Igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna pelos seus complementos algébricos, ou seja, , onde i 0 é fixo.
A expressão (*) é chamada de expansão do determinante D em elementos da linha numerada i 0 .

Objetivo do serviço. Este serviço foi desenvolvido para encontrar o determinante de uma matriz online com todo o processo de solução registrado em formato Word. Além disso, um modelo de solução é criado no Excel.

Instruções. Selecione a dimensão da matriz e clique em Avançar. O determinante pode ser calculado de duas maneiras: a-prior E por linha ou coluna. Se precisar encontrar o determinante criando zeros em uma das linhas ou colunas, você pode usar esta calculadora.

Algoritmo para encontrar o determinante

1. Para matrizes de ordem n=2, o determinante é calculado usando a fórmula: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Para matrizes de ordem n=3, o determinante é calculado através de adições algébricas ou Método Sarrus.
3. Uma matriz com dimensão maior que três é decomposta em complementos algébricos, para os quais são calculados seus determinantes (menores). Por exemplo, Determinante da matriz de 4ª ordem encontrado através da expansão em linhas ou colunas (ver exemplo).

Para calcular o determinante contendo funções em uma matriz, são usados ​​métodos padrão. Por exemplo, calcule o determinante de uma matriz de 3ª ordem:

Usamos o método de decomposição ao longo da primeira linha.
Δ = sen(x)× + 1× = 2sen(x)cos(x)-2cos(x) = sen(2x)-2cos(x)

Métodos para calcular determinantes

Encontrando o determinante por meio de adições algébricasé um método comum. Uma versão simplificada é o cálculo do determinante pela regra de Sarrus. Porém, quando a dimensão da matriz é grande, os seguintes métodos são utilizados:

1. calculando o determinante usando o método de redução de ordem
2. cálculo do determinante pelo método gaussiano (reduzindo a matriz à forma triangular).

No Excel, a função =MOPRED(intervalo de células) é usada para calcular o determinante.

Uso aplicado de determinantes

Os determinantes são calculados, via de regra, para um sistema específico especificado na forma de uma matriz quadrada. Vamos considerar alguns tipos de problemas em encontrar o determinante de uma matriz. Às vezes você precisa encontrar um parâmetro desconhecido a para o qual o determinante seria igual a zero. Para fazer isso, é necessário criar uma equação determinante (por exemplo, de acordo com regra do triângulo) e, igualando-o a 0, calcule o parâmetro a.
decomposição em coluna (primeira coluna):
Menor para (1,1): Risque a primeira linha e a primeira coluna da matriz.
Vamos encontrar um determinante para este menor. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.

Vamos determinar o menor para (2,1): para isso, excluímos a segunda linha e a primeira coluna da matriz.

Vamos encontrar um determinante para este menor. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Menor para (3,1): Risque a 3ª linha e a 1ª coluna da matriz.
Vamos encontrar um determinante para este menor. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
O principal determinante é: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Vamos encontrar o determinante usando a expansão linha por linha (pela primeira linha):
Menor para (1,1): Risque a primeira linha e a primeira coluna da matriz.

Vamos encontrar um determinante para este menor. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Menor para (1,2): Risque a 1ª linha e a 2ª coluna da matriz. Vamos calcular o determinante para este menor. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. E para encontrar o menor para (1,3), riscamos a primeira linha e a terceira coluna da matriz. Vamos encontrar um determinante para este menor. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Encontre o determinante principal: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

O conceito de determinante é um dos principais no curso de álgebra linear. Este conceito é inerente SOMENTE às MATRIZES QUADRADAS, e este artigo é dedicado a este conceito. Aqui falaremos sobre determinantes de matrizes cujos elementos são números reais (ou complexos). Neste caso, o determinante é um número real (ou complexo). Todas as apresentações posteriores serão uma resposta às questões de como calcular o determinante e quais propriedades ele possui.

Primeiro, damos a definição do determinante de uma matriz quadrada de ordem n por n como a soma dos produtos das permutações dos elementos da matriz. Com base nesta definição, escreveremos fórmulas para cálculo dos determinantes de matrizes de primeira, segunda e terceira ordens e analisaremos detalhadamente as soluções de vários exemplos.

A seguir, passamos às propriedades do determinante, que formularemos na forma de teoremas sem prova. Aqui obteremos um método para calcular o determinante através de sua expansão nos elementos de uma linha ou coluna. Este método permite reduzir o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n por n ao cálculo dos determinantes de matrizes de ordem 3 por 3 ou menos. Definitivamente mostraremos soluções para vários exemplos.

Concluindo, focaremos no cálculo do determinante usando o método gaussiano. Este método é bom para encontrar os valores dos determinantes de matrizes de ordem superior a 3 por 3, pois requer menos esforço computacional. Também veremos as soluções para os exemplos.

Navegação na página.

Determinação do determinante de uma matriz, cálculo do determinante de uma matriz por definição.

Recordemos alguns conceitos auxiliares.

Definição.

Permutação de ordem n Um conjunto ordenado de números que consiste em n elementos é chamado.

Para um conjunto contendo n elementos, existem n! (n fatorial) permutações de ordem n. As permutações diferem entre si apenas na ordem em que os elementos aparecem.

Por exemplo, considere um conjunto composto por três números: . Vamos anotar todas as permutações (são seis no total, já que ):

Definição.

Por inversão em uma permutação de ordem n Qualquer par de índices p e q para o qual o p-ésimo elemento da permutação é maior que o q-ésimo é chamado.

No exemplo anterior, o inverso da permutação 4, 9, 7 é o par p=2, q=3, pois o segundo elemento da permutação é igual a 9 e é maior que o terceiro, igual a 7. A inversão da permutação 9, 7, 4 serão três pares: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) ep=2, q=3 (7>4).

