Sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris atau kolom dengan komplemen aljabarnya, mis. , di mana i 0 diperbaiki.
Ekspresi (*) disebut perluasan determinan D menjadi elemen-elemen baris bernomor i 0 .

Tujuan layanan. Layanan ini dirancang untuk mencari determinan suatu matriks secara online dengan seluruh proses penyelesaiannya dicatat dalam format Word. Selain itu, templat solusi dibuat di Excel.

instruksi. Pilih dimensi matriks, klik Berikutnya. Penentunya dapat dihitung dengan dua cara: a-priori Dan menurut baris atau kolom. Jika Anda perlu mencari determinan dengan membuat angka nol di salah satu baris atau kolom, Anda dapat menggunakan kalkulator ini.

Algoritma untuk mencari determinan

1. Untuk matriks berorde n=2, determinannya dihitung dengan rumus: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Untuk matriks berorde n=3, determinannya dihitung melalui penjumlahan aljabar atau metode Sarrus.
3. Sebuah matriks yang berdimensi lebih besar dari tiga didekomposisi menjadi komplemen aljabar, yang determinannya (minor) dihitung. Misalnya, Penentu matriks orde 4 ditemukan melalui perluasan ke dalam baris atau kolom (lihat contoh).

Untuk menghitung determinan yang mengandung fungsi dalam suatu matriks, digunakan metode standar. Misalnya, hitung determinan matriks orde ke-3:

Kami menggunakan metode dekomposisi sepanjang baris pertama.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metode untuk menghitung determinan

Menemukan determinan melalui penjumlahan aljabar adalah metode yang umum. Versi sederhananya adalah perhitungan determinan dengan aturan Sarrus. Namun jika dimensi matriksnya besar maka digunakan metode berikut:

1. menghitung determinan dengan menggunakan metode reduksi orde
2. perhitungan determinan menggunakan metode Gaussian (dengan mereduksi matriks menjadi bentuk segitiga).

Di Excel, fungsi =MOPRED(rentang sel) digunakan untuk menghitung determinan.

Penggunaan determinan yang diterapkan

Sebagai aturan, determinan dihitung untuk sistem tertentu yang ditentukan dalam bentuk matriks persegi. Mari kita pertimbangkan beberapa jenis masalah mencari determinan suatu matriks. Terkadang Anda perlu menemukan parameter a yang tidak diketahui yang determinannya sama dengan nol. Untuk melakukan ini, perlu dibuat persamaan determinan (misalnya menurut aturan segitiga) dan, samakan dengan 0, hitung parameter a.
dekomposisi kolom (kolom pertama):
Minor untuk (1,1): Coret baris pertama dan kolom pertama dari matriks.
Mari kita cari determinan untuk minor ini. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.

Mari kita tentukan minor untuk (2,1): untuk melakukan ini, kita menghapus baris kedua dan kolom pertama dari matriks.

Mari kita cari determinan untuk minor ini. ∆ 2.1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Minor untuk (3,1): Coret baris ke-3 dan kolom ke-1 dari matriks.
Mari kita cari determinan untuk minor ini. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Penentu utamanya adalah: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Mari kita cari determinannya menggunakan ekspansi baris demi baris (pada baris pertama):
Minor untuk (1,1): Coret baris pertama dan kolom pertama dari matriks.

Mari kita cari determinan untuk minor ini. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Minor untuk (1,2): Coret baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks. Mari kita hitung determinan minor ini. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. Dan untuk mencari minor untuk (1,3), kita mencoret baris pertama dan kolom ketiga dari matriks. Mari kita cari determinan untuk minor ini. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Cari determinan utama: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Konsep determinan merupakan salah satu konsep utama dalam mata kuliah aljabar linier. Konsep ini HANYA melekat pada MATRIK KOTAK, dan artikel ini dikhususkan untuk konsep ini. Di sini kita akan membahas tentang determinan matriks yang elemen-elemennya berupa bilangan real (atau kompleks). Dalam hal ini, determinannya adalah bilangan real (atau kompleks). Seluruh pemaparan selanjutnya akan menjadi jawaban atas pertanyaan bagaimana cara menghitung determinan dan sifat-sifat apa saja yang dimilikinya.

Pertama, kita definisikan determinan matriks persegi berorde n kali n sebagai jumlah perkalian permutasi elemen-elemen matriks. Berdasarkan definisi tersebut, kami akan menuliskan rumus untuk menghitung determinan matriks orde pertama, kedua, dan ketiga serta menganalisis secara rinci penyelesaian dari beberapa contoh.

Selanjutnya kita beralih ke sifat-sifat determinan yang akan kita rumuskan dalam bentuk teorema tanpa pembuktian. Di sini kita akan memperoleh metode untuk menghitung determinan melalui perluasannya ke dalam elemen-elemen baris atau kolom. Metode ini memungkinkan Anda untuk mereduksi perhitungan determinan matriks berorde n kali n menjadi perhitungan determinan matriks berorde 3 kali 3 atau kurang. Kami pasti akan menunjukkan solusi dengan beberapa contoh.

Kesimpulannya, kita akan fokus pada penghitungan determinan menggunakan metode Gaussian. Metode ini baik untuk mencari nilai determinan matriks berorde lebih tinggi dari 3 kali 3, karena memerlukan lebih sedikit usaha komputasi. Kami juga akan melihat solusi dari contoh-contoh tersebut.

Navigasi halaman.

Penentuan determinan suatu matriks, perhitungan determinan suatu matriks menurut definisi.

Mari kita ingat beberapa konsep tambahan.

Definisi.

Permutasi orde n Himpunan bilangan terurut yang terdiri dari n elemen disebut.

Untuk himpunan yang memuat n elemen, terdapat n! (n faktorial) permutasi orde n. Permutasi berbeda satu sama lain hanya dalam urutan kemunculan elemennya.

Misalnya, perhatikan suatu himpunan yang terdiri dari tiga bilangan: . Mari kita tuliskan semua permutasinya (totalnya ada enam, karena ):

Definisi.

Dengan inversi dalam permutasi orde n Pasangan indeks p dan q yang elemen ke-p dari permutasinya lebih besar dari ke-q disebut.

Pada contoh sebelumnya, invers dari permutasi 4, 9, 7 adalah pasangan p=2, q=3, karena elemen kedua dari permutasi tersebut sama dengan 9 dan lebih besar dari elemen ketiga, yaitu sama dengan 7. Inversi permutasi 9, 7, 4 akan menghasilkan tiga pasangan: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) dan p=2, q=3 (7>4).

