Palvelun tarkoitus. Käyttämällä tätä palvelua verkossa voit löytää algebrallisia komplementteja, transponoidun matriisin AT, liittoutumamatriisin ja käänteimatriisin.
Online-laskin. Matriisin käänteinen.
Päätös tehdään suoraan verkkosivustolla (online) ja se on ilmainen. Laskentatulokset esitetään raportissa Word- ja Excel-muodossa (eli on mahdollista tarkistaa ratkaisu). katso malliesimerkki.
- Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
- Matriisin determinantin laskenta. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
- He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.
Algebralliset lisäykset.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Sitten käänteinen matriisi voidaan kirjoittaa näin:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Käänteismatriisin löytäminen
Matriisia A-1 kutsutaan käänteismatriisiksi suhteessa matriisiin, jos A*A-1 = , missä on :nnen kertaluvun identiteettimatriisi. Käänteimatriisi voi olla olemassa vain neliömatriiseille.
katso myös käänteinen matriisi Jordano-Gaussin menetelmällä
Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
- Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
- Matriisin determinantin laskenta. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
- Transponoidun matriisin AT löytäminen.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä. Korvaa jokainen matriisin elementti sen algebrallisella komplementilla.
- Käänteisen matriisin laatiminen algebrallisista lisäyksistä: tuloksena olevan matriisin jokainen elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.
Seuraava algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi on samanlainen kuin edellinen, lukuun ottamatta joitakin vaiheita: ensin lasketaan algebralliset komplementit ja sitten määritetään liittoutumatriisi.
- Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
- Matriisin determinantin laskenta. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä.
- Liittymämatriisin (keskinäinen, adjointinen) täyttäminen.
- Käänteismatriisin kokoaminen algebrallisista lisäyksistä: jokainen adjointmatriisin elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.
Esimerkki nro 1. Kirjoitetaan matriisi muotoon:
Käänteinen matriisi on olemassa, jos matriisin determinantti on nollasta poikkeava. Etsitään matriisin determinantti:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Determinantti on 10 ja ei ole nolla. Jatketaan ratkaisulla.
Etsitään transponoitu matriisi:
Algebralliset lisäykset.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Sitten käänteinen matriisi voidaan kirjoittaa näin:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Toinen algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
Esitetään toinen malli käänteismatriisin löytämiseksi.
- Etsi tämän neliömatriisin determinantti.
- Löydämme matriisin kaikille elementeille algebrallisia komplementteja.
- Kirjoitamme rivielementtien algebrallisia lisäyksiä sarakkeisiin (transponointi).
- Jaamme tuloksena olevan matriisin jokaisen elementin matriisin determinantilla.
Kuten näemme, transponointioperaatiota voidaan soveltaa sekä alussa alkuperäiseen matriisiin että lopussa tuloksena oleviin algebrallisiin lisäyksiin.
Erikoistapaus: Identiteettimatriisin käänteisarvo on identiteettimatriisi.
Esimerkki nro 2. Etsi matriisin käänteisarvo 
.
Ratkaisu.
1. Etsitään 
.
2. Etsimme matriisin A kunkin elementin algebrallisia komplementteja: 
; 
; 
.
Saimme ensimmäisen rivin alkioiden algebralliset komplementit.
Etsi käänteinen matriisi verkosta
Samalla tavalla toisen ja kolmannen rivin elementeille saamme: 
; 
; 
. 
; 
; 
.
Yhdistämällä pisteet 3 ja 4, saadaan käänteinen matriisi 
.
Tarkistaaksesi, että A-1A = E.
Ohjeet. Ratkaisun saamiseksi on tarpeen määrittää matriisin ulottuvuus. Täytä seuraavaksi matriisi uudessa valintaikkunassa.
Käänteismatriisin löytäminen
Matriisia A-1 kutsutaan käänteismatriisiksi suhteessa matriisiin, jos A*A-1 = , missä on :nnen kertaluvun identiteettimatriisi. Käänteimatriisi voi olla olemassa vain neliömatriiseille.
Palvelun tarkoitus. Käyttämällä tätä palvelua verkossa voit löytää algebrallisia komplementteja, transponoidun matriisin AT, liittoutuman matriisin ja käänteimatriisin. Päätös tehdään suoraan verkkosivustolla (online) ja se on ilmainen. Laskentatulokset esitetään raportissa Word- ja Excel-muodossa (eli on mahdollista tarkistaa ratkaisu). katso malliesimerkki.
