Yhtä kuin rivin tai sarakkeen alkioiden tulojen summa niiden algebrallisten komplementtien perusteella, ts. , jossa i 0 on kiinteä.
Lauseketta (*) kutsutaan determinantin D laajentamiseksi rivin i 0 elementeiksi.

Palvelun tarkoitus. Tämä palvelu on suunniteltu etsimään matriisin determinantti verkosta, ja koko ratkaisuprosessi on tallennettu Word-muodossa. Lisäksi ratkaisumalli luodaan Excelissä.

Ohjeet. Valitse matriisiulottuvuus ja napsauta Seuraava. Determinantti voidaan laskea kahdella tavalla: a-priory Ja rivin tai sarakkeen mukaan. Jos sinun on löydettävä determinantti luomalla nollia johonkin riveistä tai sarakkeista, voit käyttää tätä laskinta.

Algoritmi determinantin löytämiseksi

1. Matriiseille, joiden kertaluku on n=2, determinantti lasketaan kaavalla: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Matriiseille, joiden kertaluku on n=3, determinantti lasketaan algebrallisten yhteenlaskujen tai Sarrus menetelmä.
3. Matriisi, jonka dimensio on suurempi kuin kolme, hajotetaan algebrallisiksi komplementeiksi, joille lasketaan niiden determinantit (minisorit). Esimerkiksi, 4. asteen matriisideterminantti löytyy laajentamalla riveiksi tai sarakkeiksi (katso esimerkki).

Matriisissa funktioita sisältävän determinantin laskemiseen käytetään standardimenetelmiä. Laske esimerkiksi 3. asteen matriisin determinantti:

Käytämme hajotusmenetelmää ensimmäisellä rivillä.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Determinanttien laskentamenetelmät

Determinantin löytäminen algebrallisten lisäysten avulla on yleinen menetelmä. Yksinkertaistettu versio siitä on determinantin laskenta Sarrusin säännöllä. Kun matriisiulottuvuus on kuitenkin suuri, käytetään seuraavia menetelmiä:

1. determinantin laskeminen tilausvähennysmenetelmällä
2. determinantin laskeminen Gaussin menetelmällä (pelkistämällä matriisi kolmion muotoon).

Excelissä funktiota =MOPRED(solualue) käytetään determinantin laskemiseen.

Determinanttien sovellettu käyttö

Determinantit lasketaan pääsääntöisesti tietylle neliömatriisin muodossa määritellylle järjestelmälle. Tarkastellaanpa tietyntyyppisiä ongelmia matriisin determinantin löytäminen. Joskus on löydettävä tuntematon parametri a, jonka determinantti olisi yhtä suuri kuin nolla. Tätä varten on luotava determinanttiyhtälö (esim kolmion sääntö) ja laskemalla sen arvoksi 0, laske parametri a.
sarakkeen jakautuminen (ensimmäinen sarake):
Pieni (1,1): Yliviivaa ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake matriisista.
Etsitään tälle alaikäiselle tekijä. ∆ 1,1 = (2 (-2) -2 1) = -6.

Määritetään (2,1) molli: tätä varten poistamme matriisista toisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen.

Etsitään tälle alaikäiselle tekijä. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Pieni (3,1): Yliviivaa 3. rivi ja 1. sarake matriisista.
Etsitään tälle alaikäiselle tekijä. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Päädeterminantti on: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Etsitään determinantti rivi riviltä -laajennuksella (ensimmäisellä rivillä):
Pieni (1,1): Yliviivaa ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake matriisista.

Etsitään tälle alaikäiselle tekijä. ∆ 1,1 = (2 (-2) -2 1) = -6. Minor (1,2): Yliviivaa 1. rivi ja 2. sarake matriisista. Lasketaan tämän alaikäisen determinantti. ∆ 1,2 = (3 (-2) -1 1) = -7. Ja löytääksemme molli arvolle (1,3), yliviivaamme ensimmäisen rivin ja kolmannen sarakkeen matriisista. Etsitään tälle alaikäiselle tekijä. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Etsi päädeterminantti: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Determinantin käsite on yksi tärkeimmistä lineaarialgebran aikana. Tämä käsite liittyy VAIN NELIÖMATRIISeihin, ja tämä artikkeli on omistettu tälle käsitteelle. Tässä puhutaan matriisien determinanteista, joiden alkiot ovat reaalilukuja (tai kompleksilukuja). Tässä tapauksessa determinantti on reaaliluku (tai kompleksiluku). Kaikki jatkoesitys on vastaus kysymyksiin, miten determinantti lasketaan ja mitä ominaisuuksia sillä on.

Ensin annetaan n:n kertaluvun neliömatriisin determinantin määritelmä matriisielementtien permutaatioiden tulojen summana. Tämän määritelmän perusteella kirjoitamme kaavat ensimmäisen, toisen ja kolmannen kertaluvun matriisien determinanttien laskemiseen ja analysoimme yksityiskohtaisesti useiden esimerkkien ratkaisuja.

Seuraavaksi siirrytään determinantin ominaisuuksiin, jotka muotoillaan lauseiden muodossa ilman todisteita. Täältä saamme menetelmän determinantin laskemiseksi laajentamalla se rivin tai sarakkeen elementeiksi. Tämän menetelmän avulla voit vähentää kertalukua n olevan matriisin determinantin laskenta kertaluvulla n kertalukua 3 tai vähemmän olevien matriisien determinanttien laskemiseen. Näytämme varmasti ratkaisuja useisiin esimerkkeihin.

Lopuksi keskitymme determinantin laskemiseen Gaussin menetelmällä. Tämä menetelmä on hyvä 3 x 3 suuruisten matriisien determinanttien arvojen löytämiseen, koska se vaatii vähemmän laskentaa. Katsomme myös esimerkkien ratkaisuja.

Sivulla navigointi.

Matriisin determinantin määritys, matriisin determinantin laskenta määritelmän mukaan.

Muistakaamme muutama apukäsite.

Määritelmä.

Järjestyksen n permutaatio Kutsutaan järjestettyä numerosarjaa, joka koostuu n elementistä.

Joukkoon, joka sisältää n alkiota, on n! (n faktoriaalista) permutaatiota kertalukua n. Permutaatiot eroavat toisistaan ​​vain siinä järjestyksessä, jossa elementit esiintyvät.

Oletetaan esimerkiksi joukko, joka koostuu kolmesta numerosta: . Kirjataan ylös kaikki permutaatiot (yhteensä kuusi, koska ):

Määritelmä.

Inversiolla kertaluvun n permutaatiossa Kutsutaan mikä tahansa indeksipari p ja q, jonka permutaation p:s alkio on suurempi kuin q:s.

Edellisessä esimerkissä permutaation 4, 9, 7 käänteisarvo on pari p=2, q=3, koska permutaation toinen elementti on yhtä suuri kuin 9 ja se on suurempi kuin kolmas, yhtä suuri kuin 7. Permutaatioiden 9, 7, 4 inversio on kolme paria: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) ja p=2, q=3 (7>4).

