Entspricht der Summe der Produkte der Elemente einer Zeile oder Spalte mit ihren algebraischen Komplementen, d. h. , wobei i 0 fest ist.
Ausdruck (*) wird als Erweiterung der Determinante D in Elemente der Zeile mit der Nummer i 0 bezeichnet.

Zweck des Dienstes. Dieser Dienst dient dazu, die Determinante einer Matrix online zu finden, wobei der gesamte Lösungsprozess im Word-Format aufgezeichnet wird. Zusätzlich wird eine Lösungsvorlage in Excel erstellt.

Anweisungen. Wählen Sie die Matrixdimension aus und klicken Sie auf Weiter. Die Determinante kann auf zwei Arten berechnet werden: a-priorat Und nach Zeile oder Spalte. Wenn Sie die Determinante ermitteln müssen, indem Sie in einer der Zeilen oder Spalten Nullen erstellen, können Sie diesen Rechner verwenden.

Algorithmus zum Finden der Determinante

1. Für Matrizen der Ordnung n=2 wird die Determinante nach folgender Formel berechnet: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Für Matrizen der Ordnung n=3 wird die Determinante durch algebraische Additionen oder berechnet Sarrus-Methode.
3. Eine Matrix mit einer Dimension größer als drei wird in algebraische Komplemente zerlegt, für die ihre Determinanten (Minor) berechnet werden. Zum Beispiel, Matrixdeterminante 4. Ordnung durch Erweiterung in Zeilen oder Spalten gefunden (siehe Beispiel).

Zur Berechnung der Determinanten enthaltenden Funktionen in einer Matrix werden Standardmethoden verwendet. Berechnen Sie beispielsweise die Determinante einer Matrix 3. Ordnung:

Wir verwenden die Zerlegungsmethode entlang der ersten Zeile.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Methoden zur Berechnung von Determinanten

Finden der Determinante durch algebraische Additionen ist eine gängige Methode. Eine vereinfachte Version davon ist die Berechnung der Determinante nach der Sarrus-Regel. Wenn die Matrixdimension jedoch groß ist, werden die folgenden Methoden verwendet:

1. Berechnung der Determinante mithilfe der Ordnungsreduktionsmethode
2. Berechnung der Determinante nach der Gaußschen Methode (durch Reduzierung der Matrix auf Dreiecksform).

In Excel wird die Funktion =MOPRED(Zellbereich) zur Berechnung der Determinante verwendet.

Angewandte Verwendung von Determinanten

Determinanten werden in der Regel für ein bestimmtes System berechnet, das in Form einer quadratischen Matrix angegeben ist. Betrachten wir einige Arten von Problemen Finden der Determinante einer Matrix. Manchmal muss man einen unbekannten Parameter a finden, dessen Determinante gleich Null wäre. Dazu ist es notwendig, eine Determinantengleichung zu erstellen (z. B. nach Dreiecksregel) und berechnen Sie den Parameter a, indem Sie ihn mit 0 gleichsetzen.
Spaltenzerlegung (erste Spalte):
Minor für (1,1): Streichen Sie die erste Zeile und die erste Spalte aus der Matrix durch.
Lassen Sie uns eine Determinante für dieses Moll finden. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.

Bestimmen wir das Moll für (2,1): Dazu löschen wir die zweite Zeile und die erste Spalte aus der Matrix.

Lassen Sie uns eine Determinante für dieses Moll finden. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Minor für (3,1): Streichen Sie die 3. Zeile und 1. Spalte aus der Matrix durch.
Lassen Sie uns eine Determinante für dieses Moll finden. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Die Hauptdeterminante ist: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Finden wir die Determinante durch zeilenweise Erweiterung (nach der ersten Zeile):
Minor für (1,1): Streichen Sie die erste Zeile und die erste Spalte aus der Matrix durch.

Lassen Sie uns eine Determinante für dieses Moll finden. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Minor für (1,2): Streichen Sie die 1. Zeile und 2. Spalte aus der Matrix durch. Berechnen wir die Determinante für dieses Nebenfach. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. Und um das Moll für (1.3) zu finden, streichen wir die erste Zeile und die dritte Spalte aus der Matrix. Lassen Sie uns eine Determinante für dieses Moll finden. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Finden Sie die Hauptdeterminante: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Der Begriff der Determinante ist einer der Hauptbegriffe der linearen Algebra. Dieses Konzept ist NUR QUADRATISCHEN Matrizen eigen, und dieser Artikel ist diesem Konzept gewidmet. Hier werden wir über Determinanten von Matrizen sprechen, deren Elemente reelle (oder komplexe) Zahlen sind. In diesem Fall ist die Determinante eine reelle (oder komplexe) Zahl. Alle weiteren Präsentationen werden eine Antwort auf die Fragen sein, wie die Determinante berechnet wird und welche Eigenschaften sie hat.

Zunächst definieren wir die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung n mal n als Summe der Produkte von Permutationen von Matrixelementen. Basierend auf dieser Definition schreiben wir Formeln zur Berechnung der Determinanten von Matrizen erster, zweiter und dritter Ordnung auf und analysieren die Lösungen mehrerer Beispiele im Detail.

Als nächstes gehen wir zu den Eigenschaften der Determinante über, die wir in Form von Theoremen ohne Beweis formulieren werden. Hier erhalten wir eine Methode zur Berechnung der Determinante durch ihre Entwicklung in die Elemente einer Zeile oder Spalte. Mit dieser Methode können Sie die Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung n mal n auf die Berechnung der Determinanten von Matrizen der Ordnung 3 mal 3 oder weniger reduzieren. Wir werden auf jeden Fall Lösungen zu mehreren Beispielen zeigen.

Abschließend konzentrieren wir uns auf die Berechnung der Determinante mit der Gaußschen Methode. Diese Methode eignet sich gut zum Ermitteln der Werte von Determinanten von Matrizen mit einer Ordnung von mehr als 3 mal 3, da sie weniger Rechenaufwand erfordert. Wir werden uns auch die Lösungen zu den Beispielen ansehen.

Seitennavigation.

Bestimmung der Determinante einer Matrix, Berechnung der Determinante einer Matrix per Definition.

Erinnern wir uns an einige Hilfskonzepte.

Definition.

Permutation der Ordnung n Eine geordnete Zahlenmenge bestehend aus n Elementen heißt.

Für eine Menge mit n Elementen gibt es n! (n faktorielle) Permutationen der Ordnung n. Permutationen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge, in der die Elemente erscheinen.

Betrachten Sie beispielsweise eine Menge bestehend aus drei Zahlen: . Schreiben wir alle Permutationen auf (insgesamt sind es sechs). ):

Definition.

Durch Umkehrung in einer Permutation der Ordnung n Jedes Paar von Indizes p und q, für das das p-te Element der Permutation größer als das q-te ist, wird aufgerufen.

Im vorherigen Beispiel ist die Umkehrung der Permutation 4, 9, 7 das Paar p=2, q=3, da das zweite Element der Permutation gleich 9 ist und größer als das dritte, gleich 7. Die Umkehrung der Permutation 9, 7, 4 besteht aus drei Paaren: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) und p=2, q=3 (7>4).

Wir werden mehr an der Anzahl der Inversionen in der Permutation interessiert sein als an der Inversion selbst.

Sei eine quadratische Matrix der Ordnung n mal n über dem Körper der reellen (oder komplexen) Zahlen. Sei die Menge aller Permutationen der Ordnung n der Menge. Das Set enthält n! Permutationen. Bezeichnen wir die k-te Permutation der Menge als und die Anzahl der Inversionen in der k-ten Permutation als.

Definition.

Matrixdeterminante Und es gibt eine Zahl gleich .

Lassen Sie uns diese Formel in Worten beschreiben. Die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung n mal n ist die Summe, die n enthält! Bedingungen. Jeder Term ist ein Produkt von n Elementen der Matrix, und jedes Produkt enthält ein Element aus jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix A. Ein Koeffizient (-1) erscheint vor dem k-ten Term, wenn die Elemente der Matrix A im Produkt nach Zeilennummer geordnet sind und die Anzahl der Inversionen in der k-ten Permutation der Menge der Spaltennummern ungerade ist.

Die Determinante der Matrix A wird üblicherweise als bezeichnet und es wird auch det(A) verwendet. Möglicherweise hören Sie die Determinante auch als Determinante bezeichnet.

Also, .

Daraus wird deutlich, dass die Determinante einer Matrix erster Ordnung das Element dieser Matrix ist.

Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix zweiter Ordnung – Formel und Beispiel.

im Allgemeinen etwa 2 x 2.

In diesem Fall n=2 , also n!=2!=2 .

.

Wir haben

Somit haben wir eine Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung 2 mal 2 erhalten, sie hat die Form .

Beispiel.

Befehl .

Lösung.

In unserem Beispiel. Wir wenden die resultierende Formel an :

Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung – Formel und Beispiel.

Finden wir die Determinante einer quadratischen Matrix im Allgemeinen etwa 3 mal 3.

In diesem Fall ist n=3, also n!=3!=6.

Lassen Sie uns die für die Anwendung der Formel erforderlichen Daten in Form einer Tabelle anordnen .

Wir haben

Somit haben wir eine Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung 3 mal 3 erhalten, sie hat die Form

Ebenso können Sie Formeln zur Berechnung der Determinanten von Matrizen der Ordnung 4 mal 4, 5 mal 5 und höher erhalten. Sie werden sehr sperrig aussehen.

Beispiel.

Berechnen Sie die Determinante einer quadratischen Matrix etwa 3 mal 3.

Lösung.

In unserem Beispiel

Wir wenden die resultierende Formel an, um die Determinante einer Matrix dritter Ordnung zu berechnen:

Formeln zur Berechnung der Determinanten quadratischer Matrizen zweiter und dritter Ordnung werden sehr häufig verwendet, daher empfehlen wir Ihnen, sich diese zu merken.

Eigenschaften der Determinante einer Matrix, Berechnung der Determinante einer Matrix anhand von Eigenschaften.

Basierend auf der angegebenen Definition gilt Folgendes: Eigenschaften der Matrixdeterminante.

Die Determinante der Matrix A ist gleich der Determinante der transponierten Matrix A T, also .

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Determinante der Matrix vorhanden ist ist gleich der Determinante der transponierten Matrix.

Lösung.

Verwenden wir die Formel, um die Determinante einer Matrix der Ordnung 3 mal 3 zu berechnen:



Matrix A transponieren:


Berechnen wir die Determinante der transponierten Matrix:



Tatsächlich ist die Determinante der transponierten Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Wenn in einer quadratischen Matrix alle Elemente mindestens einer der Zeilen (einer der Spalten) Null sind, ist die Determinante einer solchen Matrix gleich Null.

Beispiel.

Überprüfen Sie die Determinante der Matrix Ordnung 3 mal 3 ist Null.

Lösung.




Tatsächlich ist die Determinante einer Matrix mit einer Nullspalte gleich Null.

Wenn Sie zwei beliebige Zeilen (Spalten) in einer quadratischen Matrix neu anordnen, ist die Determinante der resultierenden Matrix der ursprünglichen entgegengesetzt (d. h. das Vorzeichen ändert sich).

Beispiel.

Gegeben sind zwei quadratische Matrizen der Ordnung 3 mal 3 Und . Zeigen Sie, dass ihre Determinanten entgegengesetzt sind.

Lösung.

Matrix B wird aus Matrix A erhalten, indem die dritte Zeile durch die erste und die erste durch die dritte ersetzt wird. Entsprechend der betrachteten Eigenschaft müssen sich die Determinanten solcher Matrizen im Vorzeichen unterscheiden. Überprüfen wir dies, indem wir die Determinanten nach der bekannten Formel berechnen.



Wirklich, .

Wenn in einer quadratischen Matrix mindestens zwei Zeilen (zwei Spalten) gleich sind, ist ihre Determinante gleich Null.

Beispiel.

Zeigen Sie, dass die Determinante der Matrix gleich Null.

Lösung.

In dieser Matrix sind die zweite und dritte Spalte gleich, daher muss ihre Determinante entsprechend der betrachteten Eigenschaft gleich Null sein. Schauen wir es uns an.



Tatsächlich ist die Determinante einer Matrix mit zwei identischen Spalten Null.

Wenn in einer quadratischen Matrix alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit einer bestimmten Zahl k multipliziert werden, ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix multipliziert mit k. Zum Beispiel,



Beispiel.

Beweisen Sie, dass die Determinante der Matrix gleich dem Dreifachen der Determinante der Matrix .

Lösung.

Die Elemente der ersten Spalte der Matrix B werden aus den entsprechenden Elementen der ersten Spalte der Matrix A durch Multiplikation mit 3 erhalten. Dann muss aufgrund der betrachteten Eigenschaft die Gleichheit gelten. Überprüfen wir dies, indem wir die Determinanten der Matrizen A und B berechnen.



Deshalb musste dies nachgewiesen werden.

BEACHTEN SIE.

Verwechseln oder vermischen Sie nicht die Konzepte Matrix und Determinante! Die betrachtete Eigenschaft der Determinante einer Matrix und die Operation der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl sind bei weitem nicht dasselbe.
, Aber .

Wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) einer quadratischen Matrix die Summe von s Termen darstellen (s ist eine natürliche Zahl größer als eins), dann ist die Determinante einer solchen Matrix gleich der Summe von s Determinanten der erhaltenen Matrizen vom Original, wenn die Elemente der Zeile (Spalte) sind: Lassen Sie jeweils einen Begriff übrig. Zum Beispiel,


Beispiel.

Beweisen Sie, dass die Determinante einer Matrix gleich der Summe der Determinanten von Matrizen ist .

Lösung.

In unserem Beispiel Aufgrund der betrachteten Eigenschaft der Determinante der Matrix muss daher die Gleichheit erfüllt sein . Überprüfen wir es, indem wir die entsprechenden Determinanten von Matrizen der Ordnung 2 mal 2 anhand der Formel berechnen .


Aus den erzielten Ergebnissen geht klar hervor, dass . Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Wenn die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) zu den Elementen einer bestimmten Zeile (Spalte) einer Matrix addiert und mit einer beliebigen Zahl k multipliziert werden, ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix .

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass es sich um die Elemente der dritten Spalte der Matrix handelt Addieren Sie die entsprechenden Elemente der zweiten Spalte dieser Matrix, multipliziert mit (-2), und addieren Sie die entsprechenden Elemente der ersten Spalte der Matrix, multipliziert mit einer beliebigen reellen Zahl, dann ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich die Determinante der ursprünglichen Matrix.

Lösung.

Wenn wir von der betrachteten Eigenschaft der Determinante ausgehen, ist die Determinante der Matrix, die nach allen im Problem angegebenen Transformationen erhalten wird, gleich der Determinante der Matrix A.

Berechnen wir zunächst die Determinante der Originalmatrix A:



Führen wir nun die notwendigen Transformationen der Matrix A durch.

Fügen wir zu den Elementen der dritten Spalte der Matrix die entsprechenden Elemente der zweiten Spalte der Matrix hinzu, nachdem wir sie zuvor mit (-2) multipliziert haben. Danach nimmt die Matrix die Form an:


Zu den Elementen der dritten Spalte der resultierenden Matrix addieren wir die entsprechenden Elemente der ersten Spalte, multipliziert mit:


Berechnen wir die Determinante der resultierenden Matrix und stellen wir sicher, dass sie gleich der Determinante der Matrix A ist, also -24:



Die Determinante einer quadratischen Matrix ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) durch ihre algebraische Additionen.



Hier ist das algebraische Komplement des Matrixelements , .

Diese Eigenschaft ermöglicht es, die Determinanten von Matrizen mit einer höheren Ordnung als 3 mal 3 zu berechnen, indem man sie auf die Summe mehrerer Determinanten von Matrizen mit einer um eins niedrigeren Ordnung reduziert. Mit anderen Worten, dies ist eine wiederkehrende Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix beliebiger Ordnung. Aufgrund der relativ häufigen Anwendbarkeit empfehlen wir Ihnen, sich daran zu erinnern.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

etwa 4 mal 4, es erweiternd

• durch Elemente der 3. Zeile,
• durch Elemente der 2. Spalte.

Lösung.

Wir verