Równa sumie iloczynów elementów wiersza lub kolumny przez ich uzupełnienia algebraiczne, tj. , gdzie i 0 jest stałe.
Wyrażenie (*) nazywa się rozwinięciem wyznacznika D na elementy wiersza o numerze i 0 .

Cel usługi. Usługa ta ma na celu znalezienie wyznacznika macierzy online z całym procesem rozwiązywania zapisanym w formacie Word. Dodatkowo tworzony jest szablon rozwiązania w programie Excel.

Instrukcje. Wybierz wymiar macierzy i kliknij Dalej. Wyznacznik można obliczyć na dwa sposoby: a-przeorat I według wiersza lub kolumny. Jeśli chcesz znaleźć wyznacznik, tworząc zera w jednym z wierszy lub kolumn, możesz skorzystać z tego kalkulatora.

Algorytm znajdowania wyznacznika

1. Dla macierzy rzędu n=2 wyznacznik oblicza się ze wzoru: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Dla macierzy rzędu n=3 wyznacznik oblicza się poprzez dodawanie algebraiczne lub Metoda Sarrusa.
3. Macierz o wymiarze większym niż trzy rozkładana jest na dopełnienia algebraiczne, dla których obliczane są ich wyznaczniki (mollory). Na przykład, Wyznacznik macierzy czwartego rzędu znaleźć poprzez rozwinięcie w wiersze lub kolumny (patrz przykład).

Do obliczenia wyznacznika zawierającego funkcje w macierzy stosuje się metody standardowe. Na przykład oblicz wyznacznik macierzy trzeciego rzędu:

Stosujemy metodę rozkładu wzdłuż pierwszego rzędu.
Δ = grzech(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metody obliczania wyznaczników

Znajdowanie wyznacznika poprzez dodawanie algebraiczne jest powszechną metodą. Uproszczoną wersją jest obliczenie wyznacznika za pomocą reguły Sarrusa. Jeżeli jednak wymiar macierzy jest duży, stosuje się następujące metody:

1. obliczenie wyznacznika metodą redukcji rzędu
2. obliczenie wyznacznika metodą Gaussa (poprzez redukcję macierzy do postaci trójkątnej).

W Excelu do obliczenia wyznacznika używana jest funkcja =MOPRED(zakres komórek).

Stosowane wykorzystanie wyznaczników

Wyznaczniki oblicza się z reguły dla konkretnego układu określonego w postaci macierzy kwadratowej. Rozważmy niektóre rodzaje problemów znajdowanie wyznacznika macierzy. Czasami trzeba znaleźć nieznany parametr a, dla którego wyznacznik będzie równy zero. W tym celu należy utworzyć równanie wyznacznikowe (na przykład wg reguła trójkąta) i przyrównując go do 0, oblicz parametr a.
rozkład kolumn (pierwsza kolumna):
Drobne dla (1,1): Przekreśl pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę macierzy.
Znajdźmy wyznacznik dla tego drobnego. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.

Ustalmy moll dla (2,1): w tym celu usuwamy z macierzy drugi wiersz i pierwszą kolumnę.

Znajdźmy wyznacznik dla tego drobnego. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Drobne dla (3,1): Przekreśl trzeci rząd i pierwszą kolumnę macierzy.
Znajdźmy wyznacznik dla tego drobnego. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Głównym wyznacznikiem jest: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Znajdźmy wyznacznik za pomocą rozwinięcia wiersz po wierszu (o pierwszy wiersz):
Drobne dla (1,1): Przekreśl pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę macierzy.

Znajdźmy wyznacznik dla tego drobnego. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Drobne dla (1,2): Przekreśl pierwszy rząd i drugą kolumnę macierzy. Obliczmy wyznacznik dla tego małoletniego. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. Aby znaleźć moll dla (1,3), przekreślamy pierwszy wiersz i trzecią kolumnę macierzy. Znajdźmy wyznacznik dla tego drobnego. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Znajdź główny wyznacznik: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Pojęcie wyznacznika jest jednym z głównych w algebrze liniowej. Koncepcja ta jest nieodłącznie związana TYLKO z MATRYCAMI KWADRATOWYMI i temu pojęciu poświęcony jest ten artykuł. Tutaj porozmawiamy o wyznacznikach macierzy, których elementami są liczby rzeczywiste (lub zespolone). W tym przypadku wyznacznikiem jest liczba rzeczywista (lub zespolona). Cała dalsza prezentacja będzie odpowiedzią na pytania jak obliczyć wyznacznik i jakie ma on właściwości.

Najpierw podajemy definicję wyznacznika macierzy kwadratowej rzędu n na n jako sumę iloczynów permutacji elementów macierzy. Na podstawie tej definicji napiszemy wzory na obliczenie wyznaczników macierzy pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu oraz szczegółowo przeanalizujemy rozwiązania kilku przykładów.

Następnie przechodzimy do właściwości wyznacznika, które sformułowamy w formie twierdzeń bez dowodu. Otrzymamy tu metodę obliczania wyznacznika poprzez jego rozwinięcie na elementy wiersza lub kolumny. Metoda ta pozwala zredukować obliczenie wyznacznika macierzy rzędu n przez n do obliczenia wyznaczników macierzy rzędu 3 o 3 lub mniej. Na pewno pokażemy rozwiązania kilku przykładów.

Podsumowując, skupimy się na obliczeniu wyznacznika metodą Gaussa. Ta metoda jest dobra do znajdowania wartości wyznaczników macierzy rzędu wyższego niż 3 na 3, ponieważ wymaga mniejszego wysiłku obliczeniowego. Przyjrzymy się również rozwiązaniom przykładów.

Nawigacja strony.

Wyznaczanie wyznacznika macierzy, obliczanie wyznacznika macierzy z definicji.

Przypomnijmy kilka pojęć pomocniczych.

Definicja.

Permutacja rzędu n Uporządkowany zbiór liczb składający się z n elementów nazywany jest.

Dla zbioru zawierającego n elementów istnieje n! (n silnia) permutacje rzędu n. Permutacje różnią się od siebie jedynie kolejnością występowania elementów.

Rozważmy na przykład zbiór składający się z trzech liczb: . Zapiszmy wszystkie permutacje (w sumie jest ich sześć, ponieważ ):

Definicja.

Przez inwersję w permutacji rzędu n Wywoływana jest dowolna para wskaźników p i q, dla której p-ty element permutacji jest większy niż q-ty.

W poprzednim przykładzie odwrotnością permutacji 4, 9, 7 jest para p=2, q=3, gdyż drugi element permutacji jest równy 9 i jest większy od trzeciego, równego 7. Odwróceniem permutacji 9, 7, 4 będą trzy pary: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) i p=2, q=3 (7>4).

Będziemy bardziej zainteresowani liczbą inwersji w permutacji niż samą inwersją.

Niech będzie macierzą kwadratową rzędu n na n w polu liczb rzeczywistych (lub zespolonych). Niech będzie zbiorem wszystkich permutacji rzędu n zbioru . Zestaw zawiera n! permutacje. Oznaczmy k-tą permutację zbioru jako , a liczbę inwersji w k-tej permutacji jako .

Definicja.

Wyznacznik macierzy I jest liczba równa .

