дорівнює сумі творів елементів якогось рядка чи стовпця з їхньої алгебраїчні доповнення, тобто. , де i0 – фіксовано.
Вираз (*) називають розкладанням визначника D за елементами рядка із номером i 0 .

Призначення сервісу. Даний сервіс призначений для знаходження визначника матриці в онлайн режимі з оформленням всього рішення у форматі Word . Додатково створюється шаблон рішення в Excel.

Інструкція. Виберіть розмір матриці, натисніть Далі. Обчислити визначник можна буде двома способами: за визначеннямі розкладанням по рядку чи стовпцю. Якщо потрібно визначити визначник створенням нулів в одному з рядків або стовпців, можна використовувати цей калькулятор .

Алгоритм знаходження визначника

1. Для матриць порядку n=2 визначник обчислюється за формулою: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Для матриць порядку n=3 визначник обчислюється через доповнення алгебри або методом Саррюса.
3. Матриця, що має розмірність більше трьох, розкладається на додатки алгебри, для яких обчислюються свої визначники (мінори). Наприклад, визначник матриці 4 порядкузнаходиться через розкладання рядками або стовпцями (див. приклад).

Для обчислення визначника, що містить матриці функції, застосовуються стандартні методи. Наприклад, обчислити визначник матриці 3 порядку:

Використовуємо прийом розкладання по першому рядку.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Методи обчислень визначників

Знаходження визначника через додатки алгебриє найпоширенішим методом. Його спрощеним варіантом є обчислення визначника правилом Саррюса. Однак при великій розмірності матриці використовують такі методи:

1. обчислення визначника шляхом зниження порядку
2. обчислення визначника методом Гауса (через приведення матриці до трикутного вигляду).

Excel для розрахунку визначника використовується функція =МОПРЕД(діапазон осередків) .

Прикладне використання визначників

Обчислюють визначники, зазвичай, для конкретної системи, заданої як квадратної матриці. Розглянемо деякі види завдань на знаходження визначника матриці. Іноді потрібно знайти невідомий параметр a , у якому визначник дорівнював би нулю. Для цього необхідно скласти рівняння визначника (наприклад, по правилу трикутників) і, прирівнявши його до 0, обчислити параметр a.
розкладання по стовпцям (по першому стовпцю):
Мінор для (1,1): Викреслюємо з матриці перший рядок та перший стовпець.
Знайдемо визначник цього мінору. ∆ 1,1 = (2(-2)-2 1) = -6 .

Визначимо мінор для (2,1): для цього викреслюємо з матриці другий рядок та перший стовпець.

Знайдемо визначник цього мінору. ∆ 2,1 = (0(-2)-2(-2)) = 4 . Мінор для (3,1): Викреслюємо з матриці 3-й рядок і 1-й стовпець.
Знайдемо визначник цього мінору. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Головний визначник дорівнює: ∆ = (1(-6)-3 4+1 4) = -14

Знайдемо визначник, використавши розкладання по рядках (по першому рядку):
Мінор для (1,1): Викреслюємо з матриці перший рядок та перший стовпець.

Знайдемо визначник цього мінору. ∆ 1,1 = (2(-2)-2 1) = -6 . Мінор для (1,2): Викреслюємо з матриці 1-й рядок і 2-й стовпець. Обчислимо визначник цього мінора. ∆ 1,2 = (3(-2)-1 1) = -7 . І щоб знайти мінор для (1,3) викреслюємо з матриці перший рядок та третій стовпець. Знайдемо визначник цього мінору. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Знаходимо головний визначник: ∆ = (1(-6)-0(-7)+(-24)) = -14

Поняття визначника є одним із основних у курсі лінійної алгебри. Це поняття властиве ТІЛЬКИ КВАДРАТНИМ МАТРИЦЯМ, цьому поняттю і присвячена ця стаття. Тут ми говоритимемо про визначників матриць, елементами яких є дійсні (чи комплексні) числа. І тут визначник є дійсне (чи комплексне) число. Весь подальший виклад буде відповіддю на питання як обчислювати визначник, і якими властивостями він має.

Спочатку дамо визначення визначника квадратної матриці порядку n на n як суму творів перестановок елементів матриці. З цього визначення запишемо формули для обчислення визначників матриць першого, другого, третього порядків і докладно розберемо рішення кількох прикладів.

Далі перейдемо до властивостей визначника, які формулюватимемо у вигляді теорем без доказу. Тут буде отримано метод обчислення визначника через його розкладання елементів будь-якого рядка або стовпця. Цей метод дозволяє звести обчислення визначника матриці порядку n n до обчислення визначників матриць порядку 3 на 3 або меншого. Обов'язково покажемо рішення кількох прикладів.

На закінчення зупинимося на обчисленні визначника методом Гауса. Цей метод хороший при знаходженні значень визначників матриць порядку вище 3 на 3 оскільки вимагає менших обчислювальних зусиль. Також розберемо розв'язання прикладів.

Навігація на сторінці.

Визначення визначника матриці, обчислення визначника матриці за визначенням.

Нагадаємо кілька допоміжних понять.

Визначення.

Перестановкою порядку nназивається впорядкований набір чисел, що складається із n елементів.

Для множини, що містить n елементів, існує n! (n факторіал) перестановок порядку n. Перестановки відрізняються один від одного лише порядком прямування елементів.

Наприклад, розглянемо безліч, що з трьох чисел: . Запишемо всі перестановки (загалом їх шість, тому що ):

Визначення.