Estaremos mais interessados ​​no número de inversões na permutação do que na inversão em si.

Seja uma matriz quadrada de ordem n por n sobre o corpo dos números reais (ou complexos). Seja o conjunto de todas as permutações de ordem n do conjunto. O conjunto contém n! permutações. Vamos denotar a k-ésima permutação do conjunto como, e o número de inversões na k-ésima permutação como.

Definição.

Determinante de matriz E existe um número igual a .

Vamos descrever esta fórmula em palavras. O determinante de uma matriz quadrada de ordem n por n é a soma contendo n! termos. Cada termo é um produto de n elementos da matriz, e cada produto contém um elemento de cada linha e cada coluna da matriz A. Um coeficiente (-1) aparece antes do k-ésimo termo se os elementos da matriz A no produto forem ordenados pelo número da linha e o número de inversões na k-ésima permutação do conjunto de números das colunas for ímpar.

O determinante da matriz A é geralmente denotado como, e det(A) também é usado. Você também pode ouvir o determinante ser chamado de determinante.

Então, .

Disto fica claro que o determinante de uma matriz de primeira ordem é o elemento desta matriz.

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada de segunda ordem - fórmula e exemplo.

cerca de 2 por 2 em geral.

Neste caso n=2, portanto n!=2!=2.

.

Nós temos

Assim, obtivemos uma fórmula para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2 por 2, ela tem a forma .

Exemplo.

ordem .

Solução.

No nosso exemplo. Aplicamos a fórmula resultante :

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem - fórmula e exemplo.

Vamos encontrar o determinante de uma matriz quadrada cerca de 3 por 3 em geral.

Neste caso n=3, portanto n!=3!=6.

Vamos organizar em forma de tabela os dados necessários para aplicar a fórmula .

Nós temos

Assim, obtivemos uma fórmula para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 por 3, ela tem a forma

Da mesma forma, você pode obter fórmulas para calcular os determinantes de matrizes de ordem 4 por 4, 5 por 5 e superiores. Eles parecerão muito volumosos.

Exemplo.

Calcule o determinante de uma matriz quadrada cerca de 3 por 3.

Solução.

Em nosso exemplo

Aplicamos a fórmula resultante para calcular o determinante de uma matriz de terceira ordem:

Fórmulas para cálculo de determinantes de matrizes quadradas de segunda e terceira ordens são muito utilizadas, por isso recomendamos que você as lembre.

Propriedades do determinante de uma matriz, calculando o determinante de uma matriz através de propriedades.

Com base na definição declarada, o seguinte é verdadeiro: propriedades do determinante da matriz.

O determinante da matriz A é igual ao determinante da matriz transposta AT, ou seja, .

Exemplo.

Certifique-se de que o determinante da matriz é igual ao determinante da matriz transposta.

Solução.

Vamos usar a fórmula para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 por 3:



Transpor a matriz A:


Vamos calcular o determinante da matriz transposta:



Na verdade, o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

Se em uma matriz quadrada todos os elementos de pelo menos uma das linhas (uma das colunas) são zero, o determinante dessa matriz é igual a zero.

Exemplo.

Verifique se o determinante da matriz a ordem 3 por 3 é zero.

Solução.




Na verdade, o determinante de uma matriz com coluna zero é igual a zero.

Se você reorganizar quaisquer duas linhas (colunas) em uma matriz quadrada, o determinante da matriz resultante será oposto ao original (ou seja, o sinal mudará).

Exemplo.

Dadas duas matrizes quadradas de ordem 3 por 3 E . Mostre que seus determinantes são opostos.

Solução.

Matriz B é obtido da matriz A substituindo a terceira linha pela primeira e a primeira pela terceira. De acordo com a propriedade considerada, os determinantes de tais matrizes devem diferir em sinais. Vamos verificar isso calculando os determinantes usando a fórmula bem conhecida.



Realmente, .

Se em uma matriz quadrada pelo menos duas linhas (duas colunas) são iguais, então seu determinante é igual a zero.

Exemplo.

Mostre que o determinante da matriz igual a zero.

Solução.

Nesta matriz, a segunda e a terceira colunas são iguais, portanto de acordo com a propriedade considerada, seu determinante deve ser igual a zero. Vamos dar uma olhada.



Na verdade, o determinante de uma matriz com duas colunas idênticas é zero.

Se em uma matriz quadrada todos os elementos de qualquer linha (coluna) forem multiplicados por um certo número k, então o determinante da matriz resultante será igual ao determinante da matriz original multiplicado por k. Por exemplo,



Exemplo.

Prove que o determinante da matriz igual ao triplo do determinante da matriz .

Solução.

Os elementos da primeira coluna da matriz B são obtidos a partir dos elementos correspondentes da primeira coluna da matriz A multiplicando por 3. Então, devido à propriedade considerada, a igualdade deve ser mantida. Vamos verificar isso calculando os determinantes das matrizes A e B.



Portanto, era isso que precisava ser comprovado.

OBSERVAÇÃO.

Não confunda nem misture os conceitos de matriz e determinante! A propriedade considerada do determinante de uma matriz e a operação de multiplicar uma matriz por um número estão longe de ser a mesma coisa.
, Mas .

Se todos os elementos de qualquer linha (coluna) de uma matriz quadrada representam a soma de s termos (s é um número natural maior que um), então o determinante de tal matriz será igual à soma de s determinantes das matrizes obtidas do original, se os elementos da linha (coluna) forem: deixe um termo de cada vez. Por exemplo,


Exemplo.

Prove que o determinante de uma matriz é igual à soma dos determinantes das matrizes .