Opiszmy tę formułę słowami. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej rzędu n na n jest suma zawierająca n! warunki. Każdy wyraz jest iloczynem n elementów macierzy, a każdy iloczyn zawiera element z każdego wiersza i każdej kolumny macierzy A. Współczynnik (-1) pojawia się przed k-tym wyrazem, jeśli elementy macierzy A w iloczynie są uporządkowane według numeru wiersza, a liczba inwersji w k-tej permutacji zbioru numerów kolumn jest nieparzysta.

Wyznacznik macierzy A jest zwykle oznaczany jako , stosuje się także det(A). Możesz także usłyszeć wyznacznik zwany wyznacznikiem.

Więc, .

Z tego jasno wynika, że ​​wyznacznikiem macierzy pierwszego rzędu jest element tej macierzy.

Obliczanie wyznacznika macierzy kwadratowej drugiego rzędu - wzór i przykład.

ogólnie około 2 na 2.

W tym przypadku n=2, zatem n!=2!=2.

.

Mamy

W ten sposób otrzymaliśmy wzór na obliczenie wyznacznika macierzy rzędu 2 na 2, ma on postać .

Przykład.

zamówienie .

Rozwiązanie.

W naszym przykładzie. Stosujemy wynikową formułę :

Obliczanie wyznacznika macierzy kwadratowej trzeciego rzędu - wzór i przykład.

Znajdźmy wyznacznik macierzy kwadratowej ogólnie około 3 na 3.

W tym przypadku n=3, zatem n!=3!=6.

Uporządkujmy w formie tabeli dane niezbędne do zastosowania wzoru .

Mamy

W ten sposób otrzymaliśmy wzór na obliczenie wyznacznika macierzy rzędu 3 na 3, ma on postać

Podobnie można otrzymać wzory na obliczanie wyznaczników macierzy rzędu 4 na 4, 5 na 5 i wyższych. Będą wyglądać na bardzo masywne.

Przykład.

Oblicz wyznacznik macierzy kwadratowej około 3 na 3.

Rozwiązanie.

W naszym przykładzie

Otrzymany wzór stosujemy do obliczenia wyznacznika macierzy trzeciego rzędu:

Wzory do obliczania wyznaczników macierzy kwadratowych drugiego i trzeciego rzędu są bardzo często stosowane, dlatego zalecamy ich zapamiętanie.

Własności wyznacznika macierzy, obliczanie wyznacznika macierzy z wykorzystaniem własności.

Na podstawie podanej definicji prawdziwe są następujące stwierdzenia: właściwości wyznacznika macierzy.

Wyznacznik macierzy A jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej A T, czyli .

Przykład.

Upewnij się, że wyznacznik macierzy jest równa wyznacznikowi transponowanej macierzy.

Rozwiązanie.

Skorzystajmy ze wzoru do obliczenia wyznacznika macierzy rzędu 3 na 3:



Transpozycja macierzy A:


Obliczmy wyznacznik transponowanej macierzy:



Rzeczywiście wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej.

Jeżeli w macierzy kwadratowej wszystkie elementy przynajmniej jednego z wierszy (jednej z kolumn) są równe zeru, to wyznacznik takiej macierzy jest równy zero.

Przykład.

Sprawdź, czy wyznacznik macierzy rząd 3 na 3 wynosi zero.

Rozwiązanie.




Rzeczywiście wyznacznik macierzy z kolumną zerową jest równy zero.

Jeśli w macierzy kwadratowej przestawisz dowolne dwa wiersze (kolumny), to wyznacznik wynikowej macierzy będzie przeciwny do pierwotnego (to znaczy zmieni się znak).

Przykład.

Biorąc pod uwagę dwie macierze kwadratowe rzędu 3 na 3 I . Pokaż, że ich wyznaczniki są przeciwne.

Rozwiązanie.

Matryca B uzyskuje się z macierzy A, zastępując trzeci wiersz pierwszym, a pierwszy trzecim. Zgodnie z rozważaną właściwością wyznaczniki takich macierzy muszą różnić się znakami. Sprawdźmy to obliczając wyznaczniki korzystając ze znanego wzoru.



Naprawdę, .

Jeżeli w macierzy kwadratowej co najmniej dwa wiersze (dwie kolumny) są takie same, to jej wyznacznik jest równy zeru.

Przykład.

Pokaż, że wyznacznik macierzy równy zeru.

Rozwiązanie.

W tej macierzy druga i trzecia kolumna są takie same, więc zgodnie z rozważaną właściwością jej wyznacznik musi być równy zero. Sprawdźmy to.



W rzeczywistości wyznacznik macierzy z dwiema identycznymi kolumnami wynosi zero.

Jeśli w macierzy kwadratowej wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) zostaną pomnożone przez pewną liczbę k, wówczas wyznacznik otrzymanej macierzy będzie równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej pomnożonej przez k. Na przykład,



Przykład.

Udowodnić, że wyznacznik macierzy równy potrójnej wyznacznikowi macierzy .

Rozwiązanie.

Elementy pierwszej kolumny macierzy B otrzymujemy z odpowiednich elementów pierwszej kolumny macierzy A, mnożąc przez 3. Następnie, ze względu na rozważaną własność, równość musi zachodzić. Sprawdźmy to obliczając wyznaczniki macierzy A i B.



Dlatego właśnie należało to udowodnić.

NOTATKA.

Nie mylić i nie mieszać pojęć macierzy i wyznacznika! Rozważana właściwość wyznacznika macierzy i operacja mnożenia macierzy przez liczbę są dalekie od tego samego.
, Ale .

Jeżeli wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) macierzy kwadratowej reprezentują sumę s wyrazów (s jest liczbą naturalną większą od jedności), to wyznacznik takiej macierzy będzie równy sumie s wyznaczników otrzymanych macierzy od pierwotnego, jeśli elementami wiersza (kolumny) są: zostaw po jednym wyrazie. Na przykład,


Przykład.

Udowodnić, że wyznacznik macierzy jest równy sumie wyznaczników macierzy .

Rozwiązanie.

W naszym przykładzie zatem ze względu na rozważaną właściwość wyznacznika macierzy równość musi być spełniona . Sprawdźmy to obliczając odpowiednie wyznaczniki macierzy rzędu 2 na 2 korzystając ze wzoru .


Z uzyskanych wyników jasno wynika, że . To kończy dowód.

Jeżeli do elementów pewnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) macierzy i pomnożymy je przez dowolną liczbę k, wówczas wyznacznik otrzymanej macierzy będzie równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej .

Przykład.

Upewnij się, że jeśli do elementów trzeciej kolumny macierzy dodaj odpowiednie elementy drugiej kolumny tej macierzy pomnożone przez (-2) i dodaj odpowiednie elementy pierwszej kolumny macierzy pomnożone przez dowolną liczbę rzeczywistą, wówczas wyznacznik wynikowej macierzy będzie równy wyznacznik macierzy pierwotnej.

Rozwiązanie.

Jeżeli zaczniemy od rozważanej właściwości wyznacznika, to wyznacznik macierzy otrzymanej po wszystkich określonych w zadaniu przekształceń będzie równy wyznacznikowi macierzy A.

Najpierw obliczmy wyznacznik pierwotnej macierzy A:



Dokonajmy teraz niezbędnych przekształceń macierzy A.

