IN acero Esistono diversi modi per rappresentare una funzione.
Metodo 1: definizione di una funzione utilizzando l'operatore di assegnazione ( := ): ad alcune espressioni viene assegnato un nome, ad esempio:
> f:=sen(x)+cos(x);
Se imposti un valore specifico per una variabile X, quindi ottieni il valore della funzione F per questo X. Ad esempio, se continuiamo l'esempio precedente e calcoliamo il valore F for , allora dovresti scrivere:
> x:=Pi greco/4;
Dopo aver eseguito questi comandi, la variabile X ha un dato valore.
Per non assegnare permanentemente un valore specifico a una variabile, è più conveniente utilizzare il comando di sostituzione subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), dove le variabili sono racchiuse tra parentesi graffe xi e i loro nuovi significati ai(io=1,2,…), che dovrebbe essere sostituito nella funzione F . Per esempio:
> f:=x*exp(-t);
>subs((x=2,t=1),f);
Tutti i calcoli dentro acero per impostazione predefinita vengono prodotti simbolicamente, ovvero il risultato conterrà esplicitamente costanti irrazionali, come, e altre. Per ottenere un valore approssimativo come numero in virgola mobile, utilizzare il comando evalf(espr,t), Dove espr- espressione, T– precisione, espressa in numeri dopo la virgola. Ad esempio, in continuazione dell'esempio precedente, calcoliamo approssimativamente il valore risultante della funzione:
> eval(%);
Il simbolo utilizzato qui è ( % ) per chiamare il comando precedente.
Metodo 2. Definizione di una funzione utilizzando un operatore di funzione che esegue il mapping a un set di variabili (x1,x2,…) una o più espressioni (f1,f2,…). Ad esempio, la definizione di una funzione di due variabili utilizzando un operatore di funzione è simile a questa:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
La chiamata a questa funzione viene eseguita nel modo più familiare in matematica, quando tra parentesi sono indicati valori specifici di variabili anziché argomenti di funzione. Continuando l'esempio precedente, viene calcolato il valore della funzione:
Metodo 3. Utilizzo del comando disapplica(espr,x1,x2,…), Dove espr- espressione, x1,x2,…- un insieme di variabili da cui dipende, puoi trasformare l'espressione espr in una dichiarazione funzionale. Per esempio:
> f:=disapplica(x^2+y^2,x,y);
IN aceroè possibile definire funzioni non elementari della forma
per comando
> a tratti(cond_1,f1, cond_2, f2, …).
Ad esempio, la funzione
è scritto come segue.
Dipartimento: Tecnologie dell'Informazione
Lavoro di laboratorio
Sul tema: " SINTASSI, OGGETTI PRINCIPALI E COMANDI DEL SISTEMA ACERO "
Mosca, 2008
Obiettivi di lavoro :
conoscere i principali oggetti e variabili del sistema Maple;
conoscere ed essere in grado di applicare i comandi utilizzati quando si lavora con oggetti e variabili del sistema Maple;
· conoscere la sintassi delle funzioni matematiche di base del sistema Maple.
introduzione
Il sistema di calcolo analitico Maple è un sistema interattivo. In questo caso, ciò significa che l'utente inserisce un comando o un operatore Maple nell'area di input del foglio di lavoro e, premendo il tasto
Ogni operatore o team Necessariamente giungere al termine segno separatore. Ci sono due di questi caratteri nel sistema Maple: un punto e virgola (;) e due punti (:). Se una frase termina con un punto e virgola, la frase viene valutata e il risultato viene visualizzato nell'area di output. Quando i due punti vengono utilizzati come separatore, il comando viene eseguito, ma i risultati della sua operazione non vengono visualizzati nell'area di output del foglio di lavoro. Ciò è utile, ad esempio, quando si programma in Maple, quando non è necessario visualizzare alcun risultato intermedio ottenuto dalle istruzioni del ciclo, poiché l'output di questi risultati può occupare molto spazio sul foglio di lavoro e potrebbe richiedere molto tempo tempo per visualizzarli.
Qui e sotto, i comandi Maple sono scritti nella forma della sintassi del linguaggio Maple. Se, durante l'esecuzione di esempi, si desidera visualizzare i comandi in notazione matematica, allora il comando Opzioni ® Ingresso Schermo ® standard Matematica notazione impostare la modalità di visualizzazione appropriata.
Maple implementa il proprio linguaggio, attraverso il quale l'utente comunica con il sistema. Concetti basilari sono oggetti e variabili da cui, con l'ausilio di valide operazioni matematiche, si compongono espressioni.
Protozoi oggetti con cui può funzionare acero , sono numeri, costanti e stringhe.
