W Klon Istnieje kilka sposobów reprezentowania funkcji.
Metoda 1: Definiowanie funkcji za pomocą operatora przypisania ( := ): do jakiegoś wyrażenia przypisana jest nazwa, np.:
> f:=sin(x)+cos(x);
Jeśli ustawisz określoną wartość zmiennej X, wówczas otrzymujemy wartość funkcji F dla tego X. Na przykład, jeśli będziemy kontynuować poprzedni przykład i obliczymy wartość F kiedy , to powinniśmy napisać:
> x:=Pi/4;
Po wykonaniu tych poleceń zmienna X ma daną wartość.
Aby w ogóle nie przypisywać zmiennej określonej wartości, wygodniej jest skorzystać z polecenia podstawienia subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), gdzie zmienne są podane w nawiasach klamrowych xi i ich nowe znaczenia AI(I=1,2,...), które należy wstawić do funkcji F . Na przykład:
> f:=x*exp(-t);
> subs((x=2,t=1),f);
Wszystkie obliczenia w Klon domyślnie są generowane symbolicznie, to znaczy wynik będzie wyraźnie zawierał irracjonalne stałe, takie jak i inne. Aby uzyskać przybliżoną wartość w postaci liczby zmiennoprzecinkowej, użyj polecenia elf(wyrażenie,t), Gdzie wyr- wyrażenie, T– dokładność wyrażona w liczbach po przecinku. Na przykład, kontynuując poprzedni przykład, obliczmy wynikową wartość funkcji w przybliżeniu:
> ewaluacja(%);
Stosowanym tutaj symbolem jest ( % ), aby wywołać poprzednie polecenie.
Metoda 2: Definiowanie funkcji za pomocą operatora funkcji odwzorowującego zbiór zmiennych (x1,x2,…) jedno lub więcej wyrażeń (f1, f2,…). Przykładowo zdefiniowanie funkcji dwóch zmiennych za pomocą operatora funkcji wygląda następująco:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
Dostęp do tej funkcji uzyskuje się w najbardziej znany sposób w matematyce, gdy w nawiasach zamiast argumentów funkcji podaje się konkretne wartości zmiennych. Kontynuując poprzedni przykład, obliczana jest wartość funkcji:
Metoda 3: Użycie polecenia cofnij zastosowanie (wyrażenie, x1, x2,…), Gdzie wyr- wyrażenie, x1, x2,…– zbiór zmiennych od których to zależy, możesz przekształcić wyrażenie wyr w operator funkcjonalny. Na przykład:
> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);
W Klon możliwe jest zdefiniowanie nieelementarnych funkcji formularza
poprzez polecenie
> fragmentarycznie (warunek_1, f1, stan_2, f2, …).
Na przykład funkcja
jest napisane w następujący sposób.
Katedra: Technologie Informacyjne
Praca laboratoryjna
W temacie: " SKŁADNIA, GŁÓWNE OBIEKTY I POLECENIA SYSTEMOWE KLON "
Moskwa, 2008
Cele pracy :
· znać główne obiekty i zmienne systemu Maple;
· znać i umieć stosować polecenia stosowane podczas pracy z obiektami i zmiennymi systemu Maple;
· znać składnię podstawowych funkcji matematycznych systemu Maple.
Wstęp
Maple Analytical Computing System jest systemem interaktywnym. W tym przypadku oznacza to, że użytkownik wprowadza polecenie lub operator języka Maple w obszarze wprowadzania arkusza i naciskając klawisz
Każdy operator lub polecenie Koniecznie są zakończone znak separatora. W systemie Maple występują dwa takie znaki - średnik (;) i dwukropek (:). Jeśli klauzula kończy się średnikiem, jest ona oceniana, a wynik wyświetlany jest w obszarze wyjściowym. Jeśli użyjesz dwukropka jako ogranicznika, polecenie zostanie uruchomione, ale wyniki nie zostaną wyświetlone w obszarze wyjściowym arkusza. Jest to wygodne na przykład podczas programowania w Maple, gdy nie ma potrzeby wyprowadzania żadnych pośrednich wyników uzyskanych od operatorów pętli, ponieważ wyświetlenie tych wyników może zająć dużo miejsca w arkuszu i może zająć znaczną ilość czasu czas je wyświetlić.
Tutaj i poniżej polecenia Maple są zapisane w formie składni języka Maple. Jeśli podczas wykonywania przykładów istnieje potrzeba wyświetlenia poleceń w notacji matematycznej, postępuj zgodnie z poleceniem Opcje ® Wejście Wyświetlacz ® Standard Matematyka Notacja ustaw odpowiedni tryb wyświetlania.
Maple implementuje własny język, za pomocą którego użytkownik komunikuje się z systemem. Podstawowe koncepcje to obiekty i zmienne, z których konstruowane są wyrażenia przy użyciu prawidłowych operacji matematycznych.
Najprostszy obiekty, z którym może współpracować Klon , to liczby, stałe i ciągi znaków.