Kita akan lebih tertarik pada jumlah inversi dalam permutasi, dibandingkan inversi itu sendiri.

Misalkan matriks persegi berorde n kali n pada bidang bilangan real (atau kompleks). Misalkan adalah himpunan semua permutasi orde n dari himpunan tersebut. Himpunan berisi n! permutasi. Mari kita nyatakan permutasi ke-k dari himpunan tersebut sebagai , dan jumlah inversi pada permutasi ke-k sebagai .

Definisi.

Penentu matriks Dan ada angka yang sama dengan .

Mari kita jelaskan rumus ini dengan kata-kata. Penentu matriks persegi berorde n kali n adalah jumlah yang mengandung n! ketentuan. Setiap suku merupakan hasil kali n elemen matriks, dan setiap hasil kali memuat satu elemen dari setiap baris dan dari setiap kolom matriks A. Koefisien (-1) muncul sebelum suku ke-k jika elemen-elemen matriks A pada hasil kali diurutkan berdasarkan nomor baris, dan banyaknya inversi pada permutasi ke-k himpunan nomor kolom adalah ganjil.

Penentu matriks A biasanya dilambangkan dengan , dan det(A) juga digunakan. Anda mungkin juga mendengar determinan disebut determinan.

Jadi, .

Dari sini jelas bahwa determinan matriks orde pertama adalah elemen matriks tersebut.

Menghitung determinan matriks persegi orde dua - rumus dan contoh.

sekitar 2 kali 2 secara umum.

Dalam hal ini n=2 , maka n!=2!=2 .

.

Kita punya

Dengan demikian, kita telah memperoleh rumus untuk menghitung determinan matriks berorde 2 kali 2, berbentuk .

Contoh.

memesan .

Larutan.

Dalam contoh kita. Kami menerapkan formula yang dihasilkan :

Menghitung determinan matriks persegi orde ketiga - rumus dan contoh.

Mari kita cari determinan matriks persegi sekitar 3 kali 3 secara umum.

Dalam hal ini n=3, maka n!=3!=6.

Mari kita susun dalam bentuk tabel data yang diperlukan untuk menerapkan rumus .

Kita punya

Dengan demikian, kita telah memperoleh rumus untuk menghitung determinan matriks berorde 3 kali 3, berbentuk

Demikian pula, Anda dapat memperoleh rumus untuk menghitung determinan matriks berorde 4 kali 4, 5 kali 5 dan lebih tinggi. Mereka akan terlihat sangat besar.

Contoh.

Menghitung determinan matriks persegi sekitar 3 kali 3.

Larutan.

Dalam contoh kita

Kami menerapkan rumus yang dihasilkan untuk menghitung determinan matriks orde ketiga:

Rumus untuk menghitung determinan matriks persegi orde kedua dan ketiga sangat sering digunakan, oleh karena itu sebaiknya Anda mengingatnya.

Sifat-sifat determinan suatu matriks, menghitung determinan suatu matriks menggunakan sifat-sifat.

Berdasarkan definisi di atas, hal-hal berikut ini benar: sifat-sifat determinan matriks.

Penentu matriks A sama dengan determinan matriks yang ditransposisikan A T, yaitu .

Contoh.

Pastikan determinan matriks sama dengan determinan matriks yang ditransposisikan.

Larutan.

Mari kita gunakan rumus untuk menghitung determinan matriks berorde 3 kali 3:



Ubah urutan matriks A:


Mari kita hitung determinan matriks yang ditransposisikan:



Memang determinan matriks yang ditransposisi sama dengan determinan matriks asal.

Jika dalam matriks persegi semua elemen paling sedikit salah satu baris (salah satu kolom) adalah nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol.

Contoh.

Periksa bahwa determinan matriks urutan 3 kali 3 adalah nol.

Larutan.




Memang determinan matriks yang kolomnya nol sama dengan nol.

Jika Anda menyusun ulang dua baris (kolom) dalam matriks persegi, maka determinan matriks yang dihasilkan akan berlawanan dengan matriks aslinya (yaitu, tandanya akan berubah).

Contoh.

Diberikan dua matriks persegi berorde 3 kali 3 Dan . Tunjukkan bahwa determinannya berlawanan.

Larutan.

Matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengganti baris ketiga dengan baris pertama, dan baris pertama dengan baris ketiga. Menurut sifat yang dipertimbangkan, determinan matriks tersebut harus berbeda tandanya. Mari kita periksa dengan menghitung determinan menggunakan rumus terkenal.



Benar-benar, .

Jika dalam suatu matriks persegi paling sedikit dua baris (dua kolom) sama, maka determinannya sama dengan nol.

Contoh.

Tunjukkan bahwa determinan matriks sama dengan nol.

Larutan.

Pada matriks ini kolom kedua dan ketiga adalah sama, sehingga menurut sifat yang dipertimbangkan, determinannya harus sama dengan nol. Mari kita periksa.



Faktanya, determinan matriks dengan dua kolom identik adalah nol.

Jika dalam suatu matriks persegi semua elemen suatu baris (kolom) dikalikan dengan bilangan tertentu k, maka determinan matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan matriks asal dikalikan k. Misalnya,



Contoh.

Buktikan bahwa determinan matriks sama dengan tiga kali lipat determinan matriks .

Larutan.

Unsur-unsur kolom pertama matriks B diperoleh dari unsur-unsur yang bersesuaian pada kolom pertama matriks A dengan mengalikannya dengan 3. Kemudian, karena harta benda yang dipertimbangkan, persamaan harus dipertahankan. Mari kita periksa dengan menghitung determinan matriks A dan B.



Oleh karena itu, hal itu perlu dibuktikan.

CATATAN.

Jangan bingung atau mencampuradukkan konsep matriks dan determinan! Sifat determinan suatu matriks dan operasi perkalian matriks dengan suatu bilangan jauh dari sama.
, Tetapi .

Jika semua elemen pada setiap baris (kolom) matriks persegi mewakili jumlah s suku (s adalah bilangan asli lebih besar dari satu), maka determinan matriks tersebut akan sama dengan jumlah s determinan matriks yang diperoleh. dari semula, jika unsur-unsur baris (kolom) adalah: sisakan suku satu per satu. Misalnya,


Contoh.

Buktikan bahwa determinan suatu matriks sama dengan jumlah determinan matriks .

Larutan.

Dalam contoh kita , oleh karena itu, karena sifat determinan matriks yang dipertimbangkan, persamaan harus dipenuhi . Mari kita periksa dengan menghitung determinan matriks berorde 2 kali 2 menggunakan rumus .


