Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти додатки алгебри, транспоновану матрицю AT, союзну матрицю і зворотну матрицю.
Онлайн калькулятор. Зворотній матриці.
Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. Приклад оформлення.
- Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
- Обчислення визначника матриці. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше зворотної матриці не існує.
- Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.
Алгебраїчні доповнення.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тоді зворотну матрицюможна записати як:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Знаходження зворотної матриці
Матриця А-1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці, якщо А * А-1 = де - одинична матриця -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.
див. також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса
Алгоритм знаходження зворотної матриці
- Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
- Обчислення визначника матриці. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше зворотної матриці не існує.
- Знаходження транспонованої матриці AT.
- Визначення додатків алгебри. Замінюють кожен елемент матриці його додатком алгебри.
- Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
- Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.
Наступний алгоритм знаходження зворотної матриці аналогічний попередньому крім деяких кроків: спочатку обчислюються алгебраїчні доповнення, а потім визначається союзна матриця.
- Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
- Обчислення визначника матриці. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше зворотної матриці не існує.
- Визначення додатків алгебри.
- Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці.
- Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент приєднаної матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
- Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.
Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:
Зворотна матриця існує, якщо визначник матриці відмінний від нуля. Знайдемо визначник матриці:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Визначник дорівнює 10 і не дорівнює нулю. Продовжуємо рішення.
Знайдемо транспоновану матрицю:
Алгебраїчні доповнення.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тоді зворотну матрицюможна записати як:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Інший алгоритм знаходження зворотної матриці
Наведемо іншу схему знаходження зворотної матриці.
- Знаходимо визначник цієї квадратної матриці.
- Знаходимо додатки алгебри до всіх елементів матриці.
- Записуємо додатки алгебри елементів рядків в стовпці (транспонування).
- Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці.
Як бачимо, операція транспонування може застосовуватися як на початку над вихідною матрицею, так і в кінці над отриманими алгебраїчними доповненнями.
Особливий випадок: Зворотній по відношенню до одиничної матриці є одинична матриця.
Приклад №2. Знайти матрицю, зворотну матриці 
.
Рішення.
1. Знайдемо 
.
2. Шукаємо додатки алгебри кожного елемента матриці A: 
; 
; 
.
Отримали додатки алгебри елементів першого рядка.
Знайти зворотну матрицю онлайн
Аналогічно для елементів другого та третього рядків отримуємо: 
; 
; 
. 
; 
; 
.
Об'єднуючи 3 та 4 пункти, отримуємо зворотну матрицю 
.
Для перевірки переконаємось, що A-1A = E.
Інструкція Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі у новому діалоговому вікні заповніть матрицю.
Знаходження зворотної матриці
Матриця А-1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці, якщо А * А-1 = де - одинична матриця -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.
Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти додатки алгебри, транспоновану матрицю AT, союзну матрицю і зворотну матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. Приклад оформлення.
Знаходження зворотної матриці онлайн
див. також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса
Алгоритм знаходження зворотної матриці
- Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
- Обчислення визначника матриці. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше зворотної матриці не існує.
- Знаходження транспонованої матриці AT.
- Визначення додатків алгебри. Замінюють кожен елемент матриці його додатком алгебри.
- Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
- Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.
Наступний алгоритм знаходження зворотної матриці аналогічний попередньому крім деяких кроків: спочатку обчислюються алгебраїчні доповнення, а потім визначається союзна матриця.
- Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
- Обчислення визначника матриці. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше зворотної матриці не існує.
- Визначення додатків алгебри.
- Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці.
- Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент приєднаної матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
- Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.
Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:
Зворотна матриця існує, якщо визначник матриці відмінний від нуля. Знайдемо визначник матриці:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Визначник дорівнює 10 і не дорівнює нулю. Продовжуємо рішення.
Знайдемо транспоновану матрицю:
Алгебраїчні доповнення.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тоді зворотну матрицюможна записати як:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Інший алгоритм знаходження зворотної матриці
Наведемо іншу схему знаходження зворотної матриці.
- Знаходимо визначник цієї квадратної матриці.
- Знаходимо додатки алгебри до всіх елементів матриці.
- Записуємо додатки алгебри елементів рядків в стовпці (транспонування).
- Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці.
Як бачимо, операція транспонування може застосовуватися як на початку над вихідною матрицею, так і в кінці над отриманими алгебраїчними доповненнями.
Для перевірки переконаємось, що A-1A = E.
Інструкція Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі у новому діалоговому вікні заповніть матрицю.
