Cel usługi. Korzystając z tej usługi online, możesz znaleźć dopełnienia algebraiczne, macierz transponowaną AT, macierz pokrewną i macierz odwrotną.
Kalkulator internetowy. Odwrotność macierzy.
Decyzja wydawana jest bezpośrednio na stronie internetowej (online) i jest bezpłatna. Wyniki obliczeń prezentowane są w raporcie w formacie Word i Excel (tzn. istnieje możliwość sprawdzenia rozwiązania). zobacz przykład projektu.
- Ustal, czy macierz jest kwadratowa. Jeśli nie, to nie ma dla tego macierzy odwrotnej.
- Obliczanie wyznacznika macierzy. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie macierz odwrotna nie istnieje.
- Dokonują kontroli: mnożą macierz oryginalną i wynikową. Wynikiem powinna być macierz tożsamości.
Dodatki algebraiczne.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Następnie odwrotna macierz można zapisać jako:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Znajdowanie macierzy odwrotnej
Macierz A-1 nazywana jest macierzą odwrotną w stosunku do macierzy, jeśli A*A-1 = , gdzie jest macierzą jednostkową th rzędu. Macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych.
zobacz także macierz odwrotna przy użyciu metody Jordano-Gaussa
Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
- Ustal, czy macierz jest kwadratowa. Jeśli nie, to nie ma dla tego macierzy odwrotnej.
- Obliczanie wyznacznika macierzy. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie macierz odwrotna nie istnieje.
- Znalezienie transponowanej macierzy AT.
- Definicja uzupełnień algebraicznych. Zastąp każdy element macierzy jego dopełnieniem algebraicznym.
- Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodatków algebraicznych: każdy element wynikowej macierzy jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.
- Dokonują kontroli: mnożą macierz oryginalną i wynikową. Wynikiem powinna być macierz tożsamości.
Poniższy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej jest podobny do poprzedniego, z wyjątkiem kilku kroków: najpierw obliczane są uzupełnienia algebraiczne, a następnie wyznaczana jest macierz pokrewna.
- Ustal, czy macierz jest kwadratowa. Jeśli nie, to nie ma dla tego macierzy odwrotnej.
- Obliczanie wyznacznika macierzy. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie macierz odwrotna nie istnieje.
- Definicja uzupełnień algebraicznych.
- Wypełnianie macierzy unii (wzajemnej, sprzężonej).
- Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodatków algebraicznych: każdy element macierzy sprzężonej jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.
- Dokonują kontroli: mnożą macierz oryginalną i wynikową. Wynikiem powinna być macierz tożsamości.
Przykład nr 1. Zapiszmy macierz w postaci:
Macierz odwrotna istnieje, jeśli wyznacznik macierzy jest różny od zera. Znajdźmy wyznacznik macierzy:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Wyznacznik to 10 i nie jest równe zero. Kontynuujmy rozwiązanie.
Znajdźmy transponowaną macierz:
Dodatki algebraiczne.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Następnie odwrotna macierz można zapisać jako:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Inny algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
Przedstawmy inny schemat znajdowania macierzy odwrotnej.
- Znajdź wyznacznik tej macierzy kwadratowej.
- Znajdujemy uzupełnienia algebraiczne do wszystkich elementów macierzy.
- Piszemy algebraiczne dodawanie elementów wierszy do kolumn (transpozycja).
- Każdy element wynikowej macierzy dzielimy przez wyznacznik macierzy.
Jak widzimy, operację transpozycji można zastosować zarówno na początku, na macierzy pierwotnej, jak i na końcu, na powstałych dodatkach algebraicznych.
Przypadek szczególny: odwrotnością macierzy tożsamości jest macierz tożsamości.
Przykład nr 2. Znajdź macierz odwrotną macierzy 
.
Rozwiązanie.
1. Znajdźmy 
.
2. Poszukujemy uzupełnień algebraicznych każdego elementu macierzy A: 
; 
; 
.
Otrzymaliśmy uzupełnienia algebraiczne elementów pierwszego rzędu.
Znajdź macierz odwrotną w Internecie
Podobnie dla elementów drugiego i trzeciego rzędu otrzymujemy: 
; 
; 
. 
; 
; 
.
Łącząc punkty 3 i 4, otrzymujemy macierz odwrotną 
.
Aby to sprawdzić, upewnij się, że A-1A = E.