Dari hasil yang didapat terlihat jelas bahwa . Ini melengkapi buktinya.

Jika unsur-unsur yang bersesuaian pada baris (kolom) lain ditambahkan ke unsur-unsur suatu baris (kolom) tertentu suatu matriks, dikalikan dengan bilangan sembarang k, maka determinan matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan matriks asal. .

Contoh.

Pastikan if ke elemen kolom ketiga matriks tambahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada kolom kedua matriks ini, dikalikan (-2), dan tambahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada kolom pertama matriks tersebut, dikalikan dengan bilangan real sembarang, maka determinan matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan matriks asal.

Larutan.

Jika kita mulai dari sifat determinan yang dipertimbangkan, maka determinan matriks yang diperoleh setelah semua transformasi yang ditentukan dalam soal akan sama dengan determinan matriks A.

Pertama, mari kita hitung determinan matriks asal A:



Sekarang mari kita lakukan transformasi yang diperlukan pada matriks A.

Mari kita tambahkan elemen-elemen kolom ketiga matriks dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari kolom kedua matriks, setelah sebelumnya mengalikannya dengan (-2). Setelah itu, matriksnya akan berbentuk:


Ke elemen kolom ketiga dari matriks yang dihasilkan kita tambahkan elemen yang bersesuaian dari kolom pertama, dikalikan dengan:


Mari kita hitung determinan matriks yang dihasilkan dan pastikan sama dengan determinan matriks A, yaitu -24:



Penentu matriks persegi sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen dari setiap baris (kolom) dan elemen-elemennya penjumlahan aljabar.



Berikut adalah komplemen aljabar elemen matriks , .

Properti ini memungkinkan seseorang untuk menghitung determinan matriks berorde lebih tinggi dari 3 kali 3 dengan mereduksinya menjadi jumlah beberapa determinan matriks berorde satu lebih rendah. Dengan kata lain, ini adalah rumus berulang untuk menghitung determinan matriks persegi orde apa pun. Kami menyarankan Anda mengingatnya karena penerapannya yang cukup sering.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

sekitar 4 kali 4, memperluasnya

• oleh elemen baris ke-3,
• oleh elemen kolom ke-2.

Larutan.

Kami menggunakan rumus untuk menguraikan determinan menjadi elemen-elemen baris ke-3



Kita punya



Jadi tugas mencari determinan matriks berorde 4 kali 4 direduksi menjadi menghitung tiga determinan matriks berorde 3 kali 3:



Mengganti nilai yang diperoleh, kita sampai pada hasilnya:


Kami menggunakan rumus untuk menguraikan determinan menjadi elemen kolom ke-2


dan kami bertindak dengan cara yang sama.

Kami tidak akan menjelaskan secara rinci perhitungan determinan matriks orde ketiga.



Contoh.

Hitung determinan matriks sekitar 4 kali 4.

Larutan.

Anda dapat memperluas determinan suatu matriks ke dalam elemen kolom atau baris mana pun, tetapi akan lebih menguntungkan jika memilih baris atau kolom yang berisi elemen nol paling banyak, karena ini akan membantu menghindari perhitungan yang tidak perlu. Mari kita perluas determinannya menjadi elemen-elemen pada baris pertama:



Mari kita hitung determinan yang dihasilkan dari matriks berorde 3 kali 3 menggunakan rumus yang kita ketahui:



Gantikan hasilnya dan dapatkan nilai yang diinginkan


Contoh.

Hitung determinan matriks sekitar 5 kali 5.

Larutan.

Baris keempat matriks memiliki jumlah elemen nol terbesar di antara semua baris dan kolom, sehingga disarankan untuk memperluas determinan matriks tepat sesuai dengan elemen baris keempat, karena dalam hal ini kita memerlukan lebih sedikit perhitungan.



Penentu matriks orde 4 kali 4 yang dihasilkan telah ditemukan pada contoh sebelumnya, jadi mari kita gunakan hasil yang sudah jadi:



Contoh.

Hitung determinan matriks sekitar 7 kali 7.

Larutan.

Anda tidak boleh langsung terburu-buru mengurutkan determinan ke dalam elemen baris atau kolom mana pun. Jika Anda memperhatikan matriksnya dengan cermat, Anda akan melihat bahwa elemen-elemen pada baris keenam matriks tersebut dapat diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen yang bersesuaian pada baris kedua dengan dua. Artinya, jika elemen-elemen yang bersesuaian pada baris kedua dijumlahkan dengan elemen-elemen baris keenam, dikalikan (-2), maka determinannya tidak akan berubah karena sifat ketujuh, dan baris keenam dari matriks yang dihasilkan akan terdiri dari nol. Penentu matriks tersebut sama dengan nol pada sifat kedua.

Menjawab:

Perlu dicatat bahwa properti yang dipertimbangkan memungkinkan seseorang untuk menghitung determinan matriks dalam urutan apa pun, tetapi kita harus melakukan banyak operasi komputasi. Dalam kebanyakan kasus, akan lebih menguntungkan untuk mencari determinan matriks berorde lebih tinggi daripada matriks berorde ketiga menggunakan metode Gaussian, yang akan kita bahas di bawah.

Jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris (kolom) suatu matriks persegi dengan komplemen aljabar elemen-elemen yang bersesuaian pada baris (kolom) lainnya sama dengan nol.


Contoh.

Tunjukkan bahwa jumlah hasil kali elemen-elemen kolom ketiga matriks tersebut pada komplemen aljabar elemen-elemen yang bersesuaian pada kolom pertama sama dengan nol.

Larutan.




Penentu hasil kali matriks-matriks persegi berorde sama sama dengan hasil kali determinannya, yaitu, , dimana m adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, A k, k=1,2,...,m adalah matriks persegi berorde sama.

Contoh.

Verifikasi bahwa determinan produk dua matriks dan sama dengan hasil kali determinannya.

Larutan.

Mari kita cari dulu hasil kali determinan matriks A dan B:


Sekarang mari kita lakukan perkalian matriks dan hitung determinan matriks yang dihasilkan:



Dengan demikian, , itulah yang perlu ditampilkan.

Perhitungan determinan suatu matriks menggunakan metode Gaussian.

Mari kita uraikan inti dari metode ini. Dengan menggunakan transformasi dasar, matriks A direduksi sedemikian rupa sehingga pada kolom pertama semua elemen kecuali elemen menjadi nol (hal ini selalu dapat dilakukan jika determinan matriks A berbeda dari nol). Kami akan menjelaskan prosedur ini nanti, tetapi sekarang kami akan menjelaskan mengapa hal ini dilakukan. Elemen nol diperoleh untuk mendapatkan perluasan determinan yang paling sederhana pada elemen kolom pertama. Setelah transformasi matriks A, dengan mempertimbangkan properti kedelapan dan, kita peroleh

Di mana - urutan kecil (n-1)., diperoleh dari matriks A dengan menghapus elemen baris pertama dan kolom pertama.