Solução.

Em nosso exemplo , portanto, devido à propriedade considerada do determinante da matriz, a igualdade deve ser satisfeita . Vamos verificar calculando os determinantes correspondentes de matrizes de ordem 2 por 2 usando a fórmula .


Dos resultados obtidos fica claro que . Isso completa a prova.

Se os elementos correspondentes de outra linha (coluna) forem adicionados aos elementos de uma determinada linha (coluna) de uma matriz, multiplicados por um número arbitrário k, então o determinante da matriz resultante será igual ao determinante da matriz original .

Exemplo.

Certifique-se de que se para os elementos da terceira coluna da matriz adicione os elementos correspondentes da segunda coluna desta matriz, multiplicados por (-2), e adicione os elementos correspondentes da primeira coluna da matriz, multiplicados por um número real arbitrário, então o determinante da matriz resultante será igual a o determinante da matriz original.

Solução.

Se partirmos da propriedade considerada do determinante, então o determinante da matriz obtida após todas as transformações especificadas no problema será igual ao determinante da matriz A.

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz original A:



Agora vamos realizar as transformações necessárias da matriz A.

Adicionemos aos elementos da terceira coluna da matriz os elementos correspondentes da segunda coluna da matriz, previamente multiplicados por (-2). Depois disso, a matriz assumirá a forma:


Aos elementos da terceira coluna da matriz resultante somamos os elementos correspondentes da primeira coluna, multiplicados por:


Vamos calcular o determinante da matriz resultante e ter certeza de que é igual ao determinante da matriz A, ou seja, -24:



O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (coluna) por seus adições algébricas.



Aqui está o complemento algébrico do elemento da matriz,.

Esta propriedade permite calcular os determinantes de matrizes de ordem superior a 3 por 3, reduzindo-os à soma de vários determinantes de matrizes de ordem um inferior. Em outras palavras, esta é uma fórmula recorrente para calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Recomendamos que você se lembre dele devido à sua aplicabilidade bastante frequente.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo.

cerca de 4 por 4, expandindo-o

• por elementos da 3ª linha,
• por elementos da 2ª coluna.

Solução.

Usamos a fórmula para decompor o determinante nos elementos da 3ª linha



Nós temos



Assim, o problema de encontrar o determinante de uma matriz de ordem 4 por 4 foi reduzido ao cálculo de três determinantes de matrizes de ordem 3 por 3:



Substituindo os valores obtidos, chegamos ao resultado:


Usamos a fórmula para decompor o determinante nos elementos da 2ª coluna


e agimos da mesma maneira.

Não descreveremos detalhadamente o cálculo dos determinantes das matrizes de terceira ordem.



Exemplo.

Calcular determinante da matriz cerca de 4 por 4.

Solução.

Você pode expandir o determinante de uma matriz nos elementos de qualquer coluna ou linha, mas é mais lucrativo escolher a linha ou coluna que contém o maior número de elementos zero, pois isso ajudará a evitar cálculos desnecessários. Vamos expandir o determinante nos elementos da primeira linha:



Vamos calcular os determinantes resultantes de matrizes de ordem 3 por 3 usando a fórmula que conhecemos:



Substitua os resultados e obtenha o valor desejado


Exemplo.

Calcular determinante da matriz cerca de 5 por 5.

Solução.

A quarta linha da matriz possui o maior número de elementos zero entre todas as linhas e colunas, por isso é aconselhável expandir o determinante da matriz justamente de acordo com os elementos da quarta linha, pois neste caso precisaremos de menos cálculos.



Os determinantes resultantes de matrizes de ordem 4 por 4 foram encontrados em exemplos anteriores, então vamos usar os resultados prontos:



Exemplo.

Calcular determinante da matriz cerca de 7 por 7.

Solução.

Você não deve se apressar imediatamente em classificar o determinante nos elementos de qualquer linha ou coluna. Se você olhar atentamente para a matriz, notará que os elementos da sexta linha da matriz podem ser obtidos multiplicando os elementos correspondentes da segunda linha por dois. Ou seja, se os elementos correspondentes da segunda linha forem somados aos elementos da sexta linha, multiplicados por (-2), então o determinante não mudará devido à sétima propriedade, e a sexta linha da matriz resultante consistirá de zeros. O determinante de tal matriz é igual a zero pela segunda propriedade.

Responder:

Deve-se notar que a propriedade considerada permite calcular os determinantes de matrizes de qualquer ordem, mas é necessário realizar muitas operações computacionais. Na maioria dos casos, é mais vantajoso encontrar o determinante de matrizes de ordem superior à terceira utilizando o método gaussiano, que consideraremos a seguir.

A soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (coluna) de uma matriz quadrada pelos complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra linha (coluna) é igual a zero.


Exemplo.

Mostre que a soma dos produtos dos elementos da terceira coluna da matriz nos complementos algébricos dos elementos correspondentes da primeira coluna é igual a zero.

Solução.




O determinante do produto de matrizes quadradas da mesma ordem é igual ao produto de seus determinantes, ou seja, , onde m é um número natural maior que um, A k, k=1,2,...,m são matrizes quadradas da mesma ordem.

Exemplo.

Verifique que o determinante do produto de duas matrizes e é igual ao produto de seus determinantes.

Solução.

Vamos primeiro encontrar o produto dos determinantes das matrizes A e B:


Agora vamos realizar a multiplicação de matrizes e calcular o determinante da matriz resultante:



Por isso, , que é o que precisava ser mostrado.

Cálculo do determinante de uma matriz pelo método gaussiano.