Dodajmy do elementów trzeciej kolumny macierzy odpowiednie elementy drugiej kolumny macierzy, uprzednio pomnożąc je przez (-2). Następnie macierz przyjmie postać:


Do elementów trzeciej kolumny powstałej macierzy dodajemy odpowiednie elementy pierwszej kolumny pomnożone przez:


Obliczmy wyznacznik otrzymanej macierzy i upewnijmy się, że jest on równy wyznacznikowi macierzy A, czyli -24:



Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez ich dodatki algebraiczne.



Oto dopełnienie algebraiczne elementu macierzy , .

Właściwość ta pozwala obliczyć wyznaczniki macierzy rzędu wyższego niż 3 na 3, redukując je do sumy kilku wyznaczników macierzy rzędu jeden niżej. Innymi słowy, jest to powtarzający się wzór na obliczenie wyznacznika macierzy kwadratowej dowolnego rzędu. Zalecamy zapamiętanie go ze względu na jego dość częste zastosowanie.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład.

około 4 na 4, rozszerzając je

• przez elementy 3. linii,
• przez elementy drugiej kolumny.

Rozwiązanie.

Korzystamy ze wzoru na rozkład wyznacznika na elementy trzeciego rzędu



Mamy



Zatem problem znalezienia wyznacznika macierzy rzędu 4 na 4 został zredukowany do obliczenia trzech wyznaczników macierzy rzędu 3 na 3:



Podstawiając otrzymane wartości dochodzimy do wyniku:


Korzystamy ze wzoru na rozkład wyznacznika na elementy drugiej kolumny


i postępujemy w ten sam sposób.

Nie będziemy szczegółowo opisywać obliczania wyznaczników macierzy trzeciego rzędu.



Przykład.

Oblicz wyznacznik macierzy około 4 na 4.

Rozwiązanie.

Wyznacznik macierzy można rozwinąć na elementy dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza, jednak bardziej opłacalne jest wybranie wiersza lub kolumny zawierającej największą liczbę elementów zerowych, ponieważ pozwoli to uniknąć niepotrzebnych obliczeń. Rozwińmy wyznacznik na elementy pierwszej linii:



Wynikowe wyznaczniki macierzy rzędu 3 na 3 obliczmy korzystając ze znanego nam wzoru:



Zastąp wyniki i uzyskaj żądaną wartość


Przykład.

Oblicz wyznacznik macierzy około 5 na 5.

Rozwiązanie.

Czwarty rząd macierzy ma największą liczbę elementów zerowych spośród wszystkich wierszy i kolumn, dlatego wskazane jest rozszerzenie wyznacznika macierzy dokładnie o elementy czwartego rzędu, ponieważ w tym przypadku będziemy potrzebować mniej obliczeń.



Otrzymane wyznaczniki macierzy rzędu 4 na 4 znaleziono w poprzednich przykładach, skorzystajmy więc z gotowych wyników:



Przykład.

Oblicz wyznacznik macierzy około 7 na 7.

Rozwiązanie.

Nie należy od razu spieszyć się z sortowaniem wyznacznika na elementy dowolnego wiersza lub kolumny. Jeśli przyjrzysz się uważnie macierzy, zauważysz, że elementy szóstego rzędu macierzy można otrzymać mnożąc odpowiednie elementy drugiego rzędu przez dwa. Oznacza to, że jeśli odpowiednie elementy drugiego rzędu zostaną dodane do elementów szóstego rzędu pomnożone przez (-2), wówczas wyznacznik nie ulegnie zmianie ze względu na siódmą właściwość, a szósty wiersz wynikowej macierzy będzie się składał zer. Wyznacznik takiej macierzy jest równy zero według drugiej właściwości.

Odpowiedź:

Należy zauważyć, że rozważana właściwość pozwala na obliczenie wyznaczników macierzy dowolnego rzędu, ale wymaga wykonania wielu operacji obliczeniowych. W większości przypadków bardziej korzystne jest znalezienie wyznacznika macierzy rzędu wyższego niż trzeci za pomocą metody Gaussa, co rozważymy poniżej.

Suma iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) macierzy kwadratowej przez uzupełnienia algebraiczne odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) jest równa zero.


Przykład.

Pokaż, że suma iloczynów elementów trzeciej kolumny macierzy na uzupełnieniach algebraicznych odpowiednich elementów pierwszej kolumny jest równa zero.

Rozwiązanie.




Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego rzędu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli , gdzie m jest liczbą naturalną większą od jedności, A k, k=1,2,...,m są macierzami kwadratowymi tego samego rzędu.

Przykład.

Sprawdź, czy wyznacznik iloczynu dwóch macierzy i jest równy iloczynowi ich wyznaczników.

Rozwiązanie.

Znajdźmy najpierw iloczyn wyznaczników macierzy A i B:


Wykonajmy teraz mnożenie macierzy i obliczmy wyznacznik otrzymanej macierzy:



Zatem, , to właśnie trzeba było pokazać.

Obliczanie wyznacznika macierzy metodą Gaussa.

Opiszmy istotę tej metody. Za pomocą przekształceń elementarnych macierz A sprowadza się do takiej postaci, że w pierwszej kolumnie wszystkie elementy oprócz tych stają się zerowe (można to zawsze zrobić, jeśli wyznacznik macierzy A jest różny od zera). Opiszemy tę procedurę nieco później, ale teraz wyjaśnimy, dlaczego tak się dzieje. Elementy zerowe uzyskuje się w celu uzyskania najprostszego rozwinięcia wyznacznika po elementach pierwszej kolumny. Po takim przekształceniu macierzy A, biorąc pod uwagę ósmą właściwość i, otrzymujemy

Gdzie - mniejszy (n-1)-ty rząd, uzyskaną z macierzy A poprzez usunięcie elementów jej pierwszego wiersza i pierwszej kolumny.

W przypadku macierzy, której odpowiada minor, wykonuje się tę samą procedurę, aby uzyskać elementy zerowe w pierwszej kolumnie. I tak dalej, aż do ostatecznego obliczenia wyznacznika.

Teraz pozostaje odpowiedzieć na pytanie: „Jak uzyskać zero elementów w pierwszej kolumnie”?

Opiszmy algorytm działania.

Jeżeli , to odpowiednie elementy k-tego rzędu dodawane są do elementów pierwszego rzędu macierzy, w której . (Jeżeli wszystkie elementy pierwszej kolumny macierzy A bez wyjątku są równe zeru, to jej wyznacznik jest równy zero według drugiej własności i nie jest wymagana metoda Gaussa). Po takiej transformacji „nowy” element będzie niezerowy. Wyznacznik „nowej” macierzy będzie równy wyznacznikowi pierwotnej macierzy ze względu na siódmą własność.

Teraz mamy macierz z . Kiedy do elementów drugiej linii dodajemy odpowiednie elementy pierwszej linii pomnożone przez , do elementów trzeciej linii - odpowiednie elementy pierwszej linii pomnożone przez . I tak dalej. Na koniec do elementów n-tego rzędu dodajemy odpowiednie elementy pierwszego rzędu pomnożone przez . W rezultacie otrzymamy przekształconą macierz A, której wszystkie elementy pierwszej kolumny, z wyjątkiem , będą równe zero. Wyznacznik otrzymanej macierzy będzie równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej ze względu na siódmą właściwość.