Liczby
Liczby w systemie Maple mogą być następujących typów: liczby całkowite, ułamki, rodniki, liczby zmiennoprzecinkowe i liczby zespolone. Pierwsze trzy typy liczb pozwalają na wykonanie dokładne obliczenia(bez zaokrągleń) różnych wyrażeń matematycznych, realizując dokładną arytmetykę. Liczby zmiennoprzecinkowe to liczby przybliżone, w których liczba cyfr znaczących jest ograniczona. Liczby te służą do przybliżenia (lub przybliżenia) dokładnych liczb Maple. Liczby zespolone mogą być dokładne, jeśli reprezentowane są części rzeczywiste i urojone dokładne liczby i przybliżone, jeśli przy określaniu części rzeczywistej i urojonej liczby zespolonej używane są liczby zmiennoprzecinkowe.
Wszystkie liczby podawane są jako ciąg liczb od 0 do 9. Liczby ujemne podaje się ze znakiem minus (–) przed liczbą, zera przed pierwszą niezerową cyfrą nie są znaczące i nie wpływają na wartość liczby całkowitej. System Maple może pracować z liczbami całkowitymi o dowolnej wielkości; liczba cyfr jest praktycznie ograniczona do 2 28. Obliczenia na liczbach całkowitych wykorzystują cztery operacje arytmetyczne (dodawanie +, odejmowanie –, mnożenie *, dzielenie /) i obliczenia silniowe (!).
Maple reprezentuje dużą liczbę całkowitą, która nie mieści się w wierszu wyjściowym, używając ukośnika odwrotnego (\) jako znaku kontynuacji wyniku w następnym wierszu. Ostatnie polecenie oblicza liczbę cyfr z poprzedniego obliczenia. Wykorzystuje operację % jako parametr, który jest po prostu wygodną formą odniesienia do wyniku poprzedniej operacji. Maple ma dwie inne podobne operacje, które identyfikują wyniki poprzednich i poprzednich poleceń. Ich składnia jest odpowiednio następująca:
Maple ma dość duży zestaw poleceń, które pozwalają wykonywać czynności specyficzne dla przetwarzania liczb całkowitych: rozkład na czynniki pierwsze (ifactor), obliczanie ilorazu (iquo) i reszty (irem) podczas wykonywania operacji dzielenia liczb całkowitych, znajdowanie największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych ( igcd), sprawdzanie, czy liczba całkowita jest liczbą pierwszą i wiele więcej.
Do sprawdzenia obliczenia ilorazu i reszty dwóch liczb całkowitych wykorzystano operacje polegające na uzyskaniu wyniku wykonania polecenia poprzedniego (obliczenie ilorazu) i poprzedniego (obliczenie reszty). Wynikiem polecenia isprime() jest stała logiczna typu true lub false.
Wpisując polecenie w obszarze wprowadzania arkusza? integer, możesz uzyskać listę wszystkich poleceń do pracy z liczbami całkowitymi
Ułamki zwykłe są określane przy użyciu operacji dzielenia przez dwa cały liczby. Należy pamiętać, że Maple automatycznie wykonuje operację redukcji frakcji. Na ułamkach zwykłych można wykonywać wszystkie podstawowe operacje arytmetyczne.
Jeśli przy podawaniu ułamka jego mianownik zostanie zmniejszony (patrz ostatnie obliczenie w przykładzie), wówczas taki „ułamek” jest interpretowany przez system Maple jako liczba całkowita.
Często przedstawienie wyniku w postaci ułamka zwykłego nie jest zbyt wygodne i pojawia się problem przeliczenia go na ułamek dziesiętny. Aby to zrobić, użyj polecenia evalf(), które przybliża ułamek zwykły liczb zmiennoprzecinkowych za pomocą dziesięciu cyfr znaczących mantysy ich reprezentacji. Jeżeli domyślna dokładność nie jest wystarczająca, można ją ustawić jako drugi parametr określonej funkcji.
Ułamek zwykły i jego reprezentacja dziesiętna nie są identycznymi obiektami Maple. Zapis dziesiętny jest po prostu przybliżenie dokładna wartość reprezentowana przez ułamek zwykły.
Radykałowie są określane w wyniku podniesienia liczb całkowitych lub ułamkowych do potęgi ułamkowej lub obliczenia pierwiastka kwadratowego z nich za pomocą funkcji sqrt() lub obliczenia pierwiastka N-ta potęga przy użyciu funkcji surd(liczba, n). Operację potęgowania określa się symbolem ^ lub ciągiem dwóch gwiazdek (**). Podnosząc ułamki do potęg, należy je ująć w nawiasy, podobnie jak wykładnik ułamka zwykłego. Przy określaniu pierwiastków dokonuje się także ewentualnych uproszczeń polegających na usunięciu maksymalnej możliwej wartości spod znaku pierwiastka.
Obliczenia z liczbami całkowitymi, ułamkami i rodnikami są absolutnie dokładne ponieważ Maple nie wykonuje żadnego zaokrąglania podczas pracy z tymi typami danych, w przeciwieństwie do liczb zmiennoprzecinkowych.
Liczb zmiennoprzecinkowych są podawane jako części całkowite i ułamkowe oddzielone przecinkiem, poprzedzone znakiem liczby, na przykład 3,4567, -3,415. Liczby zmiennoprzecinkowe można zapisywać przy użyciu tak zwanej notacji wykładniczej, w której symbol e lub e jest umieszczany bezpośrednio po rzeczywistej liczbie zmiennoprzecinkowej lub zwykłej liczbie całkowitej zwanej mantysą, po której następuje liczba całkowita ze znakiem (wykładnik). Ta forma zapisu oznacza, że mantysę należy pomnożyć przez dziesięć do potęgi liczby odpowiadającej wykładnikowi, aby otrzymać wartość liczby zapisanej w tej postaci wykładniczej. Na przykład 2.345e4 odpowiada liczbie 23450.0. Można zatem przedstawić liczby, które mają bardzo dużą wartość bezwzględną (wykładnik jest liczbą dodatnią) lub bardzo małe (wykładnik jest liczbą ujemną).