Vamos descrever a essência deste método. Usando transformações elementares, a matriz A é reduzida a tal forma que na primeira coluna todos os elementos, exceto aqueles, tornam-se zero (isso sempre pode ser feito se o determinante da matriz A for diferente de zero). Descreveremos esse procedimento um pouco mais tarde, mas agora explicaremos por que isso é feito. Os elementos zero são obtidos para obter a expansão mais simples do determinante sobre os elementos da primeira coluna. Após tal transformação da matriz A, levando em consideração a oitava propriedade e, obtemos

Onde - ordem menor (n-1), obtido da matriz A excluindo os elementos de sua primeira linha e primeira coluna.

Com a matriz à qual corresponde menor, o mesmo procedimento é realizado para obter zero elementos na primeira coluna. E assim sucessivamente até o cálculo final do determinante.

Agora resta responder à pergunta: “Como obter zero elementos na primeira coluna”?

Vamos descrever o algoritmo de ações.

Se, então os elementos correspondentes da k-ésima linha são adicionados aos elementos da primeira linha da matriz, em que. (Se todos os elementos da primeira coluna da matriz A, sem exceção, forem zero, então seu determinante é igual a zero pela segunda propriedade e nenhum método gaussiano é necessário). Após tal transformação, o “novo” elemento será diferente de zero. O determinante da “nova” matriz será igual ao determinante da matriz original devido à sétima propriedade.

Agora temos uma matriz com . Quando aos elementos da segunda linha adicionamos os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por, aos elementos da terceira linha - os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por. E assim por diante. Finalmente, aos elementos da enésima linha adicionamos os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por. Isso resultará em uma matriz A transformada, cujos elementos da primeira coluna, exceto, serão zero. O determinante da matriz resultante será igual ao determinante da matriz original devido à sétima propriedade.

Vejamos o método ao resolver um exemplo, ficará mais claro.

Exemplo.

Calcule o determinante de uma matriz de ordem 5 por 5 .

Solução.

Vamos usar o método gaussiano. Vamos transformar a matriz A para que todos os elementos de sua primeira coluna, exceto , se tornem zero.

Como o elemento é inicialmente , somamos aos elementos da primeira linha da matriz os elementos correspondentes, por exemplo, da segunda linha, pois:

O sinal “~” indica equivalência.

Agora adicionamos aos elementos da segunda linha os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por , aos elementos da terceira linha – os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por e proceda de forma semelhante até a sexta linha:

Nós temos

Com matriz Realizamos o mesmo procedimento para obter zero elementos na primeira coluna:

Por isso,

Agora realizamos transformações com a matriz :

Comente.

Em algum estágio da transformação da matriz usando o método gaussiano, pode surgir uma situação em que todos os elementos das últimas linhas da matriz se tornem zero. Isso indicará que o determinante é igual a zero.

Resumir.

O determinante de uma matriz quadrada cujos elementos são números é um número. Vimos três maneiras de calcular o determinante:

1. através da soma dos produtos das combinações dos elementos da matriz;
2. através da decomposição do determinante nos elementos de uma linha ou coluna da matriz;
3. reduzindo a matriz a uma triangular superior (método Gaussiano).

Foram obtidas fórmulas para cálculo dos determinantes de matrizes de ordem 2 por 2 e 3 por 3.

Examinamos as propriedades do determinante de uma matriz. Alguns deles permitem entender rapidamente que o determinante é zero.

Ao calcular os determinantes de matrizes de ordem superior a 3 por 3, é aconselhável utilizar o método gaussiano: realizar transformações elementares da matriz e reduzi-la a uma triangular superior. O determinante dessa matriz é igual ao produto de todos os elementos da diagonal principal.

Formulação do problema

A tarefa exige que o usuário se familiarize com os conceitos básicos dos métodos numéricos, como o determinante e a matriz inversa, e as diversas formas de calculá-los. Este relatório teórico introduz primeiro os conceitos e definições básicos em linguagem simples e acessível, com base nos quais são realizadas pesquisas adicionais. O usuário pode não ter conhecimentos especiais na área de métodos numéricos e álgebra linear, mas pode facilmente utilizar os resultados deste trabalho. Para maior clareza, é fornecido um programa para calcular o determinante de uma matriz usando vários métodos, escrito na linguagem de programação C++. O programa é utilizado como suporte de laboratório para a criação de ilustrações para o relatório. Também está sendo realizado um estudo de métodos de resolução de sistemas de equações algébricas lineares. A inutilidade de calcular a matriz inversa está comprovada, então o trabalho fornece formas mais ótimas de resolver equações sem calculá-las. Explica por que existem tantos métodos diferentes para calcular determinantes e matrizes inversas e discute suas deficiências. Erros no cálculo do determinante também são considerados e a precisão alcançada é avaliada. Além dos termos russos, a obra também utiliza seus equivalentes em inglês para entender sob quais nomes procurar procedimentos numéricos em bibliotecas e o que significam seus parâmetros.

Definições básicas e propriedades mais simples

Determinante

Vamos apresentar a definição do determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Esta definição será recorrente, ou seja, para estabelecer qual é o determinante da matriz de ordem, você já precisa saber qual é o determinante da matriz de ordem. Observe também que o determinante existe apenas para matrizes quadradas.

Denotaremos o determinante de uma matriz quadrada por ou det.

Definição 1. Determinante matriz quadrada número de segunda ordem é chamado .

Determinante matriz quadrada de ordem, é chamada de número

onde é o determinante da matriz de ordem obtida da matriz excluindo a primeira linha e coluna com número.

Para maior clareza, vamos escrever como você pode calcular o determinante de uma matriz de quarta ordem:

Comente. O cálculo propriamente dito dos determinantes para matrizes acima de terceira ordem com base na definição é utilizado em casos excepcionais. Normalmente, o cálculo é realizado utilizando outros algoritmos, que serão discutidos posteriormente e que requerem menos trabalho computacional.

