IN Ahorn Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Funktion darzustellen.
Methode 1: Definieren einer Funktion mit dem Zuweisungsoperator ( := ): Einem Ausdruck wird ein Name zugewiesen, zum Beispiel:
> f:=sin(x)+cos(x);
Wenn Sie einen bestimmten Variablenwert festlegen X, dann erhalten wir den Wert der Funktion F dafür X. Wenn wir beispielsweise das vorherige Beispiel fortsetzen und den Wert berechnen F wann, dann sollten wir schreiben:
> x:=Pi/4;
Nach Ausführung dieser Befehle wird die Variable X hat einen bestimmten Wert.
Um einer Variablen gar keinen bestimmten Wert zuzuweisen, ist es bequemer, den Substitutionsbefehl zu verwenden subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), Dabei werden Variablen in geschweiften Klammern angegeben xi und ihre neuen Bedeutungen ai(ich=1,2,...), die in die Funktion eingesetzt werden sollen F . Zum Beispiel:
> f:=x*exp(-t);
> subs((x=2,t=1),f);
Alle Berechnungen in Ahorn werden standardmäßig symbolisch erzeugt, das heißt, das Ergebnis enthält explizit irrationale Konstanten wie und andere. Um einen Näherungswert als Gleitkommazahl zu erhalten, verwenden Sie den Befehl eval(expr,t), Wo Ausdruck- Ausdruck, T– Genauigkeit ausgedrückt in Zahlen nach dem Komma. Lassen Sie uns beispielsweise in Fortsetzung des vorherigen Beispiels den resultierenden Funktionswert ungefähr berechnen:
> elf(%);
Das hier verwendete Symbol ist ( % ), um den vorherigen Befehl aufzurufen.
Methode 2: Definieren einer Funktion mithilfe eines Funktionsoperators, der einer Reihe von Variablen zugeordnet ist (x1,x2,…) ein oder mehrere Ausdrücke (f1,f2,…). Das Definieren einer Funktion aus zwei Variablen mithilfe eines Funktionsoperators sieht beispielsweise so aus:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
Auf diese Funktion wird in der Mathematik am häufigsten zugegriffen, wenn bestimmte Werte von Variablen anstelle von Funktionsargumenten in Klammern angegeben werden. In Fortsetzung des vorherigen Beispiels wird der Wert der Funktion berechnet:
Methode 3: Verwenden eines Befehls unapply(expr,x1,x2,…), Wo Ausdruck- Ausdruck, x1,x2,…– eine Reihe von Variablen, von denen es abhängt, Sie können den Ausdruck umwandeln Ausdruck in einen funktionalen Operator umgewandelt. Zum Beispiel:
> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);
IN Ahorn Es ist möglich, nichtelementare Funktionen des Formulars zu definieren
per Befehl
> stückweise(cond_1,f1, cond_2, f2, …).
Zum Beispiel die Funktion
ist wie folgt geschrieben.
Abteilung: Informationstechnologien
Labor arbeit
Zum Thema: " SYNTAX, HAUPTOBJEKTE UND SYSTEMBEFEHLE AHORN "
Moskau, 2008
Ziele der Arbeit :
· kennen die wichtigsten Objekte und Variablen des Maple-Systems;
· kennen und können die Befehle anwenden, die bei der Arbeit mit Objekten und Variablen des Maple-Systems verwendet werden;
· kennen die Syntax der grundlegenden mathematischen Funktionen des Maple-Systems.
Einführung
Das Maple Analytical Computing System ist ein interaktives System. In diesem Fall bedeutet dies, dass der Benutzer einen Befehl oder einen Maple-Sprachoperator in den Eingabebereich des Arbeitsblatts eingibt und durch Drücken der Taste
Jeder Operator oder Befehl Notwendig sind fertiggestellt Trennzeichen. Im Maple-System gibt es zwei solcher Zeichen: Semikolon (;) und Doppelpunkt (:). Wenn die Klausel mit einem Semikolon endet, wird sie ausgewertet und das Ergebnis im Ausgabebereich angezeigt. Wenn Sie einen Doppelpunkt als Trennzeichen verwenden, wird der Befehl ausgeführt, die Ergebnisse werden jedoch nicht im Ausgabebereich des Arbeitsblatts angezeigt. Dies ist beispielsweise praktisch, wenn Sie in Maple programmieren, wenn keine Notwendigkeit besteht, Zwischenergebnisse aus Schleifenoperatoren auszugeben, da die Ausgabe dieser Ergebnisse viel Platz auf dem Arbeitsblatt beanspruchen kann, und zwar sehr viel Zeit, sie anzuzeigen.
Hier und im Folgenden sind Maple-Befehle in der Syntaxform der Maple-Sprache geschrieben. Wenn beim Ausführen von Beispielen der Wunsch besteht, Befehle in mathematischer Notation anzuzeigen, befolgen Sie den Befehl Optionen ® Eingang Anzeige ® Standard Mathematik Notation Stellen Sie den entsprechenden Anzeigemodus ein.
Maple implementiert eine eigene Sprache, über die der Benutzer mit dem System kommuniziert. Grundlegendes Konzept sind Objekte und Variablen, aus denen Ausdrücke mithilfe gültiger mathematischer Operationen konstruiert werden.
Das einfachste Objekte, mit dem es funktionieren kann Ahorn , sind Zahlen, Konstanten und Strings.