Wyrażenia matematyczne tworzy się z liczb za pomocą działania arytmetyczne. Symbole operacji arytmetycznych w Maple są wymienione w tabeli. 1.
Tabela 1. Operacje arytmetyczne
Kolejność operacji arytmetycznych jest zgodna ze standardowymi zasadami pierwszeństwa operacji w matematyce: najpierw wykonywane jest potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Wszystkie czynności wykonywane są od lewej do prawej. Operacja obliczeń silni ma najwyższy priorytet. Aby zmienić kolejność działań arytmetycznych, użyj nawiasów.
Jeśli wszystkie liczby w wyrażeniu są liczbami całkowitymi, ułamkami lub pierwiastkami, wówczas wynik jest również reprezentowany przy użyciu tych typów danych, ale jeśli w wyrażeniu znajduje się liczba zmiennoprzecinkowa, wówczas wynik oceny takiego „mieszanego” wyrażenia również będzie być liczbą zmiennoprzecinkową, chyba że w wyrażeniu nie występuje pierwiastek. W tym przypadku pierwiastek jest obliczany dokładnie, a jego współczynnik obliczany jest albo dokładnie, albo jako liczba zmiennoprzecinkowa, w zależności od rodzaju czynników.
Analityczny system obliczeń Maple zawsze stara się wykonywać obliczenia z absolutną dokładnością. Jeśli to nie zadziała, stosuje się arytmetykę z liczbami rzeczywistymi.
Klon może również pracować Liczby zespolone . Dla wyimaginowanej jednostki
Maple używa stałej I. Przypisanie liczby zespolonej nie różni się od zwykłego przypisania w matematyce.W Klon Istnieje kilka sposobów reprezentowania funkcji.
Metoda 1: Definiowanie funkcji za pomocą operatora przypisania ( := ): do jakiegoś wyrażenia przypisana jest nazwa, np.:
> f:=sin(x)+cos(x);
Jeśli ustawisz określoną wartość zmiennej X, wówczas otrzymujemy wartość funkcji F dla tego X. Na przykład, jeśli będziemy kontynuować poprzedni przykład i obliczymy wartość F kiedy , to powinniśmy napisać:
> x:=Pi/4;
Po wykonaniu tych poleceń zmienna X ma daną wartość.
Aby w ogóle nie przypisywać zmiennej określonej wartości, wygodniej jest skorzystać z polecenia podstawienia subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), gdzie zmienne są podane w nawiasach klamrowych xi i ich nowe znaczenia AI(I=1,2,...), które należy wstawić do funkcji F . Na przykład:
> f:=x*exp(-t);
> subs((x=2,t=1),f);
Wszystkie obliczenia w Klon domyślnie są generowane symbolicznie, to znaczy wynik będzie wyraźnie zawierał irracjonalne stałe, takie jak i inne. Aby uzyskać przybliżoną wartość w postaci liczby zmiennoprzecinkowej, użyj polecenia elf(wyrażenie,t), Gdzie wyr- wyrażenie, T– dokładność wyrażona w liczbach po przecinku. Na przykład, kontynuując poprzedni przykład, obliczmy wynikową wartość funkcji w przybliżeniu:
> ewaluacja(%);
Stosowanym tutaj symbolem jest ( % ), aby wywołać poprzednie polecenie.
Metoda 2: Definiowanie funkcji za pomocą operatora funkcji odwzorowującego zbiór zmiennych (x1,x2,…) jedno lub więcej wyrażeń (f1, f2,…). Przykładowo zdefiniowanie funkcji dwóch zmiennych za pomocą operatora funkcji wygląda następująco:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
Dostęp do tej funkcji uzyskuje się w najbardziej znany sposób w matematyce, gdy w nawiasach zamiast argumentów funkcji podaje się konkretne wartości zmiennych. Kontynuując poprzedni przykład, obliczana jest wartość funkcji:
Metoda 3: Użycie polecenia cofnij zastosowanie (wyrażenie, x1, x2,…), Gdzie wyr- wyrażenie, x1, x2,…– zbiór zmiennych od których to zależy, możesz przekształcić wyrażenie wyr w operator funkcjonalny. Na przykład:
> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);
W Klon możliwe jest zdefiniowanie nieelementarnych funkcji formularza
poprzez polecenie
> fragmentarycznie (warunek_1, f1, stan_2, f2, …).
Na przykład funkcja
jest napisane w następujący sposób.
Do strony<Методические разработки>
Systemy algebry komputerowej
Maple to specjalistyczny pakiet matematyczny używany przez zawodowych matematyków na całym świecie. Takie pakiety nazywane są również systemami algebry komputerowej. Spośród wielu podobnych systemów (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica, Macsyma, Derive, Axiom, MuPAD) Maple jest uznanym liderem w dziedzinie obliczeń symbolicznych (czyli w przekształcaniu wyrażeń za pomocą zmiennych, wielomianów, funkcji itp.). ). Ponadto Maple zawiera moduły ułatwiające pracę w takich gałęziach matematyki jak algebra wyższa, algebra liniowa, geometria analityczna, teoria liczb, analiza matematyczna, równania różniczkowe, analiza kombinatoryczna, teoria prawdopodobieństwa, statystyka i wiele innych.
