobre as propriedades das figuras é usado ativamente, a capacidade de raciocinar é desenvolvida e as habilidades de construções geométricas são aprimoradas. Como resultado, desenvolvem-se habilidades construtivas, que é um dos objetivos do estudo da geometria.

Hipótese: todos os problemas de construção que podem ser resolvidos com compasso e régua só podem ser resolvidos com régua dupla-face.

Objeto de estudo: tarefas de construção e régua dupla face.

Objetivos da pesquisa: provar que todos os problemas de construção só podem ser resolvidos com o auxílio de uma régua dupla-face.

Objetivos da pesquisa: estudar os fundamentos teóricos da resolução de problemas de construção; resolver problemas básicos de construção usando uma régua dupla-face; dar exemplos de tarefas de construção mais complexas; sistematizar material teórico e prático.

I. CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS NO PLANO

I.1. Axiomas gerais da geometria construtiva. Axiomas de ferramentas matemáticas

Para a geometria construtiva é necessário ter uma descrição precisa e, para fins matemáticos, completa de uma determinada ferramenta. Esta descrição é dada na forma de axiomas. Esses axiomas em forma matemática abstrata expressam as propriedades de instrumentos de desenho reais usados ​​para construções geométricas.

As ferramentas de construção geométrica mais comumente usadas são:régua (unilateral) , bússola, bilateral régua (com bordas paralelas) e alguns outros.

A. Axioma da régua.

A régua permite realizar as seguintes construções geométricas:
a) construir um segmento conectando dois pontos construídos;

b) construir uma reta passando por dois pontos construídos;

c) construir um raio que emana de um ponto construído e passa por outro ponto construído.

B. O axioma da bússola.

A bússola permite realizar as seguintes construções geométricas:
a) construir um círculo se o centro do círculo e um segmento igual ao raio do círculo (ou suas extremidades) tiverem sido construídos;

B. Axioma de uma régua dupla face.

A régua dupla face permite:

a) realizar qualquer uma das construções listadas no axioma A;

b) em cada um dos semiplanos definidos pela reta construída, construir uma reta paralela a esta reta e passando dela a uma distânciaA, Onde A - um segmento fixado para uma determinada régua (largura da régua);

c) se dois pontos A e B forem construídos, determine se AB será maior que um determinado segmento fixoA (largura da régua), e se AB >A , então construa dois pares de linhas paralelas passando pelos pontos A e B respectivamente e espaçadas uma da outra a uma distânciaA .

Além das ferramentas listadas, você pode usar outras ferramentas para construções geométricas: um ângulo arbitrário, um quadrado, uma régua com marcas, um par de ângulos retos, vários dispositivos para desenhar curvas especiais, etc.

I.2. Princípios gerais para resolver problemas de construção

Tarefa de construção consiste no fato de que é necessário construir uma determinada figura com as ferramentas especificadas se alguma outra figura for dada e certas relações entre os elementos da figura desejada e os elementos desta figura forem indicadas.

Cada figura que satisfaça as condições do problema é chamadadecisão esta tarefa.

Achar uma solução tarefa de construção significa reduzi-la a um número finito de construções básicas, ou seja, indicar uma sequência finita de construções básicas, após a qual a figura desejada já será considerada construída em virtude dos axiomas aceitos da geometria construtiva. A lista de construções básicas aceitáveis ​​e, consequentemente, o progresso na resolução do problema, depende significativamente de quais ferramentas específicas são utilizadas para as construções.

Resolva o problema de construção - Significa, encontre todas as suas soluções .

A última definição requer alguns esclarecimentos. As figuras que satisfazem as condições do problema podem diferir tanto na forma quanto no tamanho e na posição no plano. As diferenças de posição no plano são levadas em consideração ou não dependendo da formulação do próprio problema de construção, se a condição do problema fornece ou não uma determinada localização da figura desejada em relação a quaisquer figuras dadas. .

Se for encontrada uma solução para um problema, então no futuro será permitido utilizar essa solução “como um todo”, ou seja, sem dividi-la em construções principais.

Existem vários problemas simples de construção geométrica, que são frequentemente incluídos como componentes na resolução de problemas mais complexos. Vamos chamá-los de problemas elementares de construção geométrica. A lista de tarefas elementares é, obviamente, condicional. As tarefas básicas geralmente incluem o seguinte:

Divida este segmento ao meio.

Dividindo um determinado ângulo pela metade.

Construir em uma determinada reta um segmento igual ao dado.

Construindo um ângulo igual a um determinado.

Construir uma linha que passa por um determinado ponto paralelo a uma determinada linha.

Construir uma linha que passa por um determinado ponto e é perpendicular a uma determinada linha.

Divisão de um segmento a esse respeito.

Construindo um triângulo usando três lados dados.

Construindo um triângulo usando um lado e dois ângulos adjacentes.