Numeri
I numeri nel sistema Maple possono essere dei seguenti tipi: numeri interi, frazioni, radicali, numeri in virgola mobile e numeri complessi. I primi tre tipi di numeri ti consentono di esibirti calcoli esatti(senza arrotondamento) varie espressioni matematiche, realizzando l'aritmetica esatta. I numeri in virgola mobile sono approssimazioni in cui il numero di cifre significative è limitato. Questi numeri servono per approssimare (o approssimare) i numeri esatti di Maple. I numeri complessi possono essere sia esatti se sono rappresentate la parte reale che quella immaginaria numeri esatti e quelli approssimati, se vengono utilizzati numeri in virgola mobile quando si specificano le parti reale e immaginaria di un numero complesso.
Numeri interi sono specificati come una sequenza di cifre da 0 a 9. I numeri negativi sono specificati con un segno meno (–) davanti al numero, gli zeri prima della prima cifra diversa da zero non sono significativi e non influiscono sul valore dell'intero. Il sistema Maple può funzionare con numeri interi di dimensione arbitraria, il numero di cifre è praticamente limitato a 2 28 . I calcoli con numeri interi implementano quattro operazioni aritmetiche (addizione +, sottrazione -, moltiplicazione *, divisione /) e calcolo fattoriale (!).
Maple rappresenta un numero intero grande che non si adatta alla riga di output utilizzando il carattere barra rovesciata (\) come carattere di continuazione dell'output sulla riga successiva. L'ultimo comando calcola il numero di cifre dal calcolo precedente. Utilizza l'operazione % come parametro, che è solo una comoda forma di riferimento al risultato dell'operazione precedente. Maple ha altre due operazioni simili che identificano i risultati dei comandi preprev e preprev.La loro sintassi è, rispettivamente, la seguente:
Maple dispone di un insieme abbastanza ampio di comandi che consentono di eseguire azioni specifiche per l'elaborazione di numeri interi: scomposizione in fattori primi (ifactor), calcolo del quoziente (iquo) e del resto (irem) durante l'esecuzione di un'operazione di divisione di interi, ricerca del massimo comune divisore di due numeri interi ( igcd ), controllando se un numero intero è primo (isprime) e altro ancora.
Per verificare il calcolo del quoziente e del resto di due numeri interi, sono state utilizzate le operazioni per ottenere il risultato dell'esecuzione dei comandi precedenti (calcolo del quoziente) e precedenti (calcolo del resto). Il risultato del comando isprime() è la costante booleana true (true) o false (false).
Digitando il comando nell'area di input del foglio di lavoro? integer, puoi ottenere un elenco di tutti i comandi per lavorare con i numeri interi
Frazioni comuni sono dati dall'operazione di divisione di due Totale numeri. Si noti che Maple esegue automaticamente l'operazione di riduzione della frazione. Tutte le operazioni aritmetiche di base possono essere eseguite su frazioni ordinarie.
Se, quando si specifica una frazione, il suo denominatore viene ridotto (vedere l'ultimo calcolo nell'esempio), tale "frazione" viene trattata dal sistema Maple come un numero intero.
Spesso la rappresentazione del risultato sotto forma di frazione ordinaria non è molto conveniente, e si pone il problema di convertirla in frazione decimale. Per fare ciò, usa il comando evalf(), che approssima una frazione comune con numeri in virgola mobile usando dieci cifre significative nella mantissa della loro rappresentazione. Se la precisione predefinita non è sufficiente, può essere impostata come secondo parametro della funzione specificata.
Una frazione e la sua rappresentazione decimale non sono oggetti Maple identici. La rappresentazione decimale è giusta approssimazione il valore esatto rappresentato da una frazione ordinaria.
Radicali sono specificati come risultato dell'elevazione di numeri interi o frazionari a una potenza frazionaria, o calcolando la loro radice quadrata usando la funzione sqrt(), o calcolando la radice N‑esimo grado utilizzando la funzione surd(numero, n). L'operazione di elevazione a potenza è specificata dal simbolo ^ o da una sequenza di due asterischi (**). Quando elevi le frazioni a potenza, dovrebbero essere racchiuse tra parentesi, proprio come l'esponente frazionario. Quando si specificano i radicali, vengono apportate anche possibili semplificazioni relative alla rimozione del massimo valore possibile da sotto il segno del radicale.
I calcoli con numeri interi, frazioni e radicali sono assolutamente accurato perché quando si lavora con questi tipi di dati, Maple non esegue alcun arrotondamento, a differenza dei numeri in virgola mobile.
Numeri in virgola mobile sono specificati come parti intere e frazionarie separate da una virgola decimale, precedute da un simbolo numerico, ad esempio, 3.4567, -3.415. I numeri in virgola mobile possono essere specificati utilizzando la cosiddetta notazione esponenziale, in cui subito dopo un numero reale in virgola mobile o un numero intero ordinario chiamato mantissa, viene inserito il simbolo e o e, dopo di che viene visualizzato un numero intero con segno (esponente). specificato. Questa notazione significa che la mantissa deve essere moltiplicata per dieci alla potenza del numero corrispondente all'esponente per ottenere il valore del numero scritto in questa forma esponenziale. Ad esempio, 2.345e4 corrisponde al numero 23450.0. Pertanto, è possibile rappresentare numeri molto grandi in valore assoluto (l'esponente è un numero positivo) o molto piccoli (l'esponente è un numero negativo).
Le espressioni matematiche sono formate da numeri utilizzando operazioni aritmetiche. I simboli per le operazioni aritmetiche in Maple sono elencati nella Tabella. 1.
Tabella 1. Operazioni aritmetiche
La sequenza di esecuzione delle operazioni aritmetiche corrisponde alle regole standard di precedenza delle operazioni in matematica: prima viene eseguita l'elevazione a potenza, quindi la moltiplicazione e la divisione e infine l'addizione e la sottrazione. Tutte le azioni vengono eseguite da sinistra a destra. L'operazione fattoriale ha la massima priorità. Le parentesi devono essere utilizzate per modificare la sequenza delle operazioni aritmetiche.
Se tutti i numeri nell'espressione sono numeri interi, frazioni o radicali, anche il risultato viene rappresentato utilizzando questi tipi di dati, ma se nell'espressione è presente un numero in virgola mobile, anche il risultato della valutazione di tale espressione "mista" essere un numero in virgola mobile, a meno che in expression non contenga un radicale. In questo caso, il radicale viene calcolato esattamente e il relativo coefficiente viene calcolato esattamente o come numero in virgola mobile, a seconda del tipo di fattori.
Il sistema di analisi Maple cerca sempre di calcolare con assoluta precisione. Se ciò fallisce, viene utilizzata l'aritmetica in virgola mobile.
L'acero può lavorare con numeri complessi . Per l'unità immaginaria
Maple usa una costante IO. La definizione di un numero complesso non è diversa dalla sua solita definizione in matematica.IN acero Esistono diversi modi per rappresentare una funzione.
Metodo 1: definizione di una funzione utilizzando l'operatore di assegnazione ( := ): ad alcune espressioni viene assegnato un nome, ad esempio:
> f:=sen(x)+cos(x);
Se imposti un valore specifico per una variabile X, quindi ottieni il valore della funzione F per questo X. Ad esempio, se continuiamo l'esempio precedente e calcoliamo il valore F for , allora dovresti scrivere:
> x:=Pi greco/4;
Dopo aver eseguito questi comandi, la variabile X ha un dato valore.
Per non assegnare permanentemente un valore specifico a una variabile, è più conveniente utilizzare il comando di sostituzione subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), dove le variabili sono racchiuse tra parentesi graffe xi e i loro nuovi significati ai(io=1,2,…), che dovrebbe essere sostituito nella funzione F . Per esempio:
> f:=x*exp(-t);
>subs((x=2,t=1),f);
Tutti i calcoli dentro acero per impostazione predefinita vengono prodotti simbolicamente, ovvero il risultato conterrà esplicitamente costanti irrazionali, come, e altre. Per ottenere un valore approssimativo come numero in virgola mobile, utilizzare il comando evalf(espr,t), Dove espr- espressione, T– precisione, espressa in numeri dopo la virgola. Ad esempio, in continuazione dell'esempio precedente, calcoliamo approssimativamente il valore risultante della funzione:
> eval(%);
Il simbolo utilizzato qui è ( % ) per chiamare il comando precedente.
Metodo 2. Definizione di una funzione utilizzando un operatore di funzione che esegue il mapping a un set di variabili (x1,x2,…) una o più espressioni (f1,f2,…). Ad esempio, la definizione di una funzione di due variabili utilizzando un operatore di funzione è simile a questa:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
La chiamata a questa funzione viene eseguita nel modo più familiare in matematica, quando tra parentesi sono indicati valori specifici di variabili anziché argomenti di funzione. Continuando l'esempio precedente, viene calcolato il valore della funzione:
Metodo 3. Utilizzo del comando disapplica(espr,x1,x2,…), Dove espr- espressione, x1,x2,…- un insieme di variabili da cui dipende, puoi trasformare l'espressione espr in una dichiarazione funzionale. Per esempio:
> f:=disapplica(x^2+y^2,x,y);
IN aceroè possibile definire funzioni non elementari della forma
per comando
> a tratti(cond_1,f1, cond_2, f2, …).
Ad esempio, la funzione
è scritto come segue.
