Tujuan layanan. Dengan menggunakan layanan ini secara online, Anda dapat menemukan komplemen aljabar, matriks transposisi AT, matriks sekutu, dan matriks invers.
Kalkulator daring. Kebalikan dari suatu matriks.
Pengambilan keputusan dilakukan langsung di website (online) dan tidak dikenakan biaya. Hasil perhitungan disajikan dalam laporan dalam format Word dan Excel (yaitu dimungkinkan untuk memeriksa solusinya). lihat contoh desain.
- Tentukan apakah matriks tersebut berbentuk persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks inversnya.
- Perhitungan determinan suatu matriks. Jika tidak sama dengan nol, kita lanjutkan penyelesaiannya, jika tidak, matriks inversnya tidak ada.
- Mereka melakukan pemeriksaan: mereka mengalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Penambahan aljabar.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Kemudian matriks terbalik dapat ditulis sebagai:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Menemukan matriks invers
Matriks A-1 disebut matriks invers terhadap matriks tersebut jika A*A-1 = , dimana adalah matriks identitas orde ke-th. Matriks invers hanya dapat ada untuk matriks persegi.
lihat juga Matriks terbalik menggunakan metode Jordano-Gauss
Algoritma untuk mencari matriks invers
- Tentukan apakah matriks tersebut berbentuk persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks inversnya.
- Perhitungan determinan suatu matriks. Jika tidak sama dengan nol, kita lanjutkan penyelesaiannya, jika tidak, matriks inversnya tidak ada.
- Menemukan matriks yang ditransposisikan AT.
- Definisi komplemen aljabar. Gantikan setiap elemen matriks dengan komplemen aljabarnya.
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks yang dihasilkan dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Mereka melakukan pemeriksaan: mereka mengalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Algoritma untuk mencari matriks invers berikut ini mirip dengan algoritma sebelumnya, dengan pengecualian beberapa langkah: pertama komplemen aljabar dihitung, lalu matriks sekutu ditentukan.
- Tentukan apakah matriks tersebut berbentuk persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks inversnya.
- Perhitungan determinan suatu matriks. Jika tidak sama dengan nol, kita lanjutkan penyelesaiannya, jika tidak, matriks inversnya tidak ada.
- Definisi komplemen aljabar.
- Mengisi matriks gabungan (saling, adjoint).
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks adjoin dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Mereka melakukan pemeriksaan: mereka mengalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Contoh No.1. Mari kita tulis matriksnya dalam bentuk:
Matriks invers ada jika determinan matriksnya bukan nol. Mari kita cari determinan matriksnya:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Penentunya adalah 10 dan tidak sama dengan nol. Mari kita lanjutkan dengan solusinya.
Mari kita cari matriks yang ditransposisikan:
Penambahan aljabar.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Kemudian matriks terbalik dapat ditulis sebagai:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Algoritma lain untuk mencari matriks invers
Mari kita sajikan skema lain untuk mencari matriks invers.
- Temukan determinan matriks persegi ini.
- Kami menemukan komplemen aljabar untuk semua elemen matriks.
- Kami menulis penambahan aljabar elemen baris ke kolom (transposisi).
- Kami membagi setiap elemen matriks yang dihasilkan dengan determinan matriks tersebut.
Seperti yang bisa kita lihat, operasi transposisi dapat diterapkan baik di awal, pada matriks asli, dan di akhir, pada hasil penjumlahan aljabar.
Kasus khusus: Kebalikan dari matriks identitas adalah matriks identitas.
Contoh No.2. Temukan invers matriks dari suatu matriks 
.
Larutan.
1. Ayo temukan 
.
2. Kita mencari komplemen aljabar setiap elemen matriks A: 
; 
; 
.
Kami memperoleh komplemen aljabar dari elemen-elemen baris pertama.
Temukan matriks invers online
Demikian pula, untuk elemen baris kedua dan ketiga kita mendapatkan: 
; 
; 
. 
; 
; 
.
Menggabungkan poin 3 dan 4, kita mendapatkan matriks invers 
.
Untuk memeriksanya, pastikan A-1A = E.
instruksi. Untuk memperoleh solusi, perlu ditentukan dimensi matriks. Selanjutnya, isi matriks pada kotak dialog baru.