Construir um triângulo usando dois lados e o ângulo entre eles.

Ao resolver qualquer problema de construção um tanto complexo, surge a questão de como raciocinar para encontrar uma forma de resolver o problema, de obter todas as soluções para o problema, de descobrir as condições de possibilidade de resolução do problema, etc. , na resolução de problemas construtivos, utilizam um esquema de solução , composto pelas quatro etapas a seguir:

1) análise;
2) construção;
3) prova;
4) pesquisa.

I.3. Construções geométricas com uma régua

Consideraremos a régua sob dois pontos de vista: como régua e como régua de dupla face.

1. Régua dupla face largura A chamaremos uma régua com arestas paralelas localizadas à distância A uns dos outros, possibilitando construir diretamente:

a) uma linha reta arbitrária;

b) uma reta que passa por dois pontos dados ou obtidos no processo de resolução do problema;

c) linhas paralelas, cada uma das quais passa por um dos pontos, cujas distâncias entre os quais são maioresA (nesta construção, a régua está numa posição tal que em cada uma das suas duas arestas paralelas existe um dos dois pontos dados; neste caso falaremos de construção direta).

A largura da régua nesta construção é considerada constante e, portanto, se no processo de resolução de um determinado problema for necessário realizar uma construção direta em relação a alguns pontos obtidosA E EM , então devemos provar que o comprimentoAB mais longo A .

Consideraremos um ponto a ser construído se for um dos dados ou for a intersecção de duas retas construídas; por sua vez, consideraremos uma reta construída se passar pelos pontos construídos ou dados.

Usando uma régua dupla-face você pode construir o seguinte.

a) Através de quaisquer dois pontos você pode traçar uma linha reta, e apenas um.

b) Qualquer que seja a reta, existem exatamente duas retas no plano, paralelas a ela e separadas dela por uma distânciaa .

c) Através de dois pontos A e B em AB A é possível traçar dois pares de paralelos direto; com AB = A você pode desenhar um par de linhas paralelas, cuja distância é igualA .

Se um, dois, três pontos forem dados, então nenhum novo ponto poderá ser construído

(Figura 1);

se forem dados quatro pontos, dos quais três (ou todos os quatro) estão na mesma linha, então nenhum outro ponto pode ser construído (Fig. 2);

Se você tiver quatro pontos situados nos vértices de um paralelogramo, poderá construir apenas um ponto - seu centro. (Fig.3).

Tendo aceito o que foi dito acima, consideremos separadamente os problemas resolvidos por uma régua dupla-face.

EU.4. Tarefas básicas para construir com régua dupla-face

1
. Construa a bissetriz do ângulo ABC.

Solução: (Fig. 4)

A  (EM C) E b  (Uma banda  b = D .

Nós obtemos B D– bissetriz  ABC.

Com efeito, obtido por

construir um paralelogramo é

losango, pois suas alturas são iguais. EMD –

a diagonal de um losango é uma bissetriz ABC. Figura 4

2
. Dobre o ângulo dado ABC

Solução : (Fig. 5) a) A  (AB),

A  (EM C)= D , pelos pontos B e D

b diretamente;

b) através dos pontos B eD eu  b

diretamente,b Ç uma = F .

Nós temos Ð AB F = 2 Ð abc .

Figura 5

3 . Para uma dada linha reta M N nisso

desenhe uma perpendicular ao ponto A

Solução : (Fig.6)

1) (AA 1) || (BB1) || (SS 1) –

diretamente (B (M N),

COM Î (M N)); 2) através de A e B

eu || n - diretamente,

eu Ç (SS 1) = D .

Obtemos (A D )  (M N ).

Figura 6.

4
. Através de um determinado ponto não deitado

dada linha, desenhar uma perpendicular

Para está linha.

Solução: Através deste ponto O desenhamos

duas linhas que cruzam um determinado

linha reta AB e dobre os ângulos da linha resultante

triângulos adjacentes a este

direto.  OA N = 2  OAV e

obstetra N = 2  OVA (Fig. 7).

Figura 7

5. Construa um ponto simétrico a uma determinada linha em relação a uma determinada linha.

Solução: veja o problema 4. (o ponto O é simétrico ao pontoN. Figura 7)

6. Faça uma linha reta paralelo a este

P
reto M N , através do ponto A, não

pertencente à linha M N .

Solução 1: (Fig. 8)

1)(AA 1) || (BB1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (КК 1) -

– diretamente, (SA)Ç (BB 1) = C 2;

2) (Com 2K) Ç (DD 1 ) = F .

(A F ) é a linha reta desejada.

Figura 8

Solução 2 . Na Fig. 8 1 está numerado

sequência de linhas retas,

dos quais 1, 2 e 3 são paralelos em

construção direta;

(A F) || (M N).

Figura 8 1

7
. Divida este segmento AB ao meio.

Solução 1. (Fig. 9) (somente para o caso em que a largura da régua seja menor que o comprimento deste segmento). Desenhe diretamente dois pares de linhas paralelas através

as extremidades deste segmento e depois a diagonal

o losango resultante. O – meio AB.

Arroz. 9.

Solução 2. (Fig. 9, a)

1) um || (Uma banda b || (AB) – diretamente;

2) (AR), (AR)Ç uma = C, (PA) Ç b = D ;

3) (D EM) Ç uma = M, (SV) Ç b = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D PARA) Ç (A N ) = F ;

6) (B F ) Ç b = D 1, (B F ) Ç uma=C1;

7) (D EM ) Ç (A D 1 ) =X,

(AC 1) Ç (SV) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) =O. Obtemos AO = OB.

Figura 9,a

Solução 3 .( Arroz. 9,b)

Como é conhecido , no trapézio médio

bases, ponto de intersecção

diagonais e ponto de interseção

extensões dos lados

deitar na mesma linha reta.

1) eu || (AB) – diretamente;

2) C Î eu , D Î eu , (COMO) Ç (EM D ) = PARA; Figura 9,b

3) (NE) Ç (A D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) =O. Obtemos AO = OB.

I.5. Resolvendo vários problemas de construção

Ao resolver os seguintes problemas de construção usando apenas uma régua de dupla face, são utilizadas a construção direta de linhas paralelas e os sete problemas principais dados acima.

1. Desenhe duas linhas perpendiculares entre si através deste ponto.

R solução: vamos passar por esse ponto

duas linhas arbitrárias,

e então - bissetrizes

cantos adjacentes. (Fig.10)

Figura 10

2. Dado um segmento A D dado comprimento a.

Construa um segmento cujo comprimento seja igual a .

R
decisão : Vamos realizar eu  A E h || eu através

ponto A. f || (A D ) , k || (DE ANÚNCIOS) diretamente.

Vamos desenhar AB e AC, onde B =f  eu ,

uma C = eu  k . De uma forma conhecida

divida AB e AC ao meio e

vamos desenhar as medianas do triângulo

ABC. Pela propriedade das medianas

triângulo, Ó D = - procurado

segmento (Fig. 11)

Arroz. onze

3. Construa um segmento cujo comprimento seja

igual ao perímetro do triângulo dado.

Solução: (Fig. 12). Vamos construir bissetrizes

dois cantos externos do triângulo e, em seguida,

3 picos EM vamos desenhar perpendiculares

para essas bissetrizes.

DE = uma + b +s

Figura 12

4. Dado um segmento de comprimento a. Construir segmentos de comprimento 2a, 3a.

R solução: (Fig. 13)

1 milhão N) || (AB) e (M 1 N 1 ) || (M N) || (M 2 N 2 ) –

Diretamente;

2) (CA) e (CB) até A e B.

Os segmentos A 1 B 1 e A 2 B 2 são obrigatórios.

Outra solução para este problema pode ser

obtido da solução do problema 7.

Arroz. 13

5. Dois segmentos são dados em uma linha reta, cujos comprimentos são a e b . Construa segmentos cujos comprimentos sejam iguais a + b , b - A, ( a + b )/2 e ( b - a )/2 .

Solução: e para a + b(Fig. 14, a)

Figura 14, uma

b) para ( a + b)/2 (Fig. 14, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) – diretamente;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (A 1 B 1 ) = N, (M H) Ç (A 1 B 1 ) = P;

3) (PA) Ç (A 2 B 2) = eu, (LZ ) Ç (A 1 B 1 ) = Ó

Nós temos: N Ó = NP + PO =
.

Arroz. 14, b

c) para b - A(Fig. 14, c)

Arroz. 14,v

c) para ( b - a )/2 (Fig. 14,d)

Arroz. 14,g

6
. Construa o centro deste círculo.

Solução : (Fig. 15) Vamos traçar uma linha reta AB,

cruzando o círculo nos pontos A e B;

Sol  AB, onde C é o ponto de intersecção

com um círculo.

Através do ponto C traçamos paralelo a AB

reto C D; COMDcruza um círculo

no pontoD.

Ao conectarDcom B e A com C, obtemos

o ponto desejado é o centro do círculo. Arroz. 15

Solução 2: (Fig. 16) Usando uma régua de dupla face, construa duas cordas paralelasDE ANÚNCIOS Ea.C. . Obtemos um trapézio isóscelesABCD. DeixarK EP - pontos de intersecção de linhasA.C. EBD , AB ECC . Então diretoP K passa pelos pontos médios das bases do trapézio perpendicular a elas, o que significa que passa pelo centro do círculo dado. Construindo de forma semelhante outra linha reta, encontramos o centro do círculo.