Instrukcje. Aby otrzymać rozwiązanie konieczne jest określenie wymiaru macierzy. Następnie wypełnij macierz w nowym oknie dialogowym.
Znajdowanie macierzy odwrotnej
Macierz A-1 nazywana jest macierzą odwrotną w stosunku do macierzy, jeśli A*A-1 = , gdzie jest macierzą jednostkową th rzędu. Macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych.
Cel usługi. Korzystając z tej usługi online, możesz znaleźć dopełnienia algebraiczne, macierz transponowaną AT, macierz pokrewną i macierz odwrotną. Decyzja wydawana jest bezpośrednio na stronie internetowej (online) i jest bezpłatna. Wyniki obliczeń prezentowane są w raporcie w formacie Word i Excel (tzn. istnieje możliwość sprawdzenia rozwiązania). zobacz przykład projektu.
Znajdowanie macierzy odwrotnej w Internecie
zobacz także macierz odwrotna przy użyciu metody Jordano-Gaussa
Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
- Ustal, czy macierz jest kwadratowa. Jeśli nie, to nie ma dla tego macierzy odwrotnej.
- Obliczanie wyznacznika macierzy. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie macierz odwrotna nie istnieje.
- Znalezienie transponowanej macierzy AT.
- Definicja uzupełnień algebraicznych. Zastąp każdy element macierzy jego dopełnieniem algebraicznym.
- Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodatków algebraicznych: każdy element wynikowej macierzy jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.
- Dokonują kontroli: mnożą macierz oryginalną i wynikową. Wynikiem powinna być macierz tożsamości.
Poniższy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej jest podobny do poprzedniego, z wyjątkiem kilku kroków: najpierw obliczane są uzupełnienia algebraiczne, a następnie wyznaczana jest macierz pokrewna.
- Ustal, czy macierz jest kwadratowa. Jeśli nie, to nie ma dla tego macierzy odwrotnej.
- Obliczanie wyznacznika macierzy. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie macierz odwrotna nie istnieje.
- Definicja uzupełnień algebraicznych.
- Wypełnianie macierzy unii (wzajemnej, sprzężonej).
- Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodatków algebraicznych: każdy element macierzy sprzężonej jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.
- Dokonują kontroli: mnożą macierz oryginalną i wynikową. Wynikiem powinna być macierz tożsamości.
Przykład nr 1. Zapiszmy macierz w postaci:
Macierz odwrotna istnieje, jeśli wyznacznik macierzy jest różny od zera. Znajdźmy wyznacznik macierzy:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Wyznacznik to 10 i nie jest równe zero. Kontynuujmy rozwiązanie.
Znajdźmy transponowaną macierz:
Dodatki algebraiczne.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Następnie odwrotna macierz można zapisać jako:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Inny algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
Przedstawmy inny schemat znajdowania macierzy odwrotnej.
- Znajdź wyznacznik tej macierzy kwadratowej.
- Znajdujemy uzupełnienia algebraiczne do wszystkich elementów macierzy.
- Piszemy algebraiczne dodawanie elementów wierszy do kolumn (transpozycja).
- Każdy element wynikowej macierzy dzielimy przez wyznacznik macierzy.
Jak widzimy, operację transpozycji można zastosować zarówno na początku, na macierzy pierwotnej, jak i na końcu, na powstałych dodatkach algebraicznych.
Aby to sprawdzić, upewnij się, że A-1A = E.
Instrukcje. Aby otrzymać rozwiązanie konieczne jest określenie wymiaru macierzy. Następnie wypełnij macierz w nowym oknie dialogowym.
Znalezienie odwrotności macierzy jest ważnym elementem sekcji algebry liniowej. Korzystając z takich macierzy, jeśli takie istnieją, można szybko znaleźć rozwiązanie układu równań liniowych.
Macierz nazywa się odwrotnością macierzy, jeśli zachodzą następujące równości.
Jeśli wyznacznik macierzy jest różny od zera, wówczas macierz nazywa się nie specjalną lub nieosobliwą.
Aby macierz miała odwrotność, konieczne i wystarczające jest, aby nie była ona osobliwa
Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
Załóżmy, że mamy macierz kwadratową
i musisz znaleźć odwrotność tego. Aby to zrobić, musisz wykonać następujące czynności:
1. Znajdź wyznacznik macierzy. Jeśli nie wynosi zero, wykonaj następujące czynności. W przeciwnym razie ta macierz jest osobliwa i nie ma dla niej odwrotności
2. Znajdować uzupełnienia algebraiczne elementów macierzy. Są one równe nieletnim pomnożonym przez potęgę sumy wiersza i kolumny, których szukamy.
