SISÄÄN Vaahtera On olemassa useita tapoja esittää funktiota.

Tapa 1: Määritä funktio määritysoperaattorilla ( := ): jollekin lausekkeelle on annettu nimi, esimerkiksi:

> f:=sin(x)+cos(x);

Jos asetat tietyn muuttujan arvon X, niin saamme funktion arvon f tätä varten X. Jos esimerkiksi jatkamme edellistä esimerkkiä ja laskemme arvon f milloin, meidän pitäisi kirjoittaa:

> x:=Pi/4;

Näiden komentojen suorittamisen jälkeen muuttuja X on annettu arvo.

Jotta muuttujalle ei määritettäisi tiettyä arvoa, on kätevämpää käyttää korvauskomentoa subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), jossa muuttujat on merkitty aaltosulkeilla xi ja niiden uudet merkitykset ai(i=1,2,...), joka tulee korvata funktiolla f . Esimerkiksi:

> f:=x*exp(-t);

> subs((x=2,t=1),f);

Kaikki laskelmat mukana Vaahtera oletusarvoisesti tuotetaan symbolisesti, eli tulos sisältää eksplisiittisesti irrationaalisia vakioita, kuten ja muita. Käytä komentoa saadaksesi likimääräisen arvon liukulukuna evalf(laus,t), Missä expr- ilmaisu, t– tarkkuus ilmaistuna numeroina desimaalipilkun jälkeen. Esimerkiksi jatketaan edellistä esimerkkiä, lasketaan tuloksena oleva funktion arvo suunnilleen:

> evalf(%);

Tässä käytetty symboli on ( % ) kutsuaksesi edellisen komennon.

Tapa 2: Määritä funktio käyttämällä funktiooperaattoria, joka kartoitetaan muuttujien joukkoon (x1,x2,…) yksi tai useampi ilmaisu (f1, f2,…). Esimerkiksi kahden muuttujan funktion määrittäminen funktiooperaattorilla näyttää tältä:

> f:=(x,y)->sin(x+y);

Tätä toimintoa käytetään matematiikassa tutuimmalla tavalla, kun muuttujien tietyt arvot on merkitty suluissa funktion argumenttien sijaan. Jatkaen edellistä esimerkkiä, funktion arvo lasketaan:

Tapa 3: Käytä komentoa poista käytöstä (laus,x1,x2,…), Missä expr- ilmaisu, x1,x2,…– joukko muuttujia, joista se riippuu, voit muuntaa lausekkeen expr toimivaksi operaattoriksi. Esimerkiksi:

> f:=käytä(x^2+y^2,x,y);

SISÄÄN Vaahtera on mahdollista määritellä lomakkeen ei-elementaarisia funktioita

komennon kautta

> paloittain (kunto_1,f1, kond_2, f2, …).

Esimerkiksi funktio

on kirjoitettu seuraavasti.

Osasto: Tietotekniikka

Laboratoriotyöt

Aiheesta: " SYNTAKSI, PÄÄOBJEKTIOT JA JÄRJESTELMÄKOMENNOT VAAHTERA "

Moskova, 2008

Työn tavoitteet :

· tuntea Maple-järjestelmän pääoliot ja muuttujat;

· tietää ja osaa soveltaa Maple-järjestelmän objektien ja muuttujien kanssa työskentelyssä käytettyjä komentoja;

· tuntea Maple-järjestelmän matemaattisten perusfunktioiden syntaksin.

Johdanto

Maple Analytical Computing System on interaktiivinen järjestelmä. Tässä tapauksessa tämä tarkoittaa, että käyttäjä syöttää komennon tai Maple-kielen operaattorin laskentataulukon syöttöalueelle ja painamalla näppäintä ,välittää sen välittömästi järjestelmäanalytiikkaanalysaattorille, joka suorittaa sen. Kun komento on syötetty oikein, komennon tulos näkyy tulosalueella, jos komennossa on syntaksivirheitä tai suoritusvirheitä, järjestelmä tulostaa tästä viestin. Jos virhe on korjattava, palaa lauseeseen, korjaa se ja suorita se uudelleen. Suoritettuaan syötetyn komennon järjestelmä odottaa seuraavaa komentoa käyttäjältä. Voit palata mihin tahansa laskentataulukon komentoon tai lauseeseen milloin tahansa, muokata sitä ja suorittaa sen uudelleen. Jos laskentataulukossa on kuitenkin komento, joka käyttää juuri lasketun tuloksen tulosta, tulee se myös laskea uudelleen asettamalla kohdistin sen päälle ja painamalla näppäintä , ja jos tällaisia ​​komentoja on monia, voit suorittaa graafisen käyttöliittymän komennon Muokata ® Suorittaa ® Työarkki laskea uudelleen kaikki laskentataulukon komennot.

Jokainen operaattori tai komento Välttämättä valmistuvat erotinmerkki. Maple-järjestelmässä on kaksi tällaista merkkiä - puolipiste (;) ja kaksoispiste (:). Jos lause päättyy puolipisteeseen, se arvioidaan ja tulos näytetään tulosalueella. Kun käytät kaksoispistettä erottimena, komento suoritetaan, mutta tuloksia ei näytetä laskentataulukon tulostusalueella. Tämä on kätevää esimerkiksi Maplessa ohjelmoitaessa, kun ei tarvitse tulostaa silmukkaoperaattoreista saatuja välituloksia, koska näiden tulosten tulostaminen voi viedä paljon tilaa laskentataulukolta ja se voi viedä huomattavan määrän aika näyttää ne.