Käänteisen matriisin löytäminen verkosta
katso myös käänteinen matriisi Jordano-Gaussin menetelmällä
Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
- Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
- Matriisin determinantin laskenta. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
- Transponoidun matriisin AT löytäminen.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä. Korvaa jokainen matriisin elementti sen algebrallisella komplementilla.
- Käänteisen matriisin laatiminen algebrallisista lisäyksistä: tuloksena olevan matriisin jokainen elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.
Seuraava algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi on samanlainen kuin edellinen, lukuun ottamatta joitakin vaiheita: ensin lasketaan algebralliset komplementit ja sitten määritetään liittoutumatriisi.
- Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
- Matriisin determinantin laskenta. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä.
- Liittymämatriisin (keskinäinen, adjointinen) täyttäminen.
- Käänteismatriisin kokoaminen algebrallisista lisäyksistä: jokainen adjointmatriisin elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.
Esimerkki nro 1. Kirjoitetaan matriisi muotoon:
Käänteinen matriisi on olemassa, jos matriisin determinantti on nollasta poikkeava. Etsitään matriisin determinantti:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Determinantti on 10 ja ei ole nolla. Jatketaan ratkaisulla.
Etsitään transponoitu matriisi:
Algebralliset lisäykset.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Sitten käänteinen matriisi voidaan kirjoittaa näin:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Toinen algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
Esitetään toinen malli käänteismatriisin löytämiseksi.
- Etsi tämän neliömatriisin determinantti.
- Löydämme matriisin kaikille elementeille algebrallisia komplementteja.
- Kirjoitamme rivielementtien algebrallisia lisäyksiä sarakkeisiin (transponointi).
- Jaamme tuloksena olevan matriisin jokaisen elementin matriisin determinantilla.
Kuten näemme, transponointioperaatiota voidaan soveltaa sekä alussa alkuperäiseen matriisiin että lopussa tuloksena oleviin algebrallisiin lisäyksiin.
Tarkistaaksesi, että A-1A = E.
Ohjeet. Ratkaisun saamiseksi on tarpeen määrittää matriisin ulottuvuus. Täytä seuraavaksi matriisi uudessa valintaikkunassa.
Matriisin käänteisarvon löytäminen on tärkeä komponentti lineaarialgebran osassa. Käyttämällä tällaisia matriiseja, jos niitä on, voit löytää nopeasti ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmään.
Matriisia kutsutaan matriisin käänteiseksi, jos seuraavat yhtälöt pätevät.
Jos matriisin determinantti on muu kuin nolla, matriisia kutsutaan ei-erityiseksi tai ei-singulaariseksi.
Jotta matriisilla olisi käänteisarvo, on välttämätöntä ja riittävää, että se ei ole rappeutunut
Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
Otetaan neliömatriisi
ja sinun on löydettävä sille käänteinen. Voit tehdä tämän seuraavasti:
1. Etsi matriisin determinantti. Jos se ei ole nolla, suorita seuraavat toimet. Muuten tämä matriisi on yksittäinen, eikä sille ole käänteistä
2. Etsi matriisielementtien algebralliset komplementit. Ne ovat yhtä suuria kuin alaikäiset kerrottuna sen rivin ja sarakkeen summalla, jota etsimme.
3. Muodosta matriisi matriisimatriisin alkioiden algebrallisista komplementeista ja transponoi se. Tätä matriisia kutsutaan adjointiksi tai liittoutumaksi ja sitä merkitään .
4. Jaa adjointmatriisi sen determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on käänteinen ja sillä on artikkelin alussa kuvatut ominaisuudet.
Etsi matriisi käänteinen matriisille (Dubovik V.P., Yurik I.I.
Käänteismatriisin löytäminen
"Korkeampi matematiikka. Tehtäväkokoelma")
1) Etsi matriisin determinantti
Koska determinantti ei ole nolla (), niin käänteismatriisi on olemassa. Löydämme matriisin, joka koostuu algebrallisista lisäyksistä
Komplementtimatriisi saa muodon
Transponoimme sen ja saamme adjungin
Jaa se determinantilla ja saa käänteisluku
Näemme, että siinä tapauksessa, että determinantti on yhtä suuri kuin yksi, matriisit lisätään ja käänteisarvo on sama.