Інверсією у перестановці порядку nназивається всяка пара індексів p і q, для якої p-ий елемент перестановки більше q-ого.

У попередньому прикладі інверсією перестановки 4 , 9 , 7 є пара p=2 , q=3 , так як другий елемент перестановки дорівнює 9 і він більший за третій, рівного 7 . Інверсією перестановки 9, 7, 4 будуть три пари: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) і p=2, q=3 (7>4).

Нас більше цікавитиме кількість інверсій у перестановці, а не сама інверсія.

Нехай квадратна матриця порядку n на n над полем дійсних (або комплексних) чисел. Нехай – безліч всіх перестановок порядку n множини. Безліч містить n! перестановок. Позначимо k-у перестановку множини як , а кількість інверсій в k-ої перестановки як .

Визначення.

Визначник матриціА є число, що дорівнює .

Опишемо цю формулу словами. Визначником квадратної матриці порядку n n є сума, що містить n! доданків. Кожен доданок є твір n елементів матриці, причому в кожному творі міститься елемент з кожного рядка і з кожного стовпця матриці А . Перед k-им доданком з'являється коефіцієнт (-1) , якщо елементи матриці А у творі впорядковані за номером рядка, а кількість інверсій в k-й перестановці безлічі стовпців непарно.

Визначник матриці зазвичай позначається як , також зустрічається позначення det(A) . Можна почути, що визначник називають детермінантом.

Отже, .

Звідси видно, що визначником матриці першого порядку елемент цієї матриці .

Обчислення визначника квадратної матриці другого порядку - формула та приклад.

порядку 2 на 2 у загальному вигляді.

І тут n=2 , отже, n!=2!=2 .

.

Маємо

Таким чином, ми отримали формулу для обчислення визначника матриці порядку 2 на 2 вона має вигляд .

приклад.

порядку.

Рішення.

У нашому прикладі. Застосовуємо отриману формулу :

Обчислення визначника квадратної матриці третього порядку - формула та приклад.

Знайдемо визначник квадратної матриці порядку 3 на 3 у загальному вигляді.

І тут n=3 , отже, n!=3!=6 .

Оформимо у вигляді таблиці необхідні дані для застосування формули .

Маємо

Таким чином, ми отримали формулу для обчислення визначника матриці порядку 3 на 3 вона має вигляд

Аналогічно можна отримати формули для обчислення визначників матриць порядку 4 на 4 5 на 5 і більш високих. Вони матимуть дуже громіздкий вигляд.

приклад.

Обчисліть визначник квадратної матриці порядку 3 на 3 .

Рішення.

У нашому прикладі

Застосовуємо отриману формулу для обчислення визначника матриці третього порядку:

Формули для обчислення визначників квадратних матриць другого та третього порядків дуже часто застосовуються, тому рекомендуємо їх запам'ятати.

Властивості визначника матриці обчислення визначника матриці з використанням властивостей.

На підставі озвученого визначення справедливі такі властивості визначника матриці.

Визначник матриці А дорівнює визначнику транспонованої матриці АТ, тобто, .

приклад.

Переконайтеся, що визначник матриці дорівнює визначнику транспонованої матриці.

Рішення.

Скористаємося формулою для обчислення визначника матриці порядку 3 на 3:



Транспонуємо матрицю А:


Обчислимо визначник транспонованої матриці:



Дійсно, визначник транспонованої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці.

Якщо у квадратній матриці всі елементи хоча б одного з рядків (одного зі стовпців) нульові, визначник такої матриці дорівнює нулю.

приклад.

Перевірте, чи визначник матриці порядку 3 на 3 дорівнює нулю.

Рішення.




Дійсно, визначник матриці з нульовим стовпцем дорівнює нулю.

Якщо переставити місцями два будь-які рядки (стовпці) у квадратній матриці, то визначник отриманої матриці буде протилежний вихідному (тобто зміниться знак).

приклад.

Дано дві квадратні матриці порядку 3 на 3 і . Покажіть, що визначники протилежні.

Рішення.

Матриця Отримана з матриці А заміною третього рядка на перший, а першої на третій. Відповідно до розглянутої властивості визначники таких матриць повинні відрізнятися знаком. Перевіримо це, вирахувавши визначники за відомою формулою.



Справді, .

Якщо в квадратній матриці хоча б два рядки (два стовпці) однакові, її визначник дорівнює нулю.

приклад.

Покажіть, що визначник матриці дорівнює нулю.

Рішення.

У даній матриці другий і третій стовпці однакові, так що згідно з розглянутою властивістю її визначник повинен дорівнювати нулю. Перевіримо це.



Насправді визначник матриці із двома однаковими стовпцями є нуль.

Якщо в квадратній матриці всі елементи будь-якого рядка (стовпця) помножити на деяке число k , то визначник отриманої матиці дорівнюватиме визначнику вихідної матриці, помноженому на k . Наприклад,



приклад.

Доведіть, що визначник матриці дорівнює потрійному визначнику матриці .

Рішення.

Елементи першого стовпця матриці отримані з відповідних елементів першого стовпця матриці А множенням на 3 . Тоді в силу розглянутої властивості має виконуватись рівність. Перевіримо це, обчисливши визначники матриць А і .



Отже, що й потрібно довести.

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ.

Не плутайте та не змішуйте поняття матриці та визначника! Розглянута властивість визначника матриці та операція множення матриці на число це далеко не одне й те саме.
, але .

Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) квадратної матриці є сумою s доданків (s – натуральне число, більше одиниці), то визначник такої матриці дорівнюватиме сумі s визначників матриць, отриманих з вихідної, якщо як елемент рядка (стовпця) залишити по одному доданку. Наприклад,


приклад.

Доведіть, що визначник матриці дорівнює сумі визначників матриць .

Рішення.

У нашому прикладі , тому в силу розглянутої властивості визначника матриці має виконуватись рівність . Перевіримо його, обчисливши відповідні визначники матриць порядку 2 на 2 за формулою .


З отриманих результатів видно, що . На цьому доказ завершено.

Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) матриці додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільне число k, то визначник отриманої матриці дорівнюватиме визначнику вихідної матриці.

приклад.

Переконайтеся, що якщо до елементів третього стовпця матриці додати відповідні елементи другого стовпця цієї матриці, помножені на (-2) і додати відповідні елементи першого стовпця матриці, помножені на довільне дійсне число , то визначник отриманої матриці буде дорівнює визначнику вихідної матриці.

Рішення.

Якщо відштовхуватися від розглянутої властивості визначника, то визначник матриці, отриманої після всіх зазначених у задачі перетворень, дорівнюватиме визначнику матриці А .

Спочатку обчислимо визначник вихідної матриці А:



Тепер виконаємо необхідні перетворення матриці А.

Додамо до елементів третього стовпця матриці відповідні елементи другого стовпця матриці, попередньо помноживши їх (-2) . Після цього матриця набуде вигляду:


До елементів третього стовпця отриманої матриці додамо відповідні елементи першого стовпця, помножені на :


Обчислимо визначник отриманої матриці і переконаємося, що він дорівнює визначнику матриці А , тобто -24 :



Визначник квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) на них алгебраїчні доповнення.



Тут - доповнення алгебри елемента матриці , .

Ця властивість дозволяє обчислювати визначники матриць порядку вище 3 на 3 шляхом зведення їх до суми декількох визначників матриць порядку на одиницю нижче. Іншими словами – це рекурентна формула обчислення визначника квадратної матриці будь-якого порядку. Рекомендуємо її запам'ятати в силу досить частого застосування.

Розберемо кілька прикладів.

приклад.

порядку 4 на 4 , розклавши його

• за елементами 3-го рядка,
• по елементам другого стовпця.

Рішення.

Використовуємо формулу розкладання визначника за елементами 3-го рядка



Маємо



Так завдання знаходження визначника матриці порядку 4 на 4 звелося до обчислення трьох визначників матриць порядку 3 на 3:



Підставивши отримані значення, приходимо до результату:


Використовуємо формулу розкладання визначника за елементами 2-го стовпця


та діємо аналогічно.

Не докладно розписуватимемо обчислення визначників матриць третього порядку.



приклад.

Обчисліть визначник матриці порядку 4 на 4 .

Рішення.

Можна розкласти визначник матриці по елементах будь-якого стовпця або будь-якого рядка, проте вигідніше вибирати рядок або стовпець, що містить найбільшу кількість нульових елементів, оскільки це допоможе уникнути зайвих обчислень. Розкладемо визначник за елементами першого рядка:



Обчислимо отримані визначники матриць порядку 3 на 3 за відомою формулою:



Підставляємо результати та отримуємо шукане значення


приклад.

Обчисліть визначник матриці порядку 5 на 5 .

Рішення.

У четвертому рядку матриці найбільша кількість нульових елементів серед усіх рядків і стовпців, тому доцільно розкласти визначник матриці саме по елементах четвертого рядка, тому що в цьому випадку потрібно менше обчислень.



Отримані визначники матриць порядку 4 на 4 знайшли в попередніх прикладах, так що скористаємося готовими результатами:



приклад.

Обчисліть визначник матриці порядку 7 на 7 .

Рішення.

Не слід відразу кидатися розкладати визначник по елементах якогось рядка або стовпця. Якщо уважно подивитися на матрицю, можна помітити, що елементи шостого рядка матриці можна отримати множенням відповідних елементів другого рядка на двійку. Тобто, якщо до елементів шостого рядка додати відповідні елементи другого рядка, помножені на (-2) , то визначник не зміниться в силу сьомої властивості, а шостий рядок отриманої матриці буде складатися з нулів. Визначник такої матриці дорівнює нулю за другою властивістю.

Відповідь:

Слід зазначити, що розглянута властивість дає змогу обчислити визначники матриць будь-яких порядків, проте доводиться виконувати масу обчислювальних операцій. Найчастіше визначник матриць порядку вище третього вигідніше шукати шляхом Гаусса, який ми розглянемо нижче.

Сума творів елементів будь-якого рядка (стовпця) квадратної матриці на додатки алгебри відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.


приклад.

Покажіть, що сума творів елементів третього стовпця матриці на додатки алгебри відповідних елементів першого стовпця дорівнює нулю.

Рішення.




Визначник добутку квадратних матриць одного порядку дорівнює добутку їх визначників, тобто, , де m - натуральне число більше одиниці, Ak, k = 1,2, ..., m - квадратні матриці одного порядку.

приклад.

Переконайтеся, що визначник твору двох матриць і дорівнює добутку їх визначників.

Рішення.