Meitä kiinnostaa enemmän inversioiden määrä permutaatiossa kuin itse inversio.

Olkoon neliömatriisi, jonka kertaluku on n x n reaalilukujen (tai kompleksilukujen) kentän yli. Antaa olla joukko kaikkien permutaatioiden kertaluvun n joukon . Setti sisältää n! permutaatioita. Merkitään joukon k:nnettä permutaatiota muodossa , ja k:nnen permutaation inversioiden lukumäärää muodossa .

Määritelmä.

Matriisin determinantti Ja luku on yhtä suuri kuin .

Kuvataan tätä kaavaa sanoin. Neliömatriisin, jonka kertaluku on n ja n, determinantti on n:n sisältävä summa! ehdot. Jokainen termi on matriisin n elementin tulo, ja jokainen tulo sisältää elementin matriisin A jokaiselta riviltä ja jokaiselta sarakkeelta. Kerroin (-1) ilmestyy ennen k:nnettä termiä, jos matriisin A alkiot tuotteessa on järjestetty rivinumeron mukaan ja sarakenumeroiden joukon k:nnen permutaation inversioiden määrä on pariton.

Matriisin A determinanttia merkitään yleensä nimellä , ja käytetään myös det(A):ta. Saatat myös kuulla determinanttia nimeltä determinantti.

Niin, .

Tästä on selvää, että ensimmäisen asteen matriisin determinantti on tämän matriisin elementti.

Toisen asteen neliömatriisin determinantin laskeminen - kaava ja esimerkki.

noin 2 x 2 yleensä.

Tässä tapauksessa n=2, siis n!=2!=2.

.

Meillä on

Siten olemme saaneet kaavan 2 x 2 matriisin determinantin laskemiseksi, sillä on muoto .

Esimerkki.

Tilaus .

Ratkaisu.

Meidän esimerkissämme. Käytämme tuloksena olevaa kaavaa :

Kolmannen asteen neliömatriisin determinantin laskeminen - kaava ja esimerkki.

Etsitään neliömatriisin determinantti noin 3 x 3 yleensä.

Tässä tapauksessa n=3, siis n!=3!=6.

Järjestetään taulukon muotoon tarvittavat tiedot kaavan soveltamiseksi .

Meillä on

Siten olemme saaneet kaavan 3 x 3 matriisin determinantin laskemiseksi, sillä on muoto

Vastaavasti voit saada kaavoja 4 x 4, 5 x 5 ja suurempien matriisien determinanttien laskemiseen. Ne näyttävät erittäin isoilta.

Esimerkki.

Laske neliömatriisin determinantti noin 3 x 3.

Ratkaisu.

Meidän esimerkissämme

Käytämme saatua kaavaa laskeaksemme kolmannen kertaluvun matriisin determinantin:

Toisen ja kolmannen kertaluvun neliömatriisien determinanttien laskentakaavoja käytetään hyvin usein, joten suosittelemme muistamaan ne.

Matriisin determinantin ominaisuudet, matriisin determinantin laskeminen ominaisuuksien avulla.

Ilmoitetun määritelmän perusteella seuraavat asiat ovat totta: matriisideterminantin ominaisuudet.

Matriisin A determinantti on yhtä suuri kuin transponoidun matriisin A T determinantti, eli .

Esimerkki.

Varmista matriisin determinantti on yhtä suuri kuin transponoidun matriisin determinantti.

Ratkaisu.

Lasketaan 3 x 3 matriisin determinantti kaavalla:



Transponoi matriisi A:


Lasketaan transponoidun matriisin determinantti:



Todellakin, transponoidun matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti.

Jos neliömatriisissa vähintään yhden rivin (yhden sarakkeen) elementit ovat nollia, tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

Esimerkki.

Tarkista, että matriisin determinantti järjestys 3 x 3 on nolla.

Ratkaisu.




Itse asiassa nollasarakkeen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

Jos järjestät uudelleen mitkä tahansa kaksi riviä (saraketta) neliömatriisissa, tuloksena olevan matriisin determinantti on päinvastainen kuin alkuperäinen (eli etumerkki muuttuu).

Esimerkki.

Annettu kaksi neliömatriisia, joiden kertaluku on 3 x 3 Ja . Osoita, että niiden determinantit ovat vastakkaisia.

Ratkaisu.

Matriisi B saadaan matriisista A korvaamalla kolmas rivi ensimmäisellä ja ensimmäinen kolmannella. Tarkasteltavan ominaisuuden mukaan tällaisten matriisien determinanttien tulee erota etumerkillisesti. Tarkistetaan tämä laskemalla determinantit tunnetulla kaavalla.



Todella, .

Jos neliömatriisissa vähintään kaksi riviä (kaksi saraketta) on sama, niin sen determinantti on nolla.

Esimerkki.

Osoita, että matriisin determinantti yhtä kuin nolla.

Ratkaisu.

Tässä matriisissa toinen ja kolmas sarake ovat samat, joten tarkasteltavan ominaisuuden mukaan sen determinantin on oltava nolla. Katsotaanpa se.



Itse asiassa matriisin, jossa on kaksi identtistä saraketta, determinantti on nolla.

Jos neliömatriisissa minkä tahansa rivin (sarakkeen) kaikki alkiot kerrotaan tietyllä luvulla k, niin tuloksena olevan matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti kerrottuna k:llä. Esimerkiksi,



Esimerkki.

Todista, että matriisin determinantti yhtä suuri kuin matriisin determinantin kolminkertainen .

Ratkaisu.

Matriisin B ensimmäisen sarakkeen elementit saadaan matriisin A ensimmäisen sarakkeen vastaavista elementeistä kertomalla 3:lla. Silloin tasa-arvon on oltava tarkasteltavan ominaisuuden vuoksi voimassa. Tarkistetaan tämä laskemalla matriisien A ja B determinantit.



Siksi se oli todistettava.

HUOMAUTUS.

Älä sekoita tai sekoita matriisin ja determinantin käsitteitä! Matriisin determinantin harkittu ominaisuus ja matriisin luvulla kertominen eivät ole kaukana samasta asiasta.
, Mutta .

Jos neliömatriisin minkä tahansa rivin (sarakkeen) kaikki alkiot edustavat s termien summaa (s on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin yksi), niin tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin saatujen matriisien s determinanttien summa. alkuperäisestä, jos rivin (sarakkeen) elementit ovat: jätä termi kerrallaan. Esimerkiksi,


Esimerkki.

Todista, että matriisin determinantti on yhtä suuri kuin matriisien determinanttien summa .

Ratkaisu.

Meidän esimerkissämme , siksi matriisin determinantin tarkastellun ominaisuuden vuoksi yhtäläisyys on täytettävä . Tarkistetaan se laskemalla 2 x 2 matriisien vastaavat determinantit kaavalla .