Arroz. 16

7. Um arco de círculo é dado. Construa o centro do círculo

Solução . (Fig. 17) Marque três pontos A, B e C neste arco. Aplique uma régua nas extremidades do segmento AB e trace suas arestas. Obtemos duas linhas paralelas. Mudando a posição da régua, desenhamos mais duas linhas paralelas. Obtemos um losango (um paralelogramo com alturas iguais). Uma das diagonais de um losango é a bissetriz perpendicular ao segmentoAB , já que a diagonal de um losango está na bissetriz perpendicular à outra diagonal. Da mesma forma, construímos a bissetriz perpendicular ao segmentoA.C. . O ponto de intersecção das bissetrizes construídas é o centro do círculo desejado.

Arroz. 17

8. Dado um segmento AB, uma reta não paralela l e um ponto M sobre ela. Usando uma régua dupla face, construa os pontos de intersecção da reta l com um círculo de raio AB com centro M.

Solução: (Fig.18)

Vamos completar o triânguloA.B.M. para paralelogramoABNM . Vamos construir as bissetoras MT eEMângulos entreMinnesotae lisoeu . Vamos desenhar através do pontoN linhas paralelas a essas bissetoras:QN || EM, NR || MT.. MT│ EMcomo bissetrizes de ângulos adjacentes. Significa,QN │ MT, isto é, em um triânguloNMQa bissetriz é a altitude, portanto o triângulo é isósceles:QM = Minnesota. Da mesma maneira,SENHOR. = Minnesota. PontosPERprocurado.

Arroz. 18

9. Dada uma reta le um segmento OA paralelo a l. Usando uma régua dupla face, construa os pontos de intersecção da reta l com um círculo de raio OA com centro O.

Solução: (Fig. 19, a)

Vamos fazer um diretoeu 1 , paralelo à linhaO.A. e distante dele a uma distânciaa . Vamos seguir em linha retaeu ponto arbitrárioB . DeixarB 1 - ponto de intersecção de linhasO.B. Eeu 1 . Vamos desenhar através do pontoB 1 reto, paraleloAB ; esta linha cruza a linhaO.A. no pontoA 1 . Vamos agora desenhar através dos pontosÓ EA 1 um par de retas paralelas, a distância entre elas éa (pode haver dois pares de linhas); deixarX EX 1 - pontos de intersecção de uma linha que passa por um pontoÓ , com linhas retaseu Eeu 1 . PorqueO.A. 1 = BOI 1 e ∆O.A. 1 X 1 ∆ OAX , então OA = OX, pontoX procurados.

Da mesma forma, construímos o segundo ponto de intersecção do círculo e da linha - o pontoS(Fig. 18, b).

Arroz. 18, um

Arroz. 18, b

I.6.Construções com régua unilateral

Z
Aqui consideramos um caso especial: sejam dados os pontos P,P, R 1 EP 1 . e eles ficam nos vértices do trapézio.

1. Divida o segmento P P ao meio

Solução mostrado na Figura 19

Os pontos P são dados,P, R 1 EP 1 e linhas paralelas

RP, R 1 P 1 . Vamos realizar RP 1  PR 1 =B , RR 1  QQ 1 = UMA

Vamos conectar os pontos A e B. AB RP = F- meio

segmento PP.

Arroz. 19

2. Dobrar o segmento R 1 P 1.

R
decisão mostrado na Figura 20. Vamos construir

apontarF– o meio do segmento PPe conecte-o

ComP 1. R 1 P Perguntas frequentes 1 = M. Vamos realizar RM. RM R 1 P 1 = R

igualdadeRQe P 1 P 1 segue da semelhança

triângulos RMFE RMP 1 ,

FMPE R 1 MP 1 e igualdades PFEPerguntas frequentes.

Arroz. 20

3
. Construa um segmento de comprimento n  R 1 P 1 .

eu – 1 segmentos iguais PP 2 , P 2 P 3, … P eu -1 P eu

Então construímos (RR 1 ) EP eu P 1 e conectar

seu ponto de intersecção A com pontos

P 2 , P 3, … P eu Recebidoeu -1 direto

dividirR 1 P 1 sobreeu igual peças.

Paraeu = 4 a solução é mostrada na Figura 22

Figura 22

I.7. Intercambialidade de régua dupla-face com compasso e régua

Vamos provar que uma régua dupla-face é intercambiável com um compasso e uma régua. Para fazer isso, provamos as seguintes afirmações:

Afirmação 1: todas as construções que podem ser feitas com compasso e régua podem ser feitas com régua dupla face.

Visto que ao construir com um compasso e uma régua, a régua desenha uma linha através de dois pontos, e o compasso constrói um círculo (encontra um conjunto de pontos equidistantes de um determinado), então todas as construções com um compasso e uma régua são reduzidas a construindo a intersecção de duas retas, dois círculos e um círculo com uma reta.

A intersecção de duas linhas retas pode ser construída usando uma régua.