Знайдемо спочатку добуток визначників матриць А і В:


Зараз виконаємо множення матриць і обчислимо визначник матриці, що вийшла:



Таким чином, , Що і потрібно показати.

Обчислення визначника матриці методом Гаусса.

Опишемо суть цього методу. Матриця А за допомогою елементарних перетворень наводиться до такого виду, щоб у першому стовпчику всі елементи, крім стали нульовими (це зробити завжди можливо, якщо визначник матриці відмінний від нуля). Цю процедуру опишемо трохи пізніше, а зараз пояснимо, навіщо це робиться. Нульові елементи виходять для того, щоб отримати найпростіше розкладання визначника елементами першого стовпця. Після такого перетворення матриці А , враховуючи восьму властивість і отримаємо

де - мінор (n-1)-ого ​​порядку, що виходить з матриці А викреслюванням елементів першого рядка і першого стовпця.

З матрицею, якій відповідає мінор, проходить така сама процедура отримання нульових елементів у першому стовпці. І так далі до остаточного обчислення визначника.

Тепер залишилося відповісти на запитання: «Як одержувати нульові елементи у першому стовпці»?

Опишемо алгоритм дій.

Якщо , то до елементів першого рядка матриці додаються відповідні елементи k-го рядка, в якому . (Якщо всі без винятку елементи першого стовпця матриці А нульові, то її визначник дорівнює нулю за другою властивістю і не потрібен метод Гауса). Після такого перетворення "новий" елемент буде відмінний від нуля. Визначник «нової» матриці дорівнюватиме визначнику вихідної матриці в силу сьомої властивості.

Тепер ми маємо матрицю, яка має . До елементів другого рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на , до елементів третього рядка – відповідні елементи першого рядка, помножені на . І так далі. На закінчення до елементів n-го рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на . Так буде отримана перетворена матриця А всі елементи першого стовпця якої, крім , будуть нульовими. Визначник отриманої матриці дорівнюватиме визначнику вихідної матриці в силу сьомої властивості.

Розберемо метод при рішенні прикладу, то буде зрозуміліше.

приклад.

Обчислити визначник матриці 5 на 5 .

Рішення.

Скористаємося методом Гауса. Перетворимо матрицю А так, щоб усі елементи першого стовпця, крім , стали нульовими.

Оскільки спочатку елемент , то додамо до елементів першого рядка матриці відповідні елементи, наприклад другого рядка, так як :

Знак «~» означає еквівалентність.

Тепер додаємо до елементів другого рядка відповідні елементи першого рядка, помножені на , до елементів третього рядка – відповідні елементи першого рядка, помножені на , і аналогічно діємо аж до шостого рядка:

Отримуємо

З матрицею проводимо ту ж процедуру отримання нульових елементів у першому стовпці:

Отже,

Зараз виконуємо перетворення із матрицею :

Зауваження.

На певному етапі перетворення матриці методом Гаусса може виникнути ситуація, коли всі елементи кількох останніх рядків матриці стануть нульовими. Це говоритиме про рівність визначника нулю.

Підведемо підсумок.

Визначником квадратної матриці, елементи якої є числа є число. Ми розглянули три способи обчислення визначника:

1. через суму творів поєднань елементів матриці;
2. через розкладання визначника за елементами рядка чи стовпця матриці;
3. методом приведення матриці до верхньої трикутної (методом Гауса).

Були отримані формули для обчислення визначників матриць порядку 2 на 2 та 3 на 3 .

Ми розібрали властивості визначника матриці. Деякі їх дозволяють швидко зрозуміти, що визначник дорівнює нулю.

При обчисленні визначників матриць порядку вище 3 на 3 доцільно використовувати метод Гаусса: виконати елементарні перетворення матриці та призвести до верхньої трикутної. Визначник такої матриці дорівнює добутку всіх елементів, що стоять на головній діагоналі.

Постановка задачі

Завдання має на увазі знайомство користувача з основними поняттями чисельних методів, такими як визначник та зворотна матриця, та різними способами їх обчислень. У цьому теоретичному звіті простою та доступною мовою спочатку вводяться основні поняття та визначення, на підставі яких проводиться подальше дослідження. Користувач може не мати спеціальних знань у галузі чисельних методів та лінійної алгебри, але з легкістю зможе скористатися результатами цієї роботи. Для наочності наведено програму обчислення визначника матриці декількома методами, написану мовою програмування C++. Програма використається як лабораторний стенд для створення ілюстрацій до звіту. А також проводиться дослідження методів для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри . Доводиться марність обчислення зворотної матриці, у роботі наводиться найбільш оптимальні способи розв'язання рівнянь не обчислюючи її. Розповідається чому існує така кількість різних методів обчислення визначників та зворотних матриць та розбираються їхні недоліки. Також розглядаються похибки при обчисленні визначника та оцінюється досягнута точність. Крім російських термінів у роботі використовуються та його англійські еквіваленти розуміння, під якими назвами шукати чисельні процедури у бібліотеках і що означають їх параметри.

Основні визначення та найпростіші властивості

Визначник

Введемо визначення визначника квадратної матриці будь-якого порядку. Це визначення буде рекурентним, тобто встановити, що таке визначник матриці порядку , потрібно знати, що таке визначник матриці порядку . Зазначимо також, що визначник існує лише у квадратних матриць.

Визначник квадратної матриці будемо позначати або det.

Визначення 1. Визначникомквадратної матриці другого порядку називається число .

