PADA maple Ada beberapa cara untuk merepresentasikan suatu fungsi.
Metode 1: Menentukan fungsi menggunakan operator penugasan ( := ): beberapa ekspresi diberi nama, misalnya:
> f:=sin(x)+cos(x);
Jika Anda menetapkan nilai tertentu untuk suatu variabel X, maka Anda mendapatkan nilai fungsinya f untuk ini X. Misalnya, jika kita melanjutkan contoh sebelumnya dan menghitung nilainya f untuk , maka Anda harus menulis:
> x:=Pi/4;
Setelah menjalankan perintah ini, variabel X memiliki nilai yang diberikan.
Agar tidak secara permanen menetapkan nilai tertentu ke suatu variabel, akan lebih mudah menggunakan perintah substitusi subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), di mana variabel diapit oleh kurung kurawal xi dan makna baru mereka ai(saya=1,2,…), yang harus diganti ke dalam fungsi f . Sebagai contoh:
> f:=x*exp(-t);
>subs((x=2,t=1),f);
Semua perhitungan di maple secara default dihasilkan secara simbolis, yaitu hasilnya akan secara eksplisit berisi konstanta irasional, seperti, dan lain-lain. Untuk mendapatkan nilai perkiraan sebagai angka floating point, gunakan perintah nilai(expr,t), di mana expr- ekspresi, t– presisi, dinyatakan dalam angka setelah titik desimal. Misalnya, sebagai kelanjutan dari contoh sebelumnya, kami menghitung nilai fungsi yang dihasilkan kira-kira:
> eval(%);
Simbol yang digunakan disini adalah ( % ) untuk memanggil perintah sebelumnya.
Metode 2. Mendefinisikan fungsi menggunakan operator fungsi yang memetakan sekumpulan variabel (x1,x2,…) satu atau lebih ekspresi (f1,f2,…). Misalnya, mendefinisikan fungsi dari dua variabel menggunakan operator fungsi terlihat seperti ini:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
Panggilan ke fungsi ini dilakukan dengan cara yang paling umum dalam matematika, ketika nilai variabel tertentu ditunjukkan dalam tanda kurung, bukan argumen fungsi. Melanjutkan contoh sebelumnya, nilai fungsi dihitung:
Metode 3. Menggunakan perintah batalkan penerapan(expr,x1,x2,…), di mana expr- ekspresi, x1, x2,…- satu set variabel yang bergantung, Anda dapat mengubah ekspresi expr menjadi pernyataan fungsional. Sebagai contoh:
> f:=batalkan(x^2+y^2,x,y);
PADA maple adalah mungkin untuk mendefinisikan fungsi non-elementer dari formulir
dengan perintah
> sedikit demi sedikit(cond_1,f1, cond_2, f2, …).
Misalnya fungsi
ditulis sebagai berikut.
Departemen: Teknologi Informasi
Pekerjaan laboratorium
Pada topik: " SINTAKSIS, OBJEK UTAMA DAN PERINTAH DARI SISTEM MAPLE "
Moskow, 2008
Tujuan kerja :
mengetahui objek dan variabel utama dari sistem Maple;
mengetahui dan dapat menerapkan perintah yang digunakan saat bekerja dengan objek dan variabel sistem Maple;
· mengetahui sintaks fungsi matematika dasar dari sistem Maple.
pengantar
Sistem komputasi analitik Maple adalah sistem interaktif. Dalam hal ini, ini berarti pengguna memasukkan perintah atau operator Maple di area input lembar kerja dan, dengan menekan tombol
Setiap operator atau tim perlu berakhir tanda pemisah. Ada dua karakter seperti itu dalam sistem Maple - titik koma (;) dan titik dua (:). Jika sebuah kalimat diakhiri dengan titik koma, kalimat tersebut dievaluasi dan hasilnya ditampilkan di area output. Ketika tanda titik dua digunakan sebagai pemisah, perintah dijalankan, tetapi hasil operasinya tidak ditampilkan di area keluaran lembar kerja. Ini nyaman, misalnya, saat memprogram di Maple, saat tidak perlu menampilkan hasil antara apa pun yang diperoleh dari pernyataan loop, karena keluaran dari hasil ini dapat memakan banyak ruang di lembar kerja, dan mungkin memerlukan waktu yang signifikan jumlah waktu untuk menampilkannya.
Di sini dan di bawah, perintah Maple ditulis dalam bentuk sintaks bahasa Maple. Jika saat menjalankan contoh ada keinginan untuk menampilkan perintah dalam notasi matematika, maka perintah tersebut Pilihan ® Memasukkan menampilkan ® standar Matematika notasi mengatur mode tampilan yang sesuai.
Maple mengimplementasikan bahasanya sendiri, yang digunakan pengguna untuk berkomunikasi dengan sistem. Konsep dasar adalah objek dan variabel dari mana, dengan bantuan operasi matematika yang valid, ekspresi disusun.
Protozoa objek dengan yang dapat bekerja maple , adalah angka, konstanta, dan string.