Aby uzyskać pomoc dotyczącą konkretnego polecenia, wprowadź ?polecenie w oknie Maple (zastępując polecenie nazwą polecenia).
Klon jako super kalkulator
W arkuszu Maple możesz wprowadzać polecenia w wierszu polecenia „>”. Polecenie musi zakończyć się symbolem „ ; ”, a jego wynik zostanie natychmiast wyświetlony na ekranie. Jeśli zamienisz „;” na „:”, polecenie zostanie wykonane, ale wynik nie zostanie wydrukowany. Na przykład:
> 57/179+91/1543;
Jak widzimy, Maple podaje odpowiedź dokładnie w formie wyrażenia racjonalnego. Jeśli chcesz przedstawić to jako ułamek dziesiętny (z pewną precyzją), użyj funkcji evalf. Jego pierwszym wymaganym parametrem jest wyrażenie, które ma zostać obliczone, drugim (opcjonalnie) jest liczba znaczących miejsc po przecinku (pamiętaj, że wyrażenie jest zaokrąglane, aby wyświetlić odpowiednią liczbę miejsc po przecinku):
> ewaluacja(%);
> ewaluacja(%%,30);
0.377411774928764613663435880911
Symbol % oznacza ostatnie wyrażenie obliczone przez Maple, %% - przedostatnie, %%% - przedostatnie (ale oznaczenie %%%% już nie istnieje).
Liczby i stałe
Jeśli wyrażenie zawiera liczbę zmiennoprzecinkową (na przykład 3,14 lub 5,6e-17), wówczas wszystkie obliczenia są wykonywane w przybliżeniu, w przeciwnym razie obliczenia są wykonywane dokładnie; Klon ma następujące stałe: Pi Liczba pi
I Jednostka urojona I
exp(1) Podstawa logarytmów naturalnych mi
nieskończoność Nieskończoność
prawda Prawda logiczna
fałsz Logiczny fałsz
Obliczenia na stałych wykonywane są dokładnie (chyba, że ich wartość zostanie przeliczona na wartość rzeczywistą), np.:
> grzech(Pi/3);
> grzech(3.1415926);
0.5358979324 10 -7
Operatorzy
W Maple istnieją następujący operatorzy:
Arytmetyka: + , - , * , / , ^ (potęgowanie), ! (silnia).
Łamigłówka:< , > , >= , <= , = (равно), <>(nie równe).
Operator przypisania: := .
Zmienne
Zmienna to dowolny identyfikator (składający się z liter i cyfr łacińskich, zaczynający się od cyfry). Zmiennej można przypisać dowolną wartość za pomocą operatora przypisania:= . Zmienna, która nie ma przypisanej żadnej wartości, jest uważana za zmienną wolną, a jej nazwa jest zapisywana w obliczeniach arytmetycznych. Na przykład:
> a:=2: b:=3: > (a+b)^2;
Funkcje standardowe
Znak x (zwraca 1, -1 lub 0) - znak (x)
Funkcje trygonometryczne: sin(x) , cos(x) , tan(x) , cot(x)
Odwrotna funkcja trygonometryczna: arcsin(x) , arccos(x) , arctan(x) , arccot(x)
Wykładnik: exp(x)
Logarytm naturalny, dziesiętny i podstawowy: ln(x) , log10(x) , log[a](x)
Konwersja wyrażeń matematycznych
Wyrażenie może zawierać stałe, wolne zmienne, funkcje matematyczne. Przykładowe wyrażenie:
> A:=sin(sqrt(Pi)+exp(2));
A:=grzech(Pi 1/2 + e 2)
Dość często wyrażenia są wielomianami jednej lub większej liczby zmiennych lub wyrażeniami wymiernymi. Maple zawiera różne funkcje do konwersji takich wyrażeń.
Funkcja współczynnik(eq) rozkłada na czynniki wyrażenie równanie.
> P:=x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1: > współczynnik(P);
Funkcja rozwiń(eq) rozwija nawiasy w wyrażeniu. Jeżeli w formularzu Expand(eq,a,b,c) podasz jeden lub więcej dodatkowych parametrów , to wyrażenia a , b , c nie zostaną rozwinięte. Jest to przydatne, jeśli chcesz pomnożyć każdy termin przez jakieś wyrażenie.
> rozwiń((x+1)*(x+2));
> rozwiń(sin(x+y));
grzech(x)cos(y)+cos(x)grzech(y)
> rozwiń((x+1)*(y+z),x+1);
Aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a następnie je zredukować, użyj funkcji normal(eq).
> normalny(1/x+1/y);
> (a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);
(a 4 -b 4)/((a 2 + b 2)ab)
Funkcja upraszczania(eq) upraszcza wyrażenie eq. Jako drugi (opcjonalny) parametr możesz określić, które wyrażenia mają być konwertowane: trygonometryczny, potęgowy, potęgowy, rodnikowy, pierwiastkowy, wykładniczy, ln - logarytmiczny.
> upraszczaj(sin(x)^2+cos(x)^2);
Rozwiązywanie równań
Równania zwykłe
Do rozwiązywania równań służy funkcja rozwiązania(eq,x), gdzie eq to równanie do rozwiązania, x to nazwa zmiennej, względem której równanie jest rozwiązywane. Przykład:
> rozwiązać(x^2+x-1=0,x);
1/2-5 1/2 /2 ,-1/2+5 1/2 /2
> rozwiązać(a*x+b=0,x);
> rozwiązać(a*x+b=0,b);
Jeśli równanie ma wiele rozwiązań, wówczas rozwiązanie równania można przypisać jakiejś zmiennej, np. p. Następnie możesz skorzystać z k-tego rozwiązania równania w postaci p[k] :
> p:=rozwiąż(x^2+x-1=0,x): p;
> upraszczaj(p*p);
Układy równań
Układy równań rozwiązuje się za pomocą tej samej funkcji rozwiązywania((eq1,eq2,...),(x1,x2,...)), tyle że teraz w parametrach funkcji równania należy podawać w pierwszych nawiasach klamrowych oddzielonych przez przecinkami, a w drugim nawiasach klamrowych Zmienne, dla których należy rozwiązać system, podano w nawiasach, oddzielonych przecinkami. Jeżeli otrzymane rozwiązania równań chcemy wykorzystać do dalszych obliczeń, to wynik zwrócony przez funkcję rozwiązywania należy przypisać do jakiejś zmiennej, np. p, a następnie wykonać polecenie przypisania(p). Przykład:
> p:=rozwiąż((x+y=a,x-y=b), (x,y)): > przypisz(p); >x;
Numeryczne rozwiązywanie równań
Spróbujmy rozwiązać równanie: x 6 -2x+1=0. Użycie funkcji rozwiązywania da nam jeden pierwiastek -1 i inny zestaw wyrażeń, np. RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1, indeks= 1). Rzecz w tym, że dowolne równanie stopnia powyżej 4 ze współczynnikami wymiernymi może nie mieć pierwiastków dających się wyrazić w postaci pierwiastków przez liczby wymierne. Rozwiązania wszystkich możliwych takich równań nazywane są liczbami algebraicznymi. Równanie to jest również nierozwiązalne w pierwiastkach, a Maple znalazł pojedynczy pierwiastek dający się wyrazić w pierwiastkach (1) i podał, że pozostałe pierwiastki są liczbami algebraicznymi: pierwiastki wielomianu z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z- 1=0 (to właśnie ten wielomian jest podany w argumencie funkcji RootOf). Maple może pracować z liczbami algebraicznymi, ale przybliżone rozwiązanie numeryczne można również znaleźć za pomocą funkcji fsolve:
> fsolve(x^6-2*x+1=0,x);
5086603916, 1.000000000
Czasami Maple przy rozwiązywaniu równań przestępnych nie wyświetla złożonych wyrażeń w postaci rodników, ale pozostawia je w formie RootOf. Aby zmusić Maple do wypisywania wszystkich rozwiązań w postaci pierwiastków (oczywiście, jeśli można je przedstawić w tej postaci), musisz przypisać wartość true zmiennej systemowej _EnvExplicit (_EnvExplicit:=true).
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Polecenie rozwiązywania, używane do rozwiązywania równań trygonometrycznych, znajduje tylko rozwiązania główne, to znaczy tworzy tylko jedno rozwiązanie z szeregu rozwiązań okresowych:
> rozwiązać(sin(2*x)+cos(2*x)=1,x);
Aby Maple znalazł wszystkie rozwiązania, należy najpierw ustawić zmienną systemową _EnvAllSolutions na wartość true. Otrzymamy wtedy wynik w innej postaci, w której pojawią się zmienne Z1~ i Z2~. Zmienne te oznaczają dowolną stałą typu całkowitego; w bardziej znanej postaci rozwiązanie można zapisać jako π/4+πn, πk.
Ćwiczenia
- Jaka cyfra w zapisie dziesiętnym liczby π znajduje się na setnym miejscu po przecinku?
- Ile cyfr jest w zapisie dziesiętnym 179! ?
- Oblicz wartość (6+2×5 1/2) 1/2 -(6-2×5 1/2) 1/2.
- Oblicz sin 4 (π/8)+cos 4 (3π/8)+sin 4 (5π/8)+cos 4 (7π/8).
- Uprość wyrażenie (1 + grzech(2 X) + cos(2 X))/(1 + grzech(2 X) - cos(2 X)).
- Rozłóż wielomian na czynniki X 3 -4X 2 +5X-2.
- Znajdź numeryczne rozwiązanie równania cos X=X.
- Rozwiąż równanie 3 X-(18X+1) 1/2 +1=0
- Rozwiąż równanie ||2 X-3|-1|=X.
- Rozwiąż równanie (znajdź wszystkie rozwiązania) grzech X-sałata X=1/grzech X.
- Rozwiąż układ równań:
10(Xy) 1/2 +3X-3y=58 X-y=6
04. 01 Transformacja równań. Zespoły lewy I prawa strona
* Wprowadzanie i manipulowanie równaniami: Thelewy Iprawa strona polecenia*
Przypomnijmy, że równaniu, podobnie jak wyrażeniu, można nadać nazwę. W następnym wiersz poleceń wprowadzimy równanie i nadamy mu nazwę „ równanie 1 " :
> równanie1:=x^3-5*x^2+23=2*x^2+4*x-8;
Za pomocą poleceń możemy wyświetlić oddzielnie lewą i prawą stronę równania lewy I prawa strona :
> lhs(równ. 1);
> rhs(równ. 1);
Użyjmy poleceń lewy I prawa strona aby doprowadzić równanie do postaci standardowej, w której wszystkie wyrazy są zebrane po lewej stronie, a po prawej pozostaje tylko 0:
> równanie2:=lhs(równ1)-rhs(równ1)=0;
04. 02 Znalezienie dokładnych korzeni. Zespół rozwiązywać
* Znalezienie dokładnych rozwiązań: Therozwiązywać Komenda*
Rozważmy najpierw równania wymierne. Wiadomo, że istnieją algorytmy wyznaczania dokładnych pierwiastków pierwiastków wymiernych do czwartego rzędu włącznie. Do drużyny Maple rozwiązywać i te algorytmy są oparte.
Użyjmy polecenia rozwiązywać znaleźć dokładne pierwiastki równania sześciennego 
:
> rozwiązać(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);
Należy pamiętać, że w poleceniu wskazujemy dla jakiej zmiennej należy rozwiązać równanie. Chociaż w naszym konkretnym przypadku nie jest to konieczne:
> rozwiązać(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0);
Maple znalazł wszystkie 3 prawidłowe pierwiastki i wydrukował je ( w sposób nieuporządkowany ).
Czasami bardzo ważne jest wybranie konkretnego rdzenia, aby móc go wykorzystać w dalszych przekształceniach. W tym celu należy wcześniej nadać nazwę wynikowi polecenia rozwiązywać. Zadzwońmy do niego X. Następnie projekt X będzie odpowiadać pierwszemu pierwiastkowi z listy (podkreślamy: niekoniecznie jest to mniejszy korzeń!), X- drugi korzeń itp. ( Nawiasy są kwadratowe!):
> X:=rozwiąż(x^2-5*x+3=0,x);
Jednak spójrz na wynik podobnego polecenia:
> x=%;
Podkreślmy jeszcze raz: praktyka pokazuje, że wskazane jest nadanie równaniu nazwy. Tradycyjnie w Maple taka nazwa zaczyna się od liter równ :
> równanie1:=7*x^3-11*x^2-27*x-9=0;
(Nie myl operatora przypisania „ := „ze znakiem równości” = " !)
Teraz rozwiążmy równanie za pomocą polecenia rozwiązywać. Nadajmy nazwę wielu korzeniom X :
> X:=rozwiąż(równ.1,x);
Dla pewności sprawdźmy, czy wśród znalezionych korzeni nie ma obcych korzeni. Sprawdźmy przez bezpośrednie podstawienie
> sub(x=X,równ.1);
> sub(x=X,równ.1);
> sub(x=X,równ.1);
Oczywiście „dokładne” rozwiązania są często, delikatnie mówiąc, dość kłopotliwe. Dotyczy to na przykład równania 
:
> równanie1:=x^3-34*x^2+4=0;
> X:=rozwiąż(równ.1,x);
Czy teraz rozumiesz o czym mówimy? Proszę to zanotować wyimaginowana jednostka w Maple jest to oznaczone Wielka litera I . Oczywiście w takich przypadkach znalezienie przybliżonych wartości pierwiastków nie jest grzechem. Mając pod ręką dokładne rozwiązanie, możesz dowiedzieć się, jak to zrobić samodzielnie:
> ewaluacja(X);
W takich sytuacjach dobra alternatywa dla drużyny rozwiązywać Jest rozwiąż, którego cechy zostaną omówione w następnym akapicie.
Zespół rozwiązywać wykorzystywane do znajdowania dokładnych rozwiązań nie tylko równań wymiernych. Poniżej kilka ilustracji tego. Jednak w przypadku wielu typów równań irracjonalnych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych, a nawet wymiernych, poszukiwanie dokładnego rozwiązania nie ma sensu. Zespół jest wezwany do pomocy rozwiąż .
Rozwiążmy równanie 
:
> rozwiązać(5*exp(x/4)=43,x);
Czasami (i w trygonometrii - zawsze ) Klon, domyślny, nie wyświetla całego zestawu korzeni:
> rozwiązać(sin(x)=1/2,x);
Ale nie ma sytuacji beznadziejnych! Wykorzystując ten wynik jako podstawę, wykorzystaj swoją wiedzę na temat równań trygonometrycznych i zapisz pełne rozwiązanie ( Jak?).
Ćwiczenie 4.1
Rozwiązać równanie 
Dowiedz się, ile różnych pierwiastków ma równanie. Co robi Maple, gdy korzenie są równe?
Rada: Uwzględnij lewą stronę równania.
> rozwiązać(x^3-11*x^2+7*x+147=0,x);
> współczynnik (x^3-11*x^2+7*x+147);
Pierwiastek x = 7 jest podwójny i dlatego równanie sześcienne ma tylko dwa różne pierwiastki. Potwierdza to uwzględnienie lewej strony równania.