Визначником квадратної матриці порядку , називається число

де - визначник матриці порядку, отриманої з матриці викресленням першого рядка та стовпця з номером.

Для наочності запишемо, як можна обчислити визначник матриці четвертого порядку:

Зауваження.Реальне обчислення визначників для матриць вище за третій порядок на основі визначення використовується у виняткових випадках. Як правило, обчислення ведеться за іншими алгоритмами, які будуть розглянуті пізніше та які вимагають менше обчислювальної роботи.

Зауваження.У визначенні 1 було б точніше сказати, що визначник є функція, визначена на множині квадратних матриць порядку і приймає значення у множині чисел.

Зауваження.У літературі замість терміна "визначник" використовується також термін "детермінант", що має той самий сенс. Від слова "детермінант" і з'явилося позначення det.

Розглянемо деякі властивості визначників, які сформулюємо як тверджень.

Твердження 1.При транспонуванні матриці визначник не змінюється, тобто .

Твердження 2.Визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, тобто .

Твердження 3.Якщо в матриці поміняти місцями два рядки, її визначник змінить знак.

Твердження 4.Якщо матриця має два однакові рядки, її визначник дорівнює нулю.

Надалі нам потрібно складати рядки і множити рядок на число. Ці дії над рядками (стовпцями) ми виконуватимемо так само, як дії над матрицями-рядками (матрицями-стовпцями), тобто поелементно. Результатом буде рядок (стовпець), як правило, що не збігається з рядками вихідної матриці. За наявності операцій складання рядків (стовпців) та множення їх на число ми можемо говорити і про лінійні комбінації рядків (стовпців), тобто суми з числовими коефіцієнтами.

Твердження 5.Якщо рядок матриці помножити на число , її визначник помножиться цього числа.

Твердження 6.Якщо матриця містить нульовий рядок, її визначник дорівнює нулю.

Твердження 7.Якщо один із рядків матриці дорівнює іншому, помноженому на число (рядки пропорційні), то визначник матриці дорівнює нулю.

Твердження 8.Нехай у матриці i-ий рядок має вигляд . Тоді, де матриця виходить з матриці заміною i-го рядка на рядок, а матриця - заміною i-го рядка на рядок.

Твердження 9.Якщо до одного з рядків матриці додати інший, помножений на число, то визначник матриці не зміниться.

Твердження 10.Якщо один із рядків матриці є лінійною комбінацією інших її рядків, то визначник матриці дорівнює нулю.

Визначення 2. Алгебраїчним доповненнямдо елемента матриці називається число, що дорівнює , де - визначник матриці, отриманої з матриці викреслюванням i-го рядка і j-ого стовпця. Алгебраїчне доповнення до елемента матриці позначається.

приклад.Нехай . Тоді

Зауваження.Використовуючи додатки алгебри, визначення 1 визначника можна записати так:

Твердження 11. Розкладання визначника по довільному рядку.

Для визначника матриці справедлива формула

приклад.Обчисліть .

Рішення.Скористаємося розкладанням по третьому рядку, так вигідніше, оскільки у третьому рядку два числа з трьох – нулі. Отримаємо

Твердження 12.Для квадратної матриці порядку при виконано співвідношення .

Твердження 13.Усі властивості визначника, сформульовані для рядків (твердження 1 - 11), справедливі і для стовпців, зокрема, справедливе розкладання визначника по j-му стовпцю і рівність при .

Твердження 14.Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів її головної діагоналі.

Слідство.Визначник одиничної матриці дорівнює одиниці, .

Висновок.Наведені вище властивості дозволяють знаходити визначники матриць досить високих порядків при порівняно невеликому обсязі обчислень. Алгоритм обчислень наступний.

Алгоритм створення нулів у стовпці.Нехай потрібно обчислити визначник порядку. Якщо , то поміняємо місцями перший рядок і будь-який інший, в якому перший елемент не нуль. В результаті визначник буде дорівнювати визначнику нової матриці з протилежним знаком. Якщо перший елемент кожного рядка дорівнює нулю, то матриця має нульовий стовпець і за твердженнями 1, 13 її визначник дорівнює нулю.

Отже, вважаємо, що вже у вихідній матриці . Перший рядок залишаємо без змін. Додамо до другого рядка перший рядок, помножений на число . Тоді перший елемент другого рядка дорівнюватиме .

Інші елементи нового другого рядка позначимо , . Визначник нової матриці за твердженням 9 дорівнює. Перший рядок помножимо на число і додамо до третього. Перший елемент нового третього рядка дорівнюватиме

Інші елементи нового третього рядка позначимо , . Визначник нової матриці за твердженням 9 дорівнює.

Процес одержання нулів замість перших елементів рядків продовжимо далі. Нарешті перший рядок помножимо на число і додамо до останнього рядка. В результаті виходить матриця, позначимо її, яка має вигляд

причому. Для обчислення визначника матриці використовуємо розкладання по першому стовпцю

Оскільки , то

У правій частині стоїть визначник матриці порядку. До нього застосовний той самий алгоритм, і обчислення визначника матриці зведеться до обчислення визначника матриці порядку. Процес повторюємо до того часу, поки дійдемо до визначника другого порядку, який обчислюється за визначенням.

Якщо матриця не має якихось специфічних властивостей, то помітно зменшити обсяг обчислень порівняно із запропонованим алгоритмом не вдається. Ще одна хороша сторона цього алгоритму - по ньому легко скласти програму для комп'ютера обчислення визначників матриць великих порядків. У стандартних програмах обчислення визначників використовується цей алгоритм з не важливими змінами, пов'язаними з мінімізацією впливу помилок округлення та похибок вхідних даних при обчисленнях комп'ютера.

