Treba napomenuti da se za ovu operaciju mogu koristiti samo kvadratne matrice. Jednak broj redaka i stupaca preduvjet je za dizanje matrice na potenciju. Tijekom izračuna, matrica će se množiti sama sa sobom traženi broj puta.
Ovaj online kalkulator dizajniran je za izvođenje operacije dizanja matrice na potenciju. Zahvaljujući njegovoj upotrebi, ne samo da ćete se brzo nositi s ovim zadatkom, već ćete dobiti jasnu i detaljnu predodžbu o tijeku samog izračuna. To će pomoći da se bolje konsolidira materijal dobiven u teoriji. Nakon što ste vidjeli detaljan algoritam izračuna ispred sebe, bolje ćete razumjeti sve njegove suptilnosti i kasnije moći izbjeći pogreške u ručnim izračunima. Osim toga, nikad ne škodi još jednom provjeriti svoje izračune, a to je također najbolje učiniti ovdje.
Kako biste podigli matricu na snagu online, trebat će vam nekoliko jednostavnih koraka. Prije svega, odredite veličinu matrice klikom na ikonu "+" ili "-" lijevo od nje. Zatim unesite brojeve u polje matrice. Također morate naznačiti snagu na koju je matrica podignuta. Zatim sve što trebate učiniti je kliknuti na gumb "Izračunaj" na dnu polja. Dobiveni rezultat bit će pouzdan i točan ako pažljivo i ispravno unesete sve vrijednosti. Uz njega ćete dobiti detaljan prijepis rješenja.
Ovdje ćemo nastaviti temu operacija na matricama započetu u prvom dijelu i pogledati par primjera u kojima će biti potrebno primijeniti nekoliko operacija odjednom.
Dizanje matrice na potenciju.
Neka je k nenegativan cijeli broj. Za bilo koju kvadratnu matricu $A_(n\puta n)$ imamo: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; puta) $$
U ovom slučaju pretpostavljamo da je $A^0=E$, gdje je $E$ matrica identiteta odgovarajućeg reda.
Primjer br. 4
Dana je matrica $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Pronađite matrice $A^2$ i $A^6$.
Prema definiciji, $A^2=A\cdot A$, tj. da bismo pronašli $A^2$ samo trebamo pomnožiti matricu $A$ sa samom sobom. O operaciji množenja matrice govorilo se u prvom dijelu teme, pa ćemo ovdje jednostavno napisati proces rješavanja bez detaljnih objašnjenja:
$$ A^2=A\cdot A=\lijevo(\begin(niz) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(niz) \desno)\cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(niz) \right)= \lijevo(\begin(niz) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \lijevo(\početak(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \kraj(niz) \desno). $$
Za pronalaženje matrice $A^6$ imamo dvije mogućnosti. Prva opcija: trivijalno je nastaviti množenje $A^2$ matricom $A$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$
Međutim, možete krenuti malo jednostavnijim putem, koristeći svojstvo asocijativnosti množenja matrice. Stavimo zagrade u izraz za $A^6$:
$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$
Ako bi rješavanje prve metode zahtijevalo četiri operacije množenja, onda bi druga metoda zahtijevala samo dvije. Stoga, idemo drugim putem:
$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \desno)\cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(niz) \desno)\cdot \lijevo(\ početak(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \right)= \lijevo(\početak(niz) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( niz) \desno)\cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \desno)=\\= \lijevo(\begin(niz) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(niz) \right)= \lijevo(\begin(niz) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(niz) \desno). $$
Odgovor: $A^2=\lijevo(\begin(niz) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(niz) \desno)$, $A^6=\lijevo(\begin(niz) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.
Primjer br. 5
Zadane matrice $ A=\lijevo(\begin(niz) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(niz) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (niz) \desno)$, $ C=\lijevo(\početak(niz) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \kraj (niz) \ desno)$. Nađite matricu $D=2AB-3C^T+7E$.
Počinjemo računati matricu $D$ pronalaženjem rezultata umnoška $AB$. Matrice $A$ i $B$ se mogu množiti, jer je broj stupaca matrice $A$ jednak broju redaka matrice $B$. Označimo $F=AB$. U tom slučaju će matrica $F$ imati tri stupca i tri retka, tj. bit će kvadrat (ako se ovaj zaključak ne čini očitim, pogledajte opis množenja matrice u prvom dijelu ove teme). Nađimo matricu $F$ izračunavanjem svih njenih elemenata:
$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ kraj(niz) \desno)\cdot \lijevo(\početak(niz) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ kraj(niz) \desno)\\ \početak(poravnano) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \kraj(poravnano) $$
Dakle, $F=\lijevo(\begin(niz) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(niz) \desno)$. Idemo dalje. Matrica $C^T$ je transponirana matrica za matricu $C$, tj. $ C^T=\lijevo(\početak(niz) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \kraj (niz) \desno) $. Što se tiče matrice $E$, to je matrica identiteta. U ovom slučaju, redoslijed ove matrice je tri, tj. $E=\lijevo(\početak(niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \kraj (niz) \desno)$.