Comente. Na Definição 1, seria mais correto dizer que o determinante é uma função definida no conjunto de matrizes quadradas de ordem e assumindo valores no conjunto dos números.

Comente. Na literatura, ao invés do termo “determinante”, também é utilizado o termo “determinante”, que tem o mesmo significado. Da palavra “determinante” surgiu a designação det.

Consideremos algumas propriedades dos determinantes, que formularemos na forma de afirmações.

Declaração 1. Ao transpor uma matriz, o determinante não muda, ou seja, .

Declaração 2. O determinante do produto das matrizes quadradas é igual ao produto dos determinantes dos fatores, ou seja.

Declaração 3. Se duas linhas de uma matriz forem trocadas, seu determinante mudará de sinal.

Declaração 4. Se uma matriz possui duas linhas idênticas, então seu determinante é zero.

No futuro, precisaremos adicionar strings e multiplicar uma string por um número. Realizaremos essas ações em linhas (colunas) da mesma forma que ações em matrizes linha (matrizes coluna), ou seja, elemento por elemento. O resultado será uma linha (coluna) que, via de regra, não coincide com as linhas da matriz original. Se houver operações de somar linhas (colunas) e multiplicá-las por um número, também podemos falar de combinações lineares de linhas (colunas), ou seja, somas com coeficientes numéricos.

Declaração 5. Se uma linha de uma matriz for multiplicada por um número, seu determinante será multiplicado por esse número.

Declaração 6. Se uma matriz contém uma linha zero, então seu determinante é zero.

Declaração 7. Se uma das linhas da matriz for igual a outra, multiplicada por um número (as linhas são proporcionais), então o determinante da matriz é igual a zero.

Declaração 8. Deixe a i-ésima linha da matriz ter a forma. Então , onde a matriz é obtida a partir da matriz substituindo a i-ésima linha pela linha , e a matriz é obtida substituindo a i-ésima linha pela linha .

Declaração 9. Se você adicionar outra linha a uma das linhas da matriz, multiplicada por um número, o determinante da matriz não mudará.

Declaração 10. Se uma das linhas de uma matriz é uma combinação linear de suas outras linhas, então o determinante da matriz é igual a zero.

Definição 2. Complemento algébrico para um elemento da matriz é um número igual a , onde é o determinante da matriz obtido a partir da matriz excluindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O complemento algébrico de um elemento da matriz é denotado por.

Exemplo. Deixar . Então

Comente. Usando adições algébricas, a definição de 1 determinante pode ser escrita da seguinte forma:

Declaração 11. Expansão do determinante em uma string arbitrária.

A fórmula para o determinante da matriz é

Exemplo. Calcular .

Solução. Vamos usar a expansão ao longo da terceira linha, isso é mais lucrativo, pois na terceira linha dois dos três números são zeros. Nós temos

Declaração 12. Para uma matriz quadrada de ordem em, a relação é válida: .

Declaração 13. Todas as propriedades do determinante formuladas para linhas (afirmações 1 - 11) também são válidas para colunas, em particular, a decomposição do determinante na j-ésima coluna é válida e igualdade no .

Declaração 14. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal.

Consequência. O determinante da matriz identidade é igual a um, .

Conclusão. As propriedades listadas acima permitem encontrar determinantes de matrizes de ordens suficientemente elevadas com uma quantidade relativamente pequena de cálculos. O algoritmo de cálculo é o seguinte.

Algoritmo para criação de zeros em uma coluna. Suponha que precisemos calcular o determinante da ordem. Se , troque a primeira linha e qualquer outra linha em que o primeiro elemento não seja zero. Como resultado, o determinante , será igual ao determinante da nova matriz com sinal oposto. Se o primeiro elemento de cada linha for igual a zero, então a matriz tem coluna zero e, conforme as afirmações 1, 13, seu determinante é igual a zero.

Então, acreditamos que já está na matriz original. Deixamos a primeira linha inalterada. Adicione à segunda linha a primeira linha multiplicada pelo número. Então o primeiro elemento da segunda linha será igual a .

Denotamos os elementos restantes da nova segunda linha por,. O determinante da nova matriz de acordo com a afirmação 9 é igual a . Multiplique a primeira linha por um número e adicione-a à terceira. O primeiro elemento da nova terceira linha será igual a

Denotamos os elementos restantes da nova terceira linha por,. O determinante da nova matriz de acordo com a afirmação 9 é igual a .

Continuaremos o processo de obtenção de zeros em vez dos primeiros elementos das linhas. Por fim, multiplique a primeira linha por um número e adicione-o à última linha. O resultado é uma matriz, vamos denota-la, que tem a forma

e . Para calcular o determinante da matriz, usamos a expansão na primeira coluna

Desde então

No lado direito está o determinante da matriz de ordem. Aplicamos o mesmo algoritmo a ele, e o cálculo do determinante da matriz se reduzirá ao cálculo do determinante da matriz de ordem. Repetimos o processo até chegarmos ao determinante de segunda ordem, que é calculado por definição.

Se a matriz não possuir propriedades específicas, não será possível reduzir significativamente a quantidade de cálculos em comparação com o algoritmo proposto. Outro bom aspecto deste algoritmo é que é fácil utilizá-lo para criar um programa de computador para cálculo de determinantes de matrizes de grandes ordens. Programas padrão para cálculo de determinantes usam este algoritmo com pequenas alterações relacionadas à minimização da influência de erros de arredondamento e erros de dados de entrada em cálculos de computador.

Exemplo. Calcular determinante da matriz .