A intersecção de um círculo e uma linha reta (Fig. 23):

Construção:Seja dado o segmento AB - o raio do círculo, uma linha retaeu , o centro do círculo O, então:

1) Realizamos o OS ||eu , SO = AB.

2) Realizamos o OS ||ke remoto para a.

3) Nós realizamosOD, OD eu = D; OD k) Por corolário do teorema de Tales

4) De acordo com a lei da transitividade das igualdades

5) ConsidereOMQE. OMQEé um paralelogramo, pois OM ||equalizaçãoe OE ||MC(os lados da régua são paralelos). Vamos provar que isso é um losango.

5.1) CondutaQZ O.C.EQG SOBRE, EntãoQG = QZ = a.

5.2)  OMQ =  RQM(deitado transversalmente);  SO =SOBRE, que era o que precisava ser comprovado.

Intersecção de dois círculos: semelhantes.

Afirmação 2: todas as construções que podem ser feitas com régua dupla-face podem ser feitas com compasso e régua.

Para isso, realizaremos as construções padrão para régua dupla face utilizando compasso e régua.

1) Uma linha reta usando dois pontos é facilmente construída usando uma régua.

2) Construção de uma linha reta paralela a uma determinada e afastada dela a uma determinada distância:

2.1) Seja dada uma linha retake segmento de comprimentoa.

2.2) Construa uma linha reta arbitráriab k, deixark b= B.

2.3) Ligadobem ambos os lados do pontoBem linha retabreserve um pedaço de comprimentoa, deixe os pontosCED.

2.4) Através de um pontoCconstruir uma linha retac k.

2.5) Através de um pontoDconstruir uma linha retad k.

2.6) DiretocEd-obrigatório, porquea.C.EBDigualapor construção e são iguais à distância entre a linha retake liso

3) Construção de retas paralelas entre si e passando por dois pontos dados, e a distância entre eles é igual ao segmento dado:

3.1) Deixe os pontos serem dadosAEBe segmento de comprimentoa.

3.2) Construindo uma circunferência com centro em um pontoAe raioa.

3.3) Construir uma tangente a um determinado círculo através de um pontoB; existem duas dessas tangentes seBestá fora do círculo (seAB> a), um seBencontra-se no círculo (seAB= a), nenhum seBestá dentro do círculo (AB< a). Esta tangente é uma das retas que procuramos; resta passar pelo pontoAreta paralela a ele.

3.4) Como uma das retas é perpendicular ao raio do círculo como tangente, a segunda também é perpendicular a ela (já que são paralelas), portanto, a distância entre elas é igual ao raio, que por construção é igual aa, que é o que era necessário obter.

Assim, comprovamos a intercambialidade de uma régua dupla-face e de um compasso e régua.

Conclusão: Uma régua dupla-face é intercambiável com um compasso e uma régua.

Conclusão

Assim, a questão da possibilidade de usar uma régua para resolver problemas clássicos de construção usando um compasso e uma régua foi considerada e resolvida. Acontece que os problemas de construção podem ser resolvidos usando apenas uma régua com bordas paralelas. Ao resolver problemas mais complexos, deve-se ainda confiar nas chamadas construções básicas discutidas neste trabalho.

O material apresentado poderá ter aplicação direta não só nas aulas de matemática, nas aulas de roda de matemática, mas também em atividades práticas.

Lista de literatura usada

Aliyev A.V. Construções geométricas. Matemática na escola. 1978 nº 3

Glazer G.I. História da matemática na escola. M., Iluminismo. 1981.

Depman I.Ya. Nos bastidores de um livro de matemática. M.. Iluminismo 1989.

Elensky Shch. M., Detgiz. 1961.

Dicionário enciclopédico de um jovem matemático. M., Pedagogia. 1985

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Construção usando régua e compasso Geometria">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Construa um segmento igual ao dado Ú Problema A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Construindo um ângulo igual a um dado Considere triângulos"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Construindo a bissetriz de um ângulo Problema Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Construção de retas perpendiculares Ú Problema Dada uma reta"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Construindo o ponto médio de um segmento Tarefa Ú Construir o ponto médio de um dado"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Instituição educacional orçamentária municipal

escola secundária nº 34 com estudo aprofundado de disciplinas individuais

MAN, seção de física e matemática

“Construções geométricas usando compasso e régua”

Concluído por: aluno do 7º ano “A”

Batishcheva Victoria

Chefe: Koltovskaya V.V.

Voronej, 2013

3. Construindo um ângulo igual ao dado.

P Vamos desenhar um círculo arbitrário com centro no vértice A de um determinado ângulo (Fig. 3). Sejam B e C os pontos de intersecção do círculo com os lados do ângulo. Com o raio AB traçamos um círculo com centro no ponto O, ponto inicial desta semi-reta. Vamos denotar o ponto de intersecção deste círculo com esta meia linha como C 1 . Vamos descrever um círculo com centro C 1 e Fig.3

raio da aeronave. Ponto B1 a intersecção dos círculos construídos no semiplano indicado fica ao lado do ângulo desejado.