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Sistemi di computer algebra
Maple è un pacchetto matematico specializzato utilizzato dai matematici professionisti di tutto il mondo. Tali pacchetti sono anche chiamati sistemi di computer algebra. Tra i tanti sistemi di questo tipo (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica, Macsyma, Derive, Axiom, MuPAD), Maple è un leader riconosciuto nel campo dei calcoli simbolici (ovvero, nella conversione di espressioni utilizzando variabili, polinomi, funzioni, ecc. ). Inoltre, Maple include moduli che facilitano il lavoro in aree della matematica come l'algebra superiore, l'algebra lineare, la geometria analitica, la teoria dei numeri, il calcolo, le equazioni differenziali, l'analisi combinatoria, la teoria della probabilità, la statistica e molti altri.
Per ottenere aiuto su un particolare comando, inserisci ?command nella finestra di Maple (sostituendo command con il nome del comando).
Maple come super calcolatrice
In un foglio di lavoro Maple, puoi inserire comandi dopo il prompt ">". Il comando deve essere terminato con un ";", il suo risultato viene immediatamente visualizzato sullo schermo. Se invece di " ; " inserisci " : ", il comando verrà eseguito, ma il risultato del suo lavoro non verrà stampato. Per esempio:
> 57/179+91/1543;
Come possiamo vedere, Maple dà la risposta esatta come espressione razionale. Se vuoi rappresentarlo come una frazione decimale (con una certa precisione), usa la funzione evalf. Il primo parametro obbligatorio è l'espressione da valutare, il secondo (facoltativo) è il numero di cifre decimali significative (si noti che questo arrotonda l'espressione per visualizzare il numero appropriato di cifre decimali):
> eval(%);
>valf(%%,30);
0.377411774928764613663435880911
Il simbolo % indica l'ultima espressione calcolata da Maple, %% - penultima, %%% - penultima (ma la notazione %%%% non esiste più).
Numeri e costanti
Se l'espressione contiene un numero scritto in virgola mobile (ad esempio, 3.14 o 5.6e-17), tutti i calcoli vengono eseguiti approssimativamente, altrimenti i calcoli vengono eseguiti esattamente. Maple ha le seguenti costanti: Pi Il numero di pi greco
I Unità immaginaria io
exp(1) Base dei logaritmi naturali e
infinito
vero Booleano vero
falso Booleano falso
I calcoli che coinvolgono le costanti vengono eseguiti esattamente (a meno che il loro valore non sia convertito in un valore reale), ad es.
> peccato(Pi/3);
> peccato(3.1415926);
0.5358979324 10 -7
Operatori
Maple ha i seguenti operatori:
Aritmetica: + , - , * , / , ^ (elevamento a potenza), ! (fattoriale).
Rompicapo:< , > , >= , <= , = (равно), <>(non uguale).
Operatore di assegnazione: := .
Variabili
Una variabile è qualsiasi identificatore (costituito da lettere e numeri latini, che iniziano con un numero). A una variabile può essere assegnato qualsiasi valore utilizzando l'operatore di assegnazione:= . Una variabile a cui non viene assegnato alcun valore è considerata una variabile libera e il suo nome viene conservato nei calcoli aritmetici. Per esempio:
> a:=2: b:=3: > (a+b)^2;
Caratteristiche standard
Segno x (restituisce 1, -1 o 0) - segno(x)
Funzioni trigonometriche: sin(x) , cos(x) , tan(x) , cot(x)
Trigonometria inversa: arcsin(x) , arccos(x) , arctan(x) , arccot(x)
Esponente: exp(x)
Naturale, base 10 e log in base: ln(x) , log10(x) , log[a](x)
Conversione di espressioni matematiche
L'espressione può includere costanti, variabili libere, funzioni matematiche. Esempio di espressione:
> A:=sin(sqrt(Pi)+exp(2));
LA:=peccato(Pi 1/2 +e 2)
Molto spesso, i polinomi in una o più variabili o espressioni razionali agiscono come espressioni. Maple contiene varie funzioni per trasformare tali espressioni.
La funzione factor(eq) fattorizza l'espressione eq.
> P:=x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1: > fattore(P);
La funzione expand(eq) espande le parentesi in un'espressione. Se specifichi uno o più parametri aggiuntivi nel formato expand(eq,a,b,c) , le espressioni a , b , c non verranno espanse. Questo è utile se devi moltiplicare ogni termine per qualche espressione.
> espandi((x+1)*(x+2));
> espandi(sin(x+y));
sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
> espandi((x+1)*(y+z),x+1);
Per ridurre le frazioni a un denominatore comune e quindi ridurle, utilizzare la funzione normale (eq).