Spójrzmy na metodę rozwiązywania przykładu, będzie jaśniejsza.

Przykład.

Oblicz wyznacznik macierzy rzędu 5 na 5 .

Rozwiązanie.

Skorzystajmy z metody Gaussa. Przekształćmy macierz A tak, aby wszystkie elementy jej pierwszej kolumny, z wyjątkiem , stały się zerem.

Ponieważ element jest początkowo , do elementów pierwszego wiersza macierzy dodajemy odpowiednie elementy, na przykład drugiego rzędu, gdyż :

Znak „~” oznacza równoważność.

Teraz dodajemy do elementów drugiej linii odpowiednie elementy pierwszej linii, pomnożone przez , do elementów trzeciej linii – odpowiednie elementy pierwszej linii pomnożone przez i postępuj podobnie aż do szóstej linii:

Dostajemy

Z matrycą Wykonujemy tę samą procedurę w celu uzyskania elementów zerowych w pierwszej kolumnie:

Stąd,

Teraz wykonujemy transformacje z macierzą :

Komentarz.

Na pewnym etapie transformacji macierzy metodą Gaussa może dojść do sytuacji, w której wszystkie elementy kilku ostatnich wierszy macierzy staną się zerowe. Będzie to oznaczać, że wyznacznik jest równy zeru.

Podsumować.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej, której elementami są liczby, jest liczba. Przyjrzeliśmy się trzem sposobom obliczenia wyznacznika:

1. poprzez sumę iloczynów kombinacji elementów macierzy;
2. poprzez rozkład wyznacznika na elementy rzędu lub kolumny macierzy;
3. poprzez redukcję macierzy do górnej trójkątnej (metoda Gaussa).

Otrzymano wzory do obliczenia wyznaczników macierzy rzędu 2 na 2 i 3 na 3.

Zbadaliśmy właściwości wyznacznika macierzy. Niektóre z nich pozwalają szybko zrozumieć, że wyznacznik wynosi zero.

Przy obliczaniu wyznaczników macierzy rzędu wyższego niż 3 na 3 zaleca się stosowanie metody Gaussa: wykonaj elementarne przekształcenia macierzy i sprowadź ją do górnego trójkąta. Wyznacznik takiej macierzy jest równy iloczynowi wszystkich elementów na głównej przekątnej.

Sformułowanie problemu

Zadanie wymaga od użytkownika zapoznania się z podstawowymi pojęciami metod numerycznych, takimi jak wyznacznik i macierz odwrotna oraz różnymi sposobami ich obliczania. W niniejszym raporcie teoretycznym w pierwszej kolejności, prostym i przystępnym językiem, przedstawiono podstawowe pojęcia i definicje, na podstawie których prowadzone są dalsze badania. Użytkownik może nie posiadać specjalnej wiedzy z zakresu metod numerycznych i algebry liniowej, ale z łatwością może wykorzystać wyniki tej pracy. Dla przejrzystości podano program do obliczania wyznacznika macierzy kilkoma metodami, napisany w języku programowania C++. Program służy jako stanowisko laboratoryjne do tworzenia ilustracji do raportu. Prowadzone są także badania metod rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych. Udowodniono bezużyteczność obliczania macierzy odwrotnej, dlatego praca zapewnia bardziej optymalne sposoby rozwiązywania równań bez jej obliczania. Wyjaśnia, dlaczego istnieje tak wiele różnych metod obliczania wyznaczników i macierzy odwrotnych oraz omawia ich wady. Uwzględnia się także błędy w obliczeniu wyznacznika i ocenia uzyskaną dokładność. Oprócz terminów rosyjskich w pracy wykorzystano także ich angielskie odpowiedniki, aby zrozumieć, pod jakimi nazwami należy szukać procedur numerycznych w bibliotekach i co oznaczają ich parametry.

Podstawowe definicje i najprostsze właściwości

Wyznacznik

Wprowadźmy definicję wyznacznika macierzy kwadratowej dowolnego rzędu. Ta definicja będzie nawracający, czyli aby ustalić, jaki jest wyznacznik macierzy rzędu, trzeba już wiedzieć, jaki jest wyznacznik macierzy rzędu. Należy również zauważyć, że wyznacznik istnieje tylko dla macierzy kwadratowych.

Wyznacznik macierzy kwadratowej będziemy oznaczać przez lub det.

Definicja 1. Wyznacznik macierz kwadratowa wywoływany jest drugi numer porządkowy .

Wyznacznik macierz kwadratowa rzędu nazywa się liczbą

gdzie jest wyznacznikiem macierzy rzędu otrzymanej z macierzy poprzez usunięcie pierwszego wiersza i kolumny z liczbą.

Dla jasności napiszmy, jak obliczyć wyznacznik macierzy czwartego rzędu:

Komentarz. W wyjątkowych przypadkach stosuje się faktyczne obliczenie wyznaczników macierzy powyżej trzeciego rzędu na podstawie definicji. Zazwyczaj obliczenia przeprowadza się przy użyciu innych algorytmów, które zostaną omówione później i które wymagają mniej pracy obliczeniowej.

Komentarz. W Definicji 1 trafniej byłoby powiedzieć, że wyznacznikiem jest funkcja określona na zbiorze kwadratowych macierzy rzędu i przyjmująca wartości ze zbioru liczb.

Komentarz. W literaturze zamiast terminu „wyznacznik” używa się także terminu „wyznacznik”, które ma to samo znaczenie. Od słowa „wyznacznik” pojawiło się oznaczenie det.

Rozważmy niektóre właściwości wyznaczników, które sformułujemy w formie twierdzeń.

Oświadczenie 1. Podczas transpozycji macierzy wyznacznik nie zmienia się, czyli .

Oświadczenie 2. Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi wyznaczników czynników, tj.

Oświadczenie 3. Jeśli w macierzy zamienimy dwa wiersze, jej wyznacznik zmieni znak.

Oświadczenie 4. Jeśli macierz ma dwa identyczne wiersze, to jej wyznacznik wynosi zero.

W przyszłości będziemy musieli dodać ciągi znaków i pomnożyć ciąg przez liczbę. Działania te będziemy wykonywać na wierszach (kolumnach) w taki sam sposób, jak akcje na macierzach wierszowych (macierzach kolumnowych), czyli element po elemencie. Wynikiem będzie wiersz (kolumna), który z reguły nie pokrywa się z wierszami oryginalnej macierzy. Jeśli występują operacje dodawania wierszy (kolumn) i mnożenia ich przez liczbę, możemy mówić także o liniowych kombinacjach wierszy (kolumn), czyli sumach ze współczynnikami liczbowymi.

Oświadczenie 5. Jeśli wiersz macierzy zostanie pomnożony przez liczbę, to jej wyznacznik zostanie pomnożony przez tę liczbę.

Oświadczenie 6. Jeżeli macierz zawiera wiersz zerowy, to jej wyznacznikiem jest zero.

Oświadczenie 7. Jeśli jeden z wierszy macierzy jest równy drugiemu, pomnożonemu przez liczbę (wiersze są proporcjonalne), to wyznacznik macierzy jest równy zeru.

Oświadczenie 8. Niech i-ty wiersz macierzy będzie miał postać . Następnie, gdzie macierz otrzymuje się z macierzy zastępując i-ty wiersz wierszem, a macierz otrzymuje się zastępując i-ty rząd wierszem.