Saaduista tuloksista on selvää, että . Tämä täydentää todistuksen.

Jos toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit lisätään matriisin tietyn rivin (sarakkeen) elementteihin kerrottuna mielivaltaisella luvulla k, niin tuloksena olevan matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti. .

Esimerkki.

Varmista, että jos matriisin kolmannen sarakkeen elementteihin lisää tämän matriisin toisen sarakkeen vastaavat elementit kerrottuna (-2) ja lisää matriisin ensimmäisen sarakkeen vastaavat elementit kerrottuna mielivaltaisella reaaliluvulla, jolloin tuloksena olevan matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti.

Ratkaisu.

Jos aloitetaan determinantin tarkastelusta ominaisuudesta, niin kaikkien tehtävässä määriteltyjen muunnosten jälkeen saatu matriisin determinantti on yhtä suuri kuin matriisin A determinantti.

Lasketaan ensin alkuperäisen matriisin A determinantti:



Suoritetaan nyt tarvittavat matriisin A muunnokset.

Lisätään matriisin kolmannen sarakkeen alkioihin matriisin toisen sarakkeen vastaavat alkiot, jotka on aiemmin kerrottu (-2). Tämän jälkeen matriisi saa muotoa:


Tuloksena olevan matriisin kolmannen sarakkeen elementteihin lisätään ensimmäisen sarakkeen vastaavat elementit kerrottuna:


Lasketaan tuloksena olevan matriisin determinantti ja varmistetaan, että se on yhtä suuri kuin matriisin A determinantti, eli -24:



Neliömatriisin determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden tulojen summa niiden mukaan. algebralliset lisäykset.



Tässä on matriisielementin algebrallinen komplementti .

Tämän ominaisuuden avulla voidaan laskea 3 x 3 suuruisten matriisien determinantit vähentämällä ne useiden matriisien determinanttien summaksi, jotka ovat yhtä pienempiä. Toisin sanoen tämä on toistuva kaava minkä tahansa kertaluvun neliömatriisin determinantin laskemiseksi. Suosittelemme sen muistamista, koska se on melko usein sovellettavissa.

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Esimerkki.

noin 4 x 4, laajentamalla sitä

• 3. rivin elementtien mukaan,
• 2. sarakkeen elementtien mukaan.

Ratkaisu.

Käytämme kaavaa determinantin hajottamiseen 3. rivin elementeiksi



Meillä on



Joten ongelma 4 x 4 matriisin determinantin löytämisestä pelkistettiin kolmen kertaluvun 3 x 3 matriisien determinantin laskemiseen:



Korvaamalla saadut arvot, saamme tuloksen:


Käytämme kaavaa determinantin hajottamiseen 2. sarakkeen elementeiksi


ja toimimme samalla tavalla.

Emme kuvaile yksityiskohtaisesti kolmannen asteen matriisien determinanttien laskentaa.



Esimerkki.

Laske matriisin determinantti noin 4 x 4.

Ratkaisu.

Voit laajentaa matriisin determinantin minkä tahansa sarakkeen tai minkä tahansa rivin elementteihin, mutta on kannattavampaa valita se rivi tai sarake, joka sisältää eniten nollaelementtejä, koska tämä auttaa välttämään tarpeettomia laskelmia. Laajennataan determinantti ensimmäisen rivin elementteihin:



Lasketaan 3 x 3 matriisien tuloksena saadut determinantit meille tunnetulla kaavalla:



Korvaa tulokset ja saat halutun arvon


Esimerkki.

Laske matriisin determinantti noin 5 x 5.

Ratkaisu.

Matriisin neljännellä rivillä on eniten nollaelementtejä kaikista riveistä ja sarakkeista, joten on suositeltavaa laajentaa matriisin determinanttia tarkasti neljännen rivin elementtien mukaan, koska tässä tapauksessa tarvitsemme vähemmän laskelmia.



Tuloksena saadut 4 x 4 matriisien determinantit löytyivät aiemmista esimerkeistä, joten käytetään valmiita tuloksia:



Esimerkki.

Laske matriisin determinantti noin 7 x 7.

Ratkaisu.

Sinun ei pitäisi heti kiirehtiä lajittelemaan determinanttia minkään rivin tai sarakkeen elementteihin. Jos tarkastelet matriisia tarkasti, huomaat, että matriisin kuudennen rivin alkiot saadaan kertomalla toisen rivin vastaavat elementit kahdella. Eli jos toisen rivin vastaavat elementit lisätään kuudennen rivin elementteihin kerrottuna (-2), niin determinantti ei muutu seitsemännen ominaisuuden takia, ja tuloksena olevan matriisin kuudes rivi koostuu nollasta. Tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla toisella ominaisuudella.

Vastaus:

On huomattava, että tarkasteltavalla ominaisuudella voidaan laskea minkä tahansa kertaluvun matriisien determinantit, mutta joudutaan suorittamaan paljon laskennallisia operaatioita. Useimmissa tapauksissa on edullisempaa löytää kolmannen asteen matriisien determinantti Gaussin menetelmällä, jota tarkastelemme alla.

Neliomatriisin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden tulojen summa toisen rivin (sarakkeen) vastaavien alkioiden algebrallisilla komplementeilla on yhtä suuri kuin nolla.


Esimerkki.

Osoita, että matriisin kolmannen sarakkeen alkioiden tulojen summa ensimmäisen sarakkeen vastaavien elementtien algebrallisilla komplementeilla on nolla.

Ratkaisu.




Saman kertaluvun neliömatriisien tulon determinantti on yhtä suuri kuin niiden determinanttien tulo, eli , jossa m on yhtä suurempi luonnollinen luku, A k, k=1,2,...,m ovat samaa kertaluokkaa olevia neliömatriiseja.

Esimerkki.

Varmista, että kahden matriisin tulon determinantti ja on yhtä suuri kuin niiden determinanttien tulos.

Ratkaisu.

Etsitään ensin matriisien A ja B determinanttien tulo:


Suoritetaan nyt matriisin kertolasku ja lasketaan tuloksena olevan matriisin determinantti:



Täten, , mikä piti näyttää.

Matriisin determinantin laskenta Gaussin menetelmällä.

Kuvataanpa tämän menetelmän ydintä. Alkuainemuunnoksilla matriisi A pelkistetään sellaiseen muotoon, että ensimmäisessä sarakkeessa kaikki alkiot paitsi ne muuttuvat nolliksi (tämä voidaan aina tehdä, jos matriisin A determinantti on eri kuin nolla). Kuvaamme tätä menettelyä hieman myöhemmin, mutta nyt selitämme, miksi tämä tehdään. Nolla alkioita saadaan determinantin yksinkertaisimman laajennuksen saavuttamiseksi ensimmäisen sarakkeen elementtien yli. Tällaisen matriisin A muunnoksen jälkeen, kun otetaan huomioon kahdeksas ominaisuus ja, saadaan

Missä - pieni (n-1) kertaluokka, saatu matriisista A poistamalla sen ensimmäisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen elementit.