2) Laske matriisin determinantti
Algebrallisten lisäysten matriisin löytäminen
Lopullinen näkymä komplementtimatriisista
Transponoimme sen ja löydämme liittomatriisin
Käänteismatriisin löytäminen
3) Lasketaan matriisin determinantti. Laajenna se ensimmäiselle riville tätä varten. Tuloksena saamme kaksi nollasta poikkeavaa termiä
Löydämme algebrallisten lisäysten matriisin. Ajoitamme determinantin riveille ja sarakkeille, joissa on enemmän nollaelementtejä (merkitty mustalla).
Komplementtimatriisin lopullinen muoto on seuraava
Transponoimme sen ja löydämme adjointmatriisin
Koska matriisin determinantti on yhtä suuri kuin yksi, käänteismatriisi on sama kuin adjointmatriisi. Tämä esimerkki on taaksepäin.
Käänteimatriisia laskettaessa tyypilliset virheet liittyvät vääriin etumerkkeihin determinantti- ja komplementtimatriisia laskettaessa.
Korkeampi matematiikka » Matriisit ja determinantit » Käänteismatriisi » Käänteimatriisin laskenta algebrallisten yhteenlaskujen avulla.
Algoritmi käänteismatriisin laskemiseksi algebrallisten summausten avulla: adjointmatriisimenetelmä.
Matriisia $A^(-1)$ kutsutaan neliömatriisin $A$ käänteiseksi, jos ehto $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ täyttyy, missä $E $ on identiteettimatriisi, jonka järjestys on yhtä suuri kuin matriisin $A$ järjestys.
Ei-singulaarinen matriisi on matriisi, jonka determinantti ei ole nolla. Vastaavasti singulaarimatriisi on sellainen, jonka determinantti on yhtä suuri kuin nolla.
Käänteismatriisi $A^(-1)$ on olemassa jos ja vain jos matriisi $A$ on ei-singulaarinen. Jos käänteimatriisi $A^(-1)$ on olemassa, se on ainutlaatuinen.
On olemassa useita tapoja löytää matriisin käänteisarvo, ja tarkastelemme kahta niistä. Tällä sivulla käsitellään adjoint-matriisimenetelmää, jota pidetään vakiona useimmilla korkeamman matematiikan kursseilla. Toisessa osassa käsitellään toista menetelmää käänteismatriisin löytämiseksi (alkuainemuunnosten menetelmä), joka sisältää Gaussin menetelmän tai Gauss-Jordan-menetelmän.
Adjoint matriisi menetelmä
Olkoon matriisi $A_(n\times n)$ annettu. Käänteimatriisin $A^(-1)$ löytämiseksi tarvitaan kolme vaihetta:
- Etsi matriisin $A$ determinantti ja varmista, että $\Delta A\neq 0$, ts. että matriisi A on ei-singulaarinen.
- Muodosta matriisin $A$ kunkin alkion algebralliset komplementit $A_(ij)$ ja kirjoita matriisi $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ löydetystä algebrasta täydentää.
- Kirjoita käänteismatriisi ottaen huomioon kaava $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Matriisia $(A^(*))^T$ kutsutaan usein adjointiksi (vastavuoroiseksi, liittoutuneeksi) matriisiin $A$.
Jos ratkaisu tehdään manuaalisesti, niin ensimmäinen menetelmä on hyvä vain suhteellisen pienten kertalukujen matriiseille: toinen (esimerkki nro 2), kolmas (esimerkki nro 3), neljäs (esimerkki nro 4). Korkeamman asteen matriisin käänteisarvon löytämiseksi käytetään muita menetelmiä. Esimerkiksi Gaussin menetelmä, jota käsitellään toisessa osassa.
Esimerkki nro 1
Etsi matriisin käänteisarvo $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
käänteinen matriisi
Koska kaikki neljännen sarakkeen elementit ovat nolla, $\Delta A=0$ (eli matriisi $A$ on yksikkö). Koska $\Delta A=0$, ei ole käänteistä matriisia matriisiin $A$.
Esimerkki nro 2
Etsi matriisin $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ käänteisarvo.