U načelu, možemo nastaviti ići korak po korak, ali bolje je uzeti u obzir preostali izraz u cjelini, a da nas ne ometaju pomoćne radnje. Zapravo, ostaju nam samo operacije množenja matrica brojem, kao i operacije zbrajanja i oduzimanja.
$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \lijevo(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(niz) \desno)-3\cdot \lijevo(\begin(niz) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \kraj (niz) \ desno)+7\cdot \lijevo(\begin(niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(niz) \desno) $$
Pomnožimo matrice s desne strane jednakosti s odgovarajućim brojevima (tj. s 2, 3 i 7):
$$ 2\cdot \lijevo(\begin(niz) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(niz) \desno)-3\ cdot \lijevo(\begin(niz) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(niz) \desno)+7\cdot \lijevo(\ početak(niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(niz) \desno)=\\= \lijevo(\početak(niz) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(niz) \desno)-\lijevo(\početak(niz) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(niz) \desno)+\lijevo(\početak(niz) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(niz) \desno) $$
Izvršimo zadnje korake: oduzimanje i zbrajanje:
$$ \lijevo(\begin(niz) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(niz) \desno)-\lijevo(\početak (niz) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(niz) \desno)+\lijevo(\početak(niz) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(niz) \desno)=\\ =\lijevo(\početak(niz) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(niz) \right)= \lijevo(\begin(niz) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(niz) \desno). $$
Problem riješen, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .
Odgovor: $D=\lijevo(\početak(niz) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \kraj(niz) \desno)$.
Primjer br. 6
Neka je $f(x)=2x^2+3x-9$ i matrica $A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Pronađite vrijednost $f(A)$.
Ako je $f(x)=2x^2+3x-9$, tada se $f(A)$ shvaća kao matrica:
$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$
Ovako se definira polinom iz matrice. Dakle, trebamo zamijeniti matricu $A$ u izraz za $f(A)$ i dobiti rezultat. Budući da su sve radnje bile detaljno raspravljene ranije, ovdje ću jednostavno dati rješenje. Ako vam nije jasan postupak izvođenja operacije $A^2=A\cdot A$, savjetujem vam da pogledate opis množenja matrice u prvom dijelu ove teme.
$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \lijevo(\begin(niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(niz) \desno)\cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(niz) \desno)+3 \lijevo(\begin(niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(niz) \desno)-9\lijevo(\početak(niz) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \kraj(niz) \desno)=\\ =2 \lijevo( \begin(niz) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(niz) \desno)+3 \lijevo(\begin(niz) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(niz) \desno)-9\lijevo(\begin(niz ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(niz) \desno) =\lijevo(\početak(niz) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(niz) \desno) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ kraj(niza) \desno)=\lijevo(\početak(niza) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \kraj(niza) \desno). $$
Odgovor: $f(A)=\lijevo(\begin(niz) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(niz) \desno)$.
Linearna algebra za lutke
Da biste proučavali linearnu algebru, možete pročitati i zadubiti se u knjigu "Matrice i determinante" I. V. Belousova. Međutim, napisana je strogim i suhoparnim matematičkim jezikom, koji je ljudima s prosječnom inteligencijom teško percipirati. Stoga sam napravio prepričavanje najteže razumljivih dijelova ove knjige, nastojeći što jasnije prikazati gradivo, koristeći što je više moguće crteža. Izostavio sam dokaze teorema. Iskreno govoreći, nisam osobno ulazio u njih. Vjerujem g. Belousovu! Sudeći po njegovom radu, radi se o kompetentnom i inteligentnom matematičaru. Njegovu knjigu možete preuzeti na http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Ako se namjeravate udubiti u moj rad, morate to učiniti, jer ću se često pozivati na Belousova.
Počnimo s definicijama. Što je matrica? Ovo je pravokutna tablica brojeva, funkcija ili algebarskih izraza. Zašto su matrice potrebne? Oni uvelike olakšavaju složene matematičke izračune. Matrica može imati retke i stupce (slika 1).
Redovi i stupci numerirani su počevši slijeva
odozgo (sl. 1-1). Kad kažu: matrica veličine m n (ili m puta n), misle m broj linija, i ispod n broj stupaca. Na primjer, matrica na slici 1-1 je 4 puta 3, a ne 3 puta 4.
Pogledajte sl. 1-3, koje matrice postoje. Ako se matrica sastoji od jednog retka, naziva se matrica reda, a ako se sastoji od jednog stupca, onda se naziva matrica stupca. Matrica se naziva kvadratom reda n ako je broj redaka jednak broju stupaca i jednak n. Ako su svi elementi matrice nula, onda je to nula matrica. Kvadratna matrica naziva se dijagonalom ako su svi njezini elementi jednaki nuli, osim onih koji se nalaze na glavnoj dijagonali.