>normale(1/x+1/a);
> (a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);
(a 4 -b 4)/((a 2 +b 2)ab)
La funzione simply(eq) semplifica l'espressione eq . Come secondo parametro (facoltativo), è possibile specificare quali espressioni convertire: trig - trigonometrico, potenza - potenza, radicale - radicali, exp - esponenti, ln - logaritmi.
> Semplifica(sin(x)^2+cos(x)^2);
Risoluzione di equazioni
Equazioni ordinarie
Per risolvere le equazioni, utilizzare la funzione solve(eq,x) , dove eq è l'equazione da risolvere, x è il nome della variabile rispetto alla quale l'equazione viene risolta. Esempio:
> risolvere(x^2+x-1=0,x);
1/2-5 1/2 /2 ,-1/2+5 1/2 /2
> risolve(a*x+b=0,x);
> risolve(a*x+b=0,b);
Se un'equazione ha più soluzioni, allora la soluzione dell'equazione può essere assegnata a qualche variabile, come p . Quindi puoi usare la k -esima soluzione dell'equazione nella forma p[k] :
> p:=solve(x^2+x-1=0,x): p;
>semplificare(p*p);
Sistemi di equazioni
I sistemi di equazioni sono risolti utilizzando la stessa funzione solve((eq1,eq2,...),(x1,x2,...)) le variabili sono elencate tra parentesi, separate da virgole, rispetto alle quali si vuole risolvere il sistema. Se è necessario utilizzare le soluzioni ottenute delle equazioni per ulteriori calcoli, è necessario assegnare il risultato restituito dalla funzione solve a una variabile, ad esempio p , quindi eseguire il comandoassign(p) . Esempio:
> p:=risolvi((x+y=a,x-y=b), (x,y)): > assegna(p); >x;
Soluzione numerica di equazioni
Proviamo a risolvere l'equazione: x 6 -2x+1=0. L'uso della funzione solve ci darà una radice -1 e un altro insieme di espressioni come RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1, indice= 1). Il fatto è che un'equazione arbitraria di grado superiore a 4 con coefficienti razionali potrebbe non avere radici che possono essere espresse come radicali su numeri razionali. Le soluzioni di tutte le possibili equazioni di questo tipo sono chiamate numeri algebrici. Anche questa equazione è irrisolvibile in radicali, e Maple ci ha trovato l'unica radice esprimibile in radicali (1) e ha riferito che le rimanenti radici sono numeri algebrici: le radici del polinomio z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z- 1=0 (è questo polinomio specificato nell'argomento della funzione RootOf). Maple sa come lavorare con i numeri algebrici, ma puoi anche trovare una soluzione numerica approssimata usando la funzione fsolve:
> fsolve(x^6-2*x+1=0,x);
5086603916, 1.000000000
A volte Maple, quando risolve equazioni trascendentali, non visualizza espressioni complesse sotto forma di radicali, ma le lascia nella forma RootOf. Per forzare Maple a restituire tutte le soluzioni come radicali (ovviamente, se possono essere rappresentate in questa forma), devi impostare la variabile di sistema _EnvExplicit (_EnvExplicit:=true) su true.
Risoluzione di equazioni trigonometriche
Il comando solve, utilizzato per risolvere le equazioni trigonometriche, trova solo le soluzioni principali, ovvero genera solo una soluzione da una serie di soluzioni periodiche:
> risolve(sin(2*x)+cos(2*x)=1,x);
Affinché Maple trovi tutte le soluzioni, devi prima impostare la variabile di sistema _EnvAllSolutions su true. Quindi otterremo il risultato in una forma diversa, in cui appariranno le variabili Z1~ e Z2~. Queste variabili denotano una costante arbitraria di tipo intero; in una forma più familiare, la soluzione può essere scritta come π/4+πn , πk .
Esercizi
- Qual è il centesimo posto dopo la virgola nella notazione decimale per π?
- Quante cifre ci sono nella notazione decimale 179! ?
- Calcola il valore (6+2×5 1/2) 1/2 -(6-2×5 1/2) 1/2 .
- Calcola sin 4 (π/8)+cos 4 (3π/8)+sen 4 (5π/8)+cos 4 (7π/8).
- Semplifica l'espressione (1 + sin(2 X) + cos(2 X))/(1 + sin(2 X) - cos(2 X)).
- Fattorizzare il polinomio X 3 -4X 2 +5X-2.
- Trova una soluzione numerica all'equazione cos X=X.
- Risolvi l'equazione 3 X-(18X+1) 1/2 +1=0
- Risolvi l'equazione ||2 X-3|-1|=X.
- Risolvi l'equazione (trova tutte le soluzioni) sin X- così X=1/peccato X.