6. Construção de retas perpendiculares.

Desenhamos um círculo com um raio arbitrário r com centro no ponto O na Fig. O círculo intercepta a linha nos pontos A e B.Dos pontos A e B desenhamos círculos com raio AB. Seja a melancolia C o ponto de intersecção desses círculos. Obtivemos os pontos A e B na primeira etapa, ao construir um círculo com raio arbitrário.

A linha reta desejada passa pelos pontos C e O.

Figura 6

Problemas conhecidos

1.O problema de Brahmagupta

Construa um quadrilátero inscrito usando seus quatro lados. Uma solução usa o círculo de Apolônio.Vamos resolver o problema de Apolônio usando a analogia entre um tricírculo e um triângulo. Como encontramos um círculo inscrito em um triângulo: construímos o ponto de intersecção das bissetrizes, traçamos perpendiculares dele para os lados do triângulo, as bases das perpendiculares (os pontos de intersecção da perpendicular com o lado em que ela é descartado) e nos dá três pontos no círculo desejado. Desenhe um círculo através desses três pontos - a solução está pronta. Faremos o mesmo com o problema de Apolônio.

2. O problema de Apolônio

Usando um compasso e uma régua, construa um círculo tangente aos três círculos dados. Segundo a lenda, o problema foi formulado por Apolônio de Perga por volta de 220 AC. e. no livro "Toque", que se perdeu, mas foi restaurado em 1600 por François Viète, o "Apolônio gaulês", como o chamavam seus contemporâneos.

Se nenhum dos círculos dados estiver dentro do outro, então este problema tem 8 soluções significativamente diferentes.

Construção de polígonos regulares.

P

correto (ou equilátero ) triângulo - Esse polígono regularcom três lados, o primeiro dos polígonos regulares. Todos lados de um triângulo regular são iguais entre si e todos os ângulos são 60°. Para construir um triângulo equilátero, você precisa dividir o círculo em 3 partes iguais. Para isso, é necessário traçar um arco de raio R deste círculo a partir de apenas uma extremidade do diâmetro, obtemos a primeira e a segunda divisões. A terceira divisão está na extremidade oposta do diâmetro. Ao conectar esses pontos, obtemos um triângulo equilátero.

Hexágono regular Podeconstruir usando um compasso e uma régua. Abaixoo método de construção é fornecidodividindo o círculo em 6 partes. Usamos a igualdade dos lados de um hexágono regular ao raio do círculo circunscrito. Nas extremidades opostas de um dos diâmetros do círculo descrevemos arcos de raio R. Os pontos de intersecção desses arcos com um determinado círculo irão dividi-lo em 6 partes iguais. Ao conectar sequencialmente os pontos encontrados, obtém-se um hexágono regular.

Construção de um pentágono regular.

P
um pentágono regular pode serconstruído usando um compasso e uma régua, ou ajustando-o a um determinadocírculo, ou construção baseada em um determinado lado. Este processo é descrito por Euclidesem seus Elementos por volta de 300 AC. e.

Aqui está um método para construir um pentágono regular em um determinado círculo:

Construa um círculo no qual o pentágono será inscrito e marque seu centro comoÓ . (Este é o círculo verde no diagrama à direita).

Selecione um ponto no círculoA , que será um dos vértices do pentágono. Construa uma linha reta atravésÓ EA .

Construa uma linha perpendicular à linhaO.A. , passando pelo pontoÓ . Designe uma de suas interseções com o círculo como um pontoB .

Trace um pontoC no meio entreÓ EB .

C através do pontoA . Marque sua interseção com a linhaO.B. (dentro do círculo original) como um pontoD .

Desenhe um círculo com centro emA através do ponto D, marque a intersecção deste círculo com o original (círculo verde) como pontosE EF .

Desenhe um círculo com centro emE através do pontoA G .

Desenhe um círculo com centro emF através do pontoA . Rotule sua outra interseção com o círculo original como um pontoH .

Construa um pentágono regularAEGHF .

Problemas insolúveis

As três tarefas de construção a seguir foram definidas na antiguidade:

Trissecção angular - divida um ângulo arbitrário em três partes iguais.

Em outras palavras, é necessário construir trissetrizes angulares - raios que dividem o ângulo em três partes iguais. P. L. Wanzel provou em 1837 que o problema só pode ser resolvido quando, por exemplo, a trissecção é viável para ângulos α = 360°/n, desde que o inteiro n não seja divisível por 3. Porém, na imprensa de vez em quando (incorreto ) são publicados métodos para trisseccionar um ângulo com compasso e régua.

Duplicando o cubo - problema clássico antigo de construir com um compasso e uma régua a borda de um cubo, cujo volume é duas vezes o volume de um determinado cubo.