Odmah ću objasniti što je glavna dijagonala. Brojevi redaka i stupaca na njemu su isti. Ide s lijeva na desno od vrha do dna. (Sl. 3) Elementi se nazivaju dijagonalnima ako se nalaze na glavnoj dijagonali. Ako su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici (a ostali su jednaki nuli), matrica se naziva identitet. Za dvije matrice A i B iste veličine kaže se da su jednake ako su im svi elementi isti.
2. Operacije na matricama i njihova svojstva
Umnožak matrice i broja x je matrica iste veličine. Da biste dobili ovaj proizvod, morate pomnožiti svaki element s ovim brojem (slika 4). Da biste dobili zbroj dviju matrica iste veličine, potrebno je zbrojiti njihove odgovarajuće elemente (slika 4). Da biste dobili razliku A - B dviju matrica iste veličine, trebate pomnožiti matricu B s -1 i zbrojiti dobivenu matricu s matricom A (slika 4). Za operacije na matricama vrijede sljedeća svojstva: A+B=B+A (svojstvo komutativnosti).
(A + B)+C = A+(B + C) (svojstvo asocijativnosti). Jednostavno rečeno, promjena mjesta članova ne mijenja zbroj. Sljedeća svojstva vrijede za operacije na matricama i brojevima:
(brojeve označimo slovima x i y, a matrice slovima A i B) x(yA)=(xy)A
Ta su svojstva slična svojstvima koja se odnose na operacije s brojevima. Izgled
primjeri na slici 5. Također pogledajte primjere 2.4 - 2.6 od Belousova na stranici 9.
Množenje matrice.
Množenje dviju matrica definirano je samo ako (prevedeno na ruski: matrice se mogu množiti samo ako) kada je broj stupaca prve matrice u proizvodu jednak broju redaka druge (slika 7, gore, plave zagrade). Da lakše zapamtite: broj 1 je više poput stupca. Rezultat množenja je matrica veličine (vidi sliku 6). Kako bismo lakše zapamtili što s čim treba pomnožiti, predlažem sljedeći algoritam: pogledajte sliku 7. Pomnožite matricu A s matricom B.
matrica A dva stupca,
Matrica B ima dva retka - možete množiti.
1) Pozabavimo se prvim stupcem matrice B (on je jedini koji ima). Ovaj stupac zapisujemo u redak (transponiramo
stupac o transpoziciji u nastavku).
2) Kopiramo ovu liniju tako da dobijemo matricu veličine matrice A.
3) Elemente ove matrice pomnožimo s odgovarajućim elementima matrice A.
4) Zbrajamo dobivene proizvode u svakom retku i dobivamo matrica proizvoda od dva retka i jednog stupca.
Slika 7-1 prikazuje primjere množenja matrica koje su veće veličine.
1) Ovdje prva matrica ima tri stupca, što znači da druga mora imati tri reda. Algoritam je potpuno isti kao u prethodnom primjeru, samo što su ovdje u svakom retku tri člana, a ne dva.
2) Ovdje druga matrica ima dva stupca. Prvo izvodimo algoritam s prvim stupcem, zatim s drugim i dobivamo matricu "dva po dva".
3) Ovdje druga matrica ima stupac koji se sastoji od jednog elementa; stupac se neće promijeniti zbog transpozicije. I nema potrebe ništa dodavati, jer prva matrica ima samo jedan stupac. Algoritam izvodimo tri puta i dobivamo matricu tri puta tri.
Događaju se sljedeća svojstva:
1. Ako postoje zbroj B + C i umnožak AB, onda je A (B + C) = AB + AC
2. Ako produkt AB postoji, onda je x (AB) = (xA) B = A (xB).
3. Ako umnošci AB i BC postoje, onda je A (BC) = (AB) C.
Ako matrični produkt AB postoji, tada matrični produkt BA možda i ne postoji. Čak i ako proizvodi AB i BA postoje, može se pokazati da su matrice različitih veličina.
Oba umnoška AB i BA postoje i matrice su iste veličine samo u slučaju kvadratnih matrica A i B istog reda. Međutim, čak iu ovom slučaju, AB ne mora biti jednak BA.
Potenciranje
Podizanje matrice na potenciju ima smisla samo za kvadratne matrice (zamislite zašto?). Tada je pozitivna cjelobrojna potencija m matrice A umnožak m matrica jednakih A. Isto kao i za brojeve. Pod nultim stupnjem kvadratne matrice A mislimo na matricu identiteta istog reda kao A. Ako ste zaboravili što je matrica identiteta, pogledajte sl. 3.