Käytämme adjointmatriisimenetelmää. Etsitään ensin annetun matriisin $A$ determinantti:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Koska $\Delta A \neq 0$, niin käänteimatriisi on olemassa, joten jatkamme ratkaisua. Löydämme tietyn matriisin kunkin elementin algebralliset komplementit:
\begin(tasattu) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(tasattu)
Laadimme matriisin algebrallisista lisäyksistä: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Transponoimme tuloksena olevan matriisin: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the tuloksena olevaa matriisia kutsutaan usein adjoint- tai liittoutumaksi matriisiin $A$). Käyttämällä kaavaa $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, meillä on:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Joten käänteinen matriisi löytyy: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\oikea) $. Tuloksen todenmukaisuuden tarkistamiseksi riittää, kun tarkistat yhden yhtälöistä: $A^(-1)\cdot A=E$ tai $A\cdot A^(-1)=E$. Tarkastetaan yhtälö $A^(-1)\cdot A=E$. Jotta voisimme työskennellä vähemmän murtolukujen kanssa, korvaamme matriisin $A^(-1)$, joka ei ole muodossa $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ ja muodossa $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:
Vastaus: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Esimerkki nro 3
Etsi käänteismatriisi matriisille $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .
Aloitetaan laskemalla matriisin $A$ determinantti. Joten matriisin $A$ determinantti on:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Koska $\Delta A\neq 0$, niin käänteimatriisi on olemassa, joten jatkamme ratkaisua. Löydämme tietyn matriisin kunkin elementin algebralliset komplementit:
Muodostamme matriisin algebrallisista lisäyksistä ja transponoimme sen:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$
Käyttämällä kaavaa $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, saamme:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Joten $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Tuloksen todenmukaisuuden tarkistamiseksi riittää, kun tarkistat yhden yhtälöistä: $A^(-1)\cdot A=E$ tai $A\cdot A^(-1)=E$. Tarkastetaan yhtälö $A\cdot A^(-1)=E$. Jotta voisimme työskennellä vähemmän murtolukujen kanssa, korvaamme matriisin $A^(-1)$, joka ei ole muodossa $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ja muodossa $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Tarkistus onnistui, käänteimatriisi $A^(-1)$ löytyi oikein.
Vastaus: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Esimerkki nro 4
Etsi matriisin käänteisarvo matriisille $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Neljännen kertaluvun matriisille käänteismatriisin löytäminen algebrallisten summausten avulla on hieman vaikeaa. Tällaisia esimerkkejä löytyy kuitenkin koepapereista.
Löytääksesi matriisin käänteisarvon, sinun on ensin laskettava matriisin $A$ determinantti. Paras tapa tehdä tämä tässä tilanteessa on laajentaa determinanttia riviä (saraketta) pitkin. Valitsemme minkä tahansa rivin tai sarakkeen ja etsimme valitun rivin tai sarakkeen kunkin elementin algebralliset komplementit.
Esimerkiksi ensimmäiselle riville saamme:
Matriisin $A$ determinantti lasketaan seuraavalla kaavalla:
$$ \Delta A=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14)= 6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$
Algebrallisten komplementtien matriisi: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.
Adjointmatriisi: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$
Käänteinen matriisi:
$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$
Tutkimus:
Siksi käänteimatriisi löydettiin oikein.
Vastaus: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right )$.
Toisessa osassa tarkastellaan toista tapaa löytää käänteinen matriisi, joka sisältää Gaussin menetelmän tai Gauss-Jordan-menetelmän muunnoksia.
Korkeamman matematiikan online-tunnit
Käänteismatriisin löytäminen
Matriisia A-1 kutsutaan käänteismatriisiksi suhteessa matriisiin, jos A*A-1 = , missä on :nnen kertaluvun identiteettimatriisi. Käänteimatriisi voi olla olemassa vain neliömatriiseille.
Palvelun tarkoitus. Käyttämällä tätä palvelua verkossa voit löytää algebrallisia komplementteja, transponoidun matriisin AT, liittoutuman matriisin ja käänteimatriisin. Päätös tehdään suoraan verkkosivustolla (online) ja se on ilmainen. Laskentatulokset esitetään raportissa Word- ja Excel-muodossa (eli on mahdollista tarkistaa ratkaisu). katso malliesimerkki.
katso myös käänteinen matriisi Jordano-Gaussin menetelmällä
Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
- Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
- Matriisin determinantin laskenta. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
- Transponoidun matriisin AT löytäminen.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä. Korvaa jokainen matriisin elementti sen algebrallisella komplementilla.
- Käänteisen matriisin laatiminen algebrallisista lisäyksistä: tuloksena olevan matriisin jokainen elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.