приклад.Обчисліть визначник матриці .

Рішення.Перший рядок залишаємо без зміни. До другого рядка додаємо перший, помножений на число:

Визначник не змінюється. До третього рядка додаємо перший, помножений на число:

Визначник не змінюється. До четвертого рядка додаємо перший, помножений на число:

Визначник не змінюється. В результаті отримуємо

За тим же алгоритмом вважаємо визначник матриці порядку 3, що стоїть праворуч. Перший рядок залишаємо без змін, до другого рядка додаємо перший, помножений на число :

До третього рядка додаємо перший, помножений на число :

В результаті отримуємо

Відповідь. .

Зауваження.Хоча при обчислення використовувалися дроби, результат виявився цілим числом. Справді, використовуючи властивості визначників і те, що вихідні числа - цілі, операцій із дробами можна було б уникнути. Але в інженерній практиці числа дуже рідко бувають цілими. Тому, як правило, елементи визначника будуть десятковими дробами та застосовуватимуть якісь хитрощі для спрощення обчислень недоцільно.

зворотна матриця

Визначення 3.Матриця називається зворотною матрицеюдля квадратної матриці, якщо.

З визначення випливає, що зворотна матриця буде квадратною матрицею того ж порядку, що й матриця (інакше один із творів або було б не визначено).

Зворотна матриця для матриці позначається. Отже, якщо існує, то .

З визначення зворотної матриці слід, що матриця є зворотною для матриці , тобто . Про матриці і можна говорити, що вони обернені один до одного або взаємно обернені.

Якщо визначник матриці дорівнює нулю, зворотна до неї не існує.

Оскільки знаходження зворотної матриці важливо, дорівнює визначник мариці нулю чи ні, то введемо такі визначення.

Визначення 4.Квадратну матрицю назвемо виродженоюабо особливою матрицею, якщо і невиродженоюабо неособливою матрицеюякщо .

Твердження.Якщо зворотна матриця існує, вона єдина.

Твердження.Якщо квадратна матриця є невироджена, то зворотна для неї існує і (1) де - Додатки алгебри до елементів .

Теорема.Зворотна матриця для квадратної матриці існує і тоді, коли матриця - невироджена, зворотна матриця єдина, і справедлива формула (1).

Зауваження.Слід звернути особливу увагу на місця, що займаються додатками алгебри у формулі зворотної матриці: перший індекс показує номер стовпця, а другий - номер рядки, які потрібно записати обчислене алгебраїчне доповнення.

приклад. .

Рішення.Знаходимо визначник

Оскільки , то матриця - невироджена, і проти неї існує. Знаходимо додатки алгебри:

Складаємо зворотну матрицю, розміщуючи знайдені додатки алгебри так, щоб перший індекс відповідав стовпцю, а другий - рядку: (2)

Отримана матриця (2) і є відповіддю до завдання.

Зауваження.У попередньому прикладі було б точніше відповідь записати так:
(3)

Однак запис (2) більш компактний і з ним зручніше проводити подальші обчислення, якщо такі будуть потрібні. Тому запис відповіді у вигляді (2) краще, якщо елементи матриць - цілі числа. І навпаки, якщо елементи матриці – десяткові дроби, то зворотну матрицю краще записати без множника попереду.

Зауваження.При знаходженні зворотної матриці доводиться виконувати досить багато обчислень і незвичайно правило розміщення додатків алгебри в підсумковій матриці. Тому велика ймовірність помилки. Щоб уникнути помилок, слід робити перевірку: обчислити твір вихідної матриці на підсумкову в тому чи іншому порядку. Якщо в результаті вийде одинична матриця, зворотна матриця знайдена правильно. Інакше потрібно шукати помилку.

приклад.Знайдіть зворотну матрицю для матриці .

Рішення. - Існує.

Відповідь: .

Висновок.Знаходження зворотної матриці за формулою (1) вимагає надто багато обчислень. Для матриць четвертого порядку та вище це неприйнятно. Реальний алгоритм знаходження зворотної матриці буде наведено пізніше.

Обчислення визначника та зворотної матриці за допомогою методу Гауса

Метод Гауса можна використовувати для знаходження визначника та зворотної матриці.

Саме, визначник матриці дорівнює det.

Зворотна матриця є рішенням систем лінійних рівнянь методом виключення Гауса:

Де є j-тий стовпець одиничної матриці, - Шуканий вектор.

Отримані вектори рішень - утворюють, очевидно, стовпці матриці , оскільки .

Формули для визначника

1. Якщо матриця невироджена, то і (твір провідних елементів).

У ході вирішення завдань з вищої математики часто виникає необхідність обчислити визначник матриці. Визначник матриці фігурує у лінійній алгебрі, аналітичній геометрії, математичному аналізі та інших розділах вищої математики. Таким чином, без навички рішення визначників просто не обійтись. Також для самоперевірки Ви можете безкоштовно скачати калькулятор визначників, він сам по собі не навчить вирішувати визначники, але дуже зручний, оскільки завжди вигідно знати правильну відповідь!