Tässä ja alla Maple-komennot on kirjoitettu Maple-kielen syntaksimuodossa. Jos esimerkkejä suoritettaessa halutaan näyttää komennot matemaattisissa merkinnöissä, noudata komentoa Vaihtoehdot ® Syöte Näyttö ® Vakio Matematiikka Merkintä aseta sopiva näyttötila.

Maple toteuttaa oman kielensä, jolla käyttäjä kommunikoi järjestelmän kanssa. Peruskonseptit ovat objekteja ja muuttujia, joista lausekkeet muodostetaan kelvollisilla matemaattisilla operaatioilla.

Yksinkertaisin esineitä, jonka kanssa se voi toimia Vaahtera , ovat numeroita, vakioita ja merkkijonoja.

Numerot

Maple-järjestelmän luvut voivat olla seuraavan tyyppisiä: kokonaislukuja, murtolukuja, radikaaleja, liukulukuja ja kompleksilukuja. Kolme ensimmäistä numerotyyppiä antavat sinun suorittaa tarkat laskelmat(ilman pyöristystä) eri matemaattisia lausekkeita toteuttaen tarkkaa aritmetiikkaa. Liukulukuluvut ovat likimääräisiä lukuja, joissa merkitsevien numeroiden lukumäärä on rajoitettu. Nämä luvut ovat likimääräisiä (tai likimääräisiä) vaahtereiden tarkkoja lukuja. Kompleksiluvut voivat olla sekä tarkkoja, jos reaali- ja imaginaariosa esitetään tarkat numerot, ja likimääräinen, jos liukulukuja käytetään määritettäessä kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosia.

Kokonaislukuja annetaan numerosarjana 0–9. Negatiiviset luvut on annettu miinusmerkillä (–) luvun edessä. Nollat ​​ennen ensimmäistä nollasta poikkeavaa numeroa eivät ole merkittäviä eivätkä vaikuta kokonaisluvun arvoon. Maple-järjestelmä voi toimia mielivaltaisen kokoisten kokonaislukujen kanssa, numeroiden lukumäärä on käytännössä rajoitettu 2 28:aan. Kokonaisluvuilla tehdyt laskutoimitukset toteuttavat neljä aritmeettista operaatiota (yhteen-+, vähennyslasku, kertolasku *, jako /) ja kertolasku (!).

Maple edustaa suurta kokonaislukua, joka ei mahdu tulosriville käyttämällä kenoviivaa (\) tulostuksen jatkomerkkinä seuraavalla rivillä. Viimeinen komento laskee numeroiden määrän edellisestä laskutoimituksesta. Se käyttää %-toimintoa parametrina, joka on vain kätevä viittausmuoto edellisen operaation tulokseen. Maplella on kaksi muuta samanlaista toimintoa, jotka tunnistavat edellisten ja edellisten komentojen tulokset. Niiden syntaksi on vastaavasti:

Maplessa on melko suuri joukko komentoja, joiden avulla voit suorittaa erityisiä kokonaislukujen käsittelyyn liittyviä toimintoja: tekijöiden jakaminen alkutekijöiksi (ifactor), osamäärän (iquo) ja jäännöksen (irem) laskeminen suoritettaessa kokonaislukujakotoimintoa, etsiminen kahden kokonaisluvun suurin yhteinen jakaja (igcd), joka tarkistaa, onko kokonaisluku alkuluku, ja paljon muuta.

Kahden kokonaisluvun osamäärän ja jäännöksen laskennan tarkistamiseksi käytettiin edellisen (osamäärän laskeminen) ja edellisen (jäännöksen laskeminen) komennon tuloksen saamisoperaatioita. Isprime()-komennon tulos on Boolen vakio tosi tai epätosi.

kirjoittamalla komennon laskentataulukon syöttöalueelle? kokonaisluku, saat luettelon kaikista komennoista kokonaislukujen käsittelyä varten

Yhteiset jakeet määritetään jakamalla kaksi koko numeroita. Huomaa, että Maple suorittaa automaattisesti murtolukuvähennystoiminnon. Voit suorittaa kaikki aritmeettiset perusoperaatiot tavallisille murtoluvuille.

Jos murtolukua määritettäessä sen nimittäjä pienennetään (katso esimerkin viimeinen laskutoimitus), niin Maple-järjestelmä tulkitsee tällaisen "murto-osan" kokonaisluvuksi.

Usein tuloksen esittäminen murtolukuna ei ole kovin kätevää, ja ongelmana on sen muuntaminen desimaaliluvuksi. Voit tehdä tämän käyttämällä evalf()-komentoa, joka approksimoi yhteistä murtolukua liukulukujen kanssa käyttämällä kymmentä merkitsevää numeroa niiden esityksen mantissassa. Jos oletustarkkuus ei ole riittävä, se voidaan asettaa määritetyn funktion toiseksi parametriksi.

Murtoluku ja sen desimaaliesitys eivät ole identtisiä Maple-objekteja. Desimaalimerkintä on vain likiarvo tarkka arvo, jota edustaa tavallinen murtoluku.

Radikaalit määritetään tuloksena nostamalla kokonais- tai murtolukuja murto-osaan tai laskemalla niiden neliöjuuri sqrt()-funktiolla tai laskemalla juuri n-th potenssi käyttämällä surd(luku, n)-funktiota. Eksponentioinnin toiminta määritellään symbolilla ^ tai kahden tähden sarjalla (**). Kun murtolukuja nostetaan potenssiin, ne tulee sulkea, aivan kuten murto-osien eksponentti. Radkaaleja määriteltäessä tehdään myös mahdollisia yksinkertaistuksia, jotka liittyvät suurimman mahdollisen arvon poistamiseen radikaalin merkin alta.