Matriisilla, jota molli vastaa, suoritetaan sama menettely nollaelementtien saamiseksi ensimmäiseen sarakkeeseen. Ja niin edelleen determinantin lopulliseen laskelmaan asti.

Nyt on vielä vastattava kysymykseen: "Kuinka saada nolla elementtiä ensimmäiseen sarakkeeseen"?

Kuvataan toimintojen algoritmi.

Jos , niin k:nnen rivin vastaavat elementit lisätään matriisin ensimmäisen rivin elementteihin, joissa . (Jos matriisin A ensimmäisen sarakkeen kaikki alkiot ovat poikkeuksetta nollia, niin sen determinantti on toisen ominaisuuden mukaan nolla eikä Gaussin menetelmää tarvita). Tällaisen muunnoksen jälkeen "uusi" elementti on muu kuin nolla. "Uuden" matriisin determinantti on sama kuin alkuperäisen matriisin determinantti seitsemännen ominaisuuden vuoksi.

Nyt meillä on matriisi, jossa on . Kun toisen rivin elementteihin lisätään ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna luvulla , kolmannen rivin elementteihin - ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna . Ja niin edelleen. Lopuksi n:nnen rivin elementteihin lisätään ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna luvulla . Tästä saadaan muunnettu matriisi A, jonka ensimmäisen sarakkeen kaikki elementit paitsi , ovat nollia. Tuloksena olevan matriisin determinantti on seitsemännen ominaisuuden vuoksi yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti.

Katsotaanpa menetelmää esimerkin ratkaisemisessa, se on selkeämpi.

Esimerkki.

Laske 5 x 5 matriisin determinantti .

Ratkaisu.

Käytetään Gaussin menetelmää. Muunnetaan matriisi A niin, että sen ensimmäisen sarakkeen kaikista alkioista tulee nollia paitsi .

Koska elementti on alun perin , lisäämme matriisin ensimmäisen rivin elementteihin vastaavat elementit, esimerkiksi toisen rivin, koska :

"~"-merkki osoittaa vastaavuutta.

Nyt lisäämme toisen rivin elementteihin ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna , kolmannen rivin elementteihin – ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna , ja jatka samalla tavalla kuudenteen riviin asti:

Saamme

Matriisin kanssa Suoritamme saman menettelyn nollaelementtien saamiseksi ensimmäisessä sarakkeessa:

Siten,

Nyt suoritamme muunnoksia matriisin kanssa :

Kommentti.

Jossain Gaussin menetelmää käyttävän matriisimuunnoksen vaiheessa voi syntyä tilanne, jossa matriisin viimeisten rivien kaikki alkiot muuttuvat nolliksi. Tämä osoittaa, että determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

Tee yhteenveto.

Neliömatriisin, jonka elementit ovat lukuja, determinantti on luku. Tarkastelimme kolmea tapaa laskea determinantti:

1. matriisielementtien yhdistelmien tulojen summan kautta;
2. determinantin hajoamisen kautta matriisin rivin tai sarakkeen elementeiksi;
3. pelkistämällä matriisi ylemmäksi kolmiomaiseksi (Gaussin menetelmä).

Saatiin kaavat kertalukua 2 x 2 ja 3 x 3 olevien matriisien determinanttien laskemiseksi.

Olemme tutkineet matriisin determinantin ominaisuuksia. Jotkut niistä antavat sinun nopeasti ymmärtää, että determinantti on nolla.

Laskettaessa matriisien determinantteja, joiden kertaluku on suurempi kuin 3 x 3, on suositeltavaa käyttää Gaussin menetelmää: suorittaa matriisin alkeismuunnokset ja pelkistää se ylempään kolmiomaiseen. Tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin kaikkien päädiagonaalin elementtien tulo.

Ongelman muotoilu

Tehtävä edellyttää, että käyttäjä perehtyy numeeristen menetelmien peruskäsitteisiin, kuten determinantti- ja käänteimatriisiin, sekä eri tapoihin niiden laskemiseksi. Tämä teoreettinen raportti esittelee ensin peruskäsitteet ja määritelmät yksinkertaisella ja ymmärrettävällä kielellä, joiden pohjalta tehdään jatkotutkimusta. Käyttäjällä ei välttämättä ole erityistä tietämystä numeeristen menetelmien ja lineaarialgebran alalla, mutta hän voi helposti käyttää tämän työn tuloksia. Selvyyden vuoksi on annettu C++-ohjelmointikielellä kirjoitettu ohjelma matriisin determinantin laskemiseksi useilla menetelmillä. Ohjelmaa käytetään laboratoriotelineenä raportin kuvien luomiseen. Myös lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisumenetelmiä tutkitaan. Käänteimatriisin laskemisen hyödyttömyys on todistettu, joten työ tarjoaa optimaalisempia tapoja ratkaista yhtälöitä ilman sen laskemista. Se selittää, miksi determinanttien ja käänteisten matriisien laskentaan on niin monia erilaisia ​​menetelmiä, ja käsittelee niiden puutteita. Myös determinantin laskentavirheet huomioidaan ja saavutettu tarkkuus arvioidaan. Työssä käytetään venäjän termien lisäksi myös niiden englanninkielisiä vastineita ymmärtämään, millä nimillä numeerisia toimenpiteitä kirjastoista etsitään ja mitä niiden parametrit tarkoittavat.

Perusmääritelmät ja yksinkertaisimmat ominaisuudet

Determinantti

Otetaan käyttöön minkä tahansa kertaluvun neliömatriisin determinantin määritelmä. Tämä määritelmä tulee olemaan toistuva, eli jotta voit määrittää, mikä on järjestysmatriisin determinantti, sinun on jo tiedettävä, mikä on järjestysmatriisin determinantti. Huomaa myös, että determinantti on olemassa vain neliömatriiseille.

Merkitsemme neliömatriisin determinanttia arvolla tai det.

Määritelmä 1. Determinantti neliömatriisi toinen tilausnumero kutsutaan .

Determinantti järjestyksen neliömatriisi kutsutaan numeroksi

missä on järjestysmatriisin determinantti, joka saadaan matriisista poistamalla ensimmäinen rivi ja sarake numerolla .

Selvyyden vuoksi kirjoitetaan ylös, kuinka voit laskea neljännen kertaluvun matriisin determinantin:

Kommentti. Poikkeustapauksissa käytetään määritelmään perustuvaa varsinaista determinanttien laskentaa kolmannen asteen matriiseille. Tyypillisesti laskenta suoritetaan muilla algoritmeilla, joita käsitellään myöhemmin ja jotka vaativat vähemmän laskentatyötä.

Kommentti. Määritelmässä 1 olisi tarkempaa sanoa, että determinantti on funktio, joka on määritelty järjestyksen neliömatriisien joukolle ja ottaa arvot numerojoukosta.