- Risolvi il sistema di equazioni:
10(Xsi) 1/2 +3X-3si=58 X-si=6
04. 01 Trasformazione di equazioni. Squadre sx E destra
* Inserimento e manipolazione di equazioni: Thesx Edestra comandi*
Ricorda che a un'equazione, proprio come a un'espressione, può essere assegnato un nome. Prossimo riga di comando inseriremo un'equazione e le daremo un nome " eq1 " :
> eq1:=x^3-5*x^2+23=2*x^2+4*x-8;
Possiamo visualizzare separatamente i lati sinistro e destro dell'equazione usando i comandi sx E destra :
> lhs(eq1);
> rhs(eq1);
Usiamo i comandi sx E destra per portare l'equazione in forma standard, in cui tutti i termini sono raccolti a sinistra e solo 0 rimane a destra:
> eq2:=sm(eq1)-rhs(eq1)=0;
04. 02 Trovare le radici esatte. Squadra risolvere
* Trovare soluzioni esatte: Therisolvere comando*
Consideriamo prima le equazioni razionali. È noto che esistono algoritmi per determinare le radici esatte delle radici razionali fino al 4° ordine compreso. Al team Maple risolvere e questi algoritmi sono stabiliti.
Usiamo il comando risolvere per trovare le radici esatte di un'equazione cubica 
:
> risolvere(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);
Si noti che nel comando indichiamo rispetto a quale variabile deve essere risolta l'equazione. Sebbene nel nostro caso particolare ciò non sia necessario:
> risolvere(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0);
Maple ha trovato tutte e 3 le radici reali e le ha emesse ( non ordinato ).
A volte è molto importante scegliere una radice specifica, in modo che in seguito venga utilizzata in ulteriori trasformazioni. Per fare ciò, devi prima assegnare un nome al risultato dell'esecuzione del comando risolvere. Chiamiamolo X. Poi la costruzione X corrisponderà alla prima radice dell'elenco (sottolineatura: non è necessariamente una radice più piccola!), X- alla seconda radice, ecc. ( Le parentesi sono quadrate!):
> X:=risolvi(x^2-5*x+3=0,x);
Vedi, tuttavia, cosa verrà prodotto come risultato dell'esecuzione di un comando simile:
> x=%;
Sottolineiamo ancora una volta: la pratica dimostra che è consigliabile dare un nome all'equazione. Tradizionalmente, in Maple, un tale nome inizia con le lettere eq :
> eq1:=7*x^3-11*x^2-27*x-9=0;
(Non confondere l'operatore di assegnazione " := "con segno uguale" = " !)
Ora risolviamo l'equazione usando il comando risolvere. Diamo un nome all'insieme di radici X :
> X:=solve(eq1,x);
Per persuasività, controlliamo se ci sono radici estranee tra le radici trovate. Verifichiamo per sostituzione diretta
> subs(x=X,eq1);
> subs(x=X,eq1);
> subs(x=X,eq1);
Naturalmente, le soluzioni "esatte" sono spesso piuttosto ingombranti, per non dire altro. Ad esempio, questo riguarda l'equazione 
:
> eq1:=x^3-34*x^2+4=0;
> X:=solve(eq1,x);
Ora capisci di cosa stiamo parlando? Si prega di notare che unità immaginaria in Maple è denotato da lettera maiuscola IO . Certo, in questi casi non è peccato trovare valori approssimativi delle radici. Con la soluzione esatta in mano, tu stesso scoprirai come farlo:
> evalf(X);
In tali situazioni, una buona alternativa al comando risolvereÈ risolvi, le cui caratteristiche saranno discusse nella prossima sezione.
Squadra risolvereè usato per trovare soluzioni esatte non solo di equazioni razionali. Di seguito alcune illustrazioni del volume. Ma per molti tipi di equazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e persino razionali, è inutile cercare una soluzione esatta. La squadra è chiamata ad aiutare risolvi .
Risolviamo l'equazione 
:
> risolvere(5*exp(x/4)=43,x);
A volte (e in trigonometria - sempre ) acero, predefinito, non visualizza l'intero insieme di radici:
> risolvere(sin(x)=1/2,x);
Ma non ci sono situazioni senza speranza! Sulla base del risultato ottenuto, usa la tua conoscenza delle equazioni trigonometriche e scrivi la soluzione completa ( Come?).
Esercizio 4.1
risolvere l'equazione 
Scopri quante radici diverse ha un'equazione. In che modo Maple gestisce le radici uguali?
Consiglio: fattorizza il lato sinistro dell'equazione.
> risolvere(x^3-11*x^2+7*x+147=0,x);
> fattore(x^3-11*x^2+7*x+147);
La radice x = 7 è duplice, e quindi l'equazione cubica ha solo due radici distinte. La fattorizzazione del lato sinistro dell'equazione ne è la prova.