Menemukan matriks invers
Matriks A-1 disebut matriks invers terhadap matriks tersebut jika A*A-1 = , dimana adalah matriks identitas orde ke-th. Matriks invers hanya dapat ada untuk matriks persegi.
Tujuan layanan. Dengan menggunakan layanan ini secara online, Anda dapat menemukan komplemen aljabar, matriks transposisi AT, matriks sekutu, dan matriks invers. Pengambilan keputusan dilakukan langsung di website (online) dan tidak dikenakan biaya. Hasil perhitungan disajikan dalam laporan dalam format Word dan Excel (yaitu dimungkinkan untuk memeriksa solusinya). lihat contoh desain.
Menemukan matriks invers secara online
lihat juga Matriks terbalik menggunakan metode Jordano-Gauss
Algoritma untuk mencari matriks invers
- Tentukan apakah matriks tersebut berbentuk persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks inversnya.
- Perhitungan determinan suatu matriks. Jika tidak sama dengan nol, kita lanjutkan penyelesaiannya, jika tidak, matriks inversnya tidak ada.
- Menemukan matriks yang ditransposisikan AT.
- Definisi komplemen aljabar. Gantikan setiap elemen matriks dengan komplemen aljabarnya.
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks yang dihasilkan dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Mereka melakukan pemeriksaan: mereka mengalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Algoritma untuk mencari matriks invers berikut ini mirip dengan algoritma sebelumnya, dengan pengecualian beberapa langkah: pertama komplemen aljabar dihitung, lalu matriks sekutu ditentukan.
- Tentukan apakah matriks tersebut berbentuk persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks inversnya.
- Perhitungan determinan suatu matriks. Jika tidak sama dengan nol, kita lanjutkan penyelesaiannya, jika tidak, matriks inversnya tidak ada.
- Definisi komplemen aljabar.
- Mengisi matriks gabungan (saling, adjoint).
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks adjoin dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Mereka melakukan pemeriksaan: mereka mengalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Contoh No.1. Mari kita tulis matriksnya dalam bentuk:
Matriks invers ada jika determinan matriksnya bukan nol. Mari kita cari determinan matriksnya:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Penentunya adalah 10 dan tidak sama dengan nol. Mari kita lanjutkan dengan solusinya.
Mari kita cari matriks yang ditransposisikan:
Penambahan aljabar.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Kemudian matriks terbalik dapat ditulis sebagai:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Algoritma lain untuk mencari matriks invers
Mari kita sajikan skema lain untuk mencari matriks invers.
- Temukan determinan matriks persegi ini.
- Kami menemukan komplemen aljabar untuk semua elemen matriks.
- Kami menulis penambahan aljabar elemen baris ke kolom (transposisi).
- Kami membagi setiap elemen matriks yang dihasilkan dengan determinan matriks tersebut.
Seperti yang bisa kita lihat, operasi transposisi dapat diterapkan baik di awal, pada matriks asli, dan di akhir, pada hasil penjumlahan aljabar.
Untuk memeriksanya, pastikan A-1A = E.
instruksi. Untuk memperoleh solusi, perlu ditentukan dimensi matriks. Selanjutnya, isi matriks pada kotak dialog baru.
Mencari invers suatu matriks merupakan komponen penting pada bagian aljabar linier. Dengan menggunakan matriks seperti itu, jika ada, Anda dapat dengan cepat menemukan solusi sistem persamaan linier.
Suatu matriks disebut invers suatu matriks jika persamaan berikut terpenuhi.
Jika determinan suatu matriks bukan nol, maka matriks tersebut disebut tidak istimewa atau nonsingular.
Agar suatu matriks memiliki invers, maka matriks tersebut harus non-degenerasi
Algoritma untuk mencari matriks invers
Mari kita memiliki matriks persegi
dan Anda perlu menemukan kebalikannya. Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan hal berikut:
1. Temukan determinan matriks. Jika bukan nol, lakukan tindakan berikut. Jika tidak, matriks ini tunggal dan tidak ada inversnya
2. Temukan komplemen aljabar elemen matriks. Mereka sama dengan minor dikalikan dengan pangkat dari jumlah baris dan kolom yang kita cari.
3. Buatlah matriks dari komplemen aljabar elemen-elemen matriks matriks dan transposisikan. Matriks ini disebut adjoint atau sekutu dan dilambangkan dengan .
4. Bagilah matriks adjoin dengan determinannya. Matriks yang dihasilkan akan menjadi invers dan memiliki properti yang dijelaskan di awal artikel.