Seuraava algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi on samanlainen kuin edellinen, lukuun ottamatta joitakin vaiheita: ensin lasketaan algebralliset komplementit ja sitten määritetään liittoutumatriisi.
- Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
- Matriisin determinantin laskenta. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä.
- Liittymämatriisin (keskinäinen, adjointinen) täyttäminen.
- Käänteismatriisin kokoaminen algebrallisista lisäyksistä: jokainen adjointmatriisin elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.
Esimerkki nro 1. Kirjoitetaan matriisi muotoon:
Käänteinen matriisi on olemassa, jos matriisin determinantti on nollasta poikkeava. Etsitään matriisin determinantti:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Determinantti on 10 ja ei ole nolla. Jatketaan ratkaisulla.
Etsitään transponoitu matriisi:
Algebralliset lisäykset.
1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
2,1 = -(2 4-5 3) = 7
2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Sitten käänteinen matriisi voidaan kirjoittaa näin:
| A-1 = |
| 0,6 | -0,4 | 0,8 |
| 0,7 | 0,2 | 0,1 |
| -0,1 | 0,4 | -0,3 |
Toinen algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
Esitetään toinen malli käänteismatriisin löytämiseksi.
- Etsi tämän neliömatriisin determinantti.
- Löydämme matriisin kaikille elementeille algebrallisia komplementteja.
- Kirjoitamme rivielementtien algebrallisia lisäyksiä sarakkeisiin (transponointi).
- Jaamme tuloksena olevan matriisin jokaisen elementin matriisin determinantilla.
Kuten näemme, transponointioperaatiota voidaan soveltaa sekä alussa alkuperäiseen matriisiin että lopussa tuloksena oleviin algebrallisiin lisäyksiin.
Tarkistaaksesi, että A-1A = E.
Ohjeet. Ratkaisun saamiseksi on tarpeen määrittää matriisin ulottuvuus. Täytä seuraavaksi matriisi uudessa valintaikkunassa.
Löytääksesi käänteisen matriisin verkosta, sinun on ilmoitettava itse matriisin koko. Napsauta "+" tai "-" -kuvaketta, kunnes olet tyytyväinen sarakkeiden ja rivien määrään. Syötä seuraavaksi tarvittavat elementit kenttiin. Alla on "Laske" -painike - napsauttamalla sitä, saat näytölle vastauksen yksityiskohtaisella ratkaisulla.
Lineaarisessa algebrassa joutuu melko usein käsittelemään käänteismatriisin laskentaprosessia. Se on olemassa vain ilmaisemattomille matriiseille ja neliömatriiseille edellyttäen, että determinantti on nollasta poikkeava. Periaatteessa sen laskeminen ei ole erityisen vaikeaa, varsinkin jos kyseessä on pieni matriisi. Mutta jos tarvitset monimutkaisempia laskelmia tai päätöksesi perusteellista uudelleentarkistusta, on parempi käyttää tätä online-laskinta. Sen avulla voit nopeasti ja tarkasti ratkaista käänteismatriisin.
Tämän online-laskimen avulla voit tehdä laskelmistasi paljon helpompaa. Lisäksi se auttaa lujittamaan teoriassa saatua materiaalia - se on eräänlainen aivojen simulaattori. Sitä ei pitäisi pitää manuaalisten laskelmien korvaajana, sillä se voi antaa sinulle paljon enemmän, mikä helpottaa itse algoritmin ymmärtämistä. Sitä paitsi ei ole koskaan haittaa tarkistaa itsesi.
Matriisia A -1 kutsutaan käänteismatriisiksi matriisin A suhteen, jos A*A -1 = E, missä E on n:nnen kertaluvun identiteettimatriisi. Käänteimatriisi voi olla olemassa vain neliömatriiseille.
Palvelun tarkoitus. Käyttämällä tätä palvelua verkossa voit löytää algebrallisia komplementteja, transponoidun matriisin A T, liittoutumatriisin ja käänteimatriisin. Päätös tehdään suoraan verkkosivustolla (online) ja se on ilmainen. Laskentatulokset esitetään raportissa Word- ja Excel-muodossa (eli on mahdollista tarkistaa ratkaisu). katso malliesimerkki.
Ohjeet. Ratkaisun saamiseksi on tarpeen määrittää matriisin ulottuvuus. Täytä seuraavaksi matriisi A uudessa valintaikkunassa.