Oświadczenie 9. Jeśli do jednego z wierszy macierzy dodamy kolejny wiersz pomnożony przez liczbę, to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie.

Oświadczenie 10. Jeżeli jeden z wierszy macierzy jest liniową kombinacją jej pozostałych wierszy, to wyznacznik macierzy jest równy zeru.

Definicja 2. Dopełnienie algebraiczne do elementu macierzy jest liczba równa , gdzie jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy poprzez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy oznacza się przez .

Przykład. Pozwalać . Następnie

Komentarz. Stosując dodatki algebraiczne definicję 1 wyznacznika można zapisać w następujący sposób:

Oświadczenie 11. Rozwinięcie wyznacznika w dowolnym ciągu znaków.

Wzór na wyznacznik macierzy to

Przykład. Oblicz .

Rozwiązanie. Skorzystajmy z rozwinięcia wzdłuż trzeciej linii, jest to bardziej opłacalne, ponieważ w trzeciej linii dwie z trzech liczb są zerami. Dostajemy

Oświadczenie 12. Dla macierzy kwadratowej rzędu w relacja zachodzi: .

Oświadczenie 13. Wszystkie własności wyznacznika sformułowanego dla wierszy (stwierdzenia 1 - 11) obowiązują także dla kolumn, w szczególności obowiązuje rozkład wyznacznika w j-tej kolumnie i równość Na .

Oświadczenie 14. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów jej głównej przekątnej.

Konsekwencja. Wyznacznik macierzy tożsamości jest równy jeden, .

Wniosek. Wymienione powyżej właściwości pozwalają znaleźć wyznaczniki macierzy odpowiednio wysokich rzędów przy stosunkowo niewielkiej liczbie obliczeń. Algorytm obliczeń jest następujący.

Algorytm tworzenia zer w kolumnie. Załóżmy, że musimy obliczyć wyznacznik kolejności. Jeśli , zamień pierwszą linię z dowolną inną linią, w której pierwszy element jest różny od zera. W rezultacie wyznacznik będzie równy wyznacznikowi nowej macierzy o przeciwnym znaku. Jeżeli pierwszy element każdego wiersza jest równy zero, to macierz ma kolumnę zerową i zgodnie ze stwierdzeniami 1, 13 jej wyznacznik jest równy zero.

Wierzymy więc, że już w oryginalnej macierzy . Pierwszą linię pozostawiamy bez zmian. Do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez liczbę. Wtedy pierwszy element drugiej linii będzie równy .

Pozostałe elementy nowego drugiego rzędu oznaczamy przez , . Wyznacznik nowej macierzy zgodnie ze stwierdzeniem 9 jest równy . Pomnóż pierwszą linię przez liczbę i dodaj ją do trzeciej. Pierwszy element nowej trzeciej linii będzie równy

Pozostałe elementy nowego trzeciego rzędu oznaczamy przez , . Wyznacznik nowej macierzy zgodnie ze stwierdzeniem 9 jest równy .

Będziemy kontynuować proces uzyskiwania zer zamiast pierwszych elementów linii. Na koniec pomnóż pierwszą linię przez liczbę i dodaj ją do ostatniej linii. Wynikiem jest macierz, nazwijmy ją, która ma postać

I . Aby obliczyć wyznacznik macierzy, stosujemy rozwinięcie w pierwszej kolumnie

Od tego czasu

Po prawej stronie znajduje się wyznacznik macierzy rzędu. Stosujemy do niego ten sam algorytm, a obliczenie wyznacznika macierzy sprowadzimy do obliczenia wyznacznika macierzy rzędu. Powtarzamy proces, aż dotrzemy do wyznacznika drugiego rzędu, który jest obliczany z definicji.

Jeżeli macierz nie ma żadnych specyficznych właściwości, to nie jest możliwe istotne zmniejszenie ilości obliczeń w stosunku do zaproponowanego algorytmu. Kolejną zaletą tego algorytmu jest to, że można go łatwo wykorzystać do stworzenia programu komputerowego do obliczania wyznaczników macierzy dużych rzędów. Standardowe programy do obliczania wyznaczników wykorzystują ten algorytm z niewielkimi zmianami związanymi z minimalizacją wpływu błędów zaokrągleń i błędów danych wejściowych w obliczeniach komputerowych.

Przykład. Oblicz wyznacznik macierzy .

Rozwiązanie. Pierwszą linię pozostawiamy bez zmian. Do drugiej linii dodajemy pierwszą pomnożoną przez liczbę:

Wyznacznik się nie zmienia. Do trzeciej linii dodajemy pierwszą pomnożoną przez liczbę:

Wyznacznik się nie zmienia. Do czwartej linii dodajemy pierwszą pomnożoną przez liczbę:

Wyznacznik się nie zmienia. W rezultacie otrzymujemy

Stosując ten sam algorytm obliczamy wyznacznik macierzy rzędu 3, znajdującej się po prawej stronie. Pierwszą linię pozostawiamy bez zmian, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez liczbę :

Do trzeciej linii dodajemy pierwszą pomnożoną przez liczbę :

W rezultacie otrzymujemy

Odpowiedź. .

Komentarz. Chociaż w obliczeniach użyto ułamków, wynik okazał się liczbą całkowitą. Rzeczywiście, wykorzystując właściwości wyznaczników i fakt, że pierwotne liczby są liczbami całkowitymi, można by uniknąć operacji na ułamkach. Jednak w praktyce inżynierskiej liczby niezwykle rzadko są liczbami całkowitymi. Dlatego z reguły elementami wyznacznika będą ułamki dziesiętne i niewłaściwe jest stosowanie jakichkolwiek chwytów upraszczających obliczenia.

odwrotna macierz

Definicja 3. Macierz nazywa się odwrotna macierz dla macierzy kwadratowej, jeśli .

Z definicji wynika, że ​​macierzą odwrotną będzie macierz kwadratowa tego samego rzędu co macierz (w przeciwnym razie jeden z iloczynów lub nie byłby zdefiniowany).

Odwrotność macierzy jest oznaczona przez . Zatem jeśli istnieje, to .

Z definicji macierzy odwrotnej wynika, że ​​macierz jest odwrotnością macierzy, czyli . O macierzach można powiedzieć, że są one do siebie odwrotne lub wzajemnie odwrotne.

Jeśli wyznacznik macierzy wynosi zero, to jej odwrotność nie istnieje.

Ponieważ do znalezienia macierzy odwrotnej ważne jest, czy wyznacznik macierzy jest równy zeru, czy nie, wprowadzamy następujące definicje.

Definicja 4. Nazwijmy macierz kwadratową zdegenerowany Lub specjalna matryca, Jeśli niezdegenerowany Lub macierz nieosobliwa, Jeśli .

Oświadczenie. Jeśli istnieje macierz odwrotna, to jest ona unikalna.

Oświadczenie. Jeśli macierz kwadratowa nie jest osobliwa, wówczas istnieje jej odwrotność i (1) gdzie są algebraicznymi dopełnieniami elementów.

Twierdzenie. Macierz odwrotna dla macierzy kwadratowej istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz nie jest osobliwa, macierz odwrotna jest jednoznaczna i obowiązuje wzór (1).