Dengan matriks yang berkorespondensi dengan minor, prosedur yang sama dilakukan untuk mendapatkan elemen nol pada kolom pertama. Begitu seterusnya hingga perhitungan akhir determinannya.

Sekarang tinggal menjawab pertanyaan: “Bagaimana cara mendapatkan elemen nol di kolom pertama”?

Mari kita jelaskan algoritma tindakannya.

Jika , maka elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-k ditambahkan ke elemen-elemen baris pertama matriks tersebut, yang mana . (Jika semua elemen kolom pertama matriks A, tanpa kecuali, adalah nol, maka determinannya sama dengan nol pada sifat kedua dan tidak diperlukan metode Gaussian). Setelah transformasi seperti itu, elemen “baru” akan menjadi bukan nol. Penentu matriks “baru” akan sama dengan determinan matriks asli karena sifat ketujuh.

Sekarang kita mempunyai matriks dengan . Ketika ke elemen baris kedua kita menambahkan elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan , ke elemen baris ketiga - elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan . Dan seterusnya. Terakhir, pada elemen baris ke-n kita tambahkan elemen yang bersesuaian pada baris pertama, dikalikan dengan . Ini akan menghasilkan matriks A yang ditransformasikan, semua elemen kolom pertama, kecuali , akan bernilai nol. Penentu matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan matriks asal karena sifat ketujuh.

Mari kita lihat metode penyelesaiannya dengan contoh, akan lebih jelas.

Contoh.

Hitung determinan matriks berorde 5 kali 5 .

Larutan.

Mari kita gunakan metode Gaussian. Mari kita transformasikan matriks A sehingga semua elemen kolom pertamanya, kecuali , menjadi nol.

Karena elemen awalnya adalah , kita menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada baris pertama matriks, misalnya, pada baris kedua, karena :

Tanda “~” menunjukkan kesetaraan.

Sekarang kita tambahkan ke elemen baris kedua elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan , ke elemen baris ketiga – elemen baris pertama yang bersesuaian, dikalikan dengan , dan lanjutkan dengan cara yang sama hingga baris keenam:

Kita mendapatkan

Dengan matriks Kami melakukan prosedur yang sama untuk mendapatkan elemen nol di kolom pertama:

Karena itu,

Sekarang kita melakukan transformasi dengan matriks :

Komentar.

Pada tahap tertentu transformasi matriks menggunakan metode Gaussian, mungkin timbul situasi ketika semua elemen dari beberapa baris terakhir matriks menjadi nol. Ini akan menunjukkan bahwa determinannya sama dengan nol.

Meringkaskan.

Penentu matriks persegi yang elemen-elemennya berupa bilangan adalah bilangan. Kami melihat tiga cara untuk menghitung determinan:

1. melalui jumlah produk kombinasi elemen matriks;
2. melalui penguraian determinan menjadi elemen-elemen baris atau kolom matriks;
3. dengan mereduksi matriks menjadi matriks segitiga atas (metode Gaussian).

Rumus diperoleh untuk menghitung determinan matriks berorde 2 kali 2 dan 3 kali 3.

Kita telah mempelajari sifat-sifat determinan suatu matriks. Beberapa di antaranya memungkinkan Anda dengan cepat memahami bahwa determinannya adalah nol.

Saat menghitung determinan matriks berorde lebih tinggi dari 3 kali 3, disarankan untuk menggunakan metode Gaussian: melakukan transformasi dasar matriks dan mereduksinya menjadi segitiga atas. Penentu matriks tersebut sama dengan produk semua elemen pada diagonal utama.

Rumusan masalah

Tugas tersebut mengharuskan pengguna untuk memahami konsep dasar metode numerik, seperti matriks determinan dan invers, serta berbagai cara menghitungnya. Laporan teoretis ini pertama-tama memperkenalkan konsep dan definisi dasar dalam bahasa yang sederhana dan mudah dipahami, yang menjadi dasar dilakukannya penelitian lebih lanjut. Pengguna mungkin tidak memiliki pengetahuan khusus di bidang metode numerik dan aljabar linier, namun dapat dengan mudah menggunakan hasil pekerjaan ini. Untuk lebih jelasnya, diberikan program untuk menghitung determinan suatu matriks dengan menggunakan beberapa metode yang ditulis dalam bahasa pemrograman C++. Program ini digunakan sebagai stand laboratorium untuk membuat ilustrasi laporan. Kajian tentang metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier juga sedang dilakukan. Kesia-siaan menghitung matriks invers terbukti, sehingga pekerjaan ini memberikan cara yang lebih optimal untuk menyelesaikan persamaan tanpa menghitungnya. Ini menjelaskan mengapa ada begitu banyak metode berbeda untuk menghitung determinan dan matriks invers dan membahas kekurangannya. Kesalahan dalam menghitung determinan juga dipertimbangkan dan akurasi yang dicapai dinilai. Selain istilah Rusia, karya ini juga menggunakan padanan bahasa Inggrisnya untuk memahami nama apa yang harus dicari untuk prosedur numerik di perpustakaan dan apa arti parameternya.

Definisi dasar dan sifat paling sederhana

Penentu

Mari kita perkenalkan definisi determinan matriks persegi orde berapa pun. Definisi ini akan menjadi berulang, yaitu untuk menentukan determinan matriks orde, Anda harus sudah mengetahui apa determinan matriks orde. Perhatikan juga bahwa determinan hanya ada untuk matriks persegi.

Kita akan menyatakan determinan matriks persegi dengan atau det.

Definisi 1. Penentu matriks persegi nomor urut kedua dipanggil .

Penentu matriks orde persegi, disebut bilangan

dimana adalah determinan matriks orde yang diperoleh dari matriks tersebut dengan menghapus baris dan kolom pertama yang bernomor .

Agar lebih jelas, mari kita tuliskan cara menghitung determinan matriks orde keempat:

Komentar. Perhitungan aktual determinan matriks di atas orde ketiga berdasarkan definisi digunakan dalam kasus luar biasa. Biasanya, perhitungan dilakukan dengan menggunakan algoritma lain, yang akan dibahas nanti dan memerlukan lebih sedikit pekerjaan komputasi.