Laskutoimitukset kokonaisluvuilla, murtoluvuilla ja radikaaleilla ovat ehdottoman tarkka koska Maple ei suorita pyöristystä työskennellessään näiden tietotyyppien kanssa, toisin kuin liukulukuluvut.

Liukulukuluvut määritetään kokonaislukuina ja murto-osina, jotka erotetaan desimaalipilkulla, jota edeltää numeromerkki, esimerkiksi 3.4567, -3.415. Liukulukuluvut voidaan kirjoittaa käyttämällä niin sanottua eksponentiaalista merkintää, jossa symboli e tai e sijoitetaan välittömästi todellisen liukulukuluvun tai säännöllisen kokonaisluvun, jota kutsutaan mantissaksi, perään, jonka jälkeen seuraa etumerkillinen kokonaisluku (eksponentti). Tämä merkintämuoto tarkoittaa, että mantissa on kerrottava kymmenellä eksponenttia vastaavan luvun potenssiin, jotta saadaan tähän eksponenttimuotoon kirjoitetun luvun arvo. Esimerkiksi 2.345e4 vastaa numeroa 23450.0. Siten on mahdollista esittää lukuja, jotka ovat itseisarvoltaan erittäin suuria (eksponentti on positiivinen luku) tai hyvin pieniä (eksponentti on negatiivinen luku).

Matemaattiset lausekkeet tehdään luvuista käyttämällä aritmeettiset operaatiot. Maplen aritmeettisten operaatioiden symbolit on lueteltu taulukossa. 1.

Taulukko 1. Aritmeettiset operaatiot

Aritmeettisten operaatioiden järjestys noudattaa matematiikan standardioperaatioiden ensisijaisuussääntöjä: ensin suoritetaan eksponentio, sitten kerto- ja jakolasku ja lopuksi yhteen- ja vähennyslasku. Kaikki toiminnot suoritetaan vasemmalta oikealle. Kerroinlaskentatoiminnolla on korkein prioriteetti. Jos haluat muuttaa aritmeettisten operaatioiden järjestystä, käytä sulkeita.

Jos lausekkeen kaikki luvut ovat kokonaislukuja, murtolukuja tai radikaaleja, myös tulos esitetään näillä tietotyypeillä, mutta jos lauseke sisältää liukulukuluvun, niin tällaisen "sekalausekkeen" arvioinnin tulos on myös liukuluku, ellei lausekkeessa ole radikaalia. Tällöin radikaali lasketaan tarkasti ja sen kerroin lasketaan joko tarkasti tai liukulukuna tekijöiden tyypistä riippuen.

Maplen analyyttinen laskentajärjestelmä yrittää aina tuottaa laskelmia absoluuttisella tarkkuudella. Jos tämä ei toimi, käytetään aritmetiikkaa reaalilukujen kanssa.

Vaahtera voi myös työskennellä kompleksiluvut . Kuvitteelliselle yksikölle

Maple käyttää vakiota minä. Kompleksiluvun antaminen ei eroa sen tavallisesta osoituksesta matematiikassa.

SISÄÄN Vaahtera On olemassa useita tapoja esittää funktiota.

Tapa 1: Määritä funktio määritysoperaattorilla ( := ): jollekin lausekkeelle on annettu nimi, esimerkiksi:

> f:=sin(x)+cos(x);

Jos asetat tietyn muuttujan arvon X, niin saamme funktion arvon f tätä varten X. Jos esimerkiksi jatkamme edellistä esimerkkiä ja laskemme arvon f milloin, meidän pitäisi kirjoittaa:

> x:=Pi/4;

Näiden komentojen suorittamisen jälkeen muuttuja X on annettu arvo.

Jotta muuttujalle ei määritettäisi tiettyä arvoa, on kätevämpää käyttää korvauskomentoa subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), jossa muuttujat on merkitty aaltosulkeilla xi ja niiden uudet merkitykset ai(i=1,2,...), joka tulee korvata funktiolla f . Esimerkiksi:

> f:=x*exp(-t);

> subs((x=2,t=1),f);

Kaikki laskelmat mukana Vaahtera oletusarvoisesti tuotetaan symbolisesti, eli tulos sisältää eksplisiittisesti irrationaalisia vakioita, kuten ja muita. Käytä komentoa saadaksesi likimääräisen arvon liukulukuna evalf(laus,t), Missä expr- ilmaisu, t– tarkkuus ilmaistuna numeroina desimaalipilkun jälkeen. Esimerkiksi jatketaan edellistä esimerkkiä, lasketaan tuloksena oleva funktion arvo suunnilleen:

> evalf(%);

Tässä käytetty symboli on ( % ) kutsuaksesi edellisen komennon.

Tapa 2: Määritä funktio käyttämällä funktiooperaattoria, joka kartoitetaan muuttujien joukkoon (x1,x2,…) yksi tai useampi ilmaisu (f1, f2,…). Esimerkiksi kahden muuttujan funktion määrittäminen funktiooperaattorilla näyttää tältä:

> f:=(x,y)->sin(x+y);

Tätä toimintoa käytetään matematiikassa tutuimmalla tavalla, kun muuttujien tietyt arvot on merkitty suluissa funktion argumenttien sijaan. Jatkaen edellistä esimerkkiä, funktion arvo lasketaan:

Tapa 3: Käytä komentoa poista käytöstä (laus,x1,x2,…), Missä expr- ilmaisu, x1,x2,…– joukko muuttujia, joista se riippuu, voit muuntaa lausekkeen expr toimivaksi operaattoriksi. Esimerkiksi:

> f:=käytä(x^2+y^2,x,y);

SISÄÄN Vaahtera on mahdollista määritellä lomakkeen ei-elementaarisia funktioita

komennon kautta

> paloittain (kunto_1,f1, kond_2, f2, …).