Знаходження зворотної матриці є важливою складовою у розділі лінійної алгебри. За допомогою таких матриць, якщо вони існують, можна швидко знайти розв'язок системи лінійних рівнянь.
Матриця називається зворотною до матриці, якщо виконуються такі рівності.
Якщо визначник матриці відрізняється від нуля, то матрицю називають не особливо або невиродженою.
Для того, щоб матриця мала зворотну, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.
Алгоритм знаходження зворотної матриці
Нехай маємо квадратну матрицю
і треба знайти зворотну до неї. Для цього необхідно виконати такі дії:
1. Знайти визначник матриці. Якщо він не дорівнює нулю, то виконуємо такі дії. В іншому випадку дана матриця вироджена і для неї немає зворотної
2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці. Вони рівні мінорам, помноженим на ступінь суми рядка і стовпця, для якого шукаємо.
3. Скласти матрицю з додатків алгебри елементів матриці матриці і протранспонувати її. Ця матриця називається приєднаною або союзною і позначається.
4. Розділити приєднану матрицю на детермінант. Отримана матриця буде зворотною і матиме властивості, які викладені на початку статті.
Знайти матрицю, обернену до матриці (Дубовік В.П., Юрик І.І.
Знаходження зворотної матриці
"Вища математика. Збірник завдань")
1) Знаходимо визначник матриці
Так як детермінант не дорівнює нулю (), зворотна матриця існує. Знаходимо матрицю, складену з додатків алгебри
Матриця доповнень набуде вигляду
Транспонуємо її та отримуємо приєднану
Розділимо її на визначник і отримаємо зворотну
Бачимо, що у разі коли визначник дорівнює одиниці приєднана і зворотна матриці збігаються.
2) Обчислюємо визначник матриці
Знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень
Кінцевий вигляд матриці доповнень
Транспонуємо її та знаходимо союзну матрицю
Знаходимо зворотну матрицю
3) Обчислимо детермінант матриці. Для цього розкладемо його на перший рядок. В результаті отримаємо два відмінні від нуля доданки
Знаходимо матрицю додатків алгебри. Розклад визначника проводимо рядками і стовпцями, в яких більше нульових елементів (позначені чорним кольором).
Кінцевий вигляд матриці доповнень наступний
Транспонуємо її та знаходимо приєднану матрицю
Оскільки визначник матриці дорівнює одиниці, то зворотна матриця збігається з приєднаною. Цей приклад назад.
При обчисленнях зворотної матриці типовими помилки пов'язані з неправильними знаками при обчисленні визначника і матриці доповнень.
Вища математика » Матриці та визначники » Зворотна матриця » Обчислення зворотної матриці за допомогою додатків алгебри.
Алгоритм обчислення зворотної матриці за допомогою додатків алгебри: метод приєднаної (союзної) матриці.
Матриця $A^(-1)$ називається зворотної по відношенню до квадратної матриці $A$, якщо виконано умову $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, де $E $ - Поодинока матриця, порядок якої дорівнює порядку матриці $ A $.
Невироджена матриця - матриця, визначник якої не дорівнює нулю. Відповідно, вироджена матриця - та, у якої дорівнює нулю визначник.
Зворотна матриця $A^(-1)$ існує і тоді, коли матриця $A$ – невироджена. Якщо зворотна матриця $A^(-1)$ існує, вона єдина.
Є кілька способів знаходження зворотної матриці, і ми розглянемо два їх. На цій сторінці буде розглянуто метод приєднаної матриці, який належить стандартним у більшості курсів вищої математики. Другий спосіб знаходження зворотної матриці (метод елементарних перетворень), який передбачає використання методу Гаусса або Гаусса-Жордана, розглянутий у другій частині.
Метод приєднаної (союзної) матриці
Нехай задано матрицю $A_(n\times n)$. Для того щоб знайти зворотну матрицю $A^(-1)$, потрібно здійснити три кроки:
- Знайти визначник матриці $A$ і переконатися, що $Delta Aneq 0$, тобто. що матриця А – невироджена.
- Скласти алгебраїчні доповнення $A_(ij)$ кожного елемента матриці $A$ і записати матрицю $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ зі знайдених додатків алгебри.
- Записати зворотну матрицю з урахуванням формули $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Матрицю $(A^(*))^T$ найчастіше називають приєднаної (взаємної, союзної) до матриці $A$.