04. 03 Znajdowanie przybliżonych pierwiastków. Zespół rozwiąż
* Znalezienie przybliżonych rozwiązań: The rozwiąż Komenda*
Aby w przybliżeniu rozwiązać równania, użyj polecenia Klon rozwiąż. W przypadku równania wymiernego rozwiąż drukuje całą listę ważnych pierwiastków (patrz przykład 01). W przypadku równań przestępnych to polecenie domyślnie generuje wynik tylko jeden korzeń(Patrz przykłady 02 i 03).
Z pomocą rozwiąż znajdźmy jednocześnie przybliżone wartości wszystkich czterech rzeczywistych pierwiastków równania wymiernego 
:
> równanie:=x^4-x^3-17*x^2-6*x+2=0;
> fsolve(równ.,x);
Te cztery pierwiastki stanowią wyczerpujące rozwiązanie pierwotnego równania racjonalnego ( chociaż przybliżone).
Korzystanie z polecenia rozwiąż, znajdować przynajmniej jeden prawdziwy pierwiastek równania 
:
> równanie:=x^3+1-exp(x)=0;
> fsolve(równ.,x);
Klon i wyjście tylko z jednym korzeniem. Tym razem Maple nie malowała. Jak możemy się teraz upewnić, że nie ma innych prawdziwych korzeni? Poniższy przykład przedstawia taki zestaw narzędzi.
Dostawać Wszystko
rzeczywiste pierwiastki równania 
i upewnij się o tym.
Krok pierwszy ( główny pomysł ) : Znajdźmy graficzne rozwiązanie równania. W tym celu zbudujmy wykres funkcji po lewej stronie równania. Odcięte punktów przecięcia tego wykresu z osią Wół będą wymaganymi pierwiastkami.
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..5,y=-5..15);
Ponieważ umiejętnie dobraliśmy zakresy zmian odciętej i rzędnej punktów wykresu, które możemy łatwo wykryć 4 punkt przecięcia linii z osią Wółu. Jeden z nich odpowiada pierwiastkowi znalezionemu w przykładzie 02 ( który dokładnie?).
Drugi pierwiastek jest oczywisty: x = 0. Jak możemy dokładniej znaleźć resztę?
Krok drugi ( Wyjaśnienie ) : zastosuj polecenie rozwiąż bardziej „widoczne”. Klon zapewnia możliwość określenia odstępu czasu, w jakim znajdują się korzenie. W szczególności, aby wyznaczyć pierwiastek ujemny naszego równania, wskazujemy, że poszukiwania należy przeprowadzić w „obszarze” [-1;-0,2]. Wymownie świadczy o tym rozwiązanie graficzne.
> fsolve(równ.,x=-1..-.2);
Pozostałe pierwiastki wyraźnie należą do przedziałów i . Powiedzmy o tym zespołowi rozwiąż :
> frozwiązać(równ.,x=1..2);
fsolve(równ.,x=4..5);
A co się stanie, jeśli wrzucimy Maple „pusty obszar”? Na przykład segment naszego równania. Wyraźnie nie ma rozwiązania graficznego:
> frozwiązać(równ.,x=2..4);
Maple wyświetla nazwę polecenia, samo równanie, nazwę argumentu i segment. Te. nic nowego. Na przykład: „Sam poszukaj korzeni, ale ja ich nie znalazłem”.
Krok trzeci ( Dodatkowa analiza ) : Jak możemy się teraz upewnić, że znaleźliśmy wszystkie korzenie, a nie tylko w widocznym obszarze rozwiązania graficznego? Aby to zrobić, należy rozszerzyć interwał wyszukiwania:
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..50,y=-10..15);
Nie ma nowych punktów skrzyżowania. Ostatecznie rozumiemy, że składnik wykładniczy na granicach przedziału ma największy udział w wartości funkcji po lewej stronie równania. Wartości funkcji w tym obszarze mają tendencję do , dlatego nie możemy znaleźć dodatkowych pierwiastków.
Spróbujmy w innych miejscach: po prawej i lewej stronie obszaru znalezionych korzeni.
> fsolve(równ.,x=5..50);
> fsolve(równ.,x=-50..-1);
I nie ma tu ani jednego dodatkowego korzenia! Uświadomiwszy sobie, że wszystko jest jasne pod wpływem wykładniczej części równania, wyciągamy ostateczne wnioski.
Wyczerpujące rozwiązanie równania 
składa się z czterech pierwiastków: -.8251554597, 0, 1.545007279, 4.567036837.
Użyjmy polecenia rozwiąż dla przybliżonego rozwiązania równania przestępnego 
.
Podobnie jak w poprzednim przypadku, najpierw znajdujemy wysokiej jakości rozwiązanie graficzne. Aby to zrobić, musisz jeszcze odgadnąć, jak rozproszyć jego wyrazy po obu stronach równania. Jednak możliwości graficzne Maple są tak duże, że prawie zawsze można umieścić wszystkie wyrazy równania na jednej stronie.
Rozważmy równanie równoważne temu: 
. Wymaganymi pierwiastkami będą odcięte punktów przecięcia wykresu funkcji po lewej stronie równania z osią Wół.
> równanie:=x^2/20-10*x-15*cos(x+15)=0;
> wykres(lhs(równ.),x=-10..10);
Wykres wskazuje obszar poszukiwań pierwiastków: interwał. Teraz kolej na drużynę rozwiąż :
> frozwiązać(równ.,x=1..2);
Znaleziono korzeń. Ale najwyraźniej nie jest on jedyny. Rozwiń obszar wyszukiwania i użyj polecenia ponownie rozwiąż znaleźć drugi pierwiastek.