3. Z dopełnień algebraicznych elementów macierzy macierzowej ułożyć macierz i dokonać jej transpozycji. Macierz ta nazywana jest sprzężoną lub sprzymierzoną i jest oznaczona przez .
4. Podziel macierz sprzężoną przez jej wyznacznik. Powstała macierz będzie odwrotna i będzie miała właściwości opisane na początku artykułu.
Znajdź macierz odwrotną do macierzy (Dubovik V.P., Yurik I.I.
Znajdowanie macierzy odwrotnej
„Matematyka wyższa. Zbiór problemów”)
1) Znajdź wyznacznik macierzy
Ponieważ wyznacznik nie jest równy zero (), wówczas istnieje macierz odwrotna. Znajdujemy macierz złożoną z dodatków algebraicznych
Macierz dopełnienia przyjmie postać
Transponujemy to i otrzymujemy dodatek
Podziel to przez wyznacznik i uzyskaj odwrotność
Widzimy, że w przypadku, gdy wyznacznik jest równy jeden, macierze są dodawane i odwrotność jest taka sama.
2) Oblicz wyznacznik macierzy
Znajdowanie macierzy dodawania algebraicznego
Ostateczny widok macierzy dopełniacza
Transponujemy to i znajdujemy macierz unii
Znajdowanie macierzy odwrotnej
3) Obliczmy wyznacznik macierzy. Aby to zrobić, rozwińmy go do pierwszej linii. W rezultacie otrzymujemy dwa niezerowe wyrazy
Znajdujemy macierz dodatków algebraicznych. Planujemy wyznacznik wzdłuż wierszy i kolumn, które mają więcej elementów zerowych (oznaczonych na czarno).
Ostateczna postać macierzy dopełnienia jest następująca
Transponujemy to i znajdujemy macierz sprzężoną
Ponieważ wyznacznik macierzy jest równy jedności, macierz odwrotna pokrywa się z macierzą przylegającą. Ten przykład jest odwrotny.
Przy obliczaniu macierzy odwrotnej typowe błędy związane są z błędnymi znakami przy obliczaniu macierzy wyznacznikowej i dopełniającej.
Matematyka wyższa » Macierze i wyznaczniki » Macierz odwrotna » Obliczanie macierzy odwrotnej za pomocą dodatków algebraicznych.
Algorytm obliczania macierzy odwrotnej za pomocą dodawania algebraicznego: metoda macierzy sprzężonych.
Macierz $A^(-1)$ nazywa się odwrotnością macierzy kwadratowej $A$, jeżeli spełniony jest warunek $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, gdzie $E $ jest macierzą jednostkową, której rząd jest równy rządowi macierzy $A$.
Macierz nieosobliwa to macierz, której wyznacznik nie jest równy zero. Odpowiednio macierz osobliwa to taka, której wyznacznik jest równy zero.
Macierz odwrotna $A^(-1)$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz $A$ nie jest osobliwa. Jeśli istnieje macierz odwrotna $A^(-1)$, to jest ona unikalna.
Istnieje kilka sposobów znajdowania odwrotności macierzy, a my przyjrzymy się dwóm z nich. Na tej stronie omówiona zostanie metoda macierzy sprzężonych, która jest uważana za standard na większości kursów z matematyki wyższej. W drugiej części omówiono drugą metodę wyznaczania macierzy odwrotnej (metodę przekształceń elementarnych), która polega na wykorzystaniu metody Gaussa lub metody Gaussa-Jordana.
Metoda macierzy sprzężonych
Niech będzie podana macierz $A_(n\times n)$. Aby znaleźć macierz odwrotną $A^(-1)$, należy wykonać trzy kroki:
- Znajdź wyznacznik macierzy $A$ i upewnij się, że $\Delta A\neq 0$, tj. że macierz A nie jest osobliwa.
- Utwórz dopełnienia algebraiczne $A_(ij)$ każdego elementu macierzy $A$ i zapisz macierz $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ ze znalezionej algebraicznej uzupełnia.
- Zapisz macierz odwrotną uwzględniając wzór $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Macierz $(A^(*))^T$ nazywa się często sprzężoną (odwrotną, sprzymierzoną) z macierzą $A$.
Jeśli rozwiązanie jest wykonywane ręcznie, to pierwsza metoda jest dobra tylko dla macierzy stosunkowo małych rzędów: druga (przykład nr 2), trzecia (przykład nr 3), czwarta (przykład nr 4). Aby znaleźć odwrotność macierzy wyższego rzędu, stosuje się inne metody. Na przykład metoda Gaussa, o której mowa w drugiej części.
Przykład nr 1
Znajdź odwrotność macierzy $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
odwrotna macierz
Ponieważ wszystkie elementy czwartej kolumny są równe zeru, to $\Delta A=0$ (czyli macierz $A$ jest liczbą pojedynczą). Ponieważ $\Delta A=0$, nie ma macierzy odwrotnej do macierzy $A$.
Przykład nr 2
Znajdź odwrotność macierzy $A=\left(\begin(array) (cc) -5 i 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Stosujemy metodę macierzy sprzężonych. Najpierw znajdźmy wyznacznik danej macierzy $A$:
$$ \Delta A=\lewo| \begin(tablica) (cc) -5 i 7\\ 9 i 8 \end(tablica)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Ponieważ $\Delta A \neq 0$, to istnieje macierz odwrotna, dlatego będziemy kontynuować rozwiązanie. Znajdujemy uzupełnienia algebraiczne każdego elementu danej macierzy:
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\\end(wyrównane)
Tworzymy macierz dodawania algebraicznego: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Transponujemy otrzymaną macierz: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the wynikową macierz często nazywa się macierzą przylegającą lub pokrewną do macierzy $A$). Korzystając ze wzoru $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ mamy:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(tablica) (cc) 8 i -7\\ -9 i -5 \end(tablica)\right) =\left(\begin(tablica) (cc) -8/103 i 7/103\\ 9/103 i 5/103 \end(array)\right) $$
Znaleziono więc macierz odwrotną: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 i 7/103\\ 9/103 i 5/103 \end(array )\po prawej) $. Aby sprawdzić prawdziwość wyniku, wystarczy sprawdzić prawdziwość jednej z równości: $A^(-1)\cdot A=E$ lub $A\cdot A^(-1)=E$. Sprawdźmy równość $A^(-1)\cdot A=E$. Aby mniej pracować z ułamkami, podstawimy macierz $A^(-1)$ nie w postaci $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ i w postaci $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(tablica )\right)$:
Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (cc) -8/103 i 7/103\\ 9/103 i 5/103 \end(array)\right)$.
Przykład nr 3
Znajdź macierz odwrotną macierzy $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
Zacznijmy od obliczenia wyznacznika macierzy $A$. Zatem wyznacznikiem macierzy $A$ jest:
$$ \Delta A=\lewo| \begin(tablica) (ccc) 1 i 7 i 3 \\ -4 i 9 i 4 \\ 0 i 3 i 2\end(tablica) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Ponieważ $\Delta A\neq 0$, to istnieje macierz odwrotna, dlatego będziemy kontynuować rozwiązanie. Znajdujemy uzupełnienia algebraiczne każdego elementu danej macierzy:
Tworzymy macierz dodatków algebraicznych i transponujemy ją:
$$ A^*=\left(\begin(tablica) (ccc) 6 i 8 i -12 \\ -5 i 2 i -3 \\ 1 i -16 i 37\end(tablica) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i -3 i 37\end(tablica) \right) $$
Korzystając ze wzoru $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ otrzymujemy:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i - 3 i 37\end(tablica) \right)= \left(\begin(tablica) (ccc) 3/13 i -5/26 i 1/26 \\ 4/13 i 1/13 i -8/13 \ \ -6/13 i -3/26 i 37/26 \end(tablica) \right) $$
Zatem $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 i -5/26 i 1/26 \\ 4/13 i 1/13 i -8/13 \\ - 6 /13 i -3/26 i 37/26 \end(array) \right)$. Aby sprawdzić prawdziwość wyniku, wystarczy sprawdzić prawdziwość jednej z równości: $A^(-1)\cdot A=E$ lub $A\cdot A^(-1)=E$. Sprawdźmy równość $A\cdot A^(-1)=E$. Aby mniej pracować z ułamkami, podstawimy macierz $A^(-1)$ nie w postaci $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 i 1/13 i -8/13 \\ -6/13 i -3/26 i 37/26 \end(array) \right)$ i w postaci $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i -3 i 37\end(tablica) \right)$:
Sprawdzenie wypadło pomyślnie, macierz odwrotna $A^(-1)$ została znaleziona poprawnie.
Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (ccc) 3/13 i -5/26 i 1/26 \\ 4/13 i 1/13 i -8/13 \\ - 6/13 i -3/26 i 37/26 \end(array) \right)$.
Przykład nr 4
Znajdź macierz odwrotną macierzy $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 i -3 \end(array) \right)$.
W przypadku macierzy czwartego rzędu znalezienie macierzy odwrotnej za pomocą dodawania algebraicznego jest dość trudne. Jednakże takie przykłady zdarzają się w dokumentach testowych.
Aby znaleźć odwrotność macierzy, należy najpierw obliczyć wyznacznik macierzy $A$. Najlepszym sposobem na osiągnięcie tego w tej sytuacji jest rozwinięcie wyznacznika wzdłuż wiersza (kolumny). Wybieramy dowolny wiersz lub kolumnę i znajdujemy uzupełnienia algebraiczne każdego elementu wybranego wiersza lub kolumny.
Na przykład dla pierwszej linii otrzymujemy:
Wyznacznik macierzy $A$ oblicza się ze wzoru:
$$ \Delta A=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14)= 6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$
Macierz uzupełnień algebraicznych: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 i -250 i -463 i -96\end(tablica)\right)$.
Macierz przylegająca: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 i -463\\ -112 i 4 i 36 i -96\end(tablica)\right)$
Odwrotna macierz:
$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(tablica) (cccc) 556 i -77 i -93 i 473\\ -300 i 50 i 50 i -250 \\ -536 i 87 i 83 i -463\\ -112 i 4 i 36 i -96 \end(tablica) \right)= \left(\begin(tablica) (cccc) 139/25 i -77/100 & -93/100 i 473/100 \\ -3 i 1/2 i 1/2 i -5/2 \\ -134/25 i 87/100 i 83/100 i -463/100 \\ -28/ 25 i 1/25 i 9/25 i -24/25 \end(array) \right) $$
Badanie:
Zatem macierz odwrotna została znaleziona poprawnie.
Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (cccc) 139/25 i -77/100 i -93/100 i 473/100 \\ -3 i 1/2 i 1/2 & -5/2 \\ -134/25 i 87/100 i 83/100 i -463/100 \\ -28/25 i 1/25 i 9/25 i -24/25 \end(tablica) \right )$.
W drugiej części rozważymy inny sposób znalezienia macierzy odwrotnej, który polega na wykorzystaniu transformacji metody Gaussa lub metody Gaussa-Jordana.
Zajęcia online z matematyki wyższej
Znajdowanie macierzy odwrotnej
Macierz A-1 nazywana jest macierzą odwrotną w stosunku do macierzy, jeśli A*A-1 = , gdzie jest macierzą jednostkową th rzędu. Macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych.
Cel usługi. Korzystając z tej usługi online, możesz znaleźć dopełnienia algebraiczne, macierz transponowaną AT, macierz pokrewną i macierz odwrotną. Decyzja wydawana jest bezpośrednio na stronie internetowej (online) i jest bezpłatna. Wyniki obliczeń prezentowane są w raporcie w formacie Word i Excel (tzn. istnieje możliwość sprawdzenia rozwiązania). zobacz przykład projektu.
zobacz także macierz odwrotna przy użyciu metody Jordano-Gaussa
Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
- Ustal, czy macierz jest kwadratowa. Jeśli nie, to nie ma dla tego macierzy odwrotnej.
- Obliczanie wyznacznika macierzy. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie macierz odwrotna nie istnieje.
- Znalezienie transponowanej macierzy AT.
- Definicja uzupełnień algebraicznych. Zastąp każdy element macierzy jego dopełnieniem algebraicznym.
- Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodatków algebraicznych: każdy element wynikowej macierzy jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.
- Dokonują kontroli: mnożą macierz oryginalną i wynikową. Wynikiem powinna być macierz tożsamości.
Poniższy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej jest podobny do poprzedniego, z wyjątkiem kilku kroków: najpierw obliczane są uzupełnienia algebraiczne, a następnie wyznaczana jest macierz pokrewna.