Esimerkiksi funktio

on kirjoitettu seuraavasti.

Sivulle<Методические разработки>

Tietokonealgebrajärjestelmät

Maple on erikoistunut matematiikkapaketti, jota ammattimatemaatikot käyttävät ympäri maailmaa. Tällaisia ​​paketteja kutsutaan myös tietokonealgebrajärjestelmiksi. Monista samankaltaisista järjestelmistä (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica, Macsyma, Derive, Axiom, MuPAD) Maple on tunnustettu johtaja symbolisen laskennan alalla (eli lausekkeiden muuntamisessa muuttujien, polynomien, funktioiden jne. avulla. ). Lisäksi Maple sisältää moduuleja, jotka helpottavat työskentelyä sellaisilla matematiikan aloilla kuin korkeampi algebra, lineaarinen algebra, analyyttinen geometria, lukuteoria, matemaattinen analyysi, differentiaaliyhtälöt, kombinatorinen analyysi, todennäköisyysteoria, tilastot ja monet muut.

Saat ohjeita tietystä komennosta kirjoittamalla Maple-ikkunaan ?command (korvaa komento komennon nimellä).

Maple superlaskina

Maple-laskentataulukossa voit kirjoittaa komentoja ">"-kehotteeseen. Komennon tulee päättyä " ; " -symboliin ja sen tulos näkyy välittömästi näytöllä. Jos korvaat ";":llä ":", komento suoritetaan, mutta tulosta ei tulosteta. Esimerkiksi:

> 57/179+91/1543;

Kuten näemme, Maple antaa vastauksen täsmälleen rationaalisen lausekkeen muodossa. Jos haluat esittää sen desimaalilukuna (jollakin tarkkuudella), käytä evalf-funktiota. Sen ensimmäinen pakollinen parametri on laskettava lauseke, toinen (valinnainen) on merkitsevien desimaalien määrä (huomaa, että lauseke pyöristetään näyttämään vastaava määrä desimaalipaikkoja):

> evalf(%);

> evalf(%%,30);

0.377411774928764613663435880911

Symboli % tarkoittaa viimeistä Maplen laskemaa lauseketta, %% - toiseksi viimeistä, %%% - toiseksi viimeistä (mutta nimitystä %%%% ei enää ole).

Numerot ja vakiot

Jos lauseke sisältää liukulukuluvun (esimerkiksi 3,14 tai 5,6e-17), kaikki laskelmat suoritetaan likimääräisesti, muuten laskelmat suoritetaan tarkasti. Vaahteralla on seuraavat vakiot: Pi Pi:n lukumäärä
I Kuvitteellinen yksikkö i
exp(1) Luonnollisten logaritmien kanta e
ääretön Infinity
todellinen Looginen totuus
false Looginen false

Vakioihin liittyvät laskelmat suoritetaan tarkasti (ellei niiden arvoa ole muutettu todelliseksi arvoksi), esim.

> sin(Pi/3);

> sin(3,1415926);

0.5358979324 10 -7

Operaattorit

Maplessa on seuraavat operaattorit:

Aritmetiikka: + , - , * , / , ^ (exponsaatio), ! (factorial).

Aivojumppa:< , > , >= , <= , = (равно), <>(ei yhtä suuri).

Tehtäväoperaattori: := .

Muuttujat

Muuttuja on mikä tahansa tunniste (joka koostuu latinalaisista kirjaimista ja numeroista, alkaen numerosta). Muuttujalle voidaan antaa mikä tahansa arvo käyttämällä määritysoperaattoria:= . Muuttuja, jolle ei ole annettu arvoa, katsotaan vapaaksi muuttujaksi ja sen nimi tallennetaan aritmeettisiin laskelmiin. Esimerkiksi:

> a:=2: b:=3: > (a+b)^2;

Vakio-ominaisuudet

x:n merkki (palauttaa 1, -1 tai 0) - merkki(x)

Trigonometriset funktiot: sin(x) , cos(x) , tan(x) , cot(x)

Käänteinen trigonometrinen: arcsin(x) , arccos(x) , arctan(x) , arccot(x)

Eksponentti: exp(x)

Luonnollinen, desimaali- ja kantalogaritmi: ln(x) , log10(x) , log[a](x)

Matemaattisten lausekkeiden muuntaminen

Lauseke voi sisältää vakioita, vapaita muuttujia, matemaattiset funktiot. Esimerkki lausekkeesta:

> A:=sin(sqrt(Pi)+exp(2));

A:=sin(Pi 1/2 +e 2)

Melko usein lausekkeet ovat yhden tai useamman muuttujan tai rationaalisen lausekkeen polynomeja. Maple sisältää erilaisia ​​toimintoja tällaisten lausekkeiden muuntamiseen.

Tekijä(eq)-funktio jakaa lausekkeen eq.