Temukan invers matriks ke matriks (Dubovik V.P., Yurik I.I.
Menemukan matriks invers
"Matematika tingkat tinggi. Kumpulan soal")
1) Temukan determinan matriks
Karena determinannya tidak sama dengan nol (), maka matriks inversnya ada. Kami menemukan matriks yang terdiri dari penjumlahan aljabar
Matriks komplemen akan berbentuk
Kami mengubah urutannya dan mendapatkan adjointnya
Bagilah dengan determinan dan dapatkan kebalikannya
Kita melihat bahwa jika determinannya sama dengan satu, matriks-matriksnya dijumlahkan dan inversnya sama.
2) Hitung determinan matriks
Menemukan matriks penjumlahan aljabar
Tampilan akhir dari matriks komplemen
Kami mengubah urutannya dan menemukan matriks gabungan
Menemukan matriks invers
3) Mari kita hitung determinan matriksnya. Untuk melakukan ini, mari kita perluas ke baris pertama. Hasilnya, kita mendapatkan dua suku bukan nol
Kami menemukan matriks penjumlahan aljabar. Kami menjadwalkan determinan di sepanjang baris dan kolom yang memiliki lebih banyak elemen nol (ditunjukkan dengan warna hitam).
Bentuk akhir dari matriks komplemen adalah sebagai berikut
Kami mengubah urutannya dan menemukan matriks adjointnya
Karena determinan matriks sama dengan satu, maka invers matriksnya berimpit dengan matriks adjointnya. Contoh ini terbalik.
Saat menghitung matriks invers, kesalahan tipikal dikaitkan dengan tanda yang salah saat menghitung matriks determinan dan komplemen.
Matematika tingkat tinggi » Matriks dan determinan » Matriks invers » Perhitungan matriks invers menggunakan penjumlahan aljabar.
Algoritma untuk menghitung matriks invers menggunakan penjumlahan aljabar: metode matriks adjoint.
Matriks $A^(-1)$ disebut invers matriks persegi $A$ jika kondisi $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ terpenuhi, dimana $E$ adalah matriks identitas yang ordenya sama dengan orde matriks $A$.
Matriks tak tunggal adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Dengan demikian, matriks singular adalah matriks yang determinannya sama dengan nol.
Matriks invers $A^(-1)$ ada jika dan hanya jika matriks $A$ non-singular. Jika matriks invers $A^(-1)$ ada, maka matriks tersebut unik.
Ada beberapa cara untuk mencari invers suatu matriks, dan kita akan melihat dua di antaranya. Halaman ini akan membahas metode matriks adjoin, yang dianggap standar di sebagian besar mata kuliah matematika tingkat tinggi. Metode kedua untuk mencari matriks invers (metode transformasi elementer), yaitu menggunakan metode Gauss atau metode Gauss-Jordan, dibahas pada bagian kedua.
Metode matriks adjoint
Biarkan matriks $A_(n\times n)$ diberikan. Untuk mencari matriks invers $A^(-1)$, diperlukan tiga langkah:
- Temukan determinan matriks $A$ dan pastikan bahwa $\Delta A\neq 0$, mis. bahwa matriks A adalah non-singular.
- Buatlah komplemen aljabar $A_(ij)$ dari setiap elemen matriks $A$ dan tuliskan matriks $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ dari hasil aljabar yang ditemukan pelengkap.
- Tulis matriks invers dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Matriks $(A^(*))^T$ sering disebut adjoint (timbal balik, bersekutu) dengan matriks $A$.
Jika penyelesaiannya dilakukan secara manual, maka cara pertama hanya baik untuk matriks dengan orde yang relatif kecil: kedua (contoh No. 2), ketiga (contoh No. 3), keempat (contoh No. 4). Untuk mencari invers matriks orde tinggi, digunakan metode lain. Misalnya metode Gaussian yang dibahas pada bagian kedua.
Contoh No.1
Cari invers dari matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 & - 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \kanan)$.
matriks terbalik
Karena semua elemen kolom keempat sama dengan nol, maka $\Delta A=0$ (yaitu matriks $A$ berbentuk tunggal). Karena $\Delta A=0$, tidak ada matriks invers ke matriks $A$.