- Ustal, czy macierz jest kwadratowa. Jeśli nie, to nie ma dla tego macierzy odwrotnej.
- Obliczanie wyznacznika macierzy. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie macierz odwrotna nie istnieje.
- Definicja uzupełnień algebraicznych.
- Wypełnianie macierzy unii (wzajemnej, sprzężonej).
- Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodatków algebraicznych: każdy element macierzy sprzężonej jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.
- Dokonują kontroli: mnożą macierz oryginalną i wynikową. Wynikiem powinna być macierz tożsamości.
Przykład nr 1. Zapiszmy macierz w postaci:
Macierz odwrotna istnieje, jeśli wyznacznik macierzy jest różny od zera. Znajdźmy wyznacznik macierzy:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Wyznacznik to 10 i nie jest równe zero. Kontynuujmy rozwiązanie.
Znajdźmy transponowaną macierz:
Dodatki algebraiczne.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Następnie odwrotna macierz można zapisać jako:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Inny algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
Przedstawmy inny schemat znajdowania macierzy odwrotnej.
- Znajdź wyznacznik tej macierzy kwadratowej.
- Znajdujemy uzupełnienia algebraiczne do wszystkich elementów macierzy.
- Piszemy algebraiczne dodawanie elementów wierszy do kolumn (transpozycja).
- Każdy element wynikowej macierzy dzielimy przez wyznacznik macierzy.
Jak widzimy, operację transpozycji można zastosować zarówno na początku, na macierzy pierwotnej, jak i na końcu, na powstałych dodatkach algebraicznych.
Aby to sprawdzić, upewnij się, że A-1A = E.
Instrukcje. Aby otrzymać rozwiązanie konieczne jest określenie wymiaru macierzy. Następnie wypełnij macierz w nowym oknie dialogowym.
Aby znaleźć macierz odwrotną online, musisz wskazać rozmiar samej macierzy. Aby to zrobić, kliknij ikony „+” lub „-”, aż będziesz zadowolony z liczby kolumn i wierszy. Następnie wprowadź wymagane elementy w polach. Poniżej znajduje się przycisk „Oblicz” – po kliknięciu na niego otrzymasz na ekranie odpowiedź wraz ze szczegółowym rozwiązaniem.
W algebrze liniowej dość często mamy do czynienia z procesem obliczania macierzy odwrotnej. Istnieje tylko dla macierzy niewyrażonych i dla macierzy kwadratowych, pod warunkiem, że wyznacznik jest różny od zera. W zasadzie obliczenie tego nie jest szczególnie trudne, szczególnie jeśli mamy do czynienia z małą matrycą. Jeśli jednak potrzebujesz bardziej skomplikowanych obliczeń lub dokładnego sprawdzenia swojej decyzji, lepiej skorzystać z tego kalkulatora online. Za jego pomocą można szybko i dokładnie rozwiązać macierz odwrotną.
Korzystając z tego kalkulatora online, możesz znacznie ułatwić obliczenia. Dodatkowo pomaga utrwalić zdobyty w teorii materiał – jest to swoisty symulator pracy mózgu. Nie należy go traktować jako zamiennika obliczeń ręcznych, może dać znacznie więcej, ułatwiając zrozumienie samego algorytmu. Poza tym nigdy nie zaszkodzi sprawdzić siebie.
Macierz A -1 nazywana jest macierzą odwrotną w stosunku do macierzy A, jeżeli A*A -1 = E, gdzie E jest macierzą jednostkową n-tego rzędu. Macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych.
Cel usługi. Korzystając z tej usługi online, możesz znaleźć dopełnienia algebraiczne, macierz transponowaną A T, macierz pokrewną i macierz odwrotną. Decyzja wydawana jest bezpośrednio na stronie internetowej (online) i jest bezpłatna. Wyniki obliczeń prezentowane są w raporcie w formacie Word i Excel (tzn. istnieje możliwość sprawdzenia rozwiązania). zobacz przykład projektu.
Instrukcje. Aby otrzymać rozwiązanie konieczne jest określenie wymiaru macierzy. Następnie wypełnij macierz A w nowym oknie dialogowym.
Zobacz także macierz odwrotna przy użyciu metody Jordano-Gaussa
Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
- Znalezienie transponowanej macierzy A T .