Katso myös käänteinen matriisi Jordano-Gaussin menetelmällä
Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
- Transponoidun matriisin A T löytäminen.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä. Korvaa jokainen matriisin elementti sen algebrallisella komplementilla.
- Käänteisen matriisin laatiminen algebrallisista lisäyksistä: tuloksena olevan matriisin jokainen elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
- Matriisin A determinantin laskeminen. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
- Algebrallisten komplementtien määritelmä.
- Liittymämatriisin (keskinäinen, adjunktinen) täyttäminen C .
- Käänteismatriisin laatiminen algebrallisista summauksista: adjointmatriisin C jokainen elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
- He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.
Esimerkki nro 1. Kirjoitetaan matriisi muotoon:
| A -1 = |
|
Toinen algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi
Esitetään toinen malli käänteismatriisin löytämiseksi.- Etsi annetun neliömatriisin A determinantti.
- Löydämme algebrallisia komplementteja matriisin A kaikille elementeille.
- Kirjoitamme rivielementtien algebrallisia lisäyksiä sarakkeisiin (transponointi).
- Jaamme tuloksena olevan matriisin jokaisen elementin matriisin A determinantilla.
Erikoinen tapaus: Identiteettimatriisin E käänteisarvo on identiteettimatriisi E.
Kaikille ei-singulaarisille matriisille A on ainutlaatuinen matriisi A -1, niin että
A*A -1 =A -1 *A = E,
jossa E on samaa kertaluokkaa oleva identiteettimatriisi kuin A. Matriisia A -1 kutsutaan matriisin A käänteisiksi.
Jos joku unohtaa, identiteettimatriisissa, paitsi diagonaali, joka on täytetty ykkösillä, kaikki muut paikat täytetään nollilla, esimerkki identiteettimatriisista:
Käänteismatriisin löytäminen adjointmatriisimenetelmällä
Käänteinen matriisi määritellään kaavalla:
missä A ij - elementit a ij.
Nuo. Käänteimatriisin laskemiseksi sinun on laskettava tämän matriisin determinantti. Etsi sitten algebralliset komplementit kaikille sen elementeille ja muodosta niistä uusi matriisi. Seuraavaksi sinun on kuljetettava tämä matriisi. Ja jaa jokainen uuden matriisin elementti alkuperäisen matriisin determinantilla.
Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.
Etsi matriisille A -1
Ratkaisu Etsitään A -1 käyttämällä adjointmatriisimenetelmää. Meillä on det A = 2. Etsitään matriisin A alkioiden algebralliset komplementit. Tässä tapauksessa matriisin elementtien algebralliset komplementit ovat itse matriisin vastaavat elementit otettuna kaavan mukaisella etumerkillä
Meillä on A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Muodostamme adjointmatriisin
Kuljetamme matriisin A*:
Löydämme käänteisen matriisin kaavalla:
Saamme:
Etsi adjointmatriisimenetelmällä A -1 jos
Ratkaisu Laskemme ensin tämän matriisin määritelmän käänteismatriisin olemassaolon varmistamiseksi. Meillä on
Tässä lisäsimme toisen rivin elementteihin kolmannen rivin elementit, jotka oli aiemmin kerrottu (-1), ja laajensimme sitten toisen rivin determinanttia. Koska tämän matriisin määritelmä ei ole nolla, sen käänteismatriisi on olemassa. Adjointmatriisin muodostamiseksi löydämme tämän matriisin elementtien algebralliset komplementit. Meillä on
Kaavan mukaan
kuljetusmatriisi A*:
Sitten kaavan mukaan
Käänteismatriisin löytäminen alkeismuunnosmenetelmällä
Kaavasta seuraavan käänteimatriisin löytämismenetelmän (adjointmatriisimenetelmä) lisäksi on olemassa menetelmä käänteismatriisin löytämiseksi, jota kutsutaan alkeismuunnosten menetelmäksi.
Elementaariset matriisimuunnokset
Seuraavia muunnoksia kutsutaan elementaarimatriisimuunnoksiksi:
1) rivien (sarakkeiden) uudelleenjärjestely;
2) kerrotaan rivi (sarake) muulla kuin nollalla;
3) lisäämällä rivin (sarakkeen) elementteihin toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit, jotka on aiemmin kerrottu tietyllä numerolla.
Löytääksemme matriisin A -1, rakennamme suorakulmaisen matriisin B = (A|E), joiden kertaluku on (n; 2n), ja osoitamme oikealla olevaan matriisiin A identiteettimatriisin E jakoviivan kautta:
Katsotaanpa esimerkkiä.