04. 03 Cerca radici approssimate. Squadra risolvi
* Trovare soluzioni approssimate: The risolvi comando*
Per una soluzione approssimativa di equazioni, viene utilizzato il comando Maple risolvi. Nel caso di un'equazione razionale, risolvi emette l'intero elenco di radici reali (vedi Esempio 01). Per le equazioni trascendentali, questo comando, per impostazione predefinita, restituisce una sola radice(Vedi gli esempi 02 e 03).
Con aiuto risolvi trova i valori approssimativi di tutte e quattro le radici reali dell'equazione razionale contemporaneamente 
:
> eq:=x^4-x^3-17*x^2-6*x+2=0;
> risolvere(eq,x);
Queste quattro radici costituiscono la soluzione esaustiva dell'equazione razionale originaria ( sebbene vicino).
Usando il comando risolvi, Trovare almeno una radice reale dell'equazione 
:
> eq:=x^3+1-exp(x)=0;
> risolvere(eq,x);
Acero e produce solo una radice. Questa volta Maple non ha "dipinto". Come assicurarsi ora che non ci siano altre radici reali? L'esempio seguente fornisce un toolkit di questo tipo.
Ottenere Tutto
radici reali dell'equazione 
e assicurarsene.
Primo passo ( idea principale ) : trovare una soluzione grafica all'equazione. Per fare ciò, costruiamo un grafico della funzione sul lato sinistro dell'equazione. Le ascisse dei punti di intersezione di questo grafico con l'asse Ox saranno le radici desiderate.
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..5,y=-5..15);
Perché abbiamo abilmente selezionato gli intervalli di variazione delle ascisse e delle ordinate dei punti del grafico, possiamo facilmente trovarli 4 punti di intersezione della retta con l'asse x. Uno di questi corrisponde alla radice trovata nell'Esempio 02 ( quale esattamente?).
La seconda radice è ovvia: x = 0. E come trovare più precisamente il resto?
passo due ( Una precisazione ) : applica il comando risolvi più chiaro". Maple offre la possibilità di specificare l'intervallo in cui si trovano le radici. In particolare, per determinare la radice negativa della nostra equazione, indichiamo che la ricerca va effettuata nell'"area" [-1;-0.2]. Ciò è eloquentemente evidenziato dalla soluzione grafica.
> fsolve(eq,x=-1..-.2);
Le restanti radici appartengono chiaramente agli intervalli e . Dillo alla squadra risolvi :
> fsolve(eq,x=1..2);
fsolve(eq,x=4..5);
Bene, cosa succede se inseriamo una "trama vuota" in Maple? Ad esempio, un segmento per la nostra equazione. Chiaramente non esiste una soluzione grafica:
> fsolve(eq,x=2..4);
Maple fornisce il nome del comando, l'equazione stessa, il nome dell'argomento e il segmento. Quelli. niente di nuovo. Dicono: "Cerca tu stesso le radici, ma non le ho trovate".
Fase tre ( Analisi aggiuntiva ) : Come ora assicurarsi che vengano trovati tutte le radici, e non solo nell'area visibile della soluzione grafica? Per fare ciò, espandi l'intervallo di ricerca:
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..50,y=-10..15);
Non ci sono nuovi punti di intersezione. Alla fine, capiamo che il termine esponenziale ai limiti del gap dà il contributo più significativo al valore della funzione dal lato sinistro dell'equazione. I valori della funzione in quest'area tendono a , e quindi non possiamo trovare radici aggiuntive.
Proviamo in altri punti: a destra ea sinistra dell'area delle radici trovate.
> fsolve(eq,x=5..50);
> fsolve(eq,x=-50..-1);
E non c'è una sola radice aggiuntiva! Avendo capito che tutto è chiaro con l'influenza della parte esponenziale dell'equazione, traiamo le conclusioni finali.
Soluzione esaustiva dell'equazione 
consiste di quattro radici: -.8251554597 , 0 , 1.545007279 , 4.567036837 .
Applichiamo il comando risolvi per una soluzione approssimata dell'equazione trascendentale 
.
Come nel caso precedente, troveremo prima una soluzione grafica di alta qualità. Per fare ciò, devi ancora indovinare come disperdere i suoi termini su entrambi i lati dell'equazione. Ma le capacità grafiche di Maple sono così grandi che è quasi sempre possibile raccogliere tutti i termini di un'equazione su un lato.
Considera un'equazione equivalente a quella data: 
. Le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione sul lato sinistro dell'equazione con l'asse Ox saranno le radici desiderate.
> eq:=x^2/20-10*x-15*cos(x+15)=0;
> plot(sx(eq),x=-10..10);
Il grafico indica l'area di ricerca delle radici: span. È il turno della squadra risolvi :
> fsolve(eq,x=1..2);
Radice trovata. Ma evidentemente non è l'unico. Espandi l'area di ricerca e applica nuovamente il comando risolvi per trovare la seconda radice.