Якщо рішення відбувається вручну, перший спосіб хороший лише для матриць порівняно невеликих порядків: другого (приклад №2), третього (приклад №3), четвертого (приклад №4). Щоб знайти зворотну матрицю для матриці вищого ладу, використовуються інші методи. Наприклад, метод Гауса, який розглянуто у другій частині.
Приклад №1
Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \ 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
зворотна матриця
Так як всі елементи четвертого стовпця дорівнюють нулю, то $ Delta A = 0 $ (тобто матриця $ A $ є виродженою). Оскільки $\Delta A=0$, зворотної матриці до матриці $A$ немає.
Приклад №2
Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Використовуємо метод приєднаної матриці. Спочатку знайдемо визначник заданої матриці $A$:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\dot 9=-103. $$
Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри кожного елемента заданої матриці:
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\end(aligned)
Складаємо матрицю з додатків алгебри: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Транспонуємо отриману матрицю: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (отримана матриця часто називається приєднаною чи союзною матрицею до матриці $A$). Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, маємо:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Отже, зворотну матрицю знайдено: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\9/103 & 5/103 \end(array)\right) $. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A^(-1)\cdot A=E$. Щоб поменше працювати з дробами, підставлятимемо матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, а у вигляді $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array )\right)$:
Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Приклад №3
Знайти зворотну матрицю для матриці $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 -4 & 9 & 4 \0 & 3 & 2\end(array) \right)$.
Почнемо з обчислення визначника матриці $A$. Отже, визначник матриці $A$ такий:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36 +56-12 = 26. $$
Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри кожного елемента заданої матриці:
Складаємо матрицю з додатків алгебри і транспонуємо її:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, отримаємо:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Отже, $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A\cdot A^(-1)=E$. Щоб поменше працювати з дробами, будемо підставляти матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, а у вигляді $\frac(1)(26)\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Перевірку пройдено успішно, зворотна матриця $A^(-1)$ знайдена правильно.
Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Приклад №4
Знайти матрицю, зворотну матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \7 & 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Для матриці четвертого порядку знаходження зворотної матриці за допомогою додатків алгебри дещо важко. Проте такі приклади у контрольних роботах зустрічаються.
Щоб знайти зворотну матрицю, спочатку потрібно обчислити визначник матриці $A$. Найкраще в цій ситуації це зробити за допомогою розкладання визначника по рядку (стовпцю). Вибираємо будь-який рядок або стовпець і знаходимо додатки алгебри кожного елемента обраного рядка або стовпця.
Наприклад, для першого рядка отримаємо:
Визначник матриці $A$ обчислимо за такою формулою:
$$ \Delta A=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14)= 6cdot 556+(-5)cdot(-300)+8cdot(-536)+4cdot(-112)=100. $$
Матриця з алгебраїчних доповнень: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 36 \ 473 & -250 & -463 & -96 \ end (array) \ right) $.
Приєднана матриця: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \ 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$
Зворотна матриця:
$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$
Перевірка:
Отже, зворотну матрицю знайдено правильно.
Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right ) $.
У другій частині буде розглянуто інший спосіб знаходження зворотної матриці, який передбачає використання перетворень методу Гаусса або Гаусса-Жордана.
Онлайн-заняття з вищої математики
Знаходження зворотної матриці
Матриця А-1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці, якщо А * А-1 = де - одинична матриця -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.
Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти додатки алгебри, транспоновану матрицю AT, союзну матрицю і зворотну матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. Приклад оформлення.
див. також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса
Алгоритм знаходження зворотної матриці
- Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
- Обчислення визначника матриці. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше зворотної матриці не існує.
- Знаходження транспонованої матриці AT.
- Визначення додатків алгебри. Замінюють кожен елемент матриці його додатком алгебри.
- Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
- Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.
Наступний алгоритм знаходження зворотної матриці аналогічний попередньому крім деяких кроків: спочатку обчислюються алгебраїчні доповнення, а потім визначається союзна матриця.
- Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
- Обчислення визначника матриці. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше зворотної матриці не існує.
- Визначення додатків алгебри.
- Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці.
- Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент приєднаної матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
- Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.
Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:
Зворотна матриця існує, якщо визначник матриці відмінний від нуля. Знайдемо визначник матриці:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Визначник дорівнює 10 і не дорівнює нулю. Продовжуємо рішення.
Знайдемо транспоновану матрицю:
Алгебраїчні доповнення.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тоді зворотну матрицюможна записати як:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Інший алгоритм знаходження зворотної матриці
Наведемо іншу схему знаходження зворотної матриці.
- Знаходимо визначник цієї квадратної матриці.
- Знаходимо додатки алгебри до всіх елементів матриці.
- Записуємо додатки алгебри елементів рядків в стовпці (транспонування).
- Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці.
Як бачимо, операція транспонування може застосовуватися як на початку над вихідною матрицею, так і в кінці над отриманими алгебраїчними доповненнями.
Для перевірки переконаємось, що A-1A = E.
Інструкція Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі у новому діалоговому вікні заповніть матрицю.
Для того, щоб знайти зворотну матрицю онлайн, вам потрібно вказати розмір самої матриці. Для цього клацніть на іконки «+» або «-» доти, доки значення кількості стовпців та рядків вас не влаштує. Далі введіть у поля потрібні елементи. Нижче знаходиться кнопка "Обчислити" - натиснувши її, ви отримаєте на екрані відповідь з докладним рішенням.
У лінійній алгебрі часто доводиться стикатися з процесом обчислення зворотної матриці. Вона існує лише невиражених матриць і квадратних матриць за умови відмінного від нуля детермінанта. В принципі, розрахувати її не є особливою складністю, особливо якщо ви маєте справу з невеликою матрицею. Але якщо потрібні складніші розрахунки або ретельна перевірка свого рішення, краще скористайтеся даним онлайн калькулятором. З його допомогою ви оперативно та з високою точністю вирішите зворотну матрицю.
За допомогою даного онлайн калькулятора ви зможете значно полегшити собі завдання щодо розрахунків. Крім того, він допомагає закріпити матеріал, отриманий теоретично – це своєрідний тренажер для мозку. Не варто розглядати його як заміну обчисленням вручну, він може дати вам набагато більше, полегшивши розуміння самого алгоритму. До того ж, зайва перевіряння себе ніколи не завадить.
Матриця А -1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е де Е - одинична матриця n -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.
Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти додатки алгебри , транспоновану матрицю A T , союзну матрицю і зворотну матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. приклад оформлення.
Інструкція. Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповніть матрицю A.
також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса
Алгоритм знаходження зворотної матриці
- Знаходження транспонованої матриці A T .
- Визначення додатків алгебри. Замінюють кожен елемент матриці його додатком алгебри.
- Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
- Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
- Обчислення визначника матриці A. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше – зворотної матриці не існує.
- Визначення додатків алгебри.
- Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці C .
- Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент приєднаної матриці C ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
- Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.
Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:
| A -1 = |
|
Інший алгоритм знаходження зворотної матриці
Наведемо іншу схему знаходження зворотної матриці.- Знаходимо визначник цієї квадратної матриці A .
- Знаходимо додатки алгебри до всіх елементів матриці A .
- Записуємо додатки алгебри елементів рядків в стовпці (транспонування).
- Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці A.
Особливий випадок: Зворотній, по відношенню до одиничної матриці E є одинична матриця E .
Для будь-якої невиродженої матриці А існує і єдина матриця A -1 така, що
A*A -1 =A -1 *A = E,
де E — одинична матриця тих самих порядків, як і А. Матриця A -1 називається зворотної до матриці A.
Якщо хтось забув, в одиничній матриці, крім діагоналі, заповненої одиницями, всі інші позиції заповнені нулями, приклад одиничної матриці:
Знаходження зворотної матриці методом приєднаної матриці
Зворотна матриця визначається формулою:
де A ij - елементів a ij.
Тобто. для обчислення зворотної матриці потрібно обчислити визначник цієї матриці. Потім знайти додатки алгебри для всіх її елементів і скласти з них нову матрицю. Далі потрібно транспортувати цю матрицю. І кожен елемент нової матриці розділити на визначник вихідної матриці.
Розглянемо кілька прикладів.
Знайти A-1 для матриці
Розв'язання. Знайдемо A -1 методом приєднаної матриці. Маємо det A = 2. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці A. У цьому випадку алгебраїчними доповненнями елементів матриці будуть відповідні елементи самої матриці, взяті зі знаком відповідно до формули
Маємо A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Утворимо приєднану матрицю
Транспортуємо матрицю A*:
Знаходимо зворотну матрицю за формулою:
Отримуємо:
Методом приєднаної матриці знайти A-1, якщо
Розв'язання. Перш за все обчислюємо визначтеся даної матриці, щоб переконатися в існуванні зворотної матриці. Маємо
Тут ми додали до елементів другого рядка елементи третього рядка, помножені попередньо (-1), а потім розкрили визначник по другому рядку. Оскільки визначитеся даної матриці відмінний від нуля, то зворотна до неї матриця існує. Для побудови приєднаної матриці знаходимо додатки алгебри елементів даної матриці. Маємо
Відповідно до формули
транспортуємо матрицю A*:
Тоді за формулою
Знаходження зворотної матриці методом елементарних перетворень
Крім методу знаходження зворотної матриці, що з формули (метод приєднаної матриці), існує метод знаходження зворотної матриці, званий методом елементарних перетворень.