Kommentti. Kirjallisuudessa termin "determinantti" sijaan käytetään myös termiä "determinantti", jolla on sama merkitys. Sanasta "determinantti" ilmestyi nimitys det.

Tarkastellaan joitain determinanttien ominaisuuksia, jotka muotoillaan lauseiden muodossa.

Lausunto 1. Matriisia transponoitaessa determinantti ei muutu, eli .

Lausuma 2. Neliömatriisien tulon determinantti on yhtä suuri kuin tekijöiden determinanttien tulo, eli.

Lausuma 3. Jos matriisin kaksi riviä vaihdetaan, sen determinantti vaihtaa etumerkkiä.

Lausunto 4. Jos matriisissa on kaksi identtistä riviä, sen determinantti on nolla.

Jatkossa meidän on lisättävä merkkijonoja ja kerrottava merkkijono numerolla. Suoritamme nämä toiminnot riveille (sarakkeille) samalla tavalla kuin toiminnot rivimatriiseille (sarakematriiseille), eli elementti kerrallaan. Tuloksena on rivi (sarake), joka ei yleensä ole sama kuin alkuperäisen matriisin rivit. Jos on operaatioita rivien (sarakkeiden) lisäämiseksi ja niiden luvulla kertomiseksi, voidaan puhua myös rivien (sarakkeiden) lineaarisista yhdistelmistä eli summista numeerisilla kertoimilla.

Lausunto 5. Jos matriisin rivi kerrotaan luvulla, sen determinantti kerrotaan tällä luvulla.

Lausuma 6. Jos matriisi sisältää nollarivin, niin sen determinantti on nolla.

Lausunto 7. Jos yksi matriisin riveistä on yhtä suuri kuin toinen, kerrottuna luvulla (rivit ovat verrannollisia), matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

Lausuma 8. Olkoon matriisin i:nnellä rivillä muoto . Sitten, jossa matriisi saadaan matriisista korvaamalla i. rivi rivillä ja matriisi saadaan korvaamalla i:s rivi rivillä .

Lausuma 9. Jos lisäät toisen rivin jollekin matriisiriville kerrottuna numerolla, matriisin determinantti ei muutu.

Lausunto 10. Jos yksi matriisin riveistä on lineaarinen yhdistelmä sen muista riveistä, matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

Määritelmä 2. Algebrallinen komplementti matriisielementille on luku, joka on yhtä suuri kuin , jossa on matriisista poistamalla i. rivi ja j:s sarake saadun matriisin determinantti. Matriisielementin algebrallinen komplementti on merkitty .

Esimerkki. Antaa . Sitten

Kommentti. Algebrallisten lisäysten avulla 1 determinantin määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Lausunto 11. Determinantin laajennus mielivaltaisessa merkkijonossa.

Matriisin determinantin kaava on

Esimerkki. Laskea .

Ratkaisu. Käytämme laajennusta kolmannella rivillä, tämä on kannattavampaa, koska kolmannella rivillä kaksi kolmesta numerosta on nollia. Saamme

Lausunto 12. Neliömatriisille, joiden järjestys on at, relaatio pätee: .

Lausunto 13. Kaikki riveille formuloidun determinantin ominaisuudet (lauseet 1 - 11) pätevät myös sarakkeille, erityisesti j:nnen sarakkeen determinantin hajotelma pätee. ja tasa-arvo osoitteessa .

Lausunto 14. Kolmiomatriisin determinantti on yhtä suuri kuin sen päädiagonaalin elementtien tulo.

Seuraus. Identiteettimatriisin determinantti on yhtä suuri kuin yksi, .

Johtopäätös. Yllä luetellut ominaisuudet mahdollistavat riittävän korkean asteen matriisien determinanttien löytämisen suhteellisen pienellä määrällä laskelmia. Laskenta-algoritmi on seuraava.

Algoritmi nollien luomiseksi sarakkeeseen. Oletetaan, että meidän on laskettava järjestyksen määräävä tekijä. Jos , vaihda ensimmäinen rivi ja mikä tahansa muu rivi, jonka ensimmäinen elementti ei ole nolla. Seurauksena on, että determinantti , on sama kuin uuden matriisin determinantti, jolla on vastakkainen etumerkki. Jos jokaisen rivin ensimmäinen alkio on nolla, niin matriisissa on nollasarake ja lauseiden 1, 13 mukaan sen determinantti on nolla.

Joten uskomme, että jo alkuperäisessä matriisissa . Jätämme ensimmäisen rivin ennalleen. Lisää toiselle riville ensimmäinen rivi kerrottuna numerolla . Sitten toisen rivin ensimmäinen elementti on yhtä suuri .

Uuden toisen rivin jäljellä olevat elementit merkitään , . Uuden matriisin determinantti lauseen 9 mukaan on yhtä suuri kuin . Kerro ensimmäinen rivi numerolla ja lisää se kolmanteen. Uuden kolmannen rivin ensimmäinen elementti on yhtä suuri kuin

Uuden kolmannen rivin jäljellä olevat elementit merkitään , . Uuden matriisin determinantti lauseen 9 mukaan on yhtä suuri kuin .

Jatkamme nollien saamista rivien ensimmäisten elementtien sijaan. Lopuksi kerrotaan ensimmäinen rivi numerolla ja lisätään se viimeiselle riville. Tuloksena on matriisi, merkitään se , jolla on muoto

ja . Matriisin determinantin laskemiseksi käytämme laajennusta ensimmäisessä sarakkeessa

Siitä lähtien

Oikealla puolella on järjestysmatriisin determinantti. Käytämme siihen samaa algoritmia, ja matriisin determinantin laskeminen rajoittuu järjestysmatriisin determinantin laskemiseen. Toistamme prosessia, kunnes saavutamme toisen kertaluvun determinantin, joka lasketaan määritelmän mukaan.

Jos matriisilla ei ole erityisiä ominaisuuksia, ei ole mahdollista merkittävästi vähentää laskelmien määrää verrattuna ehdotettuun algoritmiin. Toinen hyvä puoli tässä algoritmissa on, että sen avulla on helppo luoda tietokoneohjelma suurten kertalukujen matriisien determinanttien laskemiseen. Vakioohjelmat determinanttien laskentaan käyttävät tätä algoritmia pienin muutoksin, jotka liittyvät pyöristysvirheiden ja syötetietojen virheiden vaikutuksen minimoimiseen tietokonelaskelmissa.

Esimerkki. Laske matriisin determinantti .

Ratkaisu. Jätämme ensimmäisen rivin ennalleen. Toiselle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna numerolla:

Determinantti ei muutu. Kolmannelle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna numerolla:

Determinantti ei muutu. Neljännelle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna numerolla:

Determinantti ei muutu. Tuloksena saamme

Laskemme samalla algoritmilla oikealla sijaitsevan kertaluvun 3 matriisin determinantin. Jätämme ensimmäisen rivin ennalleen, lisää ensimmäinen rivi kerrottuna numerolla toiselle riville :

Kolmannelle riville lisäämme ensimmäisen, kerrottuna numerolla :

Tuloksena saamme

Vastaus. .