Na notação moderna, o problema se reduz a resolver a equação. Tudo se resume ao problema de construir um segmento de comprimento. P. Wantzel provou em 1837 que este problema não poderia ser resolvido usando uma bússola e uma régua.

Quadratura de um círculo - uma tarefa que consiste em encontrar uma construção usando um compasso e uma régua de um quadrado igual em área ao círculo dado.

Como você sabe, com a ajuda de um compasso e uma régua você pode realizar todas as 4 operações aritméticas e extrair a raiz quadrada; segue-se que a quadratura do círculo é possível se e somente se, usando um número finito de tais ações, for possível construir um segmento de comprimento π. Assim, a insolubilidade deste problema decorre da natureza não algébrica (transcendência) do número π, que foi provada em 1882 por Lindemann.

Outro problema bem conhecido que não pode ser resolvido com compasso e régua éconstruindo um triângulo usando três comprimentos de bissetriz dados .

Além disso, este problema permanece insolúvel mesmo na presença de um trissetor.

Foi somente no século 19 que se provou que todos os três problemas eram insolúveis usando apenas compasso e régua. A questão da possibilidade de construção é completamente resolvida por métodos algébricos baseados na teoria de Galois.

VOCÊ SABIA DISSO...

(da história das construções geométricas)

Era uma vez um significado místico investido na construção de polígonos regulares.

Assim, os pitagóricos, seguidores do ensino religioso e filosófico fundado por Pitágoras, e que viveram na Grécia antiga (V Eu-eu Vséculos AC AC), adotaram como sinal de sua união um polígono em forma de estrela formado pelas diagonais de um pentágono regular.

As regras para a construção geométrica estrita de alguns polígonos regulares são estabelecidas no livro “Elementos” do antigo matemático grego Euclides, que viveu emIIIV. AC. Para realizar essas construções, Euclides propôs usar apenas uma régua e um compasso, que na época não possuía um dispositivo articulado para conectar as pernas (tal limitação nos instrumentos era uma exigência imutável da matemática antiga).

Polígonos regulares encontrados ampla aplicação e na astronomia antiga. Se Euclides estava interessado na construção dessas figuras do ponto de vista da matemática, então para o antigo astrônomo grego Cláudio Ptolomeu (cerca de 90 - 160 dC) ela se revelou necessária como ferramenta auxiliar na resolução de problemas astronômicos. Assim, no primeiro livro dos Almagestos, todo o décimo capítulo é dedicado à construção de pentágonos e decágonos regulares.

Porém, além dos trabalhos puramente científicos, a construção de polígonos regulares fazia parte integrante dos livros para construtores, artesãos e artistas. A capacidade de representar essas figuras há muito é exigida na arquitetura, na joalheria e nas artes plásticas.

Os “Dez Livros de Arquitetura” do arquiteto romano Vitrúvio (que viveu aproximadamente entre 63-14 aC) dizem que as muralhas da cidade deveriam ter a forma de um polígono regular em planta, e as torres da fortaleza “deveriam ser redondas ou poligonais , para um quadrilátero bastante destruído por armas de cerco.”

O traçado das cidades interessava muito a Vitrúvio, que acreditava ser necessário planejar as ruas para que os ventos principais não soprassem sobre elas. Supunha-se que existiam oito desses ventos e que sopravam em determinadas direções.

Durante o Renascimento, a construção de polígonos regulares, e em particular do pentágono, não era um simples jogo matemático, mas um pré-requisito necessário para a construção de fortalezas.

O hexágono regular foi objeto de um estudo especial do grande astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-1630), do qual ele fala em seu livro “ Presente de ano novo, ou sobre flocos de neve hexagonais." Discutindo as razões pelas quais os flocos de neve têm formato hexagonal, ele observa, em particular, o seguinte: “... um plano pode ser coberto sem lacunas apenas com as seguintes figuras: triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares. Entre estas figuras, o hexágono regular cobre a maior área."

Um dos mais famosos cientistas envolvidos em construções geométricas foi o grande artista e matemático alemão Albrecht Durer (1471 -1528), que lhes dedicou uma parte significativa de seu livro “Manuais...”. Ele propôs regras para a construção de polígonos regulares com 3, 4, 5... 16 lados. Os métodos de divisão de círculo propostos por Dürer não são universais; uma técnica individual é utilizada em cada caso específico.

Dürer usou métodos para construir polígonos regulares na prática artística, por exemplo, ao criar vários tipos de ornamentos e padrões para parquet. Ele esboçou esses padrões durante uma viagem à Holanda, onde foram encontrados pisos de parquet em muitas casas.

Dürer compôs ornamentos a partir de polígonos regulares, que são conectados em anéis (anéis de seis triângulos equiláteros, quatro quadriláteros, três ou seis hexágonos, quatorze heptágonos, quatro octógonos).