Contoh No.2
Cari invers dari matriks $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Kami menggunakan metode matriks adjoin. Pertama, cari determinan matriks $A$:
$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Karena $\Delta A \neq 0$, maka matriks inversnya ada, oleh karena itu kita akan melanjutkan penyelesaiannya. Kami menemukan komplemen aljabar dari setiap elemen matriks tertentu:
\mulai(sejajar) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(sejajar)
Kita membuat matriks penjumlahan aljabar: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Kita transposisi matriks yang dihasilkan: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the matriks yang dihasilkan sering disebut matriks adjoint atau sekutu terhadap matriks $A$). Dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita mendapatkan:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \kiri(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\kanan) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Jadi, matriks inversnya ditemukan: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\kanan) $. Untuk memeriksa kebenaran hasilnya, cukup dengan memeriksa kebenaran salah satu persamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita periksa persamaan $A^(-1)\cdot A=E$. Agar lebih sedikit mengerjakan pecahan, kita akan mensubstitusi matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, dan dalam bentuk $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\kanan)$:
Jawaban: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Contoh No.3
Carilah matriks invers dari matriks tersebut $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
Mari kita mulai dengan menghitung determinan matriks $A$. Jadi, determinan matriks $A$ adalah:
$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \kan| = 18-36+56-12=26. $$
Karena $\Delta A\neq 0$, maka matriks inversnya ada, oleh karena itu kita akan melanjutkan penyelesaiannya. Kami menemukan komplemen aljabar dari setiap elemen matriks tertentu:
Kami membuat matriks penjumlahan aljabar dan mengubah urutannya:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \kanan); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \kanan) $$
Dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita mendapatkan:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \kiri(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \kanan)= \kiri(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan) $$
Jadi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan)$. Untuk memeriksa kebenaran hasilnya, cukup dengan memeriksa kebenaran salah satu persamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita periksa persamaan $A\cdot A^(-1)=E$. Agar lebih sedikit mengerjakan pecahan, kita akan mensubstitusi matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, dan dalam bentuk $\frac(1)(26 )\cdot \kiri( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \kanan)$:
Pengecekan berhasil, matriks invers $A^(-1)$ ditemukan dengan benar.
Jawaban: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 13/6 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan)$.
Contoh No.4
Cari invers matriks dari matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \kanan)$.
Untuk matriks orde keempat, mencari matriks invers menggunakan penjumlahan aljabar agak sulit. Namun, contoh seperti itu memang terjadi di kertas ujian.
Untuk mencari invers suatu matriks, pertama-tama Anda perlu menghitung determinan matriks $A$. Cara terbaik untuk melakukan hal ini dalam situasi ini adalah dengan memperluas determinan sepanjang baris (kolom). Kami memilih baris atau kolom mana pun dan menemukan komplemen aljabar dari setiap elemen baris atau kolom yang dipilih.
Misalnya, untuk baris pertama kita mendapatkan:
Penentu matriks $A$ dihitung menggunakan rumus berikut:
$$ \Delta A=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14)= 6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$
Matriks komplemen aljabar: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\kanan)$.
Matriks tambahan: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\kanan)$
Matriks terbalik:
$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \kanan)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 25/1 & 25/9 & -24/25 \end(array) \kanan) $$
Penyelidikan:
Oleh karena itu, matriks invers ditemukan dengan benar.
Jawaban: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \kanan )$.
Pada bagian kedua, kita akan membahas cara lain untuk mencari matriks invers, yang melibatkan penggunaan transformasi metode Gaussian atau metode Gauss-Jordan.
Kelas online dalam matematika yang lebih tinggi
Menemukan matriks invers
Matriks A-1 disebut matriks invers terhadap matriks tersebut jika A*A-1 = , dimana adalah matriks identitas orde ke-th. Matriks invers hanya dapat ada untuk matriks persegi.
Tujuan layanan. Dengan menggunakan layanan ini secara online, Anda dapat menemukan komplemen aljabar, matriks transposisi AT, matriks sekutu, dan matriks invers. Pengambilan keputusan dilakukan langsung di website (online) dan tidak dikenakan biaya. Hasil perhitungan disajikan dalam laporan dalam format Word dan Excel (yaitu dimungkinkan untuk memeriksa solusinya). lihat contoh desain.
lihat juga Matriks terbalik menggunakan metode Jordano-Gauss
Algoritma untuk mencari matriks invers
- Tentukan apakah matriks tersebut berbentuk persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks inversnya.