Komentarz. Szczególną uwagę należy zwrócić na miejsca zajmowane przez dodania algebraiczne we wzorze macierzowym odwrotnym: pierwszy indeks pokazuje liczbę kolumna, a druga to liczba linie, w którym musisz zapisać obliczony dodatek algebraiczny.

Przykład. .

Rozwiązanie. Znalezienie wyznacznika

Ponieważ , to macierz nie jest zdegenerowana i istnieje jej odwrotność. Znajdowanie uzupełnień algebraicznych:

Tworzymy macierz odwrotną, umieszczając znalezione uzupełnienia algebraiczne tak, aby pierwszy indeks odpowiadał kolumnie, a drugi wierszowi: (2)

Otrzymana macierz (2) służy jako odpowiedź na problem.

Komentarz. W poprzednim przykładzie dokładniejsze byłoby napisanie odpowiedzi w następujący sposób:
(3)

Jednakże zapis (2) jest bardziej zwarty i w razie potrzeby wygodniej jest z nim przeprowadzić dalsze obliczenia. Dlatego też preferuje się zapisanie odpowiedzi w postaci (2), jeśli elementy macierzy są liczbami całkowitymi. I odwrotnie, jeśli elementami macierzy są ułamki dziesiętne, to lepiej zapisać macierz odwrotną bez współczynnika z przodu.

Komentarz. Szukając macierzy odwrotnej trzeba wykonać sporo obliczeń, a zasada układania dodatków algebraicznych w macierzy końcowej jest nietypowa. Dlatego istnieje duże prawdopodobieństwo błędu. Aby uniknąć błędów, należy sprawdzić: obliczyć iloczyn macierzy pierwotnej i macierzy końcowej w tej czy innej kolejności. Jeśli wynikiem jest macierz jednostkowa, to macierz odwrotna została znaleziona poprawnie. W przeciwnym razie musisz szukać błędu.

Przykład. Znajdź odwrotność macierzy .

Rozwiązanie. - istnieje.

Odpowiedź: .

Wniosek. Znalezienie macierzy odwrotnej za pomocą wzoru (1) wymaga zbyt wielu obliczeń. Dla macierzy czwartego rzędu i wyższych jest to niedopuszczalne. Rzeczywisty algorytm znajdowania macierzy odwrotnej zostanie podany później.

Obliczanie wyznacznika i macierzy odwrotnej metodą Gaussa

Do znalezienia wyznacznika i macierzy odwrotnej można zastosować metodę Gaussa.

Mianowicie wyznacznik macierzy jest równy det.

Macierz odwrotną wyznacza się rozwiązując układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa:

Gdzie jest j-ta kolumna macierzy jednostkowej, jest pożądanym wektorem.

Powstałe wektory rozwiązania oczywiście tworzą kolumny macierzy, ponieważ .

Wzory na wyznacznik

1. Jeśli macierz nie jest pojedyncza, to i (iloczyn elementów wiodących).

Przy rozwiązywaniu problemów z matematyki wyższej bardzo często pojawia się potrzeba obliczyć wyznacznik macierzy. Wyznacznik macierzy pojawia się w algebrze liniowej, geometrii analitycznej, analizie matematycznej i innych gałęziach matematyki wyższej. Zatem bez umiejętności rozwiązywania wyznaczników po prostu nie da się obejść. Ponadto, do samodzielnego sprawdzenia, możesz bezpłatnie pobrać kalkulator wyznaczników; nie nauczy Cię on, jak samodzielnie rozwiązywać wyznaczniki, ale jest to bardzo wygodne, ponieważ zawsze warto znać wcześniej poprawną odpowiedź!

Nie będę podawać ścisłej matematycznej definicji wyznacznika i, ogólnie rzecz biorąc, spróbuję zminimalizować terminologię matematyczną, nie ułatwi to większości czytelników; Celem tego artykułu jest nauczenie Cię, jak rozwiązywać wyznaczniki drugiego, trzeciego i czwartego rzędu. Cały materiał jest przedstawiony w prostej i przystępnej formie, a nawet pełny (pusty) czajniczek w wyższej matematyce, po dokładnym przestudiowaniu materiału, będzie w stanie poprawnie rozwiązać wyznaczniki.

W praktyce najczęściej można spotkać wyznacznik drugiego rzędu, np.: i ​​wyznacznik trzeciego rzędu, np.: .

Wyznacznik czwartego rzędu Nie jest to też antyk i do tego dojdziemy pod koniec lekcji.

Mam nadzieję, że wszyscy zrozumieli, co następuje: Liczby wewnątrz wyznacznika żyją same i nie ma mowy o żadnym odejmowaniu! Numerów nie można zamieniać!

(W szczególności możliwe jest dokonanie parami przegrupowań wierszy lub kolumn wyznacznika ze zmianą jego znaku, ale często nie jest to konieczne - patrz następna lekcja Własności wyznacznika i obniżenie jego rzędu)

Jeśli zatem podany jest jakikolwiek wyznacznik, to Nie dotykamy niczego w środku!

Oznaczenia: Jeśli podano macierz , wówczas oznacza się jego wyznacznik . Również bardzo często wyznacznik jest oznaczony literą łacińską lub grecką.

1)Co to znaczy rozwiązać (znaleźć, odkryć) wyznacznik? Obliczenie wyznacznika oznacza ZNAJDŹ LICZBĘ. Znaki zapytania w powyższych przykładach to zupełnie zwykłe liczby.

2) Teraz pozostaje się dowiedzieć JAK znaleźć ten numer? Aby to zrobić, musisz zastosować pewne zasady, formuły i algorytmy, które zostaną teraz omówione.

Zacznijmy od wyznacznika „dwa” przez „dwa”:

TRZEBA O TYM PAMIĘTAĆ, przynajmniej studiując matematykę wyższą na uniwersytecie.

Spójrzmy od razu na przykład:

Gotowy. Najważniejszą rzeczą jest NIE MYLIĆ SIĘ W ZNAKACH.

Wyznacznik macierzy trzy na trzy można otworzyć na 8 sposobów, 2 z nich są proste, a 6 normalne.

Zacznijmy od dwóch prostych sposobów

Podobnie jak wyznacznik dwa na dwa, wyznacznik trzy na trzy można rozszerzyć za pomocą wzoru:

Przepis jest długi i łatwo o pomyłkę przez nieostrożność. Jak uniknąć irytujących błędów? W tym celu wymyślono drugi sposób obliczania wyznacznika, który właściwie pokrywa się z pierwszym. Nazywa się ją metodą Sarrusa lub metodą „pasów równoległych”.
Najważniejsze jest to, że pierwsza i druga kolumna są przypisane po prawej stronie wyznacznika, a linie są starannie rysowane ołówkiem:

Mnożniki znajdujące się na „czerwonych” przekątnych są ujęte we wzorze ze znakiem „plus”.
Mnożniki znajdujące się na „niebieskich” przekątnych są zawarte we wzorze ze znakiem minus:

Przykład:

Porównaj oba rozwiązania. Łatwo zauważyć, że to jest to samo, tylko w drugim przypadku współczynniki wzoru są nieco przestawiane i, co najważniejsze, prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest znacznie mniejsze.

Przyjrzyjmy się teraz sześciu normalnym sposobom obliczania wyznacznika

Dlaczego normalne? Ponieważ w zdecydowanej większości przypadków kwalifikatory muszą być ujawniane w ten sposób.