Angka
Bilangan dalam sistem Maple dapat dari jenis berikut: bilangan bulat, pecahan, akar, bilangan floating point, dan bilangan kompleks. Tiga jenis angka pertama memungkinkan Anda tampil perhitungan yang tepat(tanpa pembulatan) berbagai ekspresi matematika, mewujudkan aritmatika yang tepat. Angka floating point adalah perkiraan di mana jumlah digit signifikan dibatasi. Angka-angka ini berfungsi untuk memperkirakan (atau mendekati) angka Maple yang tepat. Bilangan kompleks dapat tepat jika bagian nyata dan imajiner diwakili angka pasti, dan perkiraan, jika bilangan floating-point digunakan saat menentukan bagian nyata dan imajiner dari bilangan kompleks.
Bilangan bulat ditentukan sebagai urutan digit dari 0 hingga 9. Bilangan negatif ditentukan dengan tanda minus (–) di depan angka, nol sebelum digit bukan nol pertama tidak signifikan dan tidak mempengaruhi nilai bilangan bulat. Sistem Maple dapat bekerja dengan bilangan bulat dengan ukuran sembarang, jumlah digit secara praktis dibatasi hingga 2 28 . Perhitungan dengan bilangan bulat menerapkan empat operasi aritmatika (penjumlahan +, pengurangan -, perkalian *, pembagian /) dan perhitungan faktorial (!).
Maple mewakili bilangan bulat besar yang tidak muat pada baris keluaran dengan menggunakan karakter garis miring terbalik (\) sebagai karakter kelanjutan keluaran pada baris berikutnya. Perintah terakhir menghitung jumlah digit dari perhitungan sebelumnya. Ia menggunakan operasi % sebagai parameter, yang merupakan bentuk mudah untuk mengacu pada hasil operasi sebelumnya. Maple memiliki dua operasi serupa yang mengidentifikasi hasil perintah preprev dan preprev Sintaksnya masing-masing adalah sebagai berikut:
Maple memiliki sekumpulan perintah yang cukup besar yang memungkinkan Anda melakukan tindakan khusus untuk memproses bilangan bulat: dekomposisi menjadi faktor prima (ifactor), menghitung hasil bagi (iquo) dan sisa (irem) saat melakukan operasi pembagian bilangan bulat, menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat ( igcd), memeriksa apakah bilangan bulat itu prima (isprime), dan banyak lagi.
Untuk memeriksa perhitungan hasil bagi dan sisa dari dua bilangan bulat, operasi untuk mendapatkan hasil dari eksekusi perintah sebelumnya (perhitungan hasil bagi) dan sebelumnya (perhitungan sisa) digunakan. Hasil dari perintah isprime() adalah konstanta boolean true (benar) atau false (salah).
Dengan mengetikkan perintah di area input lembar kerja? bilangan bulat, Anda bisa mendapatkan daftar semua perintah untuk bekerja dengan bilangan bulat
Pecahan biasa diberikan oleh operasi pembagian dua utuh angka. Perhatikan bahwa Maple secara otomatis melakukan operasi pengurangan fraksi. Semua operasi aritmatika dasar dapat dilakukan pada pecahan biasa.
Jika, saat menentukan pecahan, penyebutnya dikurangi (lihat perhitungan terakhir pada contoh), maka "pecahan" seperti itu diperlakukan oleh sistem Maple sebagai bilangan bulat.
Seringkali representasi hasil dalam bentuk pecahan biasa sangat tidak nyaman, dan muncul masalah untuk mengubahnya menjadi pecahan desimal. Untuk melakukan ini, gunakan perintah evalf() , yang mendekati pecahan biasa dengan angka floating point menggunakan sepuluh digit signifikan dalam mantissa representasi mereka. Jika presisi default tidak mencukupi, maka dapat ditetapkan sebagai parameter kedua dari fungsi yang ditentukan.
Pecahan dan representasi desimalnya bukanlah objek Maple yang identik. Representasi desimal adil perkiraan nilai yang tepat diwakili oleh pecahan biasa.
Radikal ditentukan sebagai hasil dari menaikkan bilangan bulat atau bilangan pecahan menjadi pangkat pecahan, atau menghitung akar kuadratnya menggunakan fungsi sqrt (), atau menghitung akar n derajat ke-2 menggunakan fungsi surd(bilangan, n). Operasi eksponensial ditentukan oleh simbol ^ atau urutan dua tanda bintang (**). Saat menaikkan pecahan menjadi pangkat, pecahan harus diapit dalam tanda kurung, seperti eksponen pecahan. Saat menentukan akar, kemungkinan penyederhanaan juga dibuat terkait dengan menghilangkan nilai maksimum yang mungkin dari tanda akar.
Perhitungan dengan bilangan bulat, pecahan dan akar adalah benar-benar akurat karena saat bekerja dengan tipe data ini, Maple tidak melakukan pembulatan apa pun, tidak seperti angka floating point.