Etsi alkeismuunnosmenetelmällä A -1 jos
Ratkaisu Muodostamme matriisin B:
Merkitään matriisin B rivit arvoilla α 1, α 2, α 3. Suoritetaan seuraavat muunnokset matriisin B riveille.
www.sivusto antaa sinun löytää käänteinen matriisi verkossa. Sivusto suorittaa laskennan käänteinen matriisi verkossa. Muutamassa sekunnissa palvelin tarjoaa tarkan ratkaisun. Käänteinen matriisi tulee olemaan näin matriisi, kertolasku alkuperäisestä matriiseja jolle antaa yksikön matriisi, edellyttäen, että alkukirjaimen determinantti matriiseja ei ole nolla, muuten käänteinen matriisi ei ole olemassa hänelle. Ongelmissa, kun laskemme käänteinen matriisi verkossa, on välttämätöntä, että determinantti matriiseja oli ei-nolla, muuten www.sivusto näyttää vastaavan viestin laskennan mahdottomuudesta käänteinen matriisi verkossa. kuten tämä matriisi kutsutaan myös rappeutuneeksi. löytö käänteinen matriisi tilassa verkossa mahdollista vain neliölle matriiseja. Operaatioiden löytäminen käänteinen matriisi verkossa pelkistyy determinantin laskemiseen matriiseja, sitten välimuoto matriisi tunnetun säännön mukaan ja operaation lopussa - kertomalla aiemmin löydetty determinantti transponoidulla välituotteella matriisi. Tarkka tulos määritelmästä käänteinen matriisi verkossa voidaan saavuttaa opiskelemalla teoriaa tällä kurssilla. Tällä operaatiolla on erityinen paikka teoriassa matriiseja ja lineaarinen algebra, voit ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä ns. matriisimenetelmällä. Tehtävä löytää käänteinen matriisi verkossa esiintyy jo korkeamman matematiikan opiskelun alussa ja on läsnä lähes kaikilla matematiikan tieteenaloilla algebran peruskäsitteenä matemaattisena työkaluna sovelletuissa ongelmissa. www.sivusto löytöjä käänteinen matriisi annettu mitta tilassa verkossa välittömästi. Laskeminen käänteinen matriisi verkossa mittasuhteensa vuoksi tämä on löytö matriiseja sama dimensio sen numeerisessa arvossa sekä sen symbolisessa arvossa, joka löytyy laskentasäännön mukaan käänteinen matriisi. Löytäminen käänteinen matriisi verkossa yleisesti hyväksytty teoriassa matriiseja. Tulosta löytyy käänteinen matriisi verkossa käytetään ratkaisemaan lineaarista yhtälöjärjestelmää matriisimenetelmällä. Jos määräävä tekijä matriiseja on siis nolla käänteinen matriisi, jolle nolladeterminantti löytyy, ei ole olemassa. Laskeakseen käänteinen matriisi tai etsi useita kerralla matriiseja niitä vastaavat käänteinen, sinun on käytettävä paljon aikaa ja vaivaa, kun taas palvelimemme löytää sen muutamassa sekunnissa käänteinen matriisi verkossa. Tässä tapauksessa vastaus etsimiseen käänteinen matriisi on oikein ja riittävän tarkasti, vaikka numerot löydettäessä käänteinen matriisi verkossa tulee olemaan järjetöntä. Sivustolla www.sivusto merkkimerkinnät ovat sallittuja elementeissä matriiseja, tuo on käänteinen matriisi verkossa voidaan esittää yleisessä symbolisessa muodossa laskettaessa käänteinen matriisi verkossa. Saatu vastaus on hyödyllistä tarkistaa etsimisongelmaa ratkaistaessa käänteinen matriisi verkossa käyttämällä sivustoa www.sivusto. Laskentaoperaatiota suoritettaessa käänteinen matriisi verkossa sinun on oltava varovainen ja erittäin keskittynyt ratkaiseessasi tätä ongelmaa. Sivustomme puolestaan auttaa sinua tarkistamaan päätöksesi aiheesta käänteinen matriisi verkossa. Jos sinulla ei ole aikaa ratkaistujen ongelmien pitkiin tarkastuksiin, niin www.sivusto on varmasti kätevä työkalu etsimiseen ja laskemiseen käänteinen matriisi verkossa.