Komentar. Dalam Definisi 1, akan lebih tepat jika dikatakan bahwa determinan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan matriks persegi yang berorde dan mengambil nilai dalam himpunan bilangan.

Komentar. Dalam literatur, selain istilah “determinan” juga digunakan istilah “determinan” yang mempunyai arti yang sama. Dari kata “determinan” muncullah sebutan det.

Mari kita perhatikan beberapa sifat determinan yang akan kita rumuskan dalam bentuk pernyataan.

Pernyataan 1. Saat mentransposisi matriks, determinannya tidak berubah, yaitu .

Pernyataan 2. Penentu hasil kali matriks persegi sama dengan hasil kali faktor-faktor penentu, yaitu.

Pernyataan 3. Jika dua baris dalam suatu matriks ditukar, determinannya akan berubah tanda.

Pernyataan 4. Jika suatu matriks mempunyai dua baris yang identik, maka determinannya sama dengan nol.

Di masa depan, kita perlu menambahkan string dan mengalikan string dengan angka. Tindakan ini akan kita lakukan pada baris (kolom) dengan cara yang sama seperti tindakan pada matriks baris (matriks kolom), yaitu elemen demi elemen. Hasilnya adalah sebuah baris (kolom), yang biasanya tidak bertepatan dengan baris-baris matriks aslinya. Jika ada operasi penjumlahan baris (kolom) dan mengalikannya dengan suatu bilangan, kita juga dapat berbicara tentang kombinasi linier baris (kolom), yaitu penjumlahan dengan koefisien numerik.

Pernyataan 5. Jika suatu baris suatu matriks dikalikan dengan suatu bilangan, maka determinannya akan dikalikan dengan bilangan tersebut.

Pernyataan 6. Jika suatu matriks mempunyai baris nol, maka determinannya adalah nol.

Pernyataan 7. Jika salah satu baris matriks sama dengan baris lainnya, dikalikan dengan suatu bilangan (baris-barisnya sebanding), maka determinan matriks tersebut sama dengan nol.

Pernyataan 8. Misalkan baris ke-i pada matriks tersebut berbentuk . Kemudian, matriks diperoleh dari matriks tersebut dengan cara mengganti baris ke-i dengan baris tersebut, dan matriks tersebut diperoleh dengan mengganti baris ke-i dengan baris tersebut.

Pernyataan 9. Jika suatu baris lain dijumlahkan pada salah satu baris matriks, dikalikan dengan suatu bilangan, maka determinan matriks tersebut tidak akan berubah.

Pernyataan 10. Jika salah satu baris suatu matriks merupakan kombinasi linier dari baris-baris lainnya, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol.

Definisi 2. Komplemen aljabar ke suatu elemen matriks adalah bilangan yang sama dengan , dimana merupakan determinan matriks yang diperoleh dari matriks tersebut dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j. Komplemen aljabar suatu elemen matriks dilambangkan dengan .

Contoh. Membiarkan . Kemudian

Komentar. Dengan menggunakan penjumlahan aljabar, definisi 1 determinan dapat ditulis sebagai berikut:

Pernyataan 11. Perluasan determinan dalam string sembarang.

Rumus determinan matriks adalah

Contoh. Menghitung .

Larutan. Mari kita gunakan perluasan sepanjang baris ketiga, ini lebih menguntungkan, karena di baris ketiga dua dari tiga angka adalah nol. Kita mendapatkan

Pernyataan 12. Untuk matriks persegi berorde di, relasinya berlaku: .

Pernyataan 13. Semua sifat determinan yang dirumuskan untuk baris (pernyataan 1 - 11) juga berlaku untuk kolom, khususnya penguraian determinan pada kolom ke-j juga valid dan kesetaraan pada .

Pernyataan 14. Penentu matriks segitiga sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya.

Konsekuensi. Penentu matriks identitas sama dengan satu, .

Kesimpulan. Sifat-sifat yang tercantum di atas memungkinkan untuk menemukan determinan matriks dengan orde yang cukup tinggi dengan jumlah perhitungan yang relatif kecil. Algoritma perhitungannya adalah sebagai berikut.

Algoritma untuk membuat angka nol dalam kolom. Misalkan kita perlu menghitung determinan pesanan. Jika , maka tukar baris pertama dan baris lainnya yang elemen pertamanya bukan nol. Hasilnya, determinan , akan sama dengan determinan matriks baru yang berlawanan tanda. Jika elemen pertama setiap baris sama dengan nol, maka matriks tersebut mempunyai kolom nol dan, menurut pernyataan 1, 13, determinannya sama dengan nol.

Jadi, kami yakin itu sudah ada di matriks aslinya. Kami membiarkan baris pertama tidak berubah. Tambahkan ke baris kedua baris pertama dikalikan dengan angka . Maka elemen pertama dari baris kedua akan sama dengan .

Kami menyatakan sisa elemen baris kedua yang baru dengan , . Penentu matriks baru menurut pernyataan 9 adalah sama dengan . Kalikan baris pertama dengan angka dan tambahkan ke baris ketiga. Elemen pertama dari baris ketiga yang baru akan sama dengan

Kami menyatakan sisa elemen baris ketiga yang baru dengan , . Penentu matriks baru menurut pernyataan 9 adalah sama dengan .

Kami akan melanjutkan proses mendapatkan nol, bukan elemen garis pertama. Terakhir, kalikan baris pertama dengan angka dan tambahkan ke baris terakhir. Hasilnya adalah sebuah matriks, mari kita nyatakan, yang memiliki bentuk

Dan . Untuk menghitung determinan matriks, kita menggunakan ekspansi pada kolom pertama

Dari dulu

Di sebelah kanan adalah determinan matriks orde. Kami menerapkan algoritma yang sama untuk itu, dan menghitung determinan matriks akan dikurangi menjadi menghitung determinan matriks orde. Kami ulangi prosesnya hingga kami mencapai determinan orde kedua, yang dihitung berdasarkan definisi.

Jika matriks tidak memiliki properti tertentu, maka tidak mungkin mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan dibandingkan dengan algoritma yang diusulkan. Aspek bagus lainnya dari algoritma ini adalah mudah digunakan untuk membuat program komputer untuk menghitung determinan matriks berorde besar. Program standar untuk menghitung determinan menggunakan algoritma ini dengan sedikit perubahan terkait meminimalkan pengaruh kesalahan pembulatan dan kesalahan input data dalam perhitungan komputer.

Contoh. Hitung determinan matriks .