> P:=x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1: > tekijä(P);

Laajenna(eq)-funktio laajentaa lausekkeen sulkeita. Jos määrität yhden tai useamman lisäparametrin muodossa expand(eq,a,b,c) , lausekkeita a , b , c ei laajenneta. Tämä on hyödyllistä, jos sinun on kerrottava jokainen termi jollakin lausekkeella.

> laajentaa((x+1)*(x+2));

> laajentaa(sin(x+y));

sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)

> laajentaa((x+1)*(y+z),x+1);

Jos haluat pienentää murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi ja sitten pienentää niitä, käytä normaali(eq)-funktiota.

> normaali (1/x+1/v);

> (a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);

(a 4 -b 4)/((a 2 +b 2)ab)

Yksinkertaistaa(eq)-funktio yksinkertaistaa lauseketta eq . Toisena (valinnaisena) parametrina voit määrittää muunnettavat lausekkeet: trig - trigonometrinen, teho - teho, radikaali - radikaalit, exp - eksponentiaalit, ln - logaritmit.

> yksinkertaistaa(sin(x)^2+cos(x)^2);

Yhtälöiden ratkaiseminen

Tavalliset yhtälöt

Yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään solve(eq,x)-funktiota, jossa yhtälö on ratkaistava yhtälö, x on sen muuttujan nimi, jonka suhteen yhtälö ratkaistaan. Esimerkki:

> ratkaista(x^2+x-1=0,x);

1/2-5 1/2 /2 ,-1/2+5 1/2 /2

> ratkaista(a*x+b=0,x);

> ratkaista(a*x+b=0,b);

Jos yhtälöllä on useita ratkaisuja, yhtälön ratkaisu voidaan osoittaa jollekin muuttujalle, kuten p. Seuraavaksi voit käyttää yhtälön k:nnettä ratkaisua muodossa p[k] :

> p:=ratkaise(x^2+x-1=0,x): p;

> yksinkertaistaa(p*p);

Yhtälöjärjestelmät

Yhtälöjärjestelmät ratkaistaan ​​käyttämällä samaa funktiota solve((eq1,eq2,...),(x1,x2,...)), vain nyt funktioparametreissa yhtälöt tulee merkitä ensimmäisiin aaltosulkeisiin erotettuina pilkkuja ja toisessa aaltosulkeissa Muuttujat, joille järjestelmä pitää ratkaista, on lueteltu suluissa pilkuilla erotettuina. Jos joudut käyttämään saatuja yhtälöiden ratkaisuja jatkolaskutoimiin, sinun on osoitettava solve-funktion palauttama tulos jollekin muuttujalle, esimerkiksi p, ja suoritettava komento assign(p). Esimerkki:

> p:=ratkaise((x+y=a,x-y=b), (x,y)): > määritä(p); >x;

Yhtälöiden numeerinen ratkaisu

Yritetään ratkaista yhtälö: x 6 -2x+1=0. Ratkaisufunktion käyttäminen antaa meille yhden juuren -1 ja toisen joukon lausekkeita, kuten RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1, indeksi= 1). Tosiasia on, että mielivaltaisella yhtälöllä, jonka aste on yli 4 ja jossa on rationaalisia kertoimia, ei välttämättä ole juuria, jotka voidaan ilmaista radikaalien muodossa rationaalilukujen yläpuolella. Kaikkien mahdollisten tällaisten yhtälöiden ratkaisuja kutsutaan algebrallisiksi luvuiksi. Tämä yhtälö on myös ratkaisematon radikaaleissa, ja Maple löysi meille yhden radikaaleissa ilmaistuvan juuren (1) ja raportoi, että loput juuret ovat algebrallisia lukuja: polynomin z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z- juuret. 1=0 (tämä polynomi on määritelty RootOf-funktion argumentissa). Maple voi toimia algebrallisten lukujen kanssa, mutta voit myös löytää likimääräisen numeerisen ratkaisun fsolve-funktiolla:

> fsolve(x^6-2*x+1=0,x);

5086603916, 1.000000000

Joskus Maple, kun ratkaisee transsendenttisia yhtälöitä, ei näytä monimutkaisia ​​lausekkeita radikaalien muodossa, vaan jättää ne RootOf-muotoon. Jos haluat pakottaa Maplen tulostamaan kaikki ratkaisut radikaalien muodossa (tietysti, jos ne ovat esitettävissä tässä muodossa), sinun on määritettävä arvo true järjestelmämuuttujalle _EnvExplicit (_EnvExplicit:=true).

Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen käytetty solve-komento löytää vain pääratkaisut, eli se tuottaa vain yhden ratkaisun sarjasta jaksollisia ratkaisuja:

> ratkaista(sin(2*x)+cos(2*x)=1,x);

Jotta Maple löytää kaikki ratkaisut, sinun on ensin asetettava _EnvAllSolutions-järjestelmämuuttuja arvoon tosi. Sitten saamme tuloksen eri muodossa, jossa muuttujat Z1~ ja Z2~ ilmestyvät. Nämä muuttujat merkitsevät mielivaltaista kokonaislukutyyppistä vakiota tutussa muodossa, ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa π/4+πn, πk.