Kommentti. Vaikka laskelmissa käytettiin murtolukuja, tulokseksi tuli kokonaisluku. Todellakin, käyttämällä determinanttien ominaisuuksia ja sitä tosiasiaa, että alkuperäiset luvut ovat kokonaislukuja, toiminnot murtolukujen kanssa voitaisiin välttää. Mutta insinöörikäytännössä luvut ovat erittäin harvoin kokonaislukuja. Siksi pääsääntöisesti determinantin elementit ovat desimaalimurtolukuja, eikä laskelmien yksinkertaistamiseksi ole tarkoituksenmukaista käyttää temppuja.

käänteinen matriisi

Määritelmä 3. Matriisia kutsutaan käänteinen matriisi neliömatriisille, jos .

Määritelmästä seuraa, että käänteismatriisi on neliömatriisi, joka on samaa luokkaa kuin matriisi (muuten yksi tuloista tai ei olisi määritelty).

Matriisin käänteisarvo on merkitty . Eli jos on olemassa, niin .

Käänteismatriisin määritelmästä seuraa, että matriisi on matriisin käänteinen, eli . Matriiseista voidaan sanoa, että ne ovat käänteisiä toisilleen tai keskenään käänteisiä.

Jos matriisin determinantti on nolla, sen käänteistä ei ole olemassa.

Koska käänteismatriisin löytämiseksi on tärkeää, onko matriisin determinantti yhtä suuri kuin nolla vai ei, otamme käyttöön seuraavat määritelmät.

Määritelmä 4. Kutsutaan neliömatriisia rappeutunut tai erityinen matriisi, jos ei-degeneroitunut tai ei-singulaarinen matriisi, Jos.

lausunto. Jos käänteimatriisi on olemassa, se on ainutlaatuinen.

lausunto. Jos neliömatriisi on ei-singulaarinen, sen käänteis on olemassa ja (1) missä ovat alkioiden algebralliset komplementit.

Lause. Käänteinen matriisi neliömatriisille on olemassa, jos ja vain jos matriisi on ei-singulaarinen, käänteimatriisi on ainutlaatuinen ja kaava (1) on voimassa.

Kommentti. Erityistä huomiota tulee kiinnittää algebrallisten lisäysten ottamisiin paikkoihin käänteismatriisikaavassa: ensimmäinen indeksi näyttää numeron sarakkeessa, ja toinen on numero rivit, johon sinun on kirjoitettava laskettu algebrallinen summa.

Esimerkki. .

Ratkaisu. Determinantin löytäminen

Koska , niin matriisi ei ole rappeutunut, ja sen käänteinen on olemassa. Algebrallisten komplementtien löytäminen:

Muodostamme käänteismatriisin sijoittamalla löydetyt algebralliset komplementit siten, että ensimmäinen indeksi vastaa saraketta ja toinen riviä: (2)

Tuloksena oleva matriisi (2) toimii vastauksena ongelmaan.

Kommentti. Edellisessä esimerkissä olisi tarkempaa kirjoittaa vastaus näin:
(3)

Merkintä (2) on kuitenkin kompaktimpi ja sillä on helpompi suorittaa lisälaskelmia tarvittaessa. Siksi vastauksen kirjoittaminen muotoon (2) on parempi, jos matriisielementit ovat kokonaislukuja. Ja päinvastoin, jos matriisin elementit ovat desimaalilukuja, on parempi kirjoittaa käänteismatriisi ilman tekijää edessä.

Kommentti. Käänteismatriisia etsiessään joudut tekemään melko paljon laskutoimituksia ja sääntö algebrallisten lisäysten järjestämisestä lopullisessa matriisissa on epätavallinen. Siksi virheiden todennäköisyys on suuri. Virheiden välttämiseksi sinun tulee tarkistaa: laske alkuperäisen matriisin ja lopullisen matriisin tulo yhdessä tai toisessa järjestyksessä. Jos tuloksena on identiteettimatriisi, niin käänteimatriisi on löydetty oikein. Muussa tapauksessa sinun on etsittävä virhettä.

Esimerkki. Etsi matriisin käänteisarvo .

Ratkaisu. - olemassa.

Vastaus: .

Johtopäätös. Käänteimatriisin löytäminen kaavan (1) avulla vaatii liian monta laskutoimitusta. Neljännen asteen ja sitä korkeamman tason matriiseille tämä ei ole hyväksyttävää. Varsinainen algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi annetaan myöhemmin.

Determinantti- ja käänteimatriisin laskeminen Gaussin menetelmällä

Gaussin menetelmää voidaan käyttää determinantti- ja käänteimatriisin löytämiseen.

Nimittäin matriisin determinantti on yhtä suuri kuin det.

Käänteismatriisi löydetään ratkaisemalla lineaarisia yhtälöjärjestelmiä Gaussin eliminointimenetelmällä:

Missä on identiteettimatriisin j:s sarake, on haluttu vektori.

Tuloksena olevat ratkaisuvektorit muodostavat ilmeisesti matriisin sarakkeita, koska .

Determinantin kaavat

1. Jos matriisi on ei-singulaarinen, niin ja (johtavien elementtien tulo).

Kun ratkaistaan ​​korkeamman matematiikan tehtäviä, tarve syntyy hyvin usein laske matriisin determinantti. Matriisin determinantti esiintyy lineaarisessa algebrassa, analyyttisessä geometriassa, matemaattisessa analyysissä ja muilla korkeamman matematiikan aloilla. Siten se on yksinkertaisesti mahdotonta tehdä ilman determinanttien ratkaisemisen taitoa. Voit myös ladata itsetestausta varten determinanttilastimen ilmaiseksi, mutta se ei opeta ratkaisemaan determinantteja, mutta se on erittäin kätevää, koska on aina hyödyllistä tietää oikea vastaus etukäteen!

En anna determinantille tiukkaa matemaattista määritelmää, ja yleensä yritän minimoida matemaattisen terminologian, mikä ei tee siitä helpompaa useimmille lukijoille. Tämän artikkelin tarkoituksena on opettaa sinulle kuinka ratkaista toisen, kolmannen ja neljännen kertaluvun determinantit. Kaikki materiaali esitetään yksinkertaisessa ja helposti saavutettavissa olevassa muodossa, ja jopa täysi (tyhjä) teekannu korkeammassa matematiikan tutkittuaan materiaalin huolellisesti pystyy ratkaisemaan tekijät oikein.

Käytännössä voit useimmiten löytää toisen asteen determinantin, esimerkiksi: ja kolmannen kertaluvun determinantin, esimerkiksi: .