- Definicja uzupełnień algebraicznych. Zastąp każdy element macierzy jego dopełnieniem algebraicznym.
- Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodatków algebraicznych: każdy element wynikowej macierzy jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.
- Ustal, czy macierz jest kwadratowa. Jeśli nie, to nie ma dla tego macierzy odwrotnej.
- Obliczanie wyznacznika macierzy A. Jeśli nie jest równe zero, kontynuujemy rozwiązanie, w przeciwnym razie macierz odwrotna nie istnieje.
- Definicja uzupełnień algebraicznych.
- Wypełnianie macierzy unii (wzajemnej, sprzężonej) C .
- Kompilowanie macierzy odwrotnej z dodawania algebraicznego: każdy element macierzy sprzężonej C jest dzielony przez wyznacznik macierzy pierwotnej. Powstała macierz jest odwrotnością macierzy pierwotnej.
- Dokonują kontroli: mnożą macierz oryginalną i wynikową. Wynikiem powinna być macierz tożsamości.
Przykład nr 1. Zapiszmy macierz w postaci:
| A-1 = |
|
Inny algorytm znajdowania macierzy odwrotnej
Przedstawmy inny schemat znajdowania macierzy odwrotnej.- Znajdź wyznacznik danej macierzy kwadratowej A.
- Znajdujemy dopełnienia algebraiczne do wszystkich elementów macierzy A.
- Piszemy algebraiczne dodawanie elementów wierszy do kolumn (transpozycja).
- Każdy element wynikowej macierzy dzielimy przez wyznacznik macierzy A.
Specjalny przypadek: Odwrotnością macierzy jednostkowej E jest macierz jednostkowa E.
Dla każdej nieosobliwej macierzy A istnieje jednoznaczna macierz A -1 taka, że
A*A -1 =A -1 *A = E,
gdzie E jest macierzą jednostkową tych samych rzędów co A. Macierz A -1 nazywana jest odwrotnością macierzy A.
Gdyby ktoś zapomniał, w macierzy jednostkowej, z wyjątkiem przekątnej wypełnionej jedynkami, wszystkie pozostałe pozycje są wypełniane zerami, przykład macierzy jednostkowej:
Znajdowanie macierzy odwrotnej metodą macierzy sprzężonych
Macierz odwrotną definiuje wzór:
gdzie A ij - elementy a ij.
Te. Aby obliczyć macierz odwrotną, należy obliczyć wyznacznik tej macierzy. Następnie znajdź uzupełnienia algebraiczne dla wszystkich jego elementów i utwórz z nich nową macierz. Następnie musisz przetransportować tę matrycę. I podziel każdy element nowej macierzy przez wyznacznik oryginalnej macierzy.
Spójrzmy na kilka przykładów.
Znajdź A -1 dla macierzy
Rozwiązanie Znajdźmy A -1, korzystając z metody macierzy sprzężonych. Mamy det A = 2. Znajdźmy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A. W tym przypadku dopełnieniami algebraicznymi elementów macierzy będą odpowiadające sobie elementy samej macierzy, wzięte ze znakiem zgodnie ze wzorem
Mamy A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Tworzymy macierz sprzężoną
Transportujemy macierz A*:
Macierz odwrotną znajdujemy korzystając ze wzoru:
Otrzymujemy:
Używając metody macierzy sprzężonych, znajdź A -1 jeśli
Rozwiązanie Najpierw obliczamy definicję tej macierzy, aby sprawdzić istnienie macierzy odwrotnej. Mamy
Tutaj do elementów drugiego rzędu dodaliśmy elementy trzeciego rzędu, wcześniej pomnożone przez (-1), a następnie rozwinęliśmy wyznacznik dla drugiego rzędu. Ponieważ definicja tej macierzy jest różna od zera, istnieje jej macierz odwrotna. Aby skonstruować macierz sprzężoną, znajdujemy uzupełnienia algebraiczne elementów tej macierzy. Mamy
Według formuły
macierz transportowa A*:
Następnie według wzoru
Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą przekształceń elementarnych
Oprócz metody znajdowania macierzy odwrotnej, która wynika ze wzoru (metoda macierzy sprzężonych), istnieje metoda znajdowania macierzy odwrotnej, zwana metodą przekształceń elementarnych.