Jak zauważyłeś, wyznacznik trzy na trzy ma trzy kolumny i trzy wiersze.
Wyznacznik można rozwiązać otwierając go dowolnym wierszem lub dowolną kolumną.
Zatem istnieje 6 metod, we wszystkich przypadkach stosujących taki sam typ algorytm.

Wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów wiersza (kolumny) przez odpowiednie uzupełnienia algebraiczne. Straszny? Wszystko jest znacznie prostsze; zastosujemy podejście nienaukowe, ale zrozumiałe, dostępne nawet dla osoby dalekiej od matematyki.

W następnym przykładzie rozwiniemy wyznacznik na pierwszej linii.
Do tego potrzebujemy macierzy znaków: . Łatwo zauważyć, że znaki ułożone są w szachownicę.

Uwaga! Matryca znaków jest moim własnym wynalazkiem. Koncepcja ta nie jest naukowa, nie trzeba jej stosować w ostatecznym projekcie zadań, pomaga jedynie zrozumieć algorytm obliczania wyznacznika.

Najpierw podam całe rozwiązanie. Ponownie bierzemy wyznacznik eksperymentalny i przeprowadzamy obliczenia:

I główne pytanie: JAK to uzyskać z wyznacznika „trzy na trzy”:
?

Zatem wyznacznik „trzy na trzy” sprowadza się do rozwiązania trzech małych wyznaczników, lub jak się je również nazywa, MINOROW. Polecam zapamiętać określenie, zwłaszcza, że ​​zapada w pamięć: minor – small.

Po wybraniu metody rozkładu wyznacznika na pierwszej linii, widać, że wszystko kręci się wokół niej:

Elementy są zwykle oglądane od lewej do prawej (lub od góry do dołu, jeśli wybrano kolumnę)

No to chodźmy, najpierw zajmujemy się pierwszym elementem linii, czyli jednym:

1) Z macierzy znaków zapisujemy odpowiedni znak:

2) Następnie piszemy sam element:

3) MENTALNIE przekreśl rząd i kolumnę, w której pojawia się pierwszy element:

Pozostałe cztery liczby tworzą wyznacznik „dwa na dwa”, który nazywa się DROBNY danego elementu (jednostki).

Przejdźmy do drugiego elementu linii.

4) Z macierzy znaków zapisujemy odpowiedni znak:

5) Następnie napisz drugi element:

6) MENTALNIE przekreśl rząd i kolumnę, w której pojawia się drugi element:

No cóż, trzeci element pierwszej linii. Brak oryginalności:

7) Z macierzy znaków zapisujemy odpowiedni znak:

8) Zapisz trzeci element:

9) MENTALNIE skreśl wiersz i kolumnę zawierającą trzeci element:

Pozostałe cztery liczby zapisujemy w małym wyznaczniku.

Pozostałe działania nie nastręczają żadnych trudności, ponieważ wiemy już, jak policzyć wyznaczniki dwa na dwa. NIE DAJ SIĘ ZGADZAĆ ZNAKAMI!

Podobnie wyznacznik można rozwinąć w dowolnym wierszu lub w dowolnej kolumnie. Oczywiście we wszystkich sześciu przypadkach odpowiedź jest taka sama.

Wyznacznik cztery na cztery można obliczyć przy użyciu tego samego algorytmu.
W tym przypadku nasza macierz znaków wzrośnie:

W poniższym przykładzie rozwinąłem wyznacznik zgodnie z czwartą kolumną:

Jak to się stało, spróbuj sam to rozgryźć. Więcej informacji pojawi się później. Jeśli ktoś chce rozwiązać wyznacznik do końca, prawidłowa odpowiedź brzmi: 18. Dla praktyki lepiej jest rozwiązać wyznacznik inną kolumną lub innym wierszem.

Ćwiczenie, odkrywanie, robienie obliczeń jest bardzo dobre i pożyteczne. Ale ile czasu spędzisz w najważniejszych kwalifikacjach? Czy nie ma szybszego i bardziej niezawodnego sposobu? Sugeruję zapoznanie się z efektywnymi metodami obliczania wyznaczników w drugiej lekcji - Właściwości wyznacznika. Redukcja rzędu wyznacznika.

BĄDŹ OSTROŻNY!

W ogólnym przypadku zasada obliczania wyznaczników $n$-tego rzędu jest dość uciążliwa. W przypadku wyznaczników drugiego i trzeciego rzędu istnieją racjonalne sposoby ich obliczenia.

Obliczenia wyznaczników drugiego rzędu

Aby obliczyć wyznacznik macierzy drugiego rzędu, należy od iloczynu elementów przekątnej głównej odjąć iloczyn elementów przekątnej wtórnej:

$$\pozostało| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Przykład

Ćwiczenia. Oblicz wyznacznik drugiego rzędu $\left| \begin(tablica)(rr)(11) i (-2) \\ (7) i (5)\end(tablica)\right|$

Rozwiązanie.$\pozostał| \begin(tablica)(rr)(11) i (-2) \\ (7) i (5)\end(tablica)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 = 69 dolarów

Odpowiedź.$\pozostał| \begin(tablica)(rr)(11) i (-2) \\ (7) i (5)\end(tablica)\right|=69$

Metody obliczania wyznaczników trzeciego rzędu

Istnieją następujące zasady obliczania wyznaczników trzeciego rzędu.

Reguła trójkąta

Schematycznie regułę tę można przedstawić w następujący sposób:

Iloczyn elementów pierwszego wyznacznika połączonych liniami prostymi oznacza się znakiem plus; podobnie dla drugiego wyznacznika - odpowiednie iloczyny są brane ze znakiem minus, tj.

$$\pozostało| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Przykład

Ćwiczenia. Oblicz wyznacznik $\left| \begin(tablica)(rrr)(3) i (3) i (-1) \\ (4) i (1) i (3) \\ (1) i (-2) i (-2)\end (tablica)\right|$ przy użyciu metody trójkąta.

Rozwiązanie.$\pozostał| \begin(tablica)(rrr)(3) i (3) i (-1) \\ (4) i (1) i (3) \\ (1) i (-2) i (-2)\end (tablica)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Odpowiedź.

Rządy Sarrusa

Na prawo od wyznacznika dodaj dwie pierwsze kolumny i weź iloczyny elementów na głównej przekątnej i na przekątnych do niej równoległych ze znakiem plus; oraz iloczyny elementów przekątnej wtórnej i przekątnych do niej równoległych, ze znakiem minus:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Przykład

Ćwiczenia. Oblicz wyznacznik $\left| \begin(tablica)(rrr)(3) i (3) i (-1) \\ (4) i (1) i (3) \\ (1) i (-2) i (-2)\end (tablica)\right|$ używając reguły Sarrusa.

Rozwiązanie.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Odpowiedź.$\pozostał| \begin(tablica)(rrr)(3) i (3) i (-1) \\ (4) i (1) i (3) \\ (1) i (-2) i (-2)\end (tablica)\right|=54$

Rozwijanie wyznacznika o wiersz lub kolumnę

Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów rzędu wyznacznika i ich uzupełnień algebraicznych. Zwykle wybierany jest wiersz/kolumna zawierająca zera. Wiersz lub kolumna, wzdłuż której przeprowadzany jest rozkład, zostanie wskazany strzałką.