Harjoitukset

1. Mikä numero luvun π desimaalimuodossa on sadannella desimaalipilkun jälkeen?
2. Kuinka monta numeroa on desimaaliluvussa 179! ?
3. Laske arvo (6+2×5 1/2) 1/2 -(6-2×5 1/2) 1/2.
4. Laske sin 4 (π/8)+cos 4 (3π/8)+sin 4 (5π/8)+cos 4 (7π/8).
5. Yksinkertaista lauseke (1 + sin(2 x) + cos(2 x))/(1 + sin(2 x) - cos(2 x)).
6. Kerro polynomi x 3 -4x 2 +5x-2.
7. Etsi numeerinen ratkaisu cos-yhtälöön x=x.
8. Ratkaise yhtälö 3 x-(18x+1) 1/2 +1=0
9. Ratkaise yhtälö ||2 x-3|-1|=x.
10. Ratkaise yhtälö (etsi kaikki ratkaisut) sin x-cos x=1/synti x.
11. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

    10(xy) 1/2 +3x-3y=58 x-y=6

04. 01 Yhtälöiden muunnos. Joukkueet lhs Ja rhs

* Yhtälöiden syöttäminen ja käsittely: Thelhs jarhs komentoja*

Muista, että yhtälölle, kuten lausekkeelle, voidaan antaa nimi. Seuraavassa komentorivi syötämme yhtälön ja annamme sille nimen " eq1 " :

> eq1:=x^3-5*x^2+23=2*x^2+4*x-8;

Voimme näyttää yhtälön vasemman ja oikean puolen erikseen käyttämällä komentoja lhs Ja rhs :

> lhs(eq1);

> rhs(eq1);

Käytetään komentoja lhs Ja rhs yhtälön saattamiseksi vakiomuotoon, jossa kaikki termit kerätään vasemmalle ja vain 0 jää oikealle:

> eq2:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0;

04. 02 Tarkkojen juurien löytäminen. Tiimi ratkaista

* Tarkkojen ratkaisujen löytäminen:ratkaista komento*

Tarkastellaan ensin rationaalisia yhtälöitä. Tiedetään, että on olemassa algoritmeja rationaalisten juurien tarkan juuren määrittämiseksi neljänteen asteeseen asti. Maple-joukkueelle ratkaista ja nämä algoritmit perustuvat.

Käytetään komentoa ratkaista löytääksesi kuutioyhtälön tarkat juuret :

> ratkaista(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);

Huomaa, että komennossa ilmoitamme mille muuttujalle yhtälö tulee ratkaista. Vaikka tässä tapauksessa tämä ei ole välttämätöntä:

> ratkaista(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0);

Maple löysi kaikki 3 kelvollista juurta ja tulosti ne ( järjettömällä tavalla ).

Joskus on erittäin tärkeää valita tietty juuri, jotta sitä voidaan käyttää jatkomuunnoksissa. Tätä varten sinun tulee antaa komennon tulokselle nimi etukäteen ratkaista. Soitetaan hänelle X. Sitten suunnittelu X vastaa luettelon ensimmäistä juuria (korostamme: se ei välttämättä ole pienempi juuri!), X- toinen juuri jne. ( Kiinnikkeet ovat neliömäisiä!):

> X:=ratkaise(x^2-5*x+3=0,x);

Katso kuitenkin samanlaisen komennon tulosta:

> x = %;

Korostetaan vielä kerran: käytäntö osoittaa, että yhtälölle kannattaa antaa nimi. Perinteisesti Maplessa tällainen nimi alkaa kirjaimilla ekv :

> eq1:=7*x^3-11*x^2-27*x-9=0;

(Älä sekoita tehtäväoperaattoria" := "yhtäsuuruusmerkillä" = " !)

Nyt ratkaistaan ​​yhtälö komennolla ratkaista. Annetaan juurijoukolle nimi X :

> X:=ratkaise(eq1,x);

Varmuuden vuoksi tarkistetaan, onko löydettyjen juurien joukossa vieraita juuria. Tarkistetaan suoralla korvauksella

> osa(x=X,eq1);

> osa(x=X,eq1);

> osa(x=X,eq1);

Tietenkin "tarkat" ratkaisut ovat usein lievästi sanottuna vaikeita. Tämä koskee esimerkiksi yhtälöä :

> eq1:=x^3-34*x^2+4=0;

> X:=ratkaise(eq1,x);

Ymmärrätkö nyt mistä puhumme? Huomatkaa että kuvitteellinen yksikkö Maplessa sitä merkitään iso kirjain minä . Tietenkin tällaisissa tapauksissa ei ole syntiä löytää juurien likimääräisiä arvoja. Kun sinulla on tarkka ratkaisu käsissäsi, voit selvittää, miten se tehdään itse:

> evalf(X);

Tällaisissa tilanteissa hyvä vaihtoehto joukkueelle ratkaista On fsolve, jonka ominaisuuksia käsitellään seuraavassa kappaleessa.

Tiimi ratkaista käytetään etsimään tarkkoja ratkaisuja ei vain rationaalisille yhtälöille. Alla on joitain esimerkkejä tästä. Mutta monen tyyppisille irrationaalisille, eksponentiaalisille, logaritmisille, trigonometrisille ja jopa rationaalisille yhtälöille on turhaa etsiä tarkkaa ratkaisua. Ryhmä kutsutaan auttamaan fsolve .

Ratkaistaan ​​yhtälö :

> ratkaista(5*exp(x/4)=43,x);

Joskus (ja trigonometriassa - aina ) vaahtera, oletuksena, ei näytä koko joukkoa juuria:

> ratkaista(sin(x)=1/2,x);

Mutta ei ole toivottomia tilanteita! Käytä tulostasi pohjana tietosi trigonometrisista yhtälöistä ja kirjoita täydellinen ratkaisu ( Miten?).

Harjoitus 4.1

Ratkaise yhtälö Selvitä kuinka monta eri juurta yhtälöllä on. Mitä Maple tekee, kun juuret ovat yhtä suuret?