Solução. Deixamos a primeira linha inalterada. À segunda linha adicionamos a primeira, multiplicada pelo número:

O determinante não muda. À terceira linha adicionamos a primeira, multiplicada pelo número:

O determinante não muda. À quarta linha adicionamos a primeira, multiplicada pelo número:

O determinante não muda. Como resultado obtemos

Utilizando o mesmo algoritmo, calculamos o determinante da matriz de ordem 3, localizada à direita. Deixamos a primeira linha inalterada, adicionamos a primeira linha multiplicada pelo número à segunda linha :

À terceira linha adicionamos a primeira, multiplicada pelo número :

Como resultado obtemos

Responder. .

Comente. Embora tenham sido utilizadas frações nos cálculos, o resultado acabou sendo um número inteiro. Na verdade, usando as propriedades dos determinantes e o fato de os números originais serem inteiros, as operações com frações poderiam ser evitadas. Mas na prática da engenharia, os números raramente são inteiros. Portanto, via de regra, os elementos do determinante serão frações decimais e não é apropriado usar truques para simplificar os cálculos.

matriz inversa

Definição 3. A matriz é chamada matriz inversa para uma matriz quadrada, se .

Da definição segue-se que a matriz inversa será uma matriz quadrada da mesma ordem da matriz (caso contrário, um dos produtos não seria definido).

O inverso de uma matriz é denotado por. Assim, se existe, então.

Da definição de matriz inversa segue-se que a matriz é a inversa da matriz, ou seja, . Podemos dizer sobre matrizes que elas são inversas entre si ou mutuamente inversas.

Se o determinante de uma matriz for zero, então sua inversa não existe.

Como para encontrar a matriz inversa é importante se o determinante da matriz é igual a zero ou não, introduzimos as seguintes definições.

Definição 4. Vamos chamar a matriz quadrada degenerar ou matriz especial, se não degenerado ou matriz não singular, Se .

Declaração. Se a matriz inversa existir, então ela é única.

Declaração. Se uma matriz quadrada for não singular, então sua inversa existe e (1) onde estão os complementos algébricos dos elementos.

Teorema. Uma matriz inversa para uma matriz quadrada existe se e somente se a matriz for não singular, a matriz inversa for única e a fórmula (1) for válida.

Comente. Atenção especial deve ser dada aos lugares ocupados pelas adições algébricas na fórmula da matriz inversa: o primeiro índice mostra o número coluna, e o segundo é o número linhas, no qual você precisa escrever a adição algébrica calculada.

Exemplo. .

Solução. Encontrando o determinante

Desde então, a matriz é não degenerada e sua inversa existe. Encontrando complementos algébricos:

Compomos a matriz inversa, colocando os complementos algébricos encontrados de forma que o primeiro índice corresponda à coluna e o segundo à linha: (2)

A matriz resultante (2) serve como resposta ao problema.

Comente. No exemplo anterior, seria mais preciso escrever a resposta assim:
(3)

Contudo, a notação (2) é mais compacta e é mais conveniente realizar cálculos adicionais com ela, se necessário. Portanto, escrever a resposta na forma (2) é preferível se os elementos da matriz forem inteiros. E vice-versa, se os elementos da matriz forem frações decimais, então é melhor escrever a matriz inversa sem fator na frente.

Comente. Ao encontrar a matriz inversa, você precisa realizar muitos cálculos e a regra para organizar adições algébricas na matriz final é incomum. Portanto, há uma grande probabilidade de erro. Para evitar erros, você deve verificar: calcule o produto da matriz original e da matriz final em uma ordem ou outra. Se o resultado for uma matriz identidade, então a matriz inversa foi encontrada corretamente. Caso contrário, você precisará procurar um erro.

Exemplo. Encontre o inverso de uma matriz .

Solução. - existe.

Responder: .

Conclusão. Encontrar a matriz inversa usando a fórmula (1) requer muitos cálculos. Para matrizes de quarta ordem e superiores, isto é inaceitável. O algoritmo real para encontrar a matriz inversa será fornecido mais tarde.

Cálculo do determinante e da matriz inversa usando o método gaussiano

O método gaussiano pode ser usado para encontrar o determinante e a matriz inversa.

Ou seja, o determinante da matriz é igual a det.

A matriz inversa é encontrada resolvendo sistemas de equações lineares usando o método de eliminação gaussiana:

Onde está a j-ésima coluna da matriz identidade, é o vetor desejado.

Os vetores de solução resultantes obviamente formam colunas da matriz, uma vez que.

Fórmulas para o determinante

1. Se a matriz não for singular, então e (produto dos elementos líderes).

Ao resolver problemas de matemática superior, muitas vezes surge a necessidade calcular o determinante de uma matriz. O determinante de uma matriz aparece na álgebra linear, na geometria analítica, na análise matemática e em outros ramos da matemática superior. Assim, é simplesmente impossível prescindir da habilidade de resolver determinantes. Além disso, para o autoteste, você pode baixar gratuitamente uma calculadora de determinantes; ela não vai te ensinar como resolver determinantes por si só, mas é muito conveniente, pois é sempre benéfico saber a resposta correta com antecedência!

Não darei uma definição matemática estrita do determinante e, em geral, tentarei minimizar a terminologia matemática; isso não facilitará as coisas para a maioria dos leitores. O objetivo deste artigo é ensinar como resolver determinantes de segunda, terceira e quarta ordem. Todo o material é apresentado de forma simples e acessível, e mesmo um bule cheio (vazio) em matemática superior, após estudar cuidadosamente o material, será capaz de resolver corretamente os determinantes.

Na prática, na maioria das vezes você pode encontrar um determinante de segunda ordem, por exemplo: e um determinante de terceira ordem, por exemplo: .