Przykład

Ćwiczenia. Rozwijając się wzdłuż pierwszego wiersza, oblicz wyznacznik $\left| \begin(tablica)(lll)(1) i (2) i (3) \\ (4) i (5) i (6) \\ (7) i (8) i (9)\end(tablica) \prawo|$

Rozwiązanie.$\pozostał| \begin(tablica)(lll)(1) i (2) i (3) \\ (4) i (5) i (6) \\ (7) i (8) i (9)\end(tablica) \prawo| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(tablica)(cc)(5) i (6) \\ (8) i (9)\end(tablica)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(tablica)(cc)(4) i (6) \\ (7) i (9)\end(tablica)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(tablica)(cc)(4) i (5) \\ (7) i (8)\end(tablica)\right|=-3+12-9=0$

Odpowiedź.

Metoda ta pozwala sprowadzić obliczenie wyznacznika do obliczenia wyznacznika niższego rzędu.

Przykład

Ćwiczenia. Oblicz wyznacznik $\left| \begin(tablica)(lll)(1) i (2) i (3) \\ (4) i (5) i (6) \\ (7) i (8) i (9)\end(tablica) \prawo|$

Rozwiązanie. Dokonajmy następujących przekształceń na wierszach wyznacznika: od drugiego rzędu odejmujemy pierwsze cztery, a od trzeciego pierwszego rzędu pomnożonego przez siedem, w wyniku czego zgodnie z właściwościami wyznacznika otrzymujemy wyznacznik równy danemu.

$$\pozostało| \begin(tablica)(ccc)(1) i (2) i (3) \\ (4) i (5) i (6) \\ (7) i (8) i (9)\end(tablica) \prawo|=\lewo| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$

$$=\pozostał| \begin(tablica)(rrr)(1) i (2) i (3) \\ (0) i (-3) i (-6) \\ (0) i (-6) i (-12)\ end(tablica)\right|=\left| \begin(tablica)(ccc)(1) i (2) i (3) \\ (0) i (-3) i (-6) \\ (0) i (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$

Wyznacznik wynosi zero, ponieważ drugi i trzeci rząd są proporcjonalne.

Odpowiedź.$\pozostał| \begin(tablica)(lll)(1) i (2) i (3) \\ (4) i (5) i (6) \\ (7) i (8) i (9)\end(tablica) \prawo|=0$

Aby obliczyć wyznaczniki czwartego rzędu i wyższych, stosuje się rozwinięcie wiersza/kolumny, redukcję do postaci trójkątnej lub twierdzenie Laplace'a.

Rozkładanie wyznacznika na elementy wiersza lub kolumny

Przykład

Ćwiczenia. Oblicz wyznacznik $\left| \begin(tablica)(llll)(9) i (8) i (7) i (6) \\ (5) i (4) i (3) i (2) \\ (1) i (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , rozkładając go na elementy jakiegoś wiersza lub kolumny.

Rozwiązanie. Dokonajmy najpierw elementarnych przekształceń na wierszach wyznacznika, tworząc jak najwięcej zer w wierszu lub w kolumnie. Aby to zrobić, najpierw odejmij dziewięć trzecich od pierwszej linii, pięć trzecich od drugiej i trzy trzecie od czwartej, otrzymamy:

$$\pozostało| \begin(tablica)(cccc)(9) i (8) i (7) i (6) \\ (5) i (4) i (3) i (2) \\ (1) i (0) & (1) i (2) \\ (3) i (4) i (5) i (6)\end(tablica)\right|=\left| \begin(tablica)(cccc)(9-1) i (8-0) i (7-9) i (6-18) \\ (5-5) i (4-0) i (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ lewo| \begin(tablica)(rrrr)(0) i (8) & (-2) & (-12) \\ (0) i (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) i (1) i (2) \\ (0) i (4) i (2) i (0)\end(tablica)\right|$$

Rozłóżmy otrzymany wyznacznik na elementy pierwszej kolumny:

$$\pozostało| \begin(tablica)(rrrr)(0) i (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) i (1) i (2) \\ (0) i (4) i (2) i (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(tablica)(rrr)(8) i (-2) i (-12) \\ (4) i (-2) i (-8) \\ (4) i (2) i (0)\ koniec(tablica)\right|+0$$

Otrzymaną wyznacznik trzeciego rzędu rozwiniemy również na elementy wierszowe i kolumnowe, uzyskawszy wcześniej zera, na przykład w pierwszej kolumnie. Aby to zrobić, odejmij dwie drugie linie od pierwszej linii, a drugą linię od trzeciej:

$$\pozostało| \begin(tablica)(rrr)(8) i (-2) i (-12) \\ (4) i (-2) i (-8) \\ (4) i (2) i (0)\ end(tablica)\right|=\left| \begin(tablica)(rrr)(0) i (2) i (4) \\ (4) i (-2) i (-8) \\ (0) i (4) i (8)\end( tablica)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(tablica)(ll)(2) i (4) \\ (4) i (8)\end(tablica)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Odpowiedź.$\pozostał| \begin(tablica)(cccc)(9) i (8) i (7) i (6) \\ (5) i (4) i (3) i (2) \\ (1) i (0) & (1) i (2) \\ (3) i (4) i (5) i (6)\end(tablica)\right|=0$

Komentarz

Ostatnich i przedostatnich wyznaczników nie udało się obliczyć, ale od razu wnioskujemy, że są one równe zero, ponieważ zawierają rzędy proporcjonalne.

Sprowadzenie wyznacznika do postaci trójkątnej

Za pomocą elementarnych przekształceń po wierszach lub kolumnach wyznacznik sprowadza się do postaci trójkątnej i wówczas jego wartość, zgodnie z właściwościami wyznacznika, jest równa iloczynowi elementów na głównej przekątnej.

Przykład

Ćwiczenia. Oblicz wyznacznik $\Delta=\left| \begin(tablica)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ redukując to do postaci trójkątnej.

Rozwiązanie. Najpierw robimy zera w pierwszej kolumnie pod główną przekątną. Wszystkie przekształcenia będą łatwiejsze do wykonania, jeśli element $a_(11)$ będzie równy 1. W tym celu zamienimy pierwszą i drugą kolumnę wyznacznika, co zgodnie z właściwościami wyznacznika spowoduje, że zmienić jego znak na przeciwny:

$$\Delta=\lewo| \begin(tablica)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(tablica)(rrrr)(1) i (-2) i (3) i (2) \\ (0) i (3) i (-1) i (2) \\ (2) i (- 5) i (3) i (0) \\ (-1) i (4) i (2) i (-3)\end(tablica)\right|$$

$$\Delta=-\lewo| \begin(tablica)(rrrr)(1) i (-2) i (3) i (2) \\ (0) i (3) i (-1) i (2) \\ (0) i (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Następnie w drugiej kolumnie w miejsce elementów pod główną przekątną otrzymujemy zera. Ponownie, jeśli element przekątny będzie równy $\pm 1$, wówczas obliczenia będą prostsze. Aby to zrobić, zamień drugą i trzecią linię (i jednocześnie zmień znak wyznacznika na przeciwny):

$$\Delta=\lewo| \begin(tablica)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) i (-1) i (2) \\ (0) i (2) i (5) i (-1)\end(tablica)\right|$$