Neljännen asteen determinantti Se ei myöskään ole antiikkia, ja käsittelemme sitä oppitunnin lopussa.

Toivottavasti kaikki ymmärtävät seuraavan: Determinantin sisällä olevat luvut elävät omillaan, eikä mistään vähennyksestä ole kysymys! Numeroita ei voi vaihtaa!

(Erityisesti on mahdollista suorittaa determinantin rivien tai sarakkeiden parijärjestelyjä sen etumerkin muutoksella, mutta usein tämä ei ole välttämätöntä - katso seuraava oppitunti Determinantin ominaisuudet ja sen järjestyksen alentaminen)

Jos siis annetaan jokin determinantti, niin Emme koske mihinkään sen sisällä!

Nimitykset: Jos annetaan matriisi , niin sen determinantti on merkitty . Myös hyvin usein determinanttia merkitään latinalaisella kirjaimella tai kreikalla.

1)Mitä determinantin ratkaiseminen (löytäminen, paljastaminen) tarkoittaa? Determinantin laskeminen tarkoittaa NUMERON LÖYTÄMISTÄ. Kysymysmerkit yllä olevissa esimerkeissä ovat täysin tavallisia numeroita.

2) Nyt on vielä selvitettävä MITEN löydät tämän numeron? Tätä varten sinun on sovellettava tiettyjä sääntöjä, kaavoja ja algoritmeja, joista keskustellaan nyt.

Aloitetaan determinantilla "kaksi" ja "kaksi":

TÄMÄ TÄYTYY MUISTAA, ainakin yliopistossa korkeampaa matematiikkaa opiskellessa.

Katsotaanpa esimerkkiä heti:

Valmis. Tärkeintä on ÄLÄ SEKÄMINEN MERKEIHIN.

Kolme kertaa kolme matriisin determinantti voidaan avata 8 eri tavalla, joista 2 on yksinkertaisia ​​ja 6 tavallisia.

Aloitetaan kahdella yksinkertaisella tavalla

Samalla tavalla kuin kaksi kertaa kaksi determinanttia, kolme kertaa kolme determinanttia voidaan laajentaa käyttämällä kaavaa:

Kaava on pitkä ja siinä on helppo tehdä virhe huolimattomuudesta. Kuinka välttää ärsyttäviä virheitä? Tätä tarkoitusta varten keksittiin toinen menetelmä determinantin laskemiseksi, joka itse asiassa on sama kuin ensimmäinen. Sitä kutsutaan Sarrus-menetelmäksi tai "rinnakkaiskaistaleiksi".
Tärkeintä on, että ensimmäinen ja toinen sarake on määritetty determinantin oikealle puolelle ja viivat piirretään huolellisesti kynällä:

"Punaisilla" diagonaaleilla sijaitsevat kertoimet sisällytetään kaavaan "plus"-merkillä.
"Sinisillä" diagonaaleilla sijaitsevat kertoimet sisältyvät kaavaan miinusmerkillä:

Esimerkki:

Vertaa kahta ratkaisua. On helppo nähdä, että tämä on SAMA asia, vain toisessa tapauksessa kaavatekijät ovat hieman uudelleen järjestettyjä, ja mikä tärkeintä, virheen todennäköisyys on paljon pienempi.

Katsotaan nyt kuutta normaalia tapaa laskea determinantti

Miksi normaali? Koska suurimmassa osassa tapauksia karsintamerkit on julkistettava tällä tavalla.

Kuten huomasit, kolme kertaa kolme determinantissa on kolme saraketta ja kolme riviä.
Voit ratkaista determinantin avaamalla sen minkä tahansa rivin tai sarakkeen mukaan.
Siten on 6 menetelmää, joissa kaikissa käytetään samaa tyyppiä algoritmi.

Matriisin determinantti on yhtä suuri kuin rivin (sarakkeen) elementtien tulojen summa vastaavilla algebrallisilla komplementeilla. Pelottava? Kaikki on paljon yksinkertaisempaa, käytämme ei-tieteellistä, mutta ymmärrettävää lähestymistapaa, joka on saatavilla jopa matematiikasta.

Seuraavassa esimerkissä laajennetaan determinanttia ensimmäisellä rivillä.
Tätä varten tarvitsemme merkkimatriisin: . On helppo huomata, että kyltit on järjestetty shakkilautakuvioon.

Huomio! Merkimatriisi on oma keksintöni. Tämä käsite ei ole tieteellinen, sitä ei tarvitse käyttää tehtävien lopullisessa suunnittelussa, se auttaa vain ymmärtämään determinantin laskenta-algoritmia.

Annan ensin täydellisen ratkaisun. Otamme uudelleen kokeellisen determinantin ja suoritamme laskelmat:

Ja pääkysymys: MITEN saada tämä "kolme x kolme" -määrityksestä:
?

Joten "kolme kolmella" -determinantti tulee ratkaisemaan kolme pientä determinanttia, tai kuten niitä myös kutsutaan, MINOROV. Suosittelen termin muistamista, varsinkin kun se on mieleenpainuva: pieni – pieni.

Kun determinantin hajotusmenetelmä on valittu ensimmäisellä rivillä, on selvää, että kaikki pyörii hänen ympärillään:

Elementtejä tarkastellaan yleensä vasemmalta oikealle (tai ylhäältä alas, jos sarake on valittu)

Mennään, käsittelemme ensin rivin ensimmäistä elementtiä, eli yhtä:

1) Kirjoitetaan merkkimatriisista vastaava merkki:

2) Kirjoita sitten itse elementti:

3) Yliviivaa HENKILÖSTÄ rivi ja sarake, joissa ensimmäinen elementti esiintyy:

Loput neljä numeroa muodostavat "kaksi kaksi" -determinantin, jota kutsutaan ALAKOHTAINEN tietystä elementistä (yksiköstä).

Siirrytään rivin toiseen elementtiin.

4) Kirjoitetaan merkkimatriisista vastaava merkki:

5) Kirjoita sitten toinen elementti:

6) Yliviivaa HENKILÖSTÄ rivi ja sarake, joissa toinen elementti esiintyy:

No, ensimmäisen rivin kolmas elementti. Ei omaperäisyyttä:

7) Kirjoitetaan merkkimatriisista vastaava merkki:

8) Kirjoita muistiin kolmas elementti:

9) Yliviivaa HENKILÖSTÄ rivi ja sarake, jotka sisältävät kolmannen elementin:

Kirjoitamme loput neljä numeroa pieneen determinanttiin.

Jäljelle jäävät toimet eivät aiheuta vaikeuksia, koska osaamme jo laskea kaksi kertaa kaksi määräävät tekijät. ÄLÄ SEKÄ MERKKEJÄ!

Vastaavasti determinantti voidaan laajentaa mille tahansa riville tai mihin tahansa sarakkeeseen. Luonnollisesti kaikissa kuudessa tapauksessa vastaus on sama.