Larutan. Kami membiarkan baris pertama tidak berubah. Ke baris kedua kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan angka:

Penentunya tidak berubah. Ke baris ketiga kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan angka:

Penentunya tidak berubah. Ke baris keempat kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan angka:

Penentunya tidak berubah. Hasilnya kita dapatkan

Dengan menggunakan algoritma yang sama, kita menghitung determinan matriks berorde 3 yang terletak di sebelah kanan. Baris pertama kita biarkan tidak berubah, tambahkan baris pertama dikalikan angka ke baris kedua :

Ke baris ketiga kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan angka :

Hasilnya kita dapatkan

Menjawab. .

Komentar. Meskipun perhitungannya menggunakan pecahan, hasilnya ternyata bilangan bulat. Memang, dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan fakta bahwa bilangan asli adalah bilangan bulat, operasi dengan pecahan dapat dihindari. Namun dalam praktik teknik, angka sangat jarang berupa bilangan bulat. Oleh karena itu, biasanya, unsur-unsur determinannya adalah pecahan desimal dan tidak tepat menggunakan trik apa pun untuk menyederhanakan perhitungan.

matriks terbalik

Definisi 3. Matriksnya disebut matriks terbalik untuk matriks persegi, jika .

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa matriks invers adalah matriks persegi yang ordenya sama dengan matriks (jika tidak, salah satu hasil kali tidak akan terdefinisi).

Invers suatu matriks dilambangkan dengan . Jadi, jika ada, maka .

Dari definisi matriks invers maka matriks tersebut merupakan invers dari matriks, yaitu . Kita dapat mengatakan tentang matriks bahwa matriks-matriks tersebut saling berbanding terbalik atau saling berbanding terbalik.

Jika determinan suatu matriks sama dengan nol, maka inversnya tidak ada.

Karena untuk mencari matriks invers penting apakah determinan matriks sama dengan nol atau tidak, kami memperkenalkan definisi berikut.

Definisi 4. Sebut saja matriks persegi merosot atau matriks khusus, jika tidak merosot atau matriks non-tunggal, Jika .

Penyataan. Jika matriks inversnya ada, maka matriks tersebut unik.

Penyataan. Jika matriks persegi adalah nonsingular, maka inversnya ada dan (1) dimana merupakan komplemen aljabar terhadap unsur-unsur tersebut.

Dalil. Matriks invers matriks persegi ada jika dan hanya jika matriks tersebut nonsingular, matriks inversnya unik, dan rumus (1) valid.

Komentar. Perhatian khusus harus diberikan pada tempat yang ditempati oleh penjumlahan aljabar dalam rumus matriks terbalik: indeks pertama menunjukkan bilangan kolom, dan yang kedua adalah nomornya garis, di mana Anda perlu menulis penjumlahan aljabar yang dihitung.

Contoh. .

Larutan. Menemukan determinannya

Karena , maka matriksnya tidak merosot, dan inversnya ada. Menemukan komplemen aljabar:

Kami menyusun matriks invers, menempatkan komplemen aljabar yang ditemukan sehingga indeks pertama sesuai dengan kolom, dan indeks kedua sesuai dengan baris: (2)

Matriks yang dihasilkan (2) berfungsi sebagai jawaban atas masalah tersebut.

Komentar. Pada contoh sebelumnya, akan lebih akurat jika jawabannya ditulis seperti ini:
(3)

Namun, notasi (2) lebih ringkas dan lebih mudah untuk melakukan perhitungan lebih lanjut jika diperlukan. Oleh karena itu, penulisan jawaban dalam bentuk (2) sebaiknya dilakukan jika elemen matriksnya bilangan bulat. Begitu pula sebaliknya, jika unsur-unsur matriksnya merupakan pecahan desimal, maka sebaiknya matriks inversnya ditulis tanpa faktor di depannya.

Komentar. Saat mencari matriks invers, Anda harus melakukan banyak perhitungan dan aturan penyusunan penjumlahan aljabar pada matriks akhir tidak biasa. Oleh karena itu, kemungkinan kesalahannya tinggi. Untuk menghindari kesalahan, Anda harus memeriksa: menghitung produk dari matriks asli dan matriks akhir dalam satu urutan atau lainnya. Jika hasilnya berupa matriks identitas, maka matriks inversnya telah ditemukan dengan benar. Jika tidak, Anda perlu mencari kesalahan.

Contoh. Temukan invers suatu matriks .

Larutan. - ada.

Menjawab: .

Kesimpulan. Mencari matriks invers menggunakan rumus (1) memerlukan terlalu banyak perhitungan. Untuk matriks orde keempat dan lebih tinggi, hal ini tidak dapat diterima. Algoritma sebenarnya untuk mencari matriks invers akan diberikan nanti.

Menghitung matriks determinan dan invers menggunakan metode Gaussian

Metode Gaussian dapat digunakan untuk mencari matriks determinan dan invers.

Yaitu determinan matriks sama dengan det.

Matriks invers dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gaussian:

Dimana kolom ke-j matriks identitas adalah vektor yang diinginkan.

Vektor solusi yang dihasilkan jelas membentuk kolom matriks, karena .

Rumus determinan

1. Jika matriksnya non-singular, maka dan (hasil kali elemen-elemen utama).

Ketika memecahkan masalah matematika tingkat tinggi, kebutuhan sangat sering muncul menghitung determinan suatu matriks. Penentu suatu matriks muncul dalam aljabar linier, geometri analitik, analisis matematika, dan cabang matematika tingkat tinggi lainnya. Jadi, tidak mungkin dilakukan tanpa keterampilan memecahkan determinan. Selain itu, untuk pengujian mandiri, Anda dapat mengunduh kalkulator determinan secara gratis; kalkulator ini tidak akan mengajarkan Anda cara menyelesaikan determinan dengan sendirinya, tetapi sangat mudah, karena selalu bermanfaat untuk mengetahui jawaban yang benar terlebih dahulu!

Saya tidak akan memberikan definisi matematis yang ketat tentang determinan, dan, secara umum, saya akan mencoba meminimalkan terminologi matematika; hal ini tidak akan memudahkan sebagian besar pembaca. Tujuan artikel ini adalah untuk mengajari Anda cara menyelesaikan determinan orde kedua, ketiga, dan keempat. Semua materi disajikan dalam bentuk yang sederhana dan mudah diakses, bahkan teko penuh (kosong) dalam matematika tingkat tinggi, setelah mempelajari materi dengan cermat, akan mampu menyelesaikan determinan dengan benar.

Dalam praktiknya, paling sering Anda dapat menemukan determinan orde kedua, misalnya: dan determinan orde ketiga, misalnya: .

Penentu orde keempat Ini juga bukan barang antik, dan kita akan membahasnya di akhir pelajaran.