- Perhitungan determinan suatu matriks. Jika tidak sama dengan nol, kita lanjutkan penyelesaiannya, jika tidak, matriks inversnya tidak ada.
- Menemukan matriks yang ditransposisikan AT.
- Definisi komplemen aljabar. Gantikan setiap elemen matriks dengan komplemen aljabarnya.
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks yang dihasilkan dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Mereka melakukan pemeriksaan: mereka mengalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Algoritma untuk mencari matriks invers berikut ini mirip dengan algoritma sebelumnya, dengan pengecualian beberapa langkah: pertama komplemen aljabar dihitung, lalu matriks sekutu ditentukan.
- Tentukan apakah matriks tersebut berbentuk persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks inversnya.
- Perhitungan determinan suatu matriks. Jika tidak sama dengan nol, kita lanjutkan penyelesaiannya, jika tidak, matriks inversnya tidak ada.
- Definisi komplemen aljabar.
- Mengisi matriks gabungan (saling, adjoint).
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks adjoin dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Mereka melakukan pemeriksaan: mereka mengalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Contoh No.1. Mari kita tulis matriksnya dalam bentuk:
Matriks invers ada jika determinan matriksnya bukan nol. Mari kita cari determinan matriksnya:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Penentunya adalah 10 dan tidak sama dengan nol. Mari kita lanjutkan dengan solusinya.
Mari kita cari matriks yang ditransposisikan:
Penambahan aljabar.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Kemudian matriks terbalik dapat ditulis sebagai:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Algoritma lain untuk mencari matriks invers
Mari kita sajikan skema lain untuk mencari matriks invers.
- Temukan determinan matriks persegi ini.
- Kami menemukan komplemen aljabar untuk semua elemen matriks.
- Kami menulis penambahan aljabar elemen baris ke kolom (transposisi).
- Kami membagi setiap elemen matriks yang dihasilkan dengan determinan matriks tersebut.
Seperti yang bisa kita lihat, operasi transposisi dapat diterapkan baik di awal, pada matriks asli, dan di akhir, pada hasil penjumlahan aljabar.
Untuk memeriksanya, pastikan A-1A = E.
instruksi. Untuk memperoleh solusi, perlu ditentukan dimensi matriks. Selanjutnya, isi matriks pada kotak dialog baru.
Untuk mencari matriks invers secara online, Anda perlu menunjukkan ukuran matriks itu sendiri. Untuk melakukan ini, klik ikon “+” atau “-” hingga Anda puas dengan jumlah kolom dan baris. Selanjutnya, masukkan elemen yang diperlukan di kolom. Di bawah ini adalah tombol "Hitung" - dengan mengkliknya, Anda akan menerima jawaban di layar dengan solusi terperinci.
Dalam aljabar linier, seringkali kita harus berurusan dengan proses penghitungan matriks invers. Ia hanya ada untuk matriks tak terekspresikan dan matriks persegi asalkan determinannya bukan nol. Pada prinsipnya, menghitungnya tidak terlalu sulit, terutama jika Anda berurusan dengan matriks yang kecil. Namun jika Anda memerlukan penghitungan yang lebih rumit atau pemeriksaan ulang menyeluruh atas keputusan Anda, lebih baik menggunakan kalkulator online ini. Dengan bantuannya, Anda dapat menyelesaikan matriks invers dengan cepat dan akurat.
Dengan menggunakan kalkulator online ini, Anda dapat membuat perhitungan Anda lebih mudah. Selain itu, ini membantu mengkonsolidasikan materi yang diperoleh secara teori - ini adalah semacam simulator untuk otak. Ini tidak boleh dianggap sebagai pengganti penghitungan manual; ini dapat memberi Anda lebih banyak hal, sehingga lebih mudah untuk memahami algoritme itu sendiri. Selain itu, tidak ada salahnya untuk memeriksa ulang diri Anda sendiri.
Matriks A -1 disebut matriks invers terhadap matriks A jika A*A -1 = E, dimana E adalah matriks identitas orde ke-n. Matriks invers hanya dapat ada untuk matriks persegi.