Zahlen
Zahlen im Maple-System können von den folgenden Typen sein: ganze Zahlen, Brüche, Radikale, Gleitkommazahlen und komplexe Zahlen. Die ersten drei Arten von Zahlen ermöglichen Ihnen die Durchführung genaue Berechnungen(ohne Rundung) verschiedener mathematischer Ausdrücke, wodurch exakte Arithmetik realisiert wird. Gleitkommazahlen sind Näherungszahlen, bei denen die Anzahl der signifikanten Stellen begrenzt ist. Diese Zahlen dienen dazu, die genauen Maple-Zahlen anzunähern (oder anzunähern). Komplexe Zahlen können sowohl exakt sein, wenn der Real- als auch der Imaginärteil dargestellt werden genaue Zahlen und ungefähr, wenn bei der Angabe des Real- und Imaginärteils einer komplexen Zahl Gleitkommazahlen verwendet werden.
Ganze Zahlen werden als Zahlenfolge von 0 bis 9 angegeben. Negative Zahlen werden mit einem Minuszeichen (–) vor der Zahl angegeben; Nullen vor der ersten Ziffer ungleich Null sind nicht signifikant und haben keinen Einfluss auf den Wert der Ganzzahl. Das Maple-System kann mit ganzen Zahlen beliebiger Größe arbeiten; die Anzahl der Ziffern ist praktisch auf 2 28 begrenzt. Berechnungen mit ganzen Zahlen implementieren vier arithmetische Operationen (Addition +, Subtraktion –, Multiplikation *, Division /) und Fakultätsrechnung (!).
Maple stellt eine große Ganzzahl dar, die nicht in die Ausgabezeile passt, indem in der nächsten Zeile das Backslash-Zeichen (\) als Ausgabefortsetzungszeichen verwendet wird. Der letzte Befehl berechnet die Anzahl der Ziffern aus der vorherigen Berechnung. Es verwendet die %-Operation als Parameter, der lediglich eine praktische Form der Referenz auf das Ergebnis der vorherigen Operation darstellt. Maple verfügt über zwei weitere ähnliche Operationen, die die Ergebnisse der Befehle pre previous und pre previous identifizieren. Ihre Syntax lautet jeweils wie folgt:
Maple verfügt über einen ziemlich großen Befehlssatz, mit dem Sie Aktionen ausführen können, die speziell für die Verarbeitung von ganzen Zahlen gelten: Faktorisierung in Primfaktoren (ifactor), Berechnung des Quotienten (iquo) und des Rests (irem) bei der Durchführung einer ganzzahligen Divisionsoperation, Ermitteln der größter gemeinsamer Teiler zweier Ganzzahlen ( igcd), Prüfung, ob eine Ganzzahl eine Primzahl ist, und vieles mehr.
Um die Berechnung des Quotienten und des Rests von zwei ganzen Zahlen zu überprüfen, wurden die Operationen zum Erhalten des Ergebnisses der Ausführung des vorherigen Befehls (Berechnung des Quotienten) und des vorherigen Befehls (Berechnung des Rests) verwendet. Das Ergebnis des Befehls isprime() ist eine boolesche Konstante wahr oder falsch.
Durch Eingabe eines Befehls in den Eingabebereich des Arbeitsblatts? Ganzzahl können Sie eine Liste aller Befehle zum Arbeiten mit Ganzzahlen erhalten
Gemeinsame Brüche werden durch die Division zwei angegeben ganz Zahlen. Beachten Sie, dass Maple die Bruchreduktionsoperation automatisch durchführt. Sie können alle grundlegenden arithmetischen Operationen mit gewöhnlichen Brüchen durchführen.
Wenn bei der Angabe eines Bruchs dessen Nenner reduziert wird (siehe letzte Berechnung im Beispiel), dann wird ein solcher „Bruch“ vom Maple-System als ganze Zahl interpretiert.
Oft ist es nicht sehr praktisch, ein Ergebnis als Bruch darzustellen, und es entsteht das Problem, es in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Verwenden Sie dazu den Befehl evalf(), der einen gemeinsamen Bruch mit Gleitkommazahlen anhand von zehn signifikanten Ziffern in der Mantisse ihrer Darstellung annähert. Wenn die Standardgenauigkeit nicht ausreicht, kann sie als zweiter Parameter der angegebenen Funktion festgelegt werden.
Ein Bruch und seine Dezimaldarstellung sind keine identischen Maple-Objekte. Dezimalschreibweise ist gerecht Annäherung exakter Wert, dargestellt durch einen gewöhnlichen Bruch.
Radikale werden als Ergebnis der Potenzierung ganzer oder gebrochener Zahlen oder der Berechnung ihrer Quadratwurzel mit der Funktion sqrt() oder der Berechnung der Wurzel angegeben N-te Potenz mit der Funktion surd(number, n). Die Potenzierungsoperation wird durch das Symbol ^ oder eine Folge von zwei Sternchen (**) angegeben. Bei der Potenzierung von Brüchen sollten diese wie der Bruchexponent in Klammern gesetzt werden. Bei der Angabe von Radikalen werden auch mögliche Vereinfachungen im Zusammenhang mit der Entfernung des maximal möglichen Wertes unter dem Vorzeichen des Radikals vorgenommen.
Berechnungen mit ganzen Zahlen, Brüchen und Radikalen sind möglich absolut genau, weil Maple bei der Arbeit mit diesen Datentypen im Gegensatz zu Gleitkommazahlen keine Rundungen durchführt.
Gleitkommazahlen werden als Ganzzahl- und Bruchteile angegeben, die durch einen Dezimalpunkt getrennt sind und denen ein Zahlenzeichen vorangestellt ist, z. B. 3,4567, -3,415. Gleitkommazahlen können mit der sogenannten Exponentialschreibweise geschrieben werden, bei der das Symbol e oder e unmittelbar nach einer echten Gleitkommazahl oder einer regulären Ganzzahl namens Mantisse platziert wird, gefolgt von einer vorzeichenbehafteten Ganzzahl (Exponent). Diese Notationsform bedeutet, dass die Mantisse mit zehn mit der Potenz der dem Exponenten entsprechenden Zahl multipliziert werden muss, um den Wert der in dieser Exponentialform geschriebenen Zahl zu erhalten. Beispielsweise entspricht 2,345e4 der Zahl 23450,0. Somit ist es möglich, Zahlen darzustellen, die im Absolutwert sehr groß (der Exponent ist eine positive Zahl) oder sehr klein (der Exponent ist eine negative Zahl) sind.
Mathematische Ausdrücke werden mithilfe von Zahlen aus Zahlen gebildet Rechenoperationen. Symbole für arithmetische Operationen in Maple sind in der Tabelle aufgeführt. 1.
Tabelle 1. Arithmetische Operationen
Die Reihenfolge der arithmetischen Operationen folgt den üblichen Vorrangregeln für Operationen in der Mathematik: Zuerst wird eine Potenzierung durchgeführt, dann eine Multiplikation und Division und schließlich eine Addition und Subtraktion. Alle Aktionen werden von links nach rechts ausgeführt. Die faktorielle Berechnungsoperation hat die höchste Priorität. Um die Reihenfolge arithmetischer Operationen zu ändern, verwenden Sie Klammern.
Wenn alle Zahlen in einem Ausdruck ganze Zahlen, Brüche oder Radikale sind, wird das Ergebnis auch mit diesen Datentypen dargestellt. Wenn der Ausdruck jedoch eine Gleitkommazahl enthält, wird dies auch für das Ergebnis der Auswertung eines solchen „gemischten“ Ausdrucks der Fall sein eine Gleitkommazahl sein, es sei denn, der Ausdruck enthält keine Wurzel. In diesem Fall wird das Radikal exakt berechnet und sein Koeffizient wird je nach Art der Faktoren entweder exakt oder als Gleitkommazahl berechnet.
Das analytische Computersystem von Maple versucht stets, Berechnungen mit absoluter Genauigkeit durchzuführen. Funktioniert dies nicht, wird auf Arithmetik mit reellen Zahlen zurückgegriffen.
Ahorn kann auch verwendet werden komplexe Zahlen . Für eine imaginäre Einheit
Maple verwendet eine Konstante ICH. Die Zuordnung einer komplexen Zahl unterscheidet sich nicht von der in der Mathematik üblichen Zuordnung.IN Ahorn Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Funktion darzustellen.
Methode 1: Definieren einer Funktion mit dem Zuweisungsoperator ( := ): Einem Ausdruck wird ein Name zugewiesen, zum Beispiel:
> f:=sin(x)+cos(x);
Wenn Sie einen bestimmten Variablenwert festlegen X, dann erhalten wir den Wert der Funktion F dafür X. Wenn wir beispielsweise das vorherige Beispiel fortsetzen und den Wert berechnen F wann, dann sollten wir schreiben:
> x:=Pi/4;
Nach Ausführung dieser Befehle wird die Variable X hat einen bestimmten Wert.
Um einer Variablen gar keinen bestimmten Wert zuzuweisen, ist es bequemer, den Substitutionsbefehl zu verwenden subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), Dabei werden Variablen in geschweiften Klammern angegeben xi und ihre neuen Bedeutungen ai(ich=1,2,...), die in die Funktion eingesetzt werden sollen F . Zum Beispiel:
> f:=x*exp(-t);
> subs((x=2,t=1),f);
Alle Berechnungen in Ahorn werden standardmäßig symbolisch erzeugt, das heißt, das Ergebnis enthält explizit irrationale Konstanten wie und andere. Um einen Näherungswert als Gleitkommazahl zu erhalten, verwenden Sie den Befehl eval(expr,t), Wo Ausdruck- Ausdruck, T– Genauigkeit ausgedrückt in Zahlen nach dem Komma. Lassen Sie uns beispielsweise in Fortsetzung des vorherigen Beispiels den resultierenden Funktionswert ungefähr berechnen:
> elf(%);
Das hier verwendete Symbol ist ( % ), um den vorherigen Befehl aufzurufen.
Methode 2: Definieren einer Funktion mithilfe eines Funktionsoperators, der einer Reihe von Variablen zugeordnet ist (x1,x2,…) ein oder mehrere Ausdrücke (f1,f2,…). Das Definieren einer Funktion aus zwei Variablen mithilfe eines Funktionsoperators sieht beispielsweise so aus:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
Auf diese Funktion wird in der Mathematik am häufigsten zugegriffen, wenn bestimmte Werte von Variablen anstelle von Funktionsargumenten in Klammern angegeben werden. In Fortsetzung des vorherigen Beispiels wird der Wert der Funktion berechnet:
Methode 3: Verwenden eines Befehls unapply(expr,x1,x2,…), Wo Ausdruck- Ausdruck, x1,x2,…– eine Reihe von Variablen, von denen es abhängt, Sie können den Ausdruck umwandeln Ausdruck in einen funktionalen Operator umgewandelt. Zum Beispiel:
> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);
IN Ahorn Es ist möglich, nichtelementare Funktionen des Formulars zu definieren
per Befehl
> stückweise(cond_1,f1, cond_2, f2, …).
Zum Beispiel die Funktion
ist wie folgt geschrieben.
Zur Seite<Методические разработки>
Computeralgebrasysteme
Maple ist ein spezielles Mathematikpaket, das von professionellen Mathematikern auf der ganzen Welt verwendet wird. Solche Pakete werden auch Computeralgebrasysteme genannt. Unter den vielen ähnlichen Systemen (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica, Macsyma, Derive, Axiom, MuPAD) ist Maple ein anerkannter Marktführer auf dem Gebiet des symbolischen Rechnens (d. h. bei der Transformation von Ausdrücken mithilfe von Variablen, Polynomen, Funktionen usw.). ). Darüber hinaus enthält Maple Module, die die Arbeit in Bereichen der Mathematik wie höherer Algebra, linearer Algebra, analytischer Geometrie, Zahlentheorie, mathematischer Analyse, Differentialgleichungen, kombinatorischer Analyse, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und vielen anderen erleichtern.
Um Hilfe zu einem bestimmten Befehl zu erhalten, geben Sie „?command“ in das Maple-Fenster ein (ersetzen Sie dabei „command“ durch den Namen des Befehls).
Maple als Superrechner
In einem Maple-Arbeitsblatt können Sie Befehle an der Eingabeaufforderung „>“ eingeben. Der Befehl muss mit dem Symbol „;“ enden und sein Ergebnis wird sofort auf dem Bildschirm angezeigt. Wenn Sie „;“ durch „:“ ersetzen, wird der Befehl ausgeführt, aber das Ergebnis wird nicht gedruckt. Zum Beispiel:
> 57/179+91/1543;
Wie wir sehen können, gibt Maple die Antwort genau in Form eines rationalen Ausdrucks. Wenn Sie es als Dezimalbruch (mit einiger Präzision) darstellen möchten, verwenden Sie die Funktion evalf. Sein erster erforderlicher Parameter ist der zu berechnende Ausdruck, der zweite (optional) ist die Anzahl der signifikanten Dezimalstellen (beachten Sie, dass der Ausdruck gerundet wird, um die entsprechende Anzahl der Dezimalstellen anzuzeigen):
> evaluieren(%);
> evalu(%%,30);
0.377411774928764613663435880911
Das Symbol % bezeichnet den letzten von Maple berechneten Ausdruck, %% – den vorletzten, %%% – den vorletzten (aber die Bezeichnung %%%% existiert nicht mehr).
Zahlen und Konstanten
Wenn der Ausdruck eine Gleitkommazahl enthält (z. B. 3,14 oder 5,6e-17), werden alle Berechnungen ungefähr durchgeführt, andernfalls werden die Berechnungen exakt durchgeführt. Maple hat die folgenden Konstanten: Pi Anzahl von Pi
I Imaginäre Einheit ich
exp(1) Basis natürlicher Logarithmen e
Unendlichkeit Unendlichkeit
wahr Logische Wahrheit
falsch Logisch falsch
Berechnungen mit Konstanten werden exakt durchgeführt (es sei denn, ihr Wert wird in einen realen Wert übersetzt), z. B.
> sin(Pi/3);
> Sünde(3.1415926);
0.5358979324 10 -7
Betreiber
In Maple gibt es die folgenden Operatoren:
Arithmetik: + , - , * , / , ^ (Potenzierung), ! (Fakultät).
Rätsel:< , > , >= , <= , = (равно), <>(nicht gleich).
Zuweisungsoperator: := .
Variablen
Eine Variable ist ein beliebiger Bezeichner (bestehend aus lateinischen Buchstaben und Zahlen, beginnend mit einer Zahl). Mit dem Zuweisungsoperator:= kann einer Variablen ein beliebiger Wert zugewiesen werden. Eine Variable, der kein Wert zugewiesen ist, wird als freie Variable betrachtet und ihr Name wird in arithmetischen Berechnungen gespeichert. Zum Beispiel:
> a:=2: b:=3: > (a+b)^2;
Standartfunktionen
Vorzeichen von x (gibt 1, -1 oder 0 zurück) - sign(x)
Trigonometrische Funktionen: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)
Inverse trigonometrisch: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x)
Exponent: exp(x)
Natürlicher, dezimaler und Basislogarithmus: ln(x) , log10(x) , log[a](x)
Mathematische Ausdrücke konvertieren
Der Ausdruck kann Konstanten, freie Variablen, mathematische Funktionen. Beispielausdruck:
> A:=sin(sqrt(Pi)+exp(2));
A:=sin(Pi 1/2 +e 2)
Sehr oft handelt es sich bei den Ausdrücken um Polynome einer oder mehrerer Variablen oder um rationale Ausdrücke. Maple enthält verschiedene Funktionen zum Konvertieren solcher Ausdrücke.
Die Funktion „factor(eq)“ faktorisiert den Ausdruck „eq“.
> P:=x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1: > Faktor(P);
Die Funktion expand(eq) erweitert die Klammern in einem Ausdruck. Wenn Sie einen oder mehrere zusätzliche Parameter in der Form expand(eq,a,b,c) angeben, werden die Ausdrücke a, b, c nicht erweitert. Dies ist nützlich, wenn Sie jeden Term mit einem Ausdruck multiplizieren müssen.
> expand((x+1)*(x+2));
> expand(sin(x+y));
sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
> expand((x+1)*(y+z),x+1);
Um Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren und sie dann zu reduzieren, verwenden Sie die Funktion normal(eq).
> normal(1/x+1/y);
> (a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);
(a 4 -b 4)/((a 2 +b 2)ab)
Die Funktion simply(eq) vereinfacht den Ausdruck eq . Als zweiten (optionalen) Parameter können Sie angeben, welche Ausdrücke konvertiert werden sollen: trig – trigonometrisch, Potenz – Potenz, Radikal – Radikale, exp – Exponentialzahlen, ln – Logarithmen.
> vereinfachen(sin(x)^2+cos(x)^2);
Gleichungen lösen
Gewöhnliche Gleichungen
Um Gleichungen zu lösen, verwenden Sie die Funktion „solve(eq,x)“, wobei eq die zu lösende Gleichung und x der Name der Variablen ist, anhand derer die Gleichung gelöst wird. Beispiel:
> lösen(x^2+x-1=0,x);
1/2-5 1/2 /2 ,-1/2+5 1/2 /2
> lösen(a*x+b=0,x);
> lösen(a*x+b=0,b);
Wenn eine Gleichung mehrere Lösungen hat, kann die Lösung der Gleichung einer Variablen zugewiesen werden, beispielsweise p. Als nächstes können Sie die k-te Lösung der Gleichung in der Form p[k] verwenden:
> p:=solve(x^2+x-1=0,x): p;
> vereinfachen(p*p);
Gleichungssysteme
Gleichungssysteme werden mit derselben Funktion gelöst ((eq1,eq2,...),(x1,x2,...)), nur dass in den Funktionsparametern die Gleichungen jetzt in den ersten geschweiften Klammern getrennt durch angegeben werden sollten Kommas und in den zweiten geschweiften Klammern werden die Variablen, nach denen das System gelöst werden muss, in Klammern aufgeführt und durch Kommas getrennt. Wenn Sie die erhaltenen Lösungen der Gleichungen für weitere Berechnungen verwenden müssen, müssen Sie das von der Lösungsfunktion zurückgegebene Ergebnis einer Variablen, beispielsweise p, zuweisen und dann den Befehl „assign(p)“ ausführen. Beispiel:
> p:=solve((x+y=a,x-y=b), (x,y)): > attachment(p); >x;
Numerische Lösung von Gleichungen
Versuchen wir, die Gleichung zu lösen: x 6 -2x+1=0. Die Verwendung der Lösungsfunktion liefert uns eine Wurzel -1 und einen weiteren Satz von Ausdrücken wie RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1, Index= 1). Der Punkt ist, dass eine beliebige Gleichung mit einem Grad über 4 und rationalen Koeffizienten möglicherweise keine Wurzeln hat, die sich in Form von Radikalen über rationalen Zahlen ausdrücken lassen. Die Lösungen aller möglichen Gleichungen dieser Art werden algebraische Zahlen genannt. Diese Gleichung ist auch in Radikalen unlösbar, und Maple hat uns eine einzelne Wurzel gefunden, die in Radikalen (1) ausgedrückt werden kann, und berichtet, dass die verbleibenden Wurzeln algebraische Zahlen sind: die Wurzeln des Polynoms z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z- 1=0 (dieses Polynom wird im Argument der RootOf-Funktion angegeben). Maple kann mit algebraischen Zahlen arbeiten, Sie können jedoch auch eine ungefähre numerische Lösung mithilfe der Funktion fsolve finden:
> fsolve(x^6-2*x+1=0,x);
5086603916, 1.000000000
Manchmal zeigt Maple beim Lösen transzendentaler Gleichungen komplexe Ausdrücke nicht in Form von Radikalen an, sondern belässt sie in der RootOf-Form. Um Maple zu zwingen, alle Lösungen in Form von Radikalen auszugeben (natürlich, wenn sie in dieser Form darstellbar sind), müssen Sie der Systemvariablen _EnvExplicit den Wert true zuweisen (_EnvExplicit:=true).
Trigonometrische Gleichungen lösen
Der Befehl „solve“, der zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet wird, findet nur Hauptlösungen, d. h. er erzeugt nur eine Lösung aus einer Reihe periodischer Lösungen:
> lösen(sin(2*x)+cos(2*x)=1,x);
Damit Maple alle Lösungen finden kann, müssen Sie zunächst die Systemvariable _EnvAllSolutions auf true setzen. Dann erhalten wir das Ergebnis in einer anderen Form, in der die Variablen Z1~ und Z2~ erscheinen. Diese Variablen bezeichnen eine beliebige Konstante eines ganzzahligen Typs; in einer bekannteren Form kann die Lösung als π/4+πn, πk geschrieben werden.
Übungen
- Welche Ziffer in der Dezimalschreibweise der Zahl π steht an der Hundertstelstelle nach dem Komma?
- Wie viele Ziffern hat die Dezimalschreibweise 179! ?
- Berechnen Sie den Wert von (6+2×5 1/2) 1/2 -(6-2×5 1/2) 1/2.
- Berechnen Sie sin 4 (π/8)+cos 4 (3π/8)+sin 4 (5π/8)+cos 4 (7π/8).
- Vereinfachen Sie den Ausdruck (1 + sin(2 X) + cos(2 X))/(1 + sin(2 X) - cos(2 X)).
- Faktorisieren Sie das Polynom X 3 -4X 2 +5X-2.
- Finden Sie eine numerische Lösung der Cos-Gleichung X=X.
- Lösen Sie Gleichung 3 X-(18X+1) 1/2 +1=0
- Gleichung ||2 lösen X-3|-1|=X.
- Lösen Sie die Gleichung (finden Sie alle Lösungen) sin X-cos X=1/Sünde X.
- Lösen Sie das Gleichungssystem:
10(Xj) 1/2 +3X-3j=58 X-j=6
04. 01 Transformation von Gleichungen. Mannschaften lhs Und rhs
* Gleichungen eingeben und manipulieren: Dielhs Undrhs Befehle*
Denken Sie daran, dass einer Gleichung, genau wie einem Ausdruck, ein Name gegeben werden kann. Im nächsten Befehlszeile Wir geben eine Gleichung ein und geben ihr einen Namen. Gleichung1 " :
> eq1:=x^3-5*x^2+23=2*x^2+4*x-8;
Mit den Befehlen können wir die linke und rechte Seite der Gleichung getrennt anzeigen lhs Und rhs :
> lhs(eq1);
> rhs(eq1);
Lassen Sie uns die Befehle verwenden lhs Und rhs um die Gleichung in eine Standardform zu bringen, in der alle Terme auf der linken Seite gesammelt werden und auf der rechten Seite nur noch 0 übrig bleibt:
> eq2:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0;
04. 02 Genaue Wurzeln finden. Team lösen
* Exakte Lösungen finden: Dielösen Befehl*
Betrachten wir zunächst rationale Gleichungen. Es ist bekannt, dass es Algorithmen zur Bestimmung der exakten Wurzeln rationaler Wurzeln bis einschließlich 4. Ordnung gibt. An das Maple-Team lösen und diese Algorithmen basieren.
Lassen Sie uns den Befehl verwenden lösen um die genauen Wurzeln der kubischen Gleichung zu finden 
:
> lösen(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);
Bitte beachten Sie, dass wir im Befehl angeben, für welche Variable die Gleichung gelöst werden soll. Obwohl dies in unserem speziellen Fall nicht notwendig ist:
> lösen(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0);
Maple hat alle drei gültigen Wurzeln gefunden und ausgedruckt ( in ungeordneter Weise ).
Manchmal ist es sehr wichtig, eine bestimmte Wurzel auszuwählen, damit Sie sie in weiteren Transformationen verwenden können. Dazu sollten Sie dem Ergebnis des Befehls vorab einen Namen zuweisen lösen. Rufen wir ihn an X. Dann das Design X entspricht der ersten Wurzel aus der Liste (wir betonen: es ist nicht unbedingt eine kleinere Wurzel!), X- die zweite Wurzel usw. ( Die Klammern sind quadratisch!):
> X:=solve(x^2-5*x+3=0,x);
Schauen Sie sich jedoch die Ausgabe eines ähnlichen Befehls an:
> x=%;
Lassen Sie uns noch einmal betonen: Die Praxis zeigt, dass es ratsam ist, der Gleichung einen Namen zu geben. Traditionell beginnt ein solcher Name in Maple mit den Buchstaben Gl :
> eq1:=7*x^3-11*x^2-27*x-9=0;
(Verwechseln Sie nicht den Zuweisungsoperator „ := „mit Gleichheitszeichen“ = " !)
Jetzt lösen wir die Gleichung mit dem Befehl lösen. Geben wir den vielen Wurzeln einen Namen X :
> X:=solve(eq1,x);
Überprüfen wir zur Sicherheit, ob sich unter den gefundenen Wurzeln auch fremde Wurzeln befinden. Lassen Sie uns dies durch direkte Substitution überprüfen
> subs(x=X,eq1);
> subs(x=X,eq1);
> subs(x=X,eq1);
Natürlich sind „exakte“ Lösungen oft, gelinde gesagt, recht umständlich. Dies betrifft beispielsweise die Gleichung 
:
> eq1:=x^3-34*x^2+4=0;
> X:=solve(eq1,x);
Verstehen Sie jetzt, wovon wir reden? Bitte beachte, dass imaginäre Einheit in Maple wird es mit bezeichnet Großbuchstabe ICH . Natürlich ist es in solchen Fällen keine Sünde, ungefähre Werte der Wurzeln zu finden. Wenn Sie eine genaue Lösung parat haben, können Sie selbst herausfinden, wie es geht:
> eval(X);
In solchen Situationen eine gute Alternative zum Team lösen Ist fsolve, deren Merkmale im nächsten Absatz besprochen werden.
Team lösen Wird zum Finden exakter Lösungen nicht nur rationaler Gleichungen verwendet. Nachfolgend finden Sie einige Abbildungen hierzu. Aber für viele Arten irrationaler, exponentieller, logarithmischer, trigonometrischer und sogar rationaler Gleichungen ist es sinnlos, nach einer exakten Lösung zu suchen. Das Team wird zur Hilfe gerufen fsolve .
Lassen Sie uns die Gleichung lösen 
:
> lösen(5*exp(x/4)=43,x);
Manchmal (und in der Trigonometrie - immer ) Ahorn, Default, zeigt nicht den gesamten Wurzelsatz an:
> lösen(sin(x)=1/2,x);
Aber es gibt keine aussichtslosen Situationen! Nutzen Sie auf dieser Grundlage Ihr Wissen über trigonometrische Gleichungen und schreiben Sie die vollständige Lösung auf ( Wie?).
Übung 4.1
Löse die Gleichung 
Finden Sie heraus, wie viele verschiedene Wurzeln die Gleichung hat. Was macht Maple, wenn es gleiche Wurzeln gibt?
Beratung: Faktorisieren Sie die linke Seite der Gleichung.
> lösen(x^3-11*x^2+7*x+147=0,x);
> Faktor(x^3-11*x^2+7*x+147);
Die Wurzel x = 7 ist zweizählig, und daher hat die kubische Gleichung nur zwei verschiedene Wurzeln. Die Faktorisierung der linken Seite der Gleichung bestätigt dies.
04. 03 Ungefähre Wurzeln finden. Team fsolve
* Näherungslösungen finden: Die fsolve Befehl*
Um Gleichungen näherungsweise zu lösen, verwenden Sie den Maple-Befehl fsolve. Im Fall einer rationalen Gleichung ist fsolve gibt die gesamte Liste der gültigen Wurzeln aus (siehe Beispiel 01). Für transzendente Gleichungen gibt dieser Befehl standardmäßig aus nur eine Wurzel(Siehe Beispiele 02 und 03).
Mittels fsolve Finden wir gleichzeitig Näherungswerte aller vier reellen Wurzeln der rationalen Gleichung 
:
> eq:=x^4-x^3-17*x^2-6*x+2=0;
> fsolve(eq,x);
Diese vier Wurzeln stellen eine erschöpfende Lösung der ursprünglichen rationalen Gleichung dar ( obwohl ungefähr).
Verwenden des Befehls fsolve, finden mindestens ein echte Wurzel der Gleichung 
:
> eq:=x^3+1-exp(x)=0;
> fsolve(eq,x);
Maple und Ausgabe nur eine Wurzel. Diesmal hat Maple nicht gemalt. Wie können wir nun sicherstellen, dass es keine anderen echten Wurzeln gibt? Das folgende Beispiel stellt ein solches Toolkit bereit.
Erhalten Alle
echte Wurzeln der Gleichung 
und stellen Sie sicher, dass es so ist.
Schritt eins ( Hauptidee ) : Lassen Sie uns eine grafische Lösung für die Gleichung finden. Erstellen wir dazu einen Graphen der Funktion auf der linken Seite der Gleichung. Die Abszissen der Schnittpunkte dieses Diagramms mit der Ox-Achse sind die erforderlichen Wurzeln.
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..5,y=-5..15);
Weil Wir haben die Änderungsbereiche auf der Abszisse und der Ordinate der Diagrammpunkte geschickt ausgewählt und können sie leicht erkennen 4 der Schnittpunkt der Linie mit der Ox-Achse. Eine davon entspricht der in Beispiel 02 gefundenen Wurzel ( welche genau?).
Die zweite Wurzel ist offensichtlich: x = 0. Wie können wir den Rest genauer ermitteln?
Schritt zwei ( Klärung ) : Wenden Sie den Befehl an fsolve„sichtbarer“. Maple bietet die Möglichkeit, das Intervall anzugeben, in dem Wurzeln gefunden werden. Um insbesondere die negative Wurzel unserer Gleichung zu bestimmen, geben wir an, dass die Suche im „Bereich“ [-1;-0,2] durchgeführt werden sollte. Dies wird durch die grafische Lösung beredt belegt.
> fsolve(eq,x=-1..-.2);
Die übrigen Wurzeln gehören eindeutig zu den Intervallen und . Erzählen wir dem Team davon fsolve :
> fsolve(eq,x=1..2);
fsolve(eq,x=4..5);
Was passiert, wenn wir Maple einen „leeren Bereich“ zuordnen? Zum Beispiel ein Segment für unsere Gleichung. Es gibt eindeutig keine grafische Lösung:
> fsolve(eq,x=2..4);
Maple zeigt den Namen des Befehls, die Gleichung selbst, den Namen des Arguments und das Segment an. Diese. nichts Neues. Zum Beispiel: „Suchen Sie selbst nach den Wurzeln, aber ich habe sie nicht gefunden.“
Schritt drei ( Zusätzliche Analyse ) : Wie können wir jetzt sicherstellen, dass wir gefunden haben alle Wurzeln, und nicht nur im sichtbaren Bereich der grafischen Lösung? Dazu sollten Sie das Suchintervall erweitern:
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..50,y=-10..15);
Es gibt keine neuen Schnittpunkte. Letztendlich verstehen wir, dass der Exponentialterm an den Grenzen des Intervalls den größten Beitrag zum Wert der Funktion auf der linken Seite der Gleichung leistet. Die Funktionswerte in diesem Bereich neigen dazu, und daher können wir keine zusätzlichen Wurzeln finden.
Versuchen wir es an anderen Stellen: rechts und links vom Bereich der gefundenen Wurzeln.
> fsolve(eq,x=5..50);
> fsolve(eq,x=-50..-1);
Und hier gibt es keine einzige zusätzliche Wurzel! Nachdem wir erkannt haben, dass mit dem Einfluss des exponentiellen Teils der Gleichung alles klar ist, ziehen wir endgültige Schlussfolgerungen.
Erschöpfende Lösung der Gleichung 
besteht aus vier Wurzeln: -.8251554597, 0, 1.545007279, 4.567036837.
Lassen Sie uns den Befehl verwenden fsolve für eine Näherungslösung der transzendenten Gleichung 
.
Wie im vorherigen Fall finden wir zunächst eine hochwertige grafische Lösung. Dazu müssen Sie noch erraten, wie Sie die Terme auf beiden Seiten der Gleichung verteilen. Aber die grafischen Fähigkeiten von Maple sind so großartig, dass Sie fast immer alle Terme einer Gleichung auf eine Seite bringen können.
Betrachten Sie eine Gleichung, die dieser entspricht: 
. Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen auf der linken Seite der Gleichung mit der Ox-Achse sind die erforderlichen Wurzeln.
> eq:=x^2/20-10*x-15*cos(x+15)=0;
> plot(lhs(eq),x=-10..10);
Das Diagramm zeigt den Suchbereich für Wurzeln: Intervall. Das Team ist an der Reihe fsolve :
> fsolve(eq,x=1..2);
Die Wurzel wurde gefunden. Aber offensichtlich ist er nicht der Einzige. Erweitern Sie Ihren Suchbereich und verwenden Sie den Befehl erneut fsolve um die zweite Wurzel zu finden.
Übung 4.2
Finden Sie alle reellen Wurzeln der Gleichung 
, beginnend mit einer grafischen Lösung.
Zeichnen wir die linke Seite der Gleichung:
> eq:=x^5-4*x^3+3*x^2+7*x-1=0;
> plot(lhs(eq),x=-5..5,y=-5..5);
Als Ergebnis finden wir die Wurzeln der Gleichung in erster Näherung: -2; -1,5 ; 0 . Jetzt verwenden wir den Befehl fsolve ohne Angabe des Suchbereichs ( Lassen Sie uns die Fähigkeiten von Maple bewerten):
> fsolve(eq,x);
Wir freuen uns, dass Maple alle drei Wurzeln ausgibt (wir dürfen nicht vergessen, dass wir eine rationale Gleichung gelöst haben.)
Übung 4.3
Finden Sie alle Wurzeln der Gleichung 
. Verwenden Sie eine grafische Lösung. Überprüfen Sie jede Wurzel durch direkte Substitution.
Bringen wir die Gleichung in die Standardform (für diesen Abschnitt):
> eq:=x^2-2-ln(x+5)=0;
Zeichnen wir nun die linke Seite der Gleichung auf:
> plot(lhs(eq),x=-10..10);
Anscheinend gibt es zwei Wurzeln. Einer ist ungefähr -2 und der andere scheint 2 zu sein.
Lassen Sie uns den Befehl verwenden fsolve, Einschränkung des Suchbereichs:
> x:=fsolve(eq,x=-5..0);
> x:=fsolve(eq,x=1..3);
Lassen Sie uns die Wurzeln durch direkte Substitution überprüfen:
> evalf(subs(x=x,eq));
> evalf(subs(x=x,eq));
Beachten Sie, dass in beiden Fällen keine echte Gleichheit besteht. Unter Berücksichtigung von Rundungsfehlern ist eine angemessene Abweichung durchaus akzeptabel.
Stellen Sie sicher, dass keine anderen Wurzeln vorhanden sind. Rechtfertige deine Antwort.
Übung 4.4
Funktionsgraphen 
Und 
schneiden sich zweimal auf dem Segment [-5;5].
A). Erstellen Sie Diagramme beider Funktionen in einem Koordinatensystem und ermitteln Sie mit der Maus die Koordinaten der Schnittpunkte.
B). Schreiben Sie eine Gleichung, deren Wurzeln die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen sind.
C). Verwenden Sie den Befehl fsolve um diese Gleichung zu lösen.
D). Verwenden Sie die Ergebnisse aus Teil c), um die Ordinaten der Schnittpunkte der Diagramme abzuschätzen.
e). Haben Sie nicht den Eindruck, dass sich die Geraden im dritten Punkt mit den Koordinaten (1;9) schneiden können? Verwenden fsolve und die Grafikfähigkeiten von Maple beweisen das Gegenteil.
> y1:=10-x^2;
> y2:=4*sin(2*x)+5;
Lassen Sie uns nun die Funktionen grafisch darstellen:
> plot(,x=-5..5);
Ungefähre Koordinaten der Schnittpunkte: (-1,8, 6,6) und (2,75, 2) .
b) Erstellen wir eine Gleichung:
> eq:= y1=y2;
c) Mannschaft fsolve hilft Ihnen, die entsprechenden Wurzeln zu finden:
> x1:=fsolve(y1=y2,x=-4..0);
> x2:=fsolve(y1=y2,x=0..4);
d) Verwenden Sie den Befehl Subs um die entsprechenden Ordinaten der Schnittpunkte zu ermitteln:
> y:=subs(x=x1,y1);
> y:=subs(x=x2,y1);
Gemeinsame Diagrammpunkte: (-1.800,6.763) und (2.773,2.311) .
e) Untersuchen Sie grafisch die Umgebung des Punktes x = 1:
> plot(,x=.5..1.5);
Team fsolve Diesmal wird es uns ermöglichen, das Fehlen von Wurzeln in der Nähe des Punktes x = 1 zu beweisen:
> fsolve(y1=y2,x=.5..1.5);
04. 04 Gleichungen in allgemeiner Form lösen
* Literale Gleichungen lösen*
In vielen Fällen findet Maple eine Lösung für eine Gleichung in allgemeiner (symbolischer) Form. Wir sprechen von einer Gleichung (kein System!), die mehrere Variablen enthält. Die Lösung besteht darin, eine der Variablen durch die anderen auszudrücken.
Lassen Sie es notwendig sein, die Gleichung zu lösen 
relativ zur Variablen g. Aus Gewohnheit verwenden wir den Befehl lösen. Und sie wird unseren Erwartungen gerecht:
> lösen(4-v=2*T-k*g,g);
Und so kann die Lösung in der üblichen Form geschrieben werden:
> g=solve(4-v=2*T-k*g,g);
Übung 4.4
Lösen Sie die letzte Gleichung nach anderen Variablen: T,k Und v.
> T=solve(4-v=2*T-k*g,T);
> k=solve(4-v=2*T-k*g,k);
> v=solve(4-v=2*T-k*g,v);
Übung 4.5
Löse die Gleichung 
relativ zu y. Geben Sie der Wurzelfolge den Namen S. Wie hängen die Wurzeln S und S zusammen?
> S:=solve(x^2+y^2=25,y);
Die Wurzeln unterscheiden sich nur im Vorzeichen.