Saya harap semua orang memahami hal berikut: Angka-angka di dalam determinan hidup dengan sendirinya, dan tidak ada pertanyaan tentang pengurangan apa pun! Nomor tidak dapat ditukar!

(Khususnya, dimungkinkan untuk melakukan penataan ulang baris atau kolom determinan secara berpasangan dengan perubahan tandanya, tetapi seringkali hal ini tidak perlu - lihat pelajaran berikutnya Sifat-sifat determinan dan menurunkan urutannya)

Jadi, jika ada determinan yang diberikan, maka Kami tidak menyentuh apa pun di dalamnya!

Sebutan: Jika diberi matriks , maka determinannya dilambangkan . Juga sangat sering determinan dilambangkan dengan huruf Latin atau Yunani.

1)Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan (menemukan, mengungkapkan) suatu determinan? Menghitung determinannya berarti MENCARI ANGKANYA. Tanda tanya pada contoh di atas adalah bilangan biasa.

2) Sekarang tinggal mencari tahu BAGAIMANA menemukan nomor ini? Untuk melakukan ini, Anda perlu menerapkan aturan, rumus, dan algoritma tertentu, yang sekarang akan dibahas.

Mari kita mulai dengan determinan "dua" dengan "dua":

INI PERLU DIINGAT, setidaknya saat mempelajari matematika tingkat tinggi di universitas.

Mari kita lihat contohnya segera:

Siap. Yang penting JANGAN BINGUNG DALAM TANDA-TANDANYA.

Penentu matriks tiga kali tiga dapat dibuka dengan 8 cara, 2 sederhana dan 6 normal.

Mari kita mulai dengan dua cara sederhana

Mirip dengan determinan dua-dua, determinan tiga-tiga dapat diperluas menggunakan rumus:

Rumusnya panjang dan mudah membuat kesalahan karena kecerobohan. Bagaimana cara menghindari kesalahan yang mengganggu? Untuk tujuan ini, metode penghitungan determinan kedua ditemukan, yang sebenarnya bertepatan dengan metode pertama. Ini disebut metode Sarrus atau metode “strip paralel”.
Intinya adalah di sebelah kanan determinan, tetapkan kolom pertama dan kedua dan gambar garis dengan hati-hati dengan pensil:

Pengganda yang terletak pada diagonal “merah” disertakan dalam rumus dengan tanda “plus”.
Pengganda yang terletak pada diagonal “biru” disertakan dalam rumus dengan tanda minus:

Contoh:

Bandingkan kedua solusi tersebut. Sangat mudah untuk melihat bahwa ini adalah hal yang SAMA, hanya saja pada kasus kedua faktor rumusnya sedikit diatur ulang, dan yang terpenting, kemungkinan membuat kesalahan jauh lebih kecil.

Sekarang mari kita lihat enam cara normal menghitung determinan

Mengapa biasa saja? Karena dalam sebagian besar kasus, kualifikasi perlu diungkapkan dengan cara ini.

Seperti yang Anda perhatikan, determinan tiga kali tiga memiliki tiga kolom dan tiga baris.
Anda dapat menyelesaikan determinannya dengan membukanya oleh baris mana pun atau kolom mana pun.
Jadi, ada 6 metode yang digunakan dalam semua kasus Tipe yang sama algoritma.

Penentu matriks sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen baris (kolom) dan komplemen aljabar yang bersesuaian. Menakutkan? Semuanya jauh lebih sederhana, kami akan menggunakan pendekatan non-ilmiah namun dapat dimengerti, dapat diakses bahkan oleh orang yang jauh dari matematika.

Pada contoh berikutnya kita akan memperluas determinannya di baris pertama.
Untuk ini kita memerlukan matriks tanda: . Sangat mudah untuk melihat bahwa tanda-tanda tersebut disusun dalam pola kotak-kotak.

Perhatian! Matriks tanda adalah penemuan saya sendiri. Konsep ini tidak ilmiah, tidak perlu digunakan dalam desain akhir tugas, hanya membantu Anda memahami algoritma penghitungan determinan.

Saya akan memberikan solusi lengkapnya terlebih dahulu. Kami mengambil determinan eksperimental kami lagi dan melakukan perhitungan:

Dan pertanyaan utamanya: BAGAIMANA mendapatkan ini dari determinan “tiga per tiga”:
?

Jadi, determinan “tiga per tiga” direduksi menjadi penyelesaian tiga determinan kecil, atau disebut juga, MINOROV. Saya sarankan untuk mengingat istilah tersebut, terutama karena mudah diingat: minor – kecil.

Setelah metode dekomposisi determinan dipilih di baris pertama, jelas bahwa segala sesuatu berputar di sekelilingnya:

Elemen biasanya dilihat dari kiri ke kanan (atau atas ke bawah jika kolom dipilih)

Ayo, pertama-tama kita berurusan dengan elemen pertama dari baris tersebut, yaitu dengan satu:

1) Dari matriks tanda kita tuliskan tanda yang bersesuaian:

2) Kemudian kita menulis elemen itu sendiri:

3) SECARA MENTAL coret baris dan kolom tempat elemen pertama muncul:

Empat bilangan sisanya membentuk determinan “dua per dua”, yang disebut MINOR suatu unsur (satuan) tertentu.

Mari beralih ke elemen kedua dari baris tersebut.

4) Dari matriks tanda kita tuliskan tanda yang bersesuaian:

5) Kemudian tulis elemen kedua:

6) SECARA MENTAL coret baris dan kolom tempat elemen kedua muncul:

Nah, elemen ketiga dari baris pertama. Tidak ada orisinalitas:

7) Dari matriks tanda kita tuliskan tanda yang bersesuaian:

8) Tuliskan unsur ketiga:

9) SECARA MENTAL coretlah baris dan kolom yang mengandung unsur ketiga:

Empat bilangan sisanya kita tuliskan dalam determinan kecil.

Tindakan selanjutnya tidak menimbulkan kesulitan apa pun, karena kita sudah mengetahui cara menghitung determinan dua-dua. JANGAN BINGUNG DALAM TANDA-TANDANYA!

Demikian pula, determinan dapat diperluas ke baris mana pun atau ke kolom mana pun. Tentu saja, dalam keenam kasus tersebut, jawabannya sama.

Penentu empat kali empat dapat dihitung menggunakan algoritma yang sama.
Dalam hal ini, matriks tanda kita akan bertambah:

Dalam contoh berikut saya telah memperluas determinannya menurut kolom keempat:

Bagaimana hal itu terjadi, cobalah mencari tahu sendiri. Informasi lebih lanjut akan datang nanti. Jika ada yang ingin menyelesaikan determinan sampai habis, jawaban yang benar adalah: 18. Untuk latihan, lebih baik menyelesaikan determinan dengan kolom atau baris lain.