Angka titik mengambang ditentukan sebagai bagian bilangan bulat dan pecahan yang dipisahkan oleh titik desimal, diawali dengan tanda angka, misalnya, 3,4567, -3,415. Angka titik-mengambang dapat ditentukan menggunakan apa yang disebut notasi eksponensial, di mana segera setelah angka titik-mengambang nyata atau bilangan bulat biasa yang disebut mantissa, simbol e atau e ditempatkan, setelah itu bilangan bulat bertanda (eksponen) adalah ditentukan. Notasi ini berarti bahwa mantissa harus dikalikan dengan sepuluh pangkat angka yang sesuai dengan eksponen untuk mendapatkan nilai angka yang ditulis dalam bentuk eksponensial ini. Misalnya, 2.345e4 sesuai dengan angka 23450.0. Dengan demikian, dimungkinkan untuk merepresentasikan bilangan yang sangat besar dalam nilai absolut (pangkatnya adalah bilangan positif) atau sangat kecil (pangkatnya adalah bilangan negatif).
Ekspresi matematika dibentuk dari angka menggunakan operasi aritmatika. Simbol untuk operasi aritmatika di Maple tercantum dalam Tabel. 1.
Tabel 1. Operasi aritmatika
Urutan melakukan operasi aritmatika sesuai dengan aturan standar prioritas operasi dalam matematika: pertama, eksponensial dilakukan, kemudian perkalian dan pembagian, dan terakhir penjumlahan dan pengurangan. Semua tindakan dilakukan dari kiri ke kanan. Operasi faktorial memiliki prioritas tertinggi. Tanda kurung harus digunakan untuk mengubah urutan operasi aritmatika.
Jika semua angka dalam ekspresi adalah bilangan bulat, pecahan, atau akar, maka hasilnya juga direpresentasikan menggunakan tipe data ini, tetapi jika angka floating point ada dalam ekspresi, maka hasil evaluasi ekspresi "campuran" seperti itu juga akan menjadi angka floating point, kecuali dalam ekspresi tidak mengandung radikal. Dalam hal ini, akarnya dihitung dengan tepat, dan koefisiennya dihitung dengan tepat atau sebagai angka floating point, tergantung pada jenis faktornya.
Sistem analitik Maple selalu berusaha menghitung dengan akurasi mutlak. Jika ini gagal, maka aritmatika floating-point digunakan.
Maple dapat bekerja dengan bilangan kompleks . Untuk unit imajiner
Maple menggunakan konstanta Saya. Definisi bilangan kompleks tidak berbeda dengan definisi biasanya dalam matematika.PADA maple Ada beberapa cara untuk merepresentasikan suatu fungsi.
Metode 1: Menentukan fungsi menggunakan operator penugasan ( := ): beberapa ekspresi diberi nama, misalnya:
> f:=sin(x)+cos(x);
Jika Anda menetapkan nilai tertentu untuk suatu variabel X, maka Anda mendapatkan nilai fungsinya f untuk ini X. Misalnya, jika kita melanjutkan contoh sebelumnya dan menghitung nilainya f untuk , maka Anda harus menulis:
> x:=Pi/4;
Setelah menjalankan perintah ini, variabel X memiliki nilai yang diberikan.
Agar tidak secara permanen menetapkan nilai tertentu ke suatu variabel, akan lebih mudah menggunakan perintah substitusi subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), di mana variabel diapit oleh kurung kurawal xi dan makna baru mereka ai(saya=1,2,…), yang harus diganti ke dalam fungsi f . Sebagai contoh:
> f:=x*exp(-t);
>subs((x=2,t=1),f);
Semua perhitungan di maple secara default dihasilkan secara simbolis, yaitu hasilnya akan secara eksplisit berisi konstanta irasional, seperti, dan lain-lain. Untuk mendapatkan nilai perkiraan sebagai angka floating point, gunakan perintah nilai(expr,t), di mana expr- ekspresi, t– presisi, dinyatakan dalam angka setelah titik desimal. Misalnya, sebagai kelanjutan dari contoh sebelumnya, kami menghitung nilai fungsi yang dihasilkan kira-kira:
> eval(%);
Simbol yang digunakan disini adalah ( % ) untuk memanggil perintah sebelumnya.
Metode 2. Mendefinisikan fungsi menggunakan operator fungsi yang memetakan sekumpulan variabel (x1,x2,…) satu atau lebih ekspresi (f1,f2,…). Misalnya, mendefinisikan fungsi dari dua variabel menggunakan operator fungsi terlihat seperti ini:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
Panggilan ke fungsi ini dilakukan dengan cara yang paling umum dalam matematika, ketika nilai variabel tertentu ditunjukkan dalam tanda kurung, bukan argumen fungsi. Melanjutkan contoh sebelumnya, nilai fungsi dihitung:
Metode 3. Menggunakan perintah batalkan penerapan(expr,x1,x2,…), di mana expr- ekspresi, x1, x2,…- satu set variabel yang bergantung, Anda dapat mengubah ekspresi expr menjadi pernyataan fungsional. Sebagai contoh:
> f:=batalkan(x^2+y^2,x,y);
PADA maple adalah mungkin untuk mendefinisikan fungsi non-elementer dari formulir
dengan perintah
> sedikit demi sedikit(cond_1,f1, cond_2, f2, …).
Misalnya fungsi
ditulis sebagai berikut.