Neuvoja: Kerroin yhtälön vasen puoli.

> ratkaista(x^3-11*x^2+7*x+147=0,x);

> tekijä(x^3-11*x^2+7*x+147);

Juuri x = 7 on kaksinkertainen, ja siksi kuutioyhtälöllä on vain kaksi eri juuria. Yhtälön vasemman puolen faktorointi vahvistaa tämän.

04. 03 Likimääräisten juurien löytäminen. Tiimi fsolve

* Summaisten ratkaisujen löytäminen: fsolve komento*

Käytä Maple-komentoa suunnilleen yhtälöiden ratkaisemiseksi fsolve. Jos kyseessä on rationaalinen yhtälö, fsolve tulostaa koko luettelon kelvollisista juurista (katso esimerkki 01). Transsendenttisille yhtälöille tämä komento tulostaa oletusarvoisesti vain yksi juuri(Katso esimerkit 02 ja 03).

Avulla fsolve Etsitään rationaalisen yhtälön kaikkien neljän todellisen juuren likimääräiset arvot kerralla :

> eq:=x^4-x^3-17*x^2-6*x+2=0;

> fsolve(eq,x);

Nämä neljä juuria muodostavat tyhjentävän ratkaisun alkuperäiseen rationaaliseen yhtälöön ( vaikkakin likimääräinen).

Käyttämällä komentoa fsolve, löytö ainakin yksi yhtälön todellinen juuri :

> eq:=x^3+1-exp(x)=0;

> fsolve(eq,x);

Maple ja tulosta vain yksi juuri. Tällä kertaa Maple ei maalannut. Kuinka voimme nyt varmistaa, ettei muita todellisia juuria ole? Seuraava esimerkki tarjoaa tällaisen työkalupakin.

Saada Kaikki yhtälön todelliset juuret ja varmista se.

Ensimmäinen askel ( pääidea ) : Etsitään yhtälölle graafinen ratkaisu. Tehdään tätä varten funktion kaavio yhtälön vasemmalle puolelle. Tämän kuvaajan ja Ox-akselin leikkauspisteiden abskissat ovat vaadittuja juuria.

> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..5,y=-5..15);

Koska valitsimme taitavasti graafipisteiden abskissan ja ordinaatin muutosalueet, voimme helposti havaita 4 suoran leikkauspiste Ox-akselin kanssa. Yksi niistä vastaa esimerkissä 02 löydettyä juurta ( mikä tarkalleen?).

Toinen juuri on ilmeinen: x = 0. Kuinka voimme löytää loput tarkemmin?

Vaihe kaksi ( Selvennys ) : käytä komentoa fsolve enemmän "näkyvä". Maple tarjoaa mahdollisuuden määrittää aikaväli, jolla juuret löydetään. Erityisesti yhtälömme negatiivisen juuren määrittämiseksi osoitamme, että haku tulisi suorittaa "alueella" [-1;-0,2]. Tämän osoittaa kaunopuheisesti graafinen ratkaisu.

> fsolve(eq,x=-1..-.2);

Loput juuret kuuluvat selvästi väliin ja . Kerrotaan siitä joukkueelle fsolve :

> fsolve(eq,x=1..2);
fsolve(eq,x=4..5);

No, mitä tapahtuu, jos liukastamme Maplen "tyhjälle alueelle"? Esimerkiksi segmentti yhtälöllemme. Graafista ratkaisua ei selvästikään ole:

> fsolve(eq,x=2..4);

Maple näyttää komennon nimen, itse yhtälön, argumentin nimen ja segmentin. Nuo. ei mitään uutta. Kuten: "Etsi juuria itse, mutta en ole löytänyt niitä."

Vaihe kolme ( Lisäanalyysi ) : Kuinka voimme nyt varmistaa, että olemme löytäneet kaikki juuret, eikä vain graafisen ratkaisun näkyvällä alueella? Voit tehdä tämän laajentamalla hakuväliä:

> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..50,y=-10..15);

Uusia risteyspisteitä ei ole. Lopulta ymmärrämme, että eksponentiaalinen termi intervallin rajoilla antaa merkittävimmän panoksen yhtälön vasemmalla puolella olevan funktion arvoon. Tämän alueen funktioarvot ovat yleensä , emmekä siksi löydä lisää juuria.

Kokeillaan muissa paikoissa: oikealla ja vasemmalla löydettyjen juurien alueesta.

> fsolve(eq,x=5..50);

> fsolve(eq,x=-50..-1);

Eikä tässä ole yhtään ylimääräistä juuria! Ymmärrettyään, että kaikki on selvää yhtälön eksponentiaalisen osan vaikutuksesta, teemme lopulliset johtopäätökset.

Kattava ratkaisu yhtälöön koostuu neljästä juuresta: -.8251554597, 0, 1.545007279, 4.567036837.

Käytetään komentoa fsolve transsendentaalisen yhtälön likimääräiselle ratkaisulle .

Kuten edellisessä tapauksessa, löydämme ensin korkealaatuisen graafisen ratkaisun. Tätä varten sinun on vielä arvattava, kuinka sen ehdot jaetaan yhtälön molemmille puolille. Mutta Maplen graafiset ominaisuudet ovat niin suuret, että voit melkein aina laittaa kaikki yhtälön ehdot yhdelle puolelle.

Harkitse yhtälöä, joka vastaa tätä: . Yhtälön vasemmalla puolella Ox-akselin kanssa olevan funktion kaavion leikkauspisteiden abskissat ovat vaadittuja juuria.