Я не даватиму строгого математичного визначення визначника, і, взагалі, намагатимуся мінімізувати математичну термінологію, більшості читачів легше від цього не стане. Завдання цієї статті – навчити Вас вирішувати визначники другого, третього та четвертого порядку. Весь матеріал викладений у простій та доступній формі, і навіть повний (порожній) чайник у вищій математиці після уважного вивчення матеріалу зможе правильно вирішувати визначники.

Насправді найчастіше можна зустріти визначник другого порядку, наприклад: , і визначник третього порядку, наприклад: .

Визначник четвертого порядку теж не антикваріат, і до нього ми підійдемо наприкінці уроку.

Сподіваюся, всім зрозуміло таке:Числа всередині визначника живуть самі по собі, і ні про яке віднімання не йдеться! Міняти місцями числа не можна!

(Як зокрема, можна здійснювати парні перестановки рядків або стовпців визначника зі зміною його знака, але часто в цьому немає жодної необхідності – див. наступний урок Властивості визначника та зниження його порядку)

Таким чином, якщо дано якийсь визначник, то нічого всередині нього не чіпаємо!

Позначення: Якщо дана матриця , її визначник позначають . Також дуже часто визначник позначають латинською літерою або грецькою.

1)Що означає вирішити (знайти, розкрити) визначник?Обчислити визначник – це означає ЗНАЙТИ ЧИСЛО. Знаки питання у вищерозглянутих прикладах – це прості числа.

2) Тепер залишилося розібратися в тому, Як знайти це число?Для цього потрібно застосувати певні правила, формули та алгоритми, про що зараз і йтиметься.

Почнемо з визначника "два" на "два":

Це потрібно запам'ятати, принаймні на час вивчення вищої математики у ВНЗ.

Відразу розглянемо приклад:

Готово. Найголовніше, не заплутатися у знаках.

Визначник матриці "три на три"можна розкрити 8 способами, 2 з них прості та 6 - нормальні.

Почнемо з двох простих способів

Аналогічно визначнику "два на два", визначник "три на три" можна розкрити за допомогою формули:

Формула довга і припуститися помилки по неуважності простіше простого. Як уникнути прикрих промахів? Для цього придумано другий спосіб обчислення визначника, який фактично збігається з першим. Він називається способом Саррюса або способом «паралельних смужок».
Суть полягає в тому, що праворуч від визначника приписують перший і другий стовпець і акуратно олівцем проводять лінії:

Багато людей, які перебувають на «червоних» діагоналях, входять у формулу зі знаком «плюс».
Багато мешканців, що знаходяться на «синіх» діагоналях, входять у формулу зі знаком мінус:

Приклад:

Порівняйте два рішення. Неважко помітити, що це ОДНЕ І ТЕ Ж, просто в другому випадку трохи переставлені множники формули, і, найголовніше, ймовірність припуститися помилки значно менше.

Тепер розглянемо шість нормальних способів обчислення визначника

Чому нормальні? Тому що у переважній більшості випадків визначники потрібно розкривати саме так.

Як Ви помітили, у визначника «три на три» три стовпці та три рядки.
Вирішити визначник можна, розкривши його за будь-яким рядком або за будь-яким стовпцем.
Таким чином, виходить 6 способів, при цьому у всіх випадках використовується однотипнийалгоритм.

Визначник матриці дорівнює сумі творів елементів рядка (стовпця) на відповідні додатки алгебри. Страшно? Все набагато простіше будемо використовувати ненауковий, але зрозумілий підхід, доступний навіть для людини, далекої від математики.

У наступному прикладі розкриватимемо визначник по першому рядку.
Для цього нам знадобиться матриця символів: . Легко помітити, що знаки розташовані у шаховому порядку.

Увага! Матриця знаків – це мій власний винахід. Це не наукове, його не потрібно використовувати в чистовому оформленні завдань, воно лише допомагає Вам зрозуміти алгоритм обчислення визначника.

Спершу я наведу повне рішення. Знову беремо наш піддослідний визначник і проводимо обчислення:

І головне питання: ЯК з визначника «три на три» отримати ось це:
?

Отже, визначник "три на три" зводиться до рішення трьох маленьких визначників, або як їх ще називають, МІНОРІВ. Термін рекомендую запам'ятати, тим більше він запам'ятовується: мінор - маленький.

Якщо вибраний спосіб розкладання визначника по першому рядкуочевидно, що все обертається навколо неї:

Елементи зазвичай розглядають зліва направо (або зверху вниз, якщо було б обрано стовпець)

Поїхали, спочатку знаємося з першим елементом рядка, тобто з одиницею:

1) З матриці знаків виписуємо відповідний знак:

2) Потім записуємо сам елемент:

3) ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому стоїть перший елемент:

Чотири числа, що залишилися, і утворюють визначник «два на два», який називається МІНОРОМцього елемента (одиниці).

Переходимо до другого елемента рядка.

4) З матриці знаків виписуємо відповідний знак:

5) Потім записуємо другий елемент:

6) ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому стоїть другий елемент:

Та й третій елемент першого рядка. Жодної оригінальності:

7) З матриці знаків виписуємо відповідний знак:

8) Записуємо третій елемент:

9) ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому стоїть третій елемент:

Чотири числа, що залишилися, записуємо в маленький визначник.

Інші дії не становлять труднощів, оскільки визначники «два на два» ми вважати вже вміємо. НЕ ПЛУТАЄМОСЯ У ЗНАКАХ!