Ke halaman<Методические разработки>
Sistem aljabar komputer
Maple adalah paket matematika khusus yang digunakan oleh matematikawan profesional di seluruh dunia. Paket semacam itu juga disebut sistem aljabar komputer. Dari sekian banyak sistem seperti itu (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica, Macsyma, Derive, Axiom, MuPAD), Maple adalah pemimpin yang diakui di bidang perhitungan simbolik (yaitu, dalam mengubah ekspresi menggunakan variabel, polinomial, fungsi, dll. ). Selain itu, Maple menyertakan modul yang memfasilitasi pekerjaan di bidang matematika seperti aljabar tinggi, aljabar linier, geometri analitik, teori bilangan, kalkulus, persamaan diferensial, analisis kombinatorial, teori probabilitas, statistik, dan banyak lainnya.
Untuk mendapatkan bantuan tentang perintah tertentu, masukkan ?command di jendela Maple (ganti perintah dengan nama perintah).
Maple sebagai kalkulator super
Di lembar kerja Maple, Anda dapat memasukkan perintah setelah perintah ">". Perintah harus diakhiri dengan ";", hasilnya segera ditampilkan di layar. Jika alih-alih " ; " put " : ", maka perintah akan dieksekusi, tetapi hasil kerjanya tidak akan dicetak. Sebagai contoh:
> 57/179+91/1543;
Seperti yang bisa kita lihat, Maple memberikan jawaban yang tepat sebagai ekspresi rasional. Jika Anda ingin menyatakannya sebagai pecahan desimal (dengan presisi tertentu), gunakan fungsi evalf. Parameter pertama yang diperlukan adalah ekspresi yang akan dievaluasi, yang kedua (opsional) adalah jumlah tempat desimal yang signifikan (perhatikan bahwa ini membulatkan ekspresi untuk menampilkan jumlah tempat desimal yang sesuai):
>nilai(%);
>evaluasi(%%,30);
0.377411774928764613663435880911
Simbol % menunjukkan ekspresi terakhir yang dihitung Maple, %% - kedua dari belakang, %%% - kedua dari belakang (tetapi notasi %%%% tidak ada lagi).
Angka dan konstanta
Jika ekspresi berisi angka yang ditulis dengan floating point (misalnya, 3.14 atau 5.6e-17), maka semua perhitungan dilakukan kira-kira, jika tidak perhitungan dilakukan dengan tepat. Maple memiliki konstanta berikut: Pi Jumlah pi
I Unit imajiner saya
exp(1) Basis logaritma natural e
ketakterbatasan
benar Boolean benar
palsu Boolean salah
Perhitungan yang melibatkan konstanta dilakukan dengan tepat (kecuali nilainya diubah menjadi nilai sebenarnya), mis.
> sin(Pi/3);
> sin(3.1415926);
0.5358979324 10 -7
Operator
Maple memiliki operator berikut:
Aritmatika: + , - , * , / , ^ (eksponensial), ! (faktorial).
asah otak:< , > , >= , <= , = (равно), <>(tidak sama).
Operator penugasan: := .
Variabel
Variabel adalah pengidentifikasi apa pun (terdiri dari huruf Latin dan angka, dimulai dengan angka). Variabel dapat diberi nilai apa pun menggunakan operator penugasan:= . Variabel yang tidak diberi nilai apa pun dianggap sebagai variabel bebas dan namanya dipertahankan dalam perhitungan aritmatika. Sebagai contoh:
> a:=2: b:=3: > (a+b)^2;
Fitur standar
Tanda x (mengembalikan 1, -1 atau 0) - tanda (x)
Fungsi trigonometri: sin(x) , cos(x) , tan(x) , cot(x)
Invers trigonometri: arcsin(x) , arccos(x) , arctan(x) , arccot(x)
Eksponen: exp(x)
Alami, basis 10, dan log basis: ln(x) , log10(x) , log[a](x)
Konversi ekspresi matematika
Ekspresi dapat mencakup konstanta, variabel bebas, fungsi matematika. Contoh ekspresi:
> A:=sin(sqrt(Pi)+exp(2));
A:=sin(Pi 1/2 +e 2)
Cukup sering, polinomial dalam satu atau lebih variabel atau ekspresi rasional bertindak sebagai ekspresi. Maple berisi berbagai fungsi untuk mengubah ekspresi tersebut.
Fungsi factor(eq) memfaktorkan ekspresi eq.
> P:=x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1: > faktor(P);
Fungsi expand(eq) memperluas tanda kurung dalam sebuah ekspresi. Jika Anda menentukan satu atau lebih parameter tambahan dalam bentuk expand(eq,a,b,c) , maka ekspresi a , b , c tidak akan diperluas. Ini berguna jika Anda perlu mengalikan setiap suku dengan beberapa ekspresi.
> perluas((x+1)*(x+2));
> perluas(sin(x+y));
sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
> perluas((x+1)*(y+z),x+1);
Untuk mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama dan kemudian menguranginya, gunakan fungsi normal(eq).
>normal(1/x+1/y);
> (a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);
(a 4 -b 4)/((a 2 + b 2)ab)
Fungsi simple(eq) menyederhanakan ekspresi eq . Sebagai parameter kedua (opsional), Anda dapat menentukan ekspresi mana yang akan dikonversi: trigonometri - trigonometri, pangkat - pangkat, radikal - radikal, exp - eksponen, ln - logaritma.