Tujuan layanan. Dengan menggunakan layanan ini secara online, Anda dapat menemukan komplemen aljabar, matriks transposisi A T, matriks sekutu, dan matriks invers. Pengambilan keputusan dilakukan langsung di website (online) dan tidak dikenakan biaya. Hasil perhitungan disajikan dalam laporan dalam format Word dan Excel (yaitu dimungkinkan untuk memeriksa solusinya). lihat contoh desain.
instruksi. Untuk memperoleh solusi, perlu ditentukan dimensi matriks. Selanjutnya, isi matriks A pada kotak dialog baru.
Lihat juga Matriks terbalik menggunakan metode Jordano-Gauss
Algoritma untuk mencari matriks invers
- Menemukan matriks yang ditransposisi A T .
- Definisi komplemen aljabar. Gantikan setiap elemen matriks dengan komplemen aljabarnya.
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks yang dihasilkan dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Tentukan apakah matriks tersebut berbentuk persegi. Jika tidak, maka tidak ada matriks inversnya.
- Perhitungan determinan matriks A. Jika tidak sama dengan nol, kita lanjutkan penyelesaiannya, jika tidak, matriks inversnya tidak ada.
- Definisi komplemen aljabar.
- Mengisi matriks gabungan (saling, berdampingan) C .
- Menyusun matriks invers dari penjumlahan aljabar: setiap elemen matriks adjoin C dibagi dengan determinan matriks aslinya. Matriks yang dihasilkan merupakan kebalikan dari matriks aslinya.
- Mereka melakukan pemeriksaan: mereka mengalikan matriks asli dan matriks yang dihasilkan. Hasilnya harus berupa matriks identitas.
Contoh No.1. Mari kita tulis matriksnya dalam bentuk:
| SEBUAH -1 = |
|
Algoritma lain untuk mencari matriks invers
Mari kita sajikan skema lain untuk mencari matriks invers.- Tentukan determinan matriks persegi A tertentu.
- Kami menemukan komplemen aljabar untuk semua elemen matriks A.
- Kami menulis penambahan aljabar elemen baris ke kolom (transposisi).
- Kami membagi setiap elemen matriks yang dihasilkan dengan determinan matriks A.
Kasus khusus: Invers matriks identitas E adalah matriks identitas E.
Untuk setiap matriks non-tunggal A terdapat matriks unik A -1 sedemikian rupa sehingga
A*A -1 =A -1 *A = E,
dimana E adalah matriks identitas yang berorde sama dengan A. Matriks A -1 disebut invers dari matriks A.
Kalau ada yang lupa, pada matriks identitas, kecuali diagonalnya diisi satu, semua posisi lainnya diisi nol, contoh matriks identitas:
Mencari matriks invers menggunakan metode matriks adjoint
Matriks invers ditentukan dengan rumus:
dimana A ij - elemen a ij.
Itu. Untuk menghitung matriks invers, Anda perlu menghitung determinan matriks tersebut. Kemudian temukan komplemen aljabar untuk semua elemennya dan buat matriks baru dari elemen tersebut. Selanjutnya Anda perlu memindahkan matriks ini. Dan membagi setiap elemen matriks baru dengan determinan matriks asal.
Mari kita lihat beberapa contoh.
Temukan A -1 untuk sebuah matriks
Solusi. Mari kita cari A -1 menggunakan metode matriks adjoint. Kita punya det A = 2. Mari kita cari komplemen aljabar elemen-elemen matriks A. Dalam hal ini, komplemen aljabar elemen-elemen matriks adalah elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks itu sendiri, diambil dengan tanda sesuai dengan rumus
Kita mempunyai A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Kita membentuk matriks adjoint
Kami mengangkut matriks A*:
Kita mencari matriks inversnya menggunakan rumus:
Kita mendapatkan:
Dengan menggunakan metode matriks adjoin, carilah A -1 jika
Solusi: Pertama-tama, kita menghitung definisi matriks ini untuk memverifikasi keberadaan matriks invers. Kita punya
Di sini kita menambahkan elemen baris kedua ke elemen baris ketiga, yang sebelumnya dikalikan (-1), dan kemudian memperluas determinan baris kedua. Karena definisi matriks ini bukan nol, maka matriks inversnya ada. Untuk membangun matriks adjoin, kita mencari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks ini. Kita punya
Menurut rumusnya
matriks transportasi A*:
Kemudian sesuai rumus
Mencari matriks invers menggunakan metode transformasi elementer
Selain cara mencari matriks invers berdasarkan rumusnya (metode matriks adjoint), terdapat metode mencari matriks invers yang disebut metode transformasi elementer.