Esercizio 4.2
Trova tutte le radici reali di un'equazione 
, partendo da una soluzione grafica.
Tracciamo il lato sinistro dell'equazione:
> eq:=x^5-4*x^3+3*x^2+7*x-1=0;
> plot(sx(eq),x=-5..5,y=-5..5);
Di conseguenza, troviamo le radici dell'equazione nella prima approssimazione: -2; -1,5 ; 0 . Ora applichiamo il comando risolvi senza specificare l'intervallo di ricerca ( valutare le possibilità di Maple):
> risolvere(eq,x);
Notiamo con soddisfazione che Maple mostra tutte e tre le radici (non dimentichiamoci che stavamo risolvendo un'equazione razionale.)
Esercizio 4.3
Trova tutte le radici di un'equazione 
. Usa una soluzione grafica. Controlla ogni radice per sostituzione diretta.
Portiamo l'equazione nella forma standard (per questa sezione):
> eq:=x^2-2-ln(x+5)=0;
Ora tracciamo il lato sinistro dell'equazione:
> plot(sx(eq),x=-10..10);
Apparentemente ci sono due radici. Uno è circa -2 e l'altro sembra 2.
Applichiamo il comando risolvi, limitando l'intervallo di ricerca:
> x:=fsolve(eq,x=-5..0);
> x:=fsolve(eq,x=1..3);
Controlliamo le radici per sostituzione diretta:
> evalf(subs(x=x,eq));
> evalf(subs(x=x,eq));
Si noti che in entrambi i casi non c'è vera uguaglianza. Considerando gli errori di arrotondamento, una ragionevole discrepanza è del tutto accettabile.
Assicurati che non ci siano altre radici. Giustifica la risposta.
Esercizio 4.4
Grafici di funzioni 
E 
si intersecano due volte sul segmento [-5;5].
UN). Traccia i grafici di entrambe le funzioni nello stesso sistema di coordinate e usa il mouse per trovare le coordinate dei punti di intersezione.
B). Scrivi un'equazione le cui radici sono le ascisse dei punti di intersezione dei grafici.
C). Usa il comando risolvi per risolvere questa equazione.
D). Utilizzare i risultati del punto c) per stimare le ordinate dei punti di intersezione dei grafici.
e). Non hai l'impressione che le linee possano intersecarsi al terzo punto con coordinate (1;9)? Utilizzo risolvi e le capacità grafiche di Maple per vedere diversamente.
> y1:=10-x^2;
> y2:=4*sin(2*x)+5;
Ora tracciamo i grafici delle funzioni:
> plot(,x=-5..5);
Coordinate approssimative dei punti di intersezione: (-1.8, 6.6) e (2.75, 2) .
b) Imposta l'equazione:
> eq:= y1=y2;
c) Squadra risolvi aiuterà a trovare le radici corrispondenti:
> x1:=fsolve(y1=y2,x=-4..0);
> x2:=fsolve(y1=y2,x=0..4);
d) Utilizzare il comando sottotitoli per determinare le corrispondenti ordinate dei punti di intersezione:
> y:=subs(x=x1,y1);
> y:=subs(x=x2,y1);
Punti grafici comuni: (-1.800.6.763) e (2.773.2.311) .
e) Esaminare graficamente l'intorno del punto x = 1:
> plot(,x=.5..1.5);
Squadra risolvi questa volta dimostrerà l'assenza di radici vicino al punto x = 1:
> fsolve(y1=y2,x=.5..1.5);
04. 04 Soluzione di equazioni in forma generale
* Risoluzione di equazioni letterali*
In molti casi, Maple trova una soluzione a un'equazione in una forma generale (simbolica). Stiamo parlando di un'equazione (non un sistema!) contenente diverse variabili. La soluzione è che una delle variabili è espressa in termini delle altre.
Sia necessario risolvere l'equazione 
relativo alla variabile g . Come al solito, usiamo il comando risolvere. E giustifica le nostre speranze:
> risolvere(4-v=2*T-k*g,g);
E così la soluzione può essere formalizzata nella solita forma:
> g=solve(4-v=2*T-k*g,g);
Esercizio 4.4
Risolvi l'ultima equazione rispetto ad altre variabili: T, k E v.
> T=solve(4-v=2*T-k*g,T);
> k=solve(4-v=2*T-k*g,k);
> v=solve(4-v=2*T-k*g,v);
Esercizio 4.5
risolvere l'equazione 
riguardo a te Assegna un nome alla sequenza di radici S. Come sono correlate le radici S e S?
> S:=risolvi(x^2+y^2=25,y);
Le radici differiscono solo nel segno.