> Sederhanakan(sin(x)^2+cos(x)^2);
Memecahkan Persamaan
Persamaan Biasa
Untuk menyelesaikan persamaan, gunakan fungsi solve(eq,x) , di mana eq adalah persamaan yang harus diselesaikan, x adalah nama variabel yang terkait dengan penyelesaian persamaan tersebut. Contoh:
> selesaikan(x^2+x-1=0,x);
1/2-5 1/2 /2 ,-1/2+5 1/2 /2
> selesaikan(a*x+b=0,x);
> selesaikan(a*x+b=0,b);
Jika suatu persamaan memiliki banyak solusi, maka solusi persamaan tersebut dapat diberikan ke beberapa variabel, seperti p . Kemudian Anda dapat menggunakan solusi ke-k dari persamaan dalam bentuk p[k] :
> p:=selesaikan(x^2+x-1=0,x): p;
>sederhanakan(p*p);
Sistem persamaan
Sistem persamaan diselesaikan menggunakan fungsi yang sama solve((eq1,eq2,...),(x1,x2,...)) variabel dicantumkan dalam tanda kurung, dipisahkan dengan koma, sehubungan dengan yang harus diselesaikan sistem. Jika Anda perlu menggunakan solusi persamaan yang diperoleh untuk perhitungan lebih lanjut, maka Anda perlu menetapkan hasil yang dikembalikan oleh fungsi solve ke beberapa variabel, misalnya, p , lalu jalankan perintahassign(p) . Contoh:
> p:=selesaikan((x+y=a,x-y=b), (x,y)): > tetapkan(p); >x;
Solusi numerik dari persamaan
Mari kita coba selesaikan persamaannya: x 6 -2x+1=0. Menggunakan fungsi solve akan memberi kita satu root -1 dan rangkaian ekspresi lainnya seperti RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1, indeks= 1). Faktanya adalah bahwa persamaan tingkat sembarang yang lebih tinggi dari 4 dengan koefisien rasional mungkin tidak memiliki akar yang dapat dinyatakan sebagai akar dari bilangan rasional. Solusi dari semua kemungkinan persamaan tersebut disebut bilangan aljabar. Persamaan ini juga tidak dapat dipecahkan dalam bentuk akar, dan Maple menemukan satu-satunya akar yang dapat diekspresikan dalam bentuk akar (1) dan melaporkan bahwa akar yang tersisa adalah bilangan aljabar: akar dari polinomial z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z- 1=0 ( polinomial inilah yang ditentukan dalam argumen fungsi RootOf). Maple tahu cara bekerja dengan bilangan aljabar, tetapi Anda juga dapat menemukan solusi numerik perkiraan menggunakan fungsi fsolve:
> fsolve(x^6-2*x+1=0,x);
5086603916, 1.000000000
Terkadang Maple, saat memecahkan persamaan transendental, tidak menampilkan ekspresi kompleks dalam bentuk radikal, tetapi membiarkannya dalam bentuk RootOf. Untuk memaksa Maple mengeluarkan semua solusi sebagai radikal (tentu saja, jika mereka dapat direpresentasikan dalam bentuk ini), Anda harus menyetel variabel sistem _EnvExplicit (_EnvExplicit:=true) ke true.
Memecahkan persamaan trigonometri
Perintah solve, yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, hanya menemukan solusi utama, yaitu hanya menghasilkan satu solusi dari serangkaian solusi periodik:
> selesaikan(sin(2*x)+cos(2*x)=1,x);
Agar Maple dapat menemukan semua solusi, Anda harus menyetel variabel sistem _EnvAllSolutions ke true terlebih dahulu. Kemudian kita akan mendapatkan hasilnya dalam bentuk yang berbeda, di mana variabel Z1~ dan Z2~ akan muncul. Variabel-variabel ini menunjukkan konstanta arbitrer bertipe integer; dalam bentuk yang lebih umum, solusinya dapat ditulis sebagai π/4+πn , πk .
Latihan
- Berapa tempat ke-100 setelah titik desimal dalam notasi desimal untuk π?
- Berapa angka dalam notasi desimal 179! ?
- Hitung nilainya (6+2×5 1/2) 1/2 -(6-2×5 1/2) 1/2 .
- Hitung sin 4 (π/8)+cos 4 (3π/8)+sin 4 (5π/8)+cos 4 (7π/8).
- Sederhanakan ekspresi (1 + sin(2 x) + cos(2 x))/(1 + sin(2 x) - cos(2 x)).
- Faktorkan polinomialnya x 3 -4x 2 +5x-2.
- Temukan solusi numerik untuk persamaan cos x=x.
- Selesaikan Persamaan 3 x-(18x+1) 1/2 +1=0
- Selesaikan persamaan ||2 x-3|-1|=x.
- Selesaikan persamaan (temukan semua solusi) sin x- cos x=1/sin x.