Transformasi matriks dasar
Transformasi berikut disebut transformasi matriks dasar:
1) penataan ulang baris (kolom);
2) mengalikan suatu baris (kolom) dengan bilangan selain nol;
3) menjumlahkan unsur-unsur suatu baris (kolom) unsur-unsur yang bersesuaian pada baris (kolom) yang lain, yang sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tertentu.
Untuk mencari matriks A -1, kita membuat matriks persegi panjang B = (A|E) berorde (n; 2n), menugaskan matriks A di sebelah kanan matriks identitas E melalui garis pemisah:
Mari kita lihat sebuah contoh.
Dengan menggunakan metode transformasi elementer, carilah A -1 jika
Solusi. Kami membentuk matriks B:
Mari kita nyatakan baris-baris matriks B dengan α 1, α 2, α 3. Mari kita lakukan transformasi berikut pada baris matriks B.
www.situs memungkinkan Anda menemukan matriks terbalik online. Situs melakukan perhitungan matriks terbalik online. Dalam beberapa detik server akan memberikan solusi yang akurat. Matriks terbalik akan menjadi seperti ini matriks, perkalian dari aslinya matriks yang memberikan satuan matriks, asalkan determinannya awal matriks tidak sama dengan nol, sebaliknya matriks terbalik tidak ada untuknya. Dalam permasalahan saat kita menghitung matriks terbalik online, perlu adanya determinan matriks bukan nol, sebaliknya www.situs akan menampilkan pesan terkait tentang ketidakmungkinan perhitungan matriks terbalik online. seperti ini matriks disebut juga merosot. Menemukan matriks terbalik dalam mode on line hanya mungkin untuk persegi matriks. Menemukan operasi matriks terbalik online direduksi menjadi menghitung determinan matriks, lalu perantara matriks menurut aturan yang terkenal, dan pada akhir operasi - mengalikan determinan yang ditemukan sebelumnya dengan perantara yang ditransposisikan matriks. Hasil pasti dari definisi tersebut matriks terbalik online dapat dicapai dengan mempelajari teori pada mata kuliah ini. Operasi ini menempati tempat khusus dalam teori matriks dan aljabar linier, memungkinkan Anda menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan apa yang disebut metode matriks. Tugas menemukan matriks terbalik online sudah terjadi pada awal pembelajaran matematika tingkat tinggi dan hadir di hampir setiap disiplin matematika sebagai konsep dasar aljabar, sebagai alat matematika dalam masalah terapan. www.situs menemukan matriks terbalik dimensi tertentu dalam mode on line segera. Perhitungan matriks terbalik online mengingat dimensinya, ini adalah temuan matriks dimensi yang sama dalam nilai numeriknya, maupun dalam nilai simbolisnya, ditemukan menurut aturan perhitungan matriks terbalik. Temuan matriks terbalik online diterima secara luas dalam teori matriks. Menemukan hasil matriks terbalik online digunakan saat menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode matriks. Jika determinannya matriks akan sama dengan nol, maka matriks terbalik, yang determinannya nol ditemukan, tidak ada. Untuk menghitung matriks terbalik atau temukan beberapa sekaligus matriks sesuai dengan mereka balik, Anda perlu menghabiskan banyak waktu dan tenaga, sementara server kami akan menemukannya dalam hitungan detik matriks terbalik online. Dalam hal ini, jawabannya adalah temuan matriks terbalik akan benar dan dengan akurasi yang cukup, bahkan jika angkanya ditemukan matriks terbalik online akan menjadi tidak rasional. Di tempat www.situs entri karakter diperbolehkan dalam elemen matriks, itu adalah matriks terbalik online dapat direpresentasikan dalam bentuk simbolik umum saat menghitung matriks terbalik online. Berguna untuk memeriksa jawaban yang diperoleh ketika memecahkan masalah penemuan matriks terbalik online menggunakan situs www.situs. Saat melakukan operasi perhitungan matriks terbalik online Anda harus berhati-hati dan sangat fokus saat menyelesaikan masalah ini. Pada gilirannya, situs kami akan membantu Anda memeriksa keputusan Anda mengenai topik tersebut matriks terbalik online. Jika Anda tidak punya waktu untuk memeriksa masalah yang terselesaikan dalam waktu lama, maka www.situs tentu akan menjadi alat yang berguna untuk memeriksa saat mencari dan menghitung matriks terbalik online.