Elementarne przekształcenia macierzy
Następujące przekształcenia nazywane są elementarnymi przekształceniami macierzy:
1) przegrupowanie wierszy (kolumn);
2) pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera;
3) dodanie do elementów wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny), uprzednio pomnożonych przez określoną liczbę.
Aby znaleźć macierz A -1 konstruujemy macierz prostokątną B = (A|E) rzędów (n; 2n), przypisując macierzy A po prawej stronie macierz jednostkową E poprzez linię podziału:
Spójrzmy na przykład.
Korzystając z metody przekształceń elementarnych, znajdź A -1 jeśli
Rozwiązanie Tworzymy macierz B:
Oznaczmy wiersze macierzy B przez α 1, α 2, α 3. Dokonajmy następujących przekształceń na wierszach macierzy B.
www.strona pozwala znaleźć odwrotna macierz online. Witryna wykonuje obliczenia odwrotna macierz online. W ciągu kilku sekund serwer poda dokładne rozwiązanie. Odwrotna macierz będzie tak matryca, pomnożenie oryginału matryce dla którego podaje się jednostkę matryca, pod warunkiem, że wyznacznik początkowy matryce nierówny zero, w przeciwnym razie odwrotna macierz dla niej nie istnieje. W problemach, gdy obliczamy odwrotna macierz online, konieczne jest wyznacznik matryce była różna od zera, w przeciwnym razie www.strona wyświetli odpowiedni komunikat o braku możliwości obliczenia odwrotna macierz online. lubię to matryca zwany także zdegenerowanym. Znajdować odwrotna macierz w trybie online możliwe tylko dla kwadratu matryce. Znalezienie operacji odwrotna macierz online sprowadza się do obliczenia wyznacznika matryce, potem średniozaawansowany matryca według znanej zasady, a na koniec operacji - pomnożenie wcześniej znalezionego wyznacznika przez transponowany półprodukt matryca. Dokładny wynik z definicji odwrotna macierz online można osiągnąć, studiując teorię na tym kursie. Operacja ta zajmuje w teorii szczególne miejsce matryce i algebra liniowa, pozwala na rozwiązywanie układów równań liniowych tzw. metodą macierzową. Zadanie znalezienia odwrotna macierz online pojawia się już na początku studiów nad matematyką wyższą i występuje w niemal każdej dyscyplinie matematycznej jako podstawowe pojęcie algebry, będącej narzędziem matematycznym w problematyce stosowanej. www.strona znajdzie odwrotna macierz dany wymiar w trybie online natychmiast. Obliczenie odwrotna macierz online biorąc pod uwagę jego wymiar, jest to odkrycie matryce ten sam wymiar zarówno pod względem wartości liczbowej, jak i wartości symbolicznej, ustalonej zgodnie z regułą obliczeniową odwrotna macierz. Odkrycie odwrotna macierz online powszechnie akceptowane w teorii matryce. Znalezienie wyniku odwrotna macierz online stosowane przy rozwiązywaniu liniowego układu równań metodą macierzową. Jeżeli wyznacznik matryce będzie wtedy równa zeru odwrotna macierz, dla którego znaleziono wyznacznik zerowy, nie istnieje. Aby obliczyć odwrotna macierz lub znajdź kilka na raz matryce odpowiadające im odwracać, musisz poświęcić dużo czasu i wysiłku, a nasz serwer znajdzie to w ciągu kilku sekund odwrotna macierz online. W tym przypadku odpowiedź na znalezienie odwrotna macierz będzie poprawny i z wystarczającą dokładnością, nawet jeśli liczby zostaną znalezione odwrotna macierz online będzie irracjonalne. Na stronie www.strona W elementach dozwolone są wpisy znakowe matryce, to jest odwrotna macierz online można przedstawić w ogólnej formie symbolicznej podczas obliczeń odwrotna macierz online. Przy rozwiązywaniu problemu znalezienia warto sprawdzić otrzymaną odpowiedź odwrotna macierz online korzystanie z witryny www.strona. Podczas wykonywania operacji obliczeniowej odwrotna macierz online rozwiązując ten problem, musisz być ostrożny i niezwykle skupiony. Z kolei nasza strona pomoże Ci sprawdzić decyzję w danym temacie odwrotna macierz online. Jeśli nie masz czasu na długie sprawdzanie rozwiązanych problemów, to www.strona z pewnością będzie wygodnym narzędziem do sprawdzania przy znajdowaniu i obliczaniu odwrotna macierz online.