- Selesaikan sistem persamaan:
10(xy) 1/2 +3x-3y=58 x-y=6
04. 01 Transformasi persamaan. Tim lhs dan rhs
* Memasukkan dan Memanipulasi Persamaan: Thelhs danrhs perintah*
Ingatlah bahwa persamaan, seperti halnya ekspresi, dapat diberi nama. Lanjut garis komando kita akan memasukkan persamaan dan memberinya nama " persamaan1 " :
> eq1:=x^3-5*x^2+23=2*x^2+4*x-8;
Kita dapat menampilkan sisi kiri dan kanan persamaan secara terpisah menggunakan perintah lhs dan rhs :
> lhs(eq1);
> rhs(eq1);
Mari gunakan perintah lhs dan rhs untuk membawa persamaan ke bentuk standar, di mana semua suku dikumpulkan di sebelah kiri, dan hanya 0 yang tersisa di sebelah kanan:
> eq2:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0;
04. 02 Menemukan akar yang tepat. Memerintah menyelesaikan
* Menemukan Solusi Tepat: Themenyelesaikan memerintah*
Mari kita pertama-tama mempertimbangkan persamaan rasional. Diketahui bahwa terdapat algoritma untuk menentukan akar eksak dari akar rasional hingga orde ke-4 inklusif. Untuk tim Maple menyelesaikan dan algoritma ini ditetapkan.
Mari kita gunakan perintah menyelesaikan untuk menemukan akar yang tepat dari persamaan kubik 
:
> selesaikan(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);
Harap dicatat bahwa dalam perintah kami menunjukkan sehubungan dengan variabel mana persamaan harus diselesaikan. Meskipun dalam kasus khusus kami ini tidak diperlukan:
> selesaikan(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0);
Maple menemukan ketiga akar asli dan menampilkannya ( tidak dipesan ).
Terkadang sangat penting untuk memilih root tertentu, sehingga nantinya akan digunakan dalam transformasi lebih lanjut. Untuk melakukan ini, pertama-tama Anda harus menetapkan nama ke hasil eksekusi perintah menyelesaikan. Sebut saja X. Kemudian konstruksinya X akan cocok dengan root pertama dari daftar (garis bawah: itu belum tentu akar yang lebih kecil!), X- ke root kedua, dll. ( Tanda kurung berbentuk persegi!):
> X:=selesaikan(x^2-5*x+3=0,x);
Lihat, bagaimanapun, apa yang akan dihasilkan sebagai hasil dari menjalankan perintah serupa:
> x=%;
Kami menekankan sekali lagi: latihan menunjukkan bahwa disarankan untuk memberi nama persamaan. Secara tradisional, di Maple, nama seperti itu dimulai dengan huruf persamaan :
> eq1:=7*x^3-11*x^2-27*x-9=0;
(Jangan bingung operator penugasan " := "dengan tanda sama dengan" = " !)
Sekarang mari kita selesaikan persamaan menggunakan perintah menyelesaikan. Sebut saja himpunan akar X :
> X:=selesaikan(eq1,x);
Untuk persuasif, mari kita periksa apakah ada akar asing di antara akar yang ditemukan. Kami memverifikasi dengan substitusi langsung
> subs(x=X,eq1);
> subs(x=X,eq1);
> subs(x=X,eq1);
Tentu saja, solusi "tepat" seringkali cukup rumit, untuk sedikitnya. Misalnya, ini menyangkut persamaan 
:
> eq1:=x^3-34*x^2+4=0;
> X:=selesaikan(eq1,x);
Sekarang Anda mengerti apa yang kita bicarakan? Harap perhatikan sendiri itu satuan imajiner di Maple dilambangkan dengan huruf kapital Saya . Tentu saja, dalam kasus seperti itu bukanlah dosa untuk menemukan nilai perkiraan akar. Dengan solusi yang tepat, Anda sendiri akan mengetahui cara melakukannya:
> eval(X);
Dalam situasi seperti itu, alternatif yang baik untuk perintah menyelesaikan adalah fsolv, yang fitur-fiturnya akan dibahas di bagian selanjutnya.
Memerintah menyelesaikan digunakan dalam menemukan solusi eksak tidak hanya persamaan rasional. Di bawah ini adalah beberapa ilustrasi volume. Tetapi untuk banyak jenis persamaan irasional, eksponensial, logaritmik, trigonometri, dan bahkan rasional, tidak ada gunanya mencari solusi eksak. Tim dipanggil untuk membantu fsolv .
Mari kita selesaikan persamaannya 
:
> pecahkan(5*exp(x/4)=43,x);
Kadang-kadang (dan dalam trigonometri - selalu ) maple, bawaan, tidak menampilkan seluruh rangkaian akar:
> selesaikan(sin(x)=1/2,x);
Tetapi tidak ada situasi tanpa harapan! Berdasarkan hasil yang diperoleh, gunakan pengetahuan Anda tentang persamaan trigonometri dan tuliskan solusi lengkapnya ( sebagai?).
Latihan 4.1
memecahkan persamaan 
Cari tahu berapa banyak akar berbeda yang dimiliki suatu persamaan. Bagaimana Maple berurusan dengan akar yang sama?
Nasihat: faktorkan ruas kiri persamaan.
> selesaikan(x^3-11*x^2+7*x+147=0,x);
> faktor(x^3-11*x^2+7*x+147);
Akar x = 7 adalah rangkap dua, dan oleh karena itu persamaan kubik hanya memiliki dua akar berbeda. Faktorisasi ruas kiri persamaan adalah buktinya.
04. 03 Cari perkiraan akar. Memerintah fsolv
* Menemukan Solusi Perkiraan: The fsolve memerintah*
Untuk solusi perkiraan persamaan, perintah Maple digunakan fsolv. Dalam kasus persamaan rasional, fsolv menampilkan seluruh daftar akar nyata (lihat Contoh 01). Untuk persamaan transendental, perintah ini, secara default, ditampilkan hanya satu akar(Lihat Contoh 02 dan 03).
Dengan bantuan fsolv temukan nilai perkiraan keempat akar nyata dari persamaan rasional sekaligus 
:
> eq:=x^4-x^3-17*x^2-6*x+2=0;
> pecahkan(persamaan,x);
Keempat akar ini merupakan solusi lengkap dari persamaan rasional asli ( meskipun dekat).
Menggunakan perintah fsolv, Temukan setidaknya satu akar nyata dari persamaan 
:
> eq:=x^3+1-exp(x)=0;
> pecahkan(persamaan,x);
Maple dan output hanya satu root. Kali ini Maple tidak "melukis". Bagaimana sekarang memastikan bahwa tidak ada akar nyata lainnya? Contoh berikut menyediakan perangkat semacam itu.
Menerima Semua orang
akar nyata dari persamaan 
dan pastikan itu.
Langkah pertama ( Ide utama ) : menemukan solusi grafis untuk persamaan. Untuk melakukan ini, kami membuat grafik fungsi di sisi kiri persamaan. Absis dari titik persimpangan grafik ini dengan sumbu Kerbau akan menjadi akar yang diinginkan.
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..5,y=-5..15);
Karena kami dengan terampil memilih rentang perubahan pada absis dan koordinat titik grafik, kami dapat dengan mudah menemukannya 4 titik potong garis dengan sumbu x. Salah satunya sesuai dengan akar yang ditemukan pada Contoh 02 ( Pilih satu?).
Akar kedua jelas: x = 0. Dan bagaimana menemukan sisanya dengan lebih tepat?
langkah kedua ( Klarifikasi ) : menerapkan perintah fsolv lebih jelas". Maple memberikan kemampuan untuk menentukan interval di mana akar ditemukan. Secara khusus, untuk menentukan akar negatif dari persamaan kami, kami menunjukkan bahwa pencarian harus dilakukan di "area" [-1;-0.2]. Ini dengan fasih dibuktikan oleh solusi grafis.
> fsolve(eq,x=-1..-.2);
Akar yang tersisa jelas milik interval dan . Beri tahu tim tentang hal itu fsolv :
> fsolve(eq,x=1..2);
fsolve(eq,x=4..5);
Nah, apa yang terjadi jika kita memasukkan "plot kosong" ke dalam Maple? Misalnya, segmen untuk persamaan kita. Jelas tidak ada solusi grafis:
> fsolve(eq,x=2..4);
Maple memberi nama perintah, persamaan itu sendiri, nama argumen, dan segmen. Itu. tidak ada yang baru. Mereka berkata: "Cari akarnya sendiri, tetapi saya tidak menemukannya."
Langkah ketiga ( Analisis Tambahan ) : Bagaimana sekarang untuk memastikan bahwa mereka ditemukan semua akar, dan bukan hanya di area yang terlihat dari solusi grafis? Untuk melakukan ini, perluas interval pencarian:
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..50,y=-10..15);
Tidak ada titik persimpangan baru. Pada akhirnya, kita memahami bahwa suku eksponensial di batas celah memberikan kontribusi paling signifikan terhadap nilai fungsi dari sisi kiri persamaan. Nilai fungsi di daerah ini cenderung , dan karena itu kami tidak dapat menemukan akar tambahan.
Mari kita coba di tempat lain: ke kanan dan ke kiri area akar yang ditemukan.
> fsolve(eq,x=5..50);
> fsolve(eq,x=-50..-1);
Dan tidak ada satu pun root tambahan! Setelah memahami bahwa semuanya jelas dengan pengaruh bagian eksponensial dari persamaan, kami menarik kesimpulan akhir.
Solusi lengkap dari persamaan 
terdiri dari empat akar: -.8251554597 , 0 , 1.545007279 , 4.567036837 .
Mari terapkan perintahnya fsolv untuk solusi perkiraan dari persamaan transendental 
.
Seperti pada kasus sebelumnya, pertama-tama kita akan menemukan solusi grafis berkualitas tinggi. Untuk melakukan ini, Anda masih perlu menebak cara menyebarkan sukunya di kedua sisi persamaan. Tetapi kemampuan grafis Maple sangat bagus sehingga hampir selalu memungkinkan untuk mengumpulkan semua suku persamaan di satu sisi.
Pertimbangkan persamaan yang setara dengan yang diberikan: 
. Absis dari titik potong grafik fungsi di sisi kiri persamaan dengan sumbu Ox akan menjadi akar yang diinginkan.