Determinante de quarta ordem Também não é uma antiguidade e falaremos disso no final da lição.

Espero que todos entendam o seguinte: Os números dentro do determinante vivem por si próprios e não há dúvida de qualquer subtração! Os números não podem ser trocados!

(Em particular, é possível realizar reorganizações aos pares de linhas ou colunas de um determinante com uma mudança em seu sinal, mas muitas vezes isso não é necessário - veja a próxima lição Propriedades do determinante e redução de sua ordem)

Assim, se qualquer determinante for dado, então Não tocamos em nada dentro dele!

Designações: Se for dada uma matriz , então seu determinante é denotado. Além disso, muitas vezes o determinante é denotado por uma letra latina ou grega.

1)O que significa resolver (encontrar, revelar) um determinante? Calcular o determinante significa ENCONTRAR O NÚMERO. Os pontos de interrogação nos exemplos acima são números completamente comuns.

2) Agora resta descobrir COMO encontrar esse número? Para fazer isso, você precisa aplicar certas regras, fórmulas e algoritmos, que serão discutidos agora.

Vamos começar com o determinante “dois” por “dois”:

ISSO PRECISA SER LEMBRADO, pelo menos enquanto estudamos matemática superior em uma universidade.

Vejamos um exemplo imediatamente:

Preparar. O mais importante é NÃO SE CONFUNDIR NOS SINAIS.

Determinante de uma matriz três por três pode ser aberto de 8 maneiras, 2 delas são simples e 6 são normais.

Vamos começar com duas maneiras simples

Semelhante ao determinante dois por dois, o determinante três por três pode ser expandido usando a fórmula:

A fórmula é longa e é fácil cometer erros por descuido. Como evitar erros irritantes? Para tanto, foi inventado um segundo método de cálculo do determinante, que na verdade coincide com o primeiro. É chamado de método Sarrus ou método de “tiras paralelas”.
O resultado final é que a primeira e a segunda colunas são atribuídas à direita do determinante e as linhas são cuidadosamente desenhadas com um lápis:

Os multiplicadores localizados nas diagonais “vermelhas” são incluídos na fórmula com um sinal “mais”.
Os multiplicadores localizados nas diagonais “azuis” estão incluídos na fórmula com um sinal de menos:

Exemplo:

Compare as duas soluções. É fácil perceber que é a MESMA coisa, só que no segundo caso os fatores da fórmula são ligeiramente reorganizados e, o mais importante, a probabilidade de cometer um erro é muito menor.

Agora vamos dar uma olhada nas seis maneiras normais de calcular o determinante

Por que normal? Porque na grande maioria dos casos, os qualificadores precisam ser divulgados desta forma.

Como você notou, o determinante três por três tem três colunas e três linhas.
Você pode resolver o determinante abrindo-o por qualquer linha ou por qualquer coluna.
Assim, existem 6 métodos, em todos os casos usando mesmo tipo algoritmo.

O determinante da matriz é igual à soma dos produtos dos elementos da linha (coluna) pelos complementos algébricos correspondentes. Apavorante? Tudo é muito mais simples; usaremos uma abordagem não científica, mas compreensível, acessível até para quem está longe da matemática.

No próximo exemplo vamos expandir o determinante na primeira linha.
Para isso precisamos de uma matriz de sinais: . É fácil perceber que os sinais estão dispostos em um padrão xadrez.

Atenção! A matriz de sinais é invenção minha. Este conceito não é científico, não precisa ser utilizado na elaboração final dos trabalhos, apenas ajuda a entender o algoritmo de cálculo do determinante.

Vou dar a solução completa primeiro. Pegamos novamente nosso determinante experimental e realizamos os cálculos:

E a questão principal: COMO tirar isso do determinante “três por três”:
?

Assim, o determinante “três por três” se resume a resolver três pequenos determinantes, ou como também são chamados, MINOROV. Recomendo lembrar o termo, principalmente por ser memorável: menor – pequeno.

Uma vez escolhido o método de decomposição do determinante na primeira linha, é óbvio que tudo gira em torno dela:

Os elementos geralmente são visualizados da esquerda para a direita (ou de cima para baixo se uma coluna for selecionada)

Vamos lá, primeiro tratamos do primeiro elemento da linha, ou seja, de um:

1) Da matriz de sinais escrevemos o sinal correspondente:

2) Então escrevemos o próprio elemento:

3) Risque MENTALMENTE a linha e coluna em que aparece o primeiro elemento:

Os quatro números restantes formam o determinante “dois por dois”, que é chamado MENOR de um determinado elemento (unidade).

Vamos passar para o segundo elemento da linha.

4) Da matriz de sinais escrevemos o sinal correspondente:

5) Em seguida escreva o segundo elemento:

6) Risque MENTALMENTE a linha e coluna em que aparece o segundo elemento:

Bem, o terceiro elemento da primeira linha. Sem originalidade:

7) Da matriz de sinais escrevemos o sinal correspondente:

8) Escreva o terceiro elemento:

9) Risque MENTALMENTE a linha e a coluna que contém o terceiro elemento:

Escrevemos os quatro números restantes num pequeno determinante.

As restantes ações não apresentam dificuldades, pois já sabemos contar os determinantes dois por dois. NÃO SE CONFUNDA NOS SINAIS!

Da mesma forma, o determinante pode ser expandido em qualquer linha ou coluna. Naturalmente, em todos os seis casos a resposta é a mesma.

O determinante quatro por quatro pode ser calculado usando o mesmo algoritmo.
Neste caso, nossa matriz de sinais aumentará:

No exemplo a seguir, expandi o determinante de acordo com a quarta coluna:

Como isso aconteceu, tente descobrir você mesmo. Mais informações virão mais tarde. Se alguém quiser resolver o determinante até o fim, a resposta correta é: 18. Para praticar, é melhor resolver o determinante por alguma outra coluna ou outra linha.