Berlatih, mengungkap, melakukan perhitungan sangatlah baik dan bermanfaat. Tapi berapa banyak waktu yang akan Anda habiskan di kualifikasi besar? Bukankah ada cara yang lebih cepat dan lebih dapat diandalkan? Saya sarankan Anda membiasakan diri dengan metode efektif untuk menghitung determinan di pelajaran kedua - Sifat-sifat determinan. Mengurangi urutan determinan.

HATI-HATI!

Dalam kasus umum, aturan untuk menghitung determinan orde $n$th cukup rumit. Untuk determinan orde kedua dan ketiga, ada cara rasional untuk menghitungnya.

Perhitungan determinan orde kedua

Untuk menghitung determinan matriks orde kedua, Anda perlu mengurangkan hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder dari hasil kali elemen-elemen diagonal utama:

$$\kiri| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Contoh

Latihan. Hitung determinan orde kedua $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\kanan|$

Larutan.$\kiri| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

Menjawab.$\kiri| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Metode penghitungan determinan orde ketiga

Aturan berikut ada untuk menghitung determinan orde ketiga.

Aturan segitiga

Secara skematis aturan ini dapat digambarkan sebagai berikut:

Hasil kali unsur-unsur determinan pertama yang dihubungkan oleh garis lurus diambil dengan tanda tambah; demikian pula, untuk determinan kedua, produk yang bersesuaian diambil dengan tanda minus, yaitu.

$$\kiri| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\kanan|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Contoh

Latihan. Hitung determinan dari $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ menggunakan metode segitiga.

Larutan.$\kiri| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\kanan|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Menjawab.

pemerintahan Sarrus

Di sebelah kanan determinan, tambahkan dua kolom pertama dan ambil hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya dengan tanda tambah; dan hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya, dengan tanda minus:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Contoh

Latihan. Hitung determinan dari $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ menggunakan aturan Sarrus.

Larutan.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Menjawab.$\kiri| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\kanan|=54$

Memperluas determinan berdasarkan baris atau kolom

Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen baris determinan dan komplemen aljabarnya. Biasanya baris/kolom yang berisi angka nol dipilih. Baris atau kolom di mana dekomposisi dilakukan akan ditandai dengan panah.

Contoh

Latihan. Memperluas sepanjang baris pertama, hitung determinan $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \kanan|$

Larutan.$\kiri| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \benar| \panah kiri=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \kiri| \begin(array)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(array)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \kiri | \begin(array)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(array)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \kiri | \begin(array)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(array)\kanan|=-3+12-9=0$

Menjawab.

Metode ini memungkinkan perhitungan determinan direduksi menjadi perhitungan determinan orde yang lebih rendah.

Contoh

Latihan. Hitung determinan dari $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \kanan|$

Larutan. Mari kita lakukan transformasi berikut pada baris-baris determinan: dari baris kedua kita kurangi empat yang pertama, dan dari baris ketiga baris pertama dikalikan tujuh, sebagai hasilnya, sesuai dengan sifat-sifat determinan, kita memperoleh determinan sama dengan yang diberikan.

$$\kiri| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \kanan|=\kiri| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\kanan|=$$

$$=\kiri| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ akhir(array)\kanan|=\kiri| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\kanan|=0$$

Penentunya nol karena baris kedua dan ketiga sebanding.

Menjawab.$\kiri| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \kanan|=0$

Untuk menghitung determinan orde keempat dan lebih tinggi, digunakan perluasan baris/kolom, atau reduksi menjadi bentuk segitiga, atau menggunakan teorema Laplace.

Menguraikan determinan menjadi elemen-elemen baris atau kolom

Contoh

Latihan. Hitung determinan dari $\left| \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , menguraikannya menjadi elemen beberapa baris atau beberapa kolom.

Larutan. Mari kita lakukan transformasi elementer pada baris determinan terlebih dahulu, dengan membuat angka nol sebanyak mungkin pada baris atau kolom. Untuk melakukan ini, pertama-tama kurangi sembilan pertiga dari baris pertama, lima pertiga dari baris kedua, dan tiga pertiga dari baris keempat, kita mendapatkan:

$$\kiri| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\kanan|=\kiri| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\kanan|=\ kiri| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\kanan|$$

Mari kita menguraikan determinan yang dihasilkan menjadi elemen-elemen kolom pertama:

$$\kiri| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\kanan|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \kiri| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ akhir(array)\kanan|+0$$

Kita juga akan memperluas determinan orde ketiga yang dihasilkan ke dalam elemen baris dan kolom, setelah sebelumnya memperoleh nol, misalnya pada kolom pertama. Untuk melakukannya, kurangi dua baris kedua dari baris pertama, dan baris kedua dari baris ketiga:

$$\kiri| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ akhir(array)\kanan|=\kiri| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( array)\kanan|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \kiri| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Menjawab.$\kiri| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\kanan|=0$

Komentar

Penentu terakhir dan kedua dari belakang tidak dapat dihitung, tetapi langsung disimpulkan bahwa keduanya sama dengan nol, karena mengandung baris proporsional.

Mengurangi determinan menjadi bentuk segitiga

Dengan menggunakan transformasi dasar pada baris atau kolom, determinan direduksi menjadi bentuk segitiga dan kemudian nilainya, menurut sifat-sifat determinan, sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama.

Contoh

Latihan. Hitung determinan $\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ mereduksinya menjadi bentuk segitiga.

Larutan. Pertama kita buat angka nol pada kolom pertama di bawah diagonal utama. Semua transformasi akan lebih mudah dilakukan jika elemen $a_(11)$ sama dengan 1. Untuk melakukan ini, kita akan menukar kolom pertama dan kedua dari determinan, yang menurut sifat-sifat determinan, akan menyebabkannya untuk mengubah tandanya menjadi sebaliknya:

$$\Delta=\kiri| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\kanan|=-\kiri| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\kanan|$$

$$\Delta=-\kiri| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\kanan|$$

Selanjutnya, kita mendapatkan angka nol di kolom kedua sebagai pengganti elemen di bawah diagonal utama. Sekali lagi, jika elemen diagonalnya sama dengan $\pm 1$ maka perhitungannya akan lebih sederhana. Untuk melakukan ini, tukar baris kedua dan ketiga (dan pada saat yang sama ubah ke tanda kebalikan dari determinan):

$$\Delta=\kiri| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\kanan|$$