> eq:=x^2/20-10*x-15*cos(x+15)=0;
> plot(lhs(eq),x=-10..10);
Grafik menunjukkan area pencarian untuk root: span. Giliran tim fsolv :
> fsolve(eq,x=1..2);
Akar ditemukan. Tapi jelas dia bukan satu-satunya. Perluas area pencarian dan terapkan perintah lagi fsolv untuk menemukan akar kedua.
Latihan 4.2
Temukan semua akar nyata dari sebuah persamaan 
, dimulai dengan solusi grafis.
Mari plot sisi kiri persamaan:
> eq:=x^5-4*x^3+3*x^2+7*x-1=0;
> plot(lhs(eq),x=-5..5,y=-5..5);
Hasilnya, kami menemukan akar persamaan pada perkiraan pertama: -2; -1,5 ; 0 . Sekarang mari kita terapkan perintahnya fsolv tanpa menentukan rentang pencarian ( mengevaluasi kemungkinan Maple):
> pecahkan(persamaan,x);
Kami mencatat dengan puas bahwa Maple menampilkan ketiga akar (Jangan lupa bahwa kami sedang menyelesaikan persamaan rasional.)
Latihan 4.3
Temukan semua akar persamaan 
. Gunakan solusi grafis. Periksa setiap akar dengan substitusi langsung.
Mari kita bawa persamaan ke bentuk standar (untuk bagian ini):
> eq:=x^2-2-ln(x+5)=0;
Sekarang mari kita plot sisi kiri persamaan:
> plot(lhs(eq),x=-10..10);
Ternyata ada dua akar. Satu sekitar -2 dan yang lainnya terlihat seperti 2.
Mari terapkan perintahnya fsolv, membatasi rentang pencarian:
> x:=fsolve(eq,x=-5..0);
> x:=fsolve(eq,x=1..3);
Mari kita periksa akarnya dengan substitusi langsung:
> evalf(subs(x=x,eq));
> evalf(subs(x=x,eq));
Perhatikan bahwa dalam kedua kasus tidak ada persamaan yang benar. Mempertimbangkan kesalahan pembulatan, perbedaan yang masuk akal cukup dapat diterima.
Pastikan tidak ada akar lain. Benarkan jawabannya.
Latihan 4.4
Grafik Fungsi 
dan 
berpotongan dua kali pada segmen [-5;5].
sebuah). Plot grafik dari kedua fungsi dalam sistem koordinat yang sama dan gunakan mouse untuk mencari koordinat titik perpotongan.
b). Tulis persamaan yang akarnya adalah absis dari titik potong grafik.
c). Gunakan perintah fsolv untuk menyelesaikan persamaan ini.
d). Gunakan hasil dari titik c) untuk memperkirakan koordinat titik-titik persimpangan grafik.
e). Tidakkah Anda mendapat kesan bahwa garis dapat berpotongan di titik ketiga dengan koordinat (1;9)? Menggunakan fsolv dan kemampuan grafis Maple untuk melihat sebaliknya.
> y1:=10-x^2;
> y2:=4*sin(2*x)+5;
Sekarang mari kita plot grafik fungsi:
> plot(,x=-5..5);
Perkiraan koordinat titik persimpangan: (-1.8, 6.6) dan (2.75, 2) .
b) Tentukan persamaan:
> persamaan:= y1=y2;
c) Tim fsolv akan membantu menemukan akar yang sesuai:
> x1:=fsolve(y1=y2,x=-4..0);
> x2:=fsolve(y1=y2,x=0..4);
d) Gunakan perintah kapal selam untuk menentukan koordinat yang sesuai dari titik persimpangan:
> y:=subs(x=x1,y1);
> y:=subs(x=x2,y1);
Poin grafik umum: (-1.800.6.763) dan (2.773.2.311) .
e) Periksa secara grafis ketetanggaan titik x = 1:
> plot(,x=.5..1.5);
Memerintah fsolv kali ini akan dibuktikan tidak adanya akar di dekat titik x = 1:
> fsolve(y1=y2,x=.5..1.5);
04. 04 Solusi persamaan dalam bentuk umum
* Memecahkan Persamaan Literal*
Dalam banyak kasus, Maple menemukan solusi persamaan dalam bentuk umum (simbolik). Kita berbicara tentang persamaan (bukan sistem!) yang berisi beberapa variabel. Solusinya adalah salah satu variabel dinyatakan dalam bentuk yang lain.
Biarkan perlu untuk memecahkan persamaan 
relatif terhadap variabel g . Seperti biasa, kita menggunakan perintah menyelesaikan. Dan itu membenarkan harapan kita:
> pecahkan(4-v=2*T-k*g,g);
Maka solusinya dapat diformalkan dalam bentuk biasa:
> g=selesaikan(4-v=2*T-k*g,g);
Latihan 4.4
Selesaikan persamaan terakhir sehubungan dengan variabel lain: T, k dan ay.
> T=selesaikan(4-v=2*T-k*g,T);
> k=selesaikan(4-v=2*T-k*g,k);
> v=selesaikan(4-v=2*T-k*g,v);
Latihan 4.5
memecahkan persamaan 
tentang kamu. Sebutkan barisan akar S. Bagaimana hubungan akar S dan S?
> S:=selesaikan(x^2+y^2=25,y);
Akarnya hanya berbeda dalam tanda.