Praticar, descobrir, fazer cálculos é muito bom e útil. Mas quanto tempo você gastará na grande qualificação? Não existe uma maneira mais rápida e confiável? Sugiro que você se familiarize com métodos eficazes para calcular determinantes na segunda lição - Propriedades de um determinante. Reduzindo a ordem do determinante.

TOME CUIDADO!

No caso geral, a regra para calcular determinantes de ordem $n é bastante complicada. Para determinantes de segunda e terceira ordem, existem formas racionais de calculá-los.

Cálculos de determinantes de segunda ordem

Para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem, é necessário subtrair o produto dos elementos da diagonal secundária do produto dos elementos da diagonal principal:

$$\esquerda| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Exemplo

Exercício. Calcule o determinante de segunda ordem $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

Solução.$\esquerda| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

Responder.$\esquerda| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Métodos para calcular determinantes de terceira ordem

Existem as seguintes regras para calcular determinantes de terceira ordem.

Regra do triângulo

Esquematicamente, esta regra pode ser descrita da seguinte forma:

O produto dos elementos do primeiro determinante que estão conectados por linhas retas é obtido com um sinal de mais; da mesma forma, para o segundo determinante - os produtos correspondentes são considerados com um sinal negativo, ou seja,

$$\esquerda| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Exemplo

Exercício. Calcule o determinante de $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ usando o método do triângulo.

Solução.$\esquerda| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (matriz)\direita|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Responder.

Regra de Sarrus

À direita do determinante, some as duas primeiras colunas e pegue os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas a ela com sinal de mais; e os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas a ela, com sinal negativo:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Exemplo

Exercício. Calcule o determinante de $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ usando a regra de Sarrus.

Solução.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Responder.$\esquerda| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (matriz)\direita|=54$

Expandindo o determinante por linha ou coluna

O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos da linha do determinante e seus complementos algébricos. Normalmente a linha/coluna que contém zeros é selecionada. A linha ou coluna ao longo da qual a decomposição é realizada será indicada por uma seta.

Exemplo

Exercício. Expandindo ao longo da primeira linha, calcule o determinante $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \certo|$

Solução.$\esquerda| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \certo| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(array)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(array)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(array)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(array)\right|=-3+12-9=0$

Responder.

Este método permite reduzir o cálculo do determinante ao cálculo de um determinante de ordem inferior.

Exemplo

Exercício. Calcule o determinante de $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \certo|$

Solução. Vamos realizar as seguintes transformações nas linhas do determinante: da segunda linha subtraímos os quatro primeiros, e da terceira a primeira linha multiplicada por sete, como resultado, de acordo com as propriedades do determinante, obtemos um determinante igual ao dado.

$$\esquerda| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \direita|=\esquerda| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$

$$=\esquerda| \begin(matriz)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ fim(matriz)\direita|=\esquerda| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$

O determinante é zero porque a segunda e a terceira linhas são proporcionais.

Responder.$\esquerda| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \certo|=0$

Para calcular determinantes de quarta ordem e superiores, são utilizadas expansão de linha/coluna, redução à forma triangular ou teorema de Laplace.

Decompondo o determinante em elementos de uma linha ou coluna

Exemplo

Exercício. Calcule o determinante de $\left| \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , decompondo-o nos elementos de alguma linha ou coluna.

Solução. Vamos primeiro realizar transformações elementares nas linhas do determinante, fazendo tantos zeros quanto possível na linha ou na coluna. Para fazer isso, primeiro subtraia nove terços da primeira linha, cinco terços da segunda e três terços da quarta, obtemos:

$$\esquerda| \begin(matriz)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=\left| \begin(matriz)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ esquerda | \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$

Vamos decompor o determinante resultante nos elementos da primeira coluna:

$$\esquerda| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \esquerda| \begin(matriz)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ fim(matriz)\direita|+0$$

Também expandiremos o determinante de terceira ordem resultante em elementos de linha e coluna, tendo previamente obtido zeros, por exemplo, na primeira coluna. Para fazer isso, subtraia as duas segundas linhas da primeira linha e a segunda linha da terceira:

$$\esquerda| \begin(matriz)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ fim(matriz)\direita|=\esquerda| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( matriz)\direita|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Responder.$\esquerda| \begin(matriz)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=0$

Comente

O último e o penúltimo determinantes não puderam ser calculados, mas concluíram imediatamente que são iguais a zero, pois contêm linhas proporcionais.

Reduzindo o determinante à forma triangular

Utilizando transformações elementares sobre linhas ou colunas, o determinante é reduzido a uma forma triangular e então seu valor, de acordo com as propriedades do determinante, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo

Exercício. Calcule o determinante $\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ reduzindo-o para a forma triangular.

Solução. Primeiro fazemos zeros na primeira coluna abaixo da diagonal principal. Todas as transformações serão mais fáceis de realizar se o elemento $a_(11)$ for igual a 1. Para isso, trocaremos a primeira e a segunda colunas do determinante, o que, de acordo com as propriedades do determinante, fará com que para mudar seu sinal para o oposto:

$$\Delta=\esquerda| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$

$$\Delta=-\esquerda| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

A seguir, obtemos zeros na segunda coluna no lugar dos elementos abaixo da diagonal principal. Novamente, se o elemento diagonal for igual a $\pm 1$ então os cálculos serão mais simples. Para fazer isso, troque a segunda e a terceira linhas (e ao mesmo tempo mude para o sinal oposto do determinante):

$$\Delta=\esquerda| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$