Kao i kod brojeva, vrijede sljedeći odnosi:
A mA k=A m+k (A m)k=A mk
Pogledajte primjere iz Belousova na stranici 20.
Transponiranje matrica
Transponiranje je transformacija matrice A u matricu AT,
u kojem se redovi matrice A zapisuju u stupce AT uz zadržavanje reda. (slika 8). Možete to reći na drugi način:
Stupci matrice A upisuju se u retke matrice AT, zadržavajući redoslijed. Primijetite kako transpozicija mijenja veličinu matrice, odnosno broj redaka i stupaca. Također imajte na umu da elementi u prvom retku, prvom stupcu i zadnjem retku, zadnjem stupcu ostaju na mjestu.
Vrijede sljedeća svojstva: (AT )T =A (transponirati
matrica dva puta - dobivate istu matricu)
(xA)T =xAT (pod x mislimo na broj, pod A, naravno, matricu) (ako trebate pomnožiti matricu s brojem i transponirati, možete prvo množiti, zatim transponirati ili obrnuto )
(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT
Simetrične i antisimetrične matrice
Slika 9, gore lijevo, prikazuje simetričnu matricu. Njegovi elementi, simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu, jednaki su. A sada definicija: kvadratna matrica
A se naziva simetričnim ako je AT = A. To jest, simetrična matrica se ne mijenja kada se transponira. Konkretno, svaka dijagonalna matrica je simetrična. (Takva matrica je prikazana na slici 2).
Sada pogledajte antisimetričnu matricu (slika 9, dolje). Kako se razlikuje od simetričnog? Imajte na umu da su svi njegovi dijagonalni elementi nula. Antisimetrične matrice imaju sve dijagonalne elemente jednake nuli. Razmisli zašto? Definicija: Kvadratna matrica A naziva se
antisimetrična ako je AT = -A. Napomenimo neka svojstva operacija na simetriji i antisimetriji
matrice. 1. Ako su A i B simetrične (antisemetrične) matrice, tada je A + B simetrična (antisemetrična) matrica.
2. Ako je A simetrična (antisemetrična) matrica, onda je xA također simetrična (antisemetrična) matrica. (zapravo, ako pomnožite matrice sa slike 9 s nekim brojem, simetrija će i dalje biti sačuvana)
3. Umnožak AB dviju simetričnih ili dviju antisimetričnih matrica A i B je simetrična matrica za AB = BA i antisimetrična za AB =-BA.
4. Ako je A simetrična matrica, tada je A m (m = 1, 2, 3, . . .) je simetrična matrica. Ako A
Antisimetrična matrica, onda je Am (m = 1, 2, 3, ...) simetrična matrica za parni m i antisimetrična za neparan.
5. Proizvoljna kvadratna matrica A može se prikazati kao zbroj dviju matrica. (nazovimo te matrice, na primjer A(s) i A(a) )
A=A (s)+A (a)
Matrica A -1 se naziva inverzna matrica u odnosu na matricu A ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.
Svrha usluge. Pomoću ove usluge na mreži možete pronaći algebarske komplemente, transponiranu matricu A T, srodnu matricu i inverznu matricu. Odluka se provodi izravno na web stranici (online) i besplatna je. Rezultati izračuna se prikazuju u izvješću u Word i Excel formatu (tj. moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.
upute. Za dobivanje rješenja potrebno je odrediti dimenziju matrice. Zatim ispunite matricu A u novom dijaloškom okviru.
Vidi također Inverzna matrica pomoću Jordano-Gaussove metode
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Nalaženje transponirane matrice A T .
- Definicija algebarskih komplemenata. Svaki element matrice zamijenite njegovim algebarskim komplementom.
- Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih dodavanja: svaki element rezultirajuće matrice podijeljen je determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.
- Odredite je li matrica kvadratna. Ako nije, onda za to ne postoji inverzna matrica.
- Izračunavanje determinante matrice A. Ako nije jednaka nuli, nastavljamo rješavanje, inače inverzna matrica ne postoji.
- Definicija algebarskih komplemenata.
- Ispunjavanje unijske (međusobne, adjungirane) matrice C .
- Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element adjungirane matrice C podijeli se s determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.
- Rade provjeru: množe izvornu i dobivenu matricu. Rezultat bi trebala biti matrica identiteta.
Primjer br. 1. Napišimo matricu u obliku:
| A -1 = |
|
Još jedan algoritam za pronalaženje inverzne matrice
Predstavimo još jednu shemu za pronalaženje inverzne matrice.- Nađite determinantu zadane kvadratne matrice A.
- Pronalazimo algebarske komplemente svim elementima matrice A.
- Zapisujemo algebarske dodatke elemenata retka stupcima (transpozicija).
- Svaki element dobivene matrice podijelimo s determinantom matrice A.
Poseban slučaj: Inverz matrice identiteta E je matrica identiteta E.