Елементарні перетворення матриці
Елементарними перетвореннями матриці називаються такі перетворення:
1) перестановка рядків (стовпців);
2) множення рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;
3) додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), попередньо помножених на деяке число.
Для знаходження матриці A -1 побудуємо прямокутну матрицю В = (А|Е) порядків (n; 2n), приписуючи до матриці А справа одиничну матрицю Е через роздільну межу:
Розглянемо приклад.
Методом елементарних перетворень знайти A -1 якщо
Рішення. Утворимо матрицю B:
Позначимо рядки матриці B через 1 , 2 , 3 . Зробимо над рядками матриці B наступні перетворення.
www.сайтдозволяє знайти зворотну матрицю онлайн. Сайт здійснює обчислення зворотної матриці онлайн. За кілька секунд сервер видасть точне рішення. Зворотною матрицеюбуде така матриця, множення вихідної матриціна яку дає одиничну матрицю, за умови, що визначник початкової матриціне дорівнює нулю, інакше зворотної матрицідля неї не існує. У задачах, коли обчислюємо зворотну матрицю онлайн, необхідно, щоб визначник матрицібув відмінним від нуля, інакше www.сайтвидасть відповідне повідомлення про неможливість обчислити зворотну матрицю онлайн. Таку матрицюще називають виродженою. Знайти зворотну матрицюв режимі онлайнможна тільки для квадратної матриці. Операція знаходження зворотної матриці онлайнзводиться до обчислення визначника матриціпотім складається проміжна матрицяза відомим правилом, і на завершення операції - множення знайденого раніше визначника на транспоновану проміжну матрицю. Точний результат від визначення зворотної матриці онлайнможна досягти, вивчивши теорію з цього курсу. Ця операція займає особливе місце в теорії матрицьі лінійної алгебри, що дозволяє вирішувати системи лінійних рівнянь, так званим, матричним методом. Завдання щодо знаходження зворотної матриці онлайнзустрічається вже на початку вивчення вищої математики і є майже в кожній математичній дисципліні як базове поняття алгебри, будучи математичним інструментом у прикладних завданнях. www.сайтзнаходить зворотну матрицюзаданої розмірності в режимі онлайнмиттєво. Обчислення зворотної матриці онлайнпри заданій її розмірності – це знаходження матрицітієї ж розмірності у числовому її значенні, а також у символьному, знайденому за правилом обчислення зворотної матриці. Знаходження зворотної матриці онлайншироко поширене в теорії матриць. Результат знаходження зворотної матриці онлайнвикористовується під час вирішення лінійної системи рівнянь матричним методом. Якщо визначник матрицідорівнюватиме нулю, то зворотної матриці, на яку знайдено нульовий визначник, немає. Для того, щоб обчислити зворотну матрицюабо знайти відразу для кількох матрицьвідповідні їм зворотні, необхідно витратити чимало часу та зусиль, тоді як наш сервер за лічені секунди знайде зворотну матрицю онлайн. При цьому відповідь щодо знаходження зворотної матрицібуде правильним і з достатньою точністю, навіть якщо числа при знаходженні зворотної матриці онлайнбудуть ірраціональними. На сайті www.сайтдопускаються символьні записи в елементах матриць, тобто зворотна матриця онлайнможе бути представлена у загальному символьному вигляді при обчисленні зворотної матриці онлайн. Корисно перевірити відповідь, отриману при вирішенні задачі знаходження зворотної матриці онлайн, використовуючи сайт www.сайт. При виконанні операції обчислення зворотної матриці онлайннеобхідно бути уважним і гранично зосередженим під час вирішення цього завдання. У свою чергу, наш сайт допоможе Вам перевірити своє рішення на тему зворотна матриця онлайн. Якщо Ви не маєте часу на довгі перевірки вирішених завдань, то www.сайтбезумовно буде зручним інструментом для перевірки при знаходженні та обчисленні зворотної матриці онлайн.