Conclusão

Então,construções geométricas é um método de resolução de um problema em que a resposta é obtida graficamente. As construções são realizadas com ferramentas de desenho com a máxima precisão e exatidão de trabalho, pois disso depende a correção da solução.

Graças a este trabalho, conheci a história da origem da bússola, familiarizei-me mais com as regras de execução de construções geométricas, adquiri novos conhecimentos e apliquei-os na prática.
Resolver problemas que envolvem construção com compasso e régua é um passatempo útil que permite uma nova visão das propriedades conhecidas das figuras geométricas e seus elementos.Este artigo discute os problemas mais urgentes associados às construções geométricas usando compassos e réguas. Os principais problemas são considerados e suas soluções são dadas. Os problemas apresentados são de significativo interesse prático, consolidam os conhecimentos adquiridos em geometria e podem ser utilizados para trabalho prático.
Assim, o objetivo do trabalho foi alcançado, as tarefas atribuídas foram concluídas.

Em problemas de construção consideraremos a construção figura geométrica o que pode ser feito usando uma régua e um compasso.

Usando uma régua você pode:

linha reta arbitrária;

uma linha reta arbitrária que passa por um determinado ponto;

uma linha reta que passa por dois pontos dados.

Usando uma bússola, você pode descrever um círculo de um determinado raio a partir de um determinado centro.

Usando uma bússola você pode traçar um segmento em uma determinada linha a partir de um determinado ponto.

Consideremos as principais tarefas de construção.

Tarefa 1. Construa um triângulo com lados dados a, b, c (Fig. 1).

Solução. Usando uma régua, desenhe uma linha reta arbitrária e tome um ponto arbitrário B nela. Usando uma abertura de compasso igual a a, descrevemos um círculo com centro B e raio a. Seja C o ponto de sua intersecção com a reta. Com uma abertura de compasso igual a c, descrevemos um círculo a partir do centro B, e com uma abertura de compasso igual a b, descrevemos um círculo a partir do centro C. Seja A o ponto de intersecção desses círculos. O triângulo ABC tem lados iguais a a, b, c.

Comente. Para que três segmentos retos sirvam como lados de um triângulo, é necessário que o maior deles seja menor que a soma dos outros dois (e< b + с).

Tarefa 2.

Solução. Este ângulo com o vértice A e o raio OM é mostrado na Figura 2.

Vamos desenhar um círculo arbitrário com centro no vértice A do ângulo dado. Sejam B e C os pontos de intersecção do círculo com os lados do ângulo (Fig. 3, a). Com o raio AB traçamos um círculo com centro no ponto O - o ponto inicial deste raio (Fig. 3, b). Vamos denotar o ponto de intersecção deste círculo com este raio como C 1 . Vamos descrever um círculo com centro C 1 e raio BC. O ponto B 1 da intersecção de dois círculos fica ao lado do ângulo desejado. Isso decorre da igualdade Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (o terceiro sinal de igualdade dos triângulos).

Tarefa 3. Construa a bissetriz deste ângulo (Fig. 4).

Solução. Do vértice A de um determinado ângulo, a partir do centro, desenhamos um círculo de raio arbitrário. Sejam B e C os pontos de sua intersecção com os lados do ângulo. Dos pontos B e C descrevemos círculos com o mesmo raio. Seja D o ponto de intersecção deles, diferente de A. O raio AD corta o ângulo A ao meio. Isto decorre da igualdade Δ ABD = Δ ACD (o terceiro critério para a igualdade dos triângulos).

Tarefa 4. Desenhe uma bissetriz perpendicular a este segmento (Fig. 5).

Solução. Usando uma abertura de bússola arbitrária, mas idêntica (maior que 1/2 AB), descrevemos dois arcos com centros nos pontos A e B, que se cruzarão em alguns pontos C e D. A linha reta CD será a perpendicular desejada. Na verdade, como pode ser visto na construção, cada um dos pontos C e D está igualmente distante de A e B; portanto, esses pontos devem estar na bissetriz perpendicular ao segmento AB.

Tarefa 5. Divida este segmento ao meio. É resolvido da mesma forma que o problema 4 (ver Fig. 5).

Tarefa 6. Através de um determinado ponto, desenhe uma linha perpendicular à linha dada.

Solução. Há duas possibilidades:

1) dado ponto O encontra-se em uma determinada linha reta a (Fig. 6).

Do ponto O desenhamos um círculo de raio arbitrário que cruza a linha a nos pontos A e B. Dos pontos A e B desenhamos círculos com o mesmo raio. Seja O 1 o ponto de intersecção deles, diferente de O. Obtemos OO 1 ⊥ AB. Na verdade, os pontos O e O 1 são equidistantes das extremidades do segmento AB e, portanto, situam-se na bissetriz perpendicular a este segmento.