> eq:=x^2/20-10*x-15*cos(x+15)=0;

> plot(lhs(eq),x=-10..10);

Kaavio osoittaa juurien hakualueen: intervalli. On joukkueen vuoro fsolve :

> fsolve(eq,x=1..2);

Juuri on löytynyt. Mutta ilmeisesti hän ei ole ainoa. Laajenna hakualuettasi ja käytä komentoa uudelleen fsolve löytääksesi toisen juuren.

Harjoitus 4.2

Etsi kaikki yhtälön todelliset juuret alkaen graafisesta ratkaisusta.

Piirretään yhtälön vasen puoli:

> eq:=x^5-4*x^3+3*x^2+7*x-1=0;

> plot(lhs(eq),x=-5..5,y=-5..5);

Tämän tuloksena löydämme yhtälön juuret ensimmäiseen approksimaatioon: -2; -1,5; 0 . Nyt käytetään komentoa fsolve hakualuetta määrittämättä ( Arvioidaan Maplen kykyjä):

> fsolve(eq,x);

Meillä on ilo huomata, että Maple tulostaa kaikki kolme juuria (älä unohda, että ratkaisimme rationaalisen yhtälön.)

Harjoitus 4.3

Etsi kaikki yhtälön juuret . Käytä graafista ratkaisua. Tarkista jokainen juuri korvaamalla se suoraan.

Tuodaan yhtälö vakiomuotoon (tämän osan) muotoon:

> eq:=x^2-2-ln(x+5)=0;

Piirretään nyt yhtälön vasen puoli:

> plot(lhs(eq),x=-10..10);

Ilmeisesti on kaksi juurta. Toinen on noin -2 ja toinen näyttää olevan 2.

Käytetään komentoa fsolve, rajoittaa hakualuetta:

> x:=fselve(eq,x=-5..0);

> x:=fselve(eq,x=1..3);

Tarkastetaan juuret suoralla korvauksella:

> evalf(subs(x=x,eq));

> evalf(subs(x=x,eq));

Huomaa, että molemmissa tapauksissa ei ole todellista tasa-arvoa. Pyöristysvirheet huomioon ottaen kohtuullinen poikkeama on täysin hyväksyttävää.

Varmista, ettei muita juuria ole. Perustele vastauksesi.

Harjoitus 4.4

Funktiokaaviot Ja leikkaa kahdesti janalla [-5;5].

A). Muodosta molempien funktioiden kuvaajat yhteen koordinaattijärjestelmään ja etsi leikkauspisteiden koordinaatit hiirellä.

b). Kirjoita yhtälö, jonka juuret ovat graafien leikkauspisteiden abskissoja.

c). Käytä komentoa fsolve ratkaisemaan tämän yhtälön.

d). Käytä osan c) tuloksia arvioimaan kuvaajien leikkauspisteiden ordinaatit.

e). Eikö sinusta saa vaikutelmaa, että suorat voivat leikata kolmannessa pisteessä koordinaateilla (1;9)? Käyttää fsolve ja Maplen grafiikkaominaisuudet todistavat toisin.

> y1:=10-x^2;

> y2:=4*sin(2*x)+5;

Piirretään nyt funktiot:

> plot(,x=-5..5);

Leikkauspisteiden likimääräiset koordinaatit: (-1.8, 6.6) ja (2.75, 2) .

b) Luodaan yhtälö:

> eq:= y1=y2;

c) Joukkue fsolve auttaa sinua löytämään vastaavat juuret:

> x1:=fsolve(y1=y2,x=-4..0);

> x2:=fsolve(y1=y2,x=0..4);

d) Käytä komentoa subs määrittääksesi leikkauspisteiden vastaavat ordinaatit:

> y:=subs(x=x1,y1);

> y:=subs(x=x2,y1);

Yleiset kaaviopisteet: (-1.800,6.763) ja (2.773,2.311) .

e) Tarkastele graafisesti pisteen x = 1 ympäristöä:

> plot(,x=.5..1.5);

Tiimi fsolve Tällä kertaa sen avulla voimme todistaa juurten puuttumisen pisteen x = 1 lähellä:

> fsolve(y1=y2,x=.5..1.5);

04. 04 Yhtälöiden ratkaiseminen yleisessä muodossa

* Kirjaimellisten yhtälöiden ratkaiseminen*

Monissa tapauksissa Maple löytää ratkaisun yhtälölle yleisessä (symbolisessa) muodossa. Puhumme yhtälöstä (ei järjestelmästä!), joka sisältää useita muuttujia. Ratkaisu on ilmaista yksi muuttujista muiden termein.

Olkoon yhtälön ratkaiseminen tarpeellista suhteessa muuttujaan g. Tottumuksesta käytämme komentoa ratkaista. Ja hän täyttää toiveemme:

> ratkaista(4-v=2*T-k*g,g);

Ja niin ratkaisu voidaan kirjoittaa tavalliseen muotoon:

> g=ratkaise(4-v=2*T-k*g,g);

Harjoitus 4.4

Ratkaise viimeinen yhtälö muille muuttujille: T,k Ja v.

> T = ratkaise (4-v = 2*T-k*g, T);

> k=ratkaise(4-v=2*T-k*g,k);

> v=ratkaise(4-v=2*T-k*g,v);

Harjoitus 4.5

Ratkaise yhtälö suhteessa y. Anna juurisarjalle nimi S. Miten juuret S ja S liittyvät toisiinsa?

> S:=ratkaise(x^2+y^2=25,y);

Juuret eroavat vain merkistä.