Ćwiczenie 4.2
Znajdź wszystkie rzeczywiste pierwiastki równania 
zaczynając od rozwiązania graficznego.
Wykreślmy lewą stronę równania:
> równanie:=x^5-4*x^3+3*x^2+7*x-1=0;
> wykres(lhs(eq),x=-5..5,y=-5..5);
W rezultacie znajdujemy pierwiastki równania w pierwszym przybliżeniu: -2; -1,5; 0. Teraz użyjmy polecenia rozwiąż bez określenia zakresu wyszukiwania ( Oceńmy możliwości Maple):
> fsolve(równ.,x);
Z przyjemnością zauważamy, że Maple wyprowadza wszystkie trzy pierwiastki (nie zapominajmy, że rozwiązaliśmy równanie wymierne).
Ćwiczenie 4.3
Znajdź wszystkie pierwiastki równania 
. Użyj rozwiązania graficznego. Sprawdź każdy pierwiastek poprzez bezpośrednie podstawienie.
Sprowadźmy równanie do standardowej (dla tej sekcji) postaci:
> równanie:=x^2-2-ln(x+5)=0;
Teraz wykreślmy lewą stronę równania:
> wykres(lhs(równ.),x=-10..10);
Podobno są dwa korzenie. Jedna ma wartość około -2, a druga wydaje się wynosić 2.
Użyjmy polecenia rozwiąż, ograniczając zakres wyszukiwania:
> x:=frozwiązać(równ.,x=-5..0);
> x:=frozwiąż(równ.,x=1..3);
Sprawdźmy pierwiastki poprzez bezpośrednie podstawienie:
> evalf(subs(x=x,eq));
> evalf(subs(x=x,eq));
Należy zauważyć, że w obu przypadkach nie ma prawdziwej równości. Biorąc pod uwagę błędy zaokrągleń, rozsądna rozbieżność jest całkiem akceptowalna.
Upewnij się, że nie ma innych korzeni. Uzasadnij swoją odpowiedź.
Ćwiczenie 4.4
Wykresy funkcji 
I 
przecinają się dwukrotnie na odcinku [-5;5].
A). Konstruuj wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych i za pomocą myszki znajdź współrzędne punktów przecięcia.
B). Napisz równanie, którego pierwiastkami są odcięte punkty przecięcia wykresów.
C). Użyj polecenia rozwiąż rozwiązać to równanie.
D). Wykorzystaj wyniki z części c) do oszacowania rzędnych punktów przecięcia wykresów.
mi). Nie masz wrażenia, że linie mogą przecinać się w trzecim punkcie o współrzędnych (1;9)? Używać rozwiąż i możliwości graficzne Maple, aby udowodnić, że jest inaczej.
> y1:=10-x^2;
> y2:=4*sin(2*x)+5;
Teraz narysujmy funkcje:
> wykres(,x=-5..5);
Przybliżone współrzędne punktów przecięcia: (-1,8, 6,6) i (2,75, 2) .
b) Stwórzmy równanie:
> równanie:= y1=y2;
c) Zespół rozwiąż pomoże Ci znaleźć odpowiednie korzenie:
> x1:=frozwiąż(y1=y2,x=-4..0);
> x2:=frozwiąż(y1=y2,x=0..4);
d) Użyj polecenia sub aby określić odpowiednie rzędne punktów przecięcia:
> y:=subs(x=x1,y1);
> y:=subs(x=x2,y1);
Wspólne punkty wykresu: (-1,800,6,763) i (2,773,2,311).
e) Zbadaj graficznie sąsiedztwo punktu x = 1:
> wykres(,x=.5..1.5);
Zespół rozwiąż tym razem pozwoli nam to udowodnić brak pierwiastków w pobliżu punktu x = 1:
> fsolve(y1=y2,x=.5..1.5);
04. 04 Rozwiązywanie równań w postaci ogólnej
* Rozwiązywanie równań literałowych*
W wielu przypadkach Maple znajduje rozwiązanie równania w postaci ogólnej (symbolicznej). Mówimy o równaniu (nie o układzie!) zawierającym kilka zmiennych. Rozwiązaniem jest wyrażenie jednej ze zmiennych w kategoriach pozostałych.
Niech konieczne będzie rozwiązanie równania 
względem zmiennej g. Z przyzwyczajenia używamy polecenia rozwiązywać. I spełnia nasze nadzieje:
> rozwiązać(4-v=2*T-k*g,g);
Zatem rozwiązanie można zapisać w zwykłej formie:
> g=rozwiąż(4-v=2*T-k*g,g);
Ćwiczenie 4.4
Rozwiąż ostatnie równanie dla innych zmiennych: T, k I w.
> T=rozwiąż(4-v=2*T-k*g,T);
> k=rozwiąż(4-v=2*T-k*g,k);
> v=rozwiąż(4-v=2*T-k*g,v);
Ćwiczenie 4.5
Rozwiązać równanie 
w stosunku do y. Nadaj ciągowi pierwiastków nazwę S. Jak powiązane są korzenie S i S?
> S:=rozwiąż(x^2+y^2=25,y);
Korzenie różnią się jedynie znakiem.