Neljä kertaa neljä determinantti voidaan laskea käyttämällä samaa algoritmia.
Tässä tapauksessa merkkimatriisimme kasvaa:

Seuraavassa esimerkissä olen laajentanut determinanttia neljännen sarakkeen mukaan:

Miten se tapahtui, yritä selvittää se itse. Lisätietoja tulee myöhemmin. Jos joku haluaa ratkaista determinantin loppuun asti, oikea vastaus on: 18. Harjoittelua varten on parempi ratkaista determinantti jollakin toisella sarakkeella tai toisella rivillä.

Harjoittelu, paljastaminen, laskelmien tekeminen on erittäin hyvää ja hyödyllistä. Mutta kuinka paljon aikaa käytät isoon karsintaotteluun? Eikö ole olemassa nopeampaa ja luotettavampaa tapaa? Suosittelen, että tutustut tehokkaisiin menetelmiin determinanttien laskemiseksi toisella oppitunnilla - Determinantin ominaisuudet. Determinantin järjestyksen pienentäminen.

OLE VAROVAINEN!

Yleisessä tapauksessa $n$:nnen kertaluvun determinanttien laskentasääntö on melko hankala. Toisen ja kolmannen asteen determinanteille on olemassa järkeviä tapoja laskea ne.

Toisen asteen determinanttien laskelmat

Toisen kertaluvun matriisin determinantin laskemiseksi sinun on vähennettävä toissijaisen diagonaalin elementtien tulo päälävistäjän elementtien tulosta:

$$\left| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Esimerkki

Harjoittele. Laske toisen kertaluvun determinantti $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

Ratkaisu.$\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 = 69 dollaria

Vastaus.$\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Kolmannen kertaluvun determinanttien laskentamenetelmät

Seuraavat säännöt ovat olemassa kolmannen asteen determinanttien laskemiseksi.

Kolmion sääntö

Kaavamaisesti tämä sääntö voidaan kuvata seuraavasti:

Ensimmäisen determinantin elementtien tulo, jotka on yhdistetty suorilla viivoilla, otetaan plusmerkillä; samoin toiselle determinantille - vastaavat tuotteet otetaan miinusmerkillä, ts.

$$\left| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Esimerkki

Harjoittele. Laske $\left|:n determinantti \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (taulukko)\right|$ käyttäen kolmiomenetelmää.

Ratkaisu.$\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (taulukko)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Vastaus.

Sarrus hallitsee

Lisää determinantin oikealle puolelle kaksi ensimmäistä saraketta ja ota plusmerkillä päädiagonaalin ja sen suuntaisten diagonaalien elementtien tulot; ja toissijaisen lävistäjän ja sen suuntaisten diagonaalien elementtien tulot miinusmerkillä:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Esimerkki

Harjoittele. Laske $\left|:n determinantti \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (taulukko)\right|$ Sarrusin sääntöä käyttäen.

Ratkaisu.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54 dollaria

Vastaus.$\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (taulukko)\right|=54 $

Determinantin laajentaminen rivillä tai sarakkeella

Determinantti on yhtä suuri kuin determinantin rivin alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa. Yleensä valitaan se rivi/sarake, joka sisältää nollia. Rivi tai sarake, jota pitkin hajottaminen suoritetaan, on merkitty nuolella.

Esimerkki

Harjoittele. Laajenna ensimmäistä riviä ja laske determinantti $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \oikea|$

Ratkaisu.$\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \oikea| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(array)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(array)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(array)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(array)\right|=-3+12-9=0$

Vastaus.

Tämä menetelmä mahdollistaa determinantin laskennan pelkistämisen alemman kertaluvun determinantin laskemiseen.

Esimerkki

Harjoittele. Laske $\left|:n determinantti \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \oikea|$

Ratkaisu. Tehdään seuraavat muunnokset determinantin riveille: toisesta rivistä vähennetään ensimmäiset neljä ja kolmannesta ensimmäinen rivi kerrottuna seitsemällä, jolloin saadaan determinantin ominaisuuksien mukaan determinantti yhtä suuri kuin annettu.

$$\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \oikea|=\vasen| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$

$$=\left| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$

Determinantti on nolla, koska toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia.

Vastaus.$\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=0$

Neljännen kertaluvun ja korkeampien determinanttien laskemiseen käytetään joko rivin/sarakkeen laajennusta, pelkistystä kolmiomuotoon tai Laplacen lausetta.

Determinantin hajottaminen rivin tai sarakkeen elementeiksi

Esimerkki

Harjoittele. Laske $\left|:n determinantti \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , jakaa se jonkin rivin tai jonkin sarakkeen elementeiksi.

Ratkaisu. Tehdään ensin alkeismuunnokset determinantin riveille tekemällä mahdollisimman monta nollaa joko riville tai sarakkeeseen. Tee tämä vähentämällä ensin yhdeksän kolmasosaa ensimmäisestä rivistä, viisi kolmasosaa toisesta ja kolme kolmasosaa neljännestä, saamme:

$$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=\left| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ vasen| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$

Jaetaan tuloksena oleva determinantti ensimmäisen sarakkeen elementeiksi:

$$\left| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|+0$$

Laajennamme myös tuloksena olevan kolmannen asteen determinantin rivi- ja sarakeelementeiksi saatuamme aiemmin esimerkiksi nollia ensimmäiseen sarakkeeseen. Voit tehdä tämän vähentämällä kaksi toista riviä ensimmäisestä rivistä ja toinen rivi kolmannesta:

$$\left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( array)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Vastaus.$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=0$

Kommentti

Viimeistä ja toiseksi viimeistä determinanttia ei voitu laskea, mutta pääteltiin heti, että ne ovat nolla, koska ne sisältävät suhteellisia rivejä.

Determinantin pelkistäminen kolmion muotoon

Käyttämällä alkeismuunnoksia riveillä tai sarakkeilla determinantti pelkistetään kolmiomaiseen muotoon ja sitten sen arvo determinantin ominaisuuksien mukaan on yhtä suuri kuin päädiagonaalin alkioiden tulo.

Esimerkki

Harjoittele. Laske determinantti $\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ pienentäen sen kolmion muotoon.

Ratkaisu. Ensin tehdään nollia ensimmäiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alle. Kaikki muunnokset on helpompi suorittaa, jos elementti $a_(11)$ on yhtä suuri kuin 1. Tätä varten vaihdamme determinantin ensimmäisen ja toisen sarakkeen, mikä determinantin ominaisuuksien mukaan aiheuttaa sen muuttaa sen merkki päinvastaiseksi:

$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$

$$\Delta=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Seuraavaksi saamme nollia toiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alla olevien elementtien tilalle. Jälleen, jos diagonaalinen elementti on yhtä suuri kuin $\pm 1$, laskelmat ovat yksinkertaisempia. Voit tehdä tämän vaihtamalla toisen ja kolmannen rivin (ja samalla vaihda determinantin vastakkaiseen merkkiin):

$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$