Аналогічно визначник можна розкласти за будь-яким рядком або за будь-яким стовпцем.Звісно, ​​у всіх шести випадках відповідь виходить однаковою.

Визначник "чотири на чотири" можна обчислити, використовуючи цей же алгоритм.
При цьому матриця знаків у нас збільшиться:

У наступному прикладі я розкрив визначник по четвертому стовпцю:

А як це вийшло, спробуйте розібратися самостійно. Додаткова інформація буде пізніше. Якщо хтось захоче вирішувати визначник до кінця, правильна відповідь: 18. Для тренування краще розкрити визначник по якомусь іншому стовпцю або іншому рядку.

Потренуватися, розкрити, провести розрахунки – це дуже добре та корисно. Але скільки часу ви витратите на великий визначник? Чи не можна якось швидше і надійніше? Пропоную ознайомитись з ефективними методами обчислення визначників на другому уроці – Властивості визначника. Зниження порядку визначника.

БУДЬТЕ УВАЖНІ!

У випадку правило обчислення визначників $n$-го порядку є досить громіздким. Для визначників другого та третього порядку існують раціональні способи їх обчислень.

Обчислення визначників другого порядку

Щоб обчислити визначник матриці другого порядку, треба від добутку елементів головної діагоналі відібрати добуток елементів побічної діагоналі:

$$\left| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

приклад

Завдання.Обчислити визначник другого порядку $ \ left | \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

Рішення.$ \ left | \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 = 69 $

Відповідь.$ \ left | \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Методи обчислення визначників третього порядку

Для обчислення визначників третього порядку є такі правила.

Правило трикутника

Схематично це правило можна зобразити так:

Добуток елементів у першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком "плюс"; аналогічно, другого визначника - відповідні твори беруться зі знаком " мінус " , тобто.

$$\left| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \(a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array) \ right | $ методом трикутників.

Рішення.$ \ left | \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Відповідь.

Правило Саррюса

Праворуч від визначника дописують перші два стовпці та твори елементів на головній діагоналі та на діагоналях, їй паралельних, беруть зі знаком "плюс"; а твори елементів побічної діагоналі та діагоналей, їй паралельних, зі знаком "мінус":

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ за допомогою правила Саррюса.

Рішення.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Відповідь.$ \ left | \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array) \ right | = 54 $

Розкладання визначника по рядку або стовпцю

Визначник дорівнює сумі творів елементів рядка визначника з їхньої алгебраїчні доповнення. Зазвичай вибирають той рядок / стовпець, в якому є нулі. Рядок або стовпець, по якому ведеться розкладання, буде позначати стрілкою.

приклад

Завдання.Розклавши по першому рядку, обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$

Рішення.$ \ left | \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(array)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(array)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(array)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(array)\right|=-3+12-9=0$

Відповідь.

Цей метод дозволяє обчислення визначника звести до обчислення визначника нижчого порядку.

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$

Рішення.Виконаємо наступні перетворення над рядками визначника: з другого рядка віднімемо чотири перші, а з третього перший рядок, помножений на сім, в результаті, згідно з властивостями визначника, отримаємо визначник, рівний даному.

$$\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$

$$=\left| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$

Визначник дорівнює нулю, тому що другий і третій рядки є пропорційними.

Відповідь.$ \ left | \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=0$

Для обчислення визначників четвертого порядку і вище застосовується або розкладання рядком/стовпцем, або приведення до трикутного вигляду, або за допомогою теореми Лапласа.

Розкладання визначника за елементами рядка чи стовпця

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ \ left | \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , розклавши його за елементами якогось рядка або якогось стовпця.

Рішення.Попередньо виконаємо елементарні перетворення над рядками визначника, зробивши якнайбільше нулів або в рядку, або в стовпці. Для цього спочатку від першого рядка віднімемо дев'ять третіх, від другого - п'ять третіх і від четвертого - три треті рядки, одержуємо:

$$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=\left| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ left| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$

Отриманий визначник розкладемо за елементами першого стовпця:

$$\left| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|+0$$

Отриманий визначник третього порядку також розкладемо елементами рядка і стовпця, попередньо отримавши нулі, наприклад, у першому стовпці. Для цього від першого рядка віднімаємо два другі рядки, а від третього - другий:

$$\left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( array)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Відповідь.$ \ left | \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=0$

Зауваження

Останній та передостанній визначники можна було б і не обчислювати, а відразу зробити висновок про те, що вони дорівнюють нулю, оскільки містять пропорційні рядки.

Приведення визначника до трикутного вигляду

За допомогою елементарних перетворень над рядками або стовпцями визначник приводиться до трикутного вигляду і тоді його значення, згідно з властивостями визначника, дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.

приклад

Завдання.Обчислити визначник $ Delta = left | \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ приведенням його до трикутного вигляду.

Рішення.Спочатку робимо нулі у першому стовпці під головною діагоналлю. Всі перетворення буде виконувати простіше, якщо елемент $a_(11)$ дорівнюватиме 1. Для цього ми поміняємо місцями перший і другий стовпці визначника, що, згідно з властивостями визначника, призведе до того, що він змінить знак на протилежний:

$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$

$$\Delta=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Далі отримуємо нулі у другому стовпці на місці елементів, що стоять під головною діагоналлю. І знову, якщо діагональний елемент дорівнюватиме $\pm 1$ , то обчислення будуть більш простими. Для цього міняємо місцями другий і третій рядки (і при цьому змінюється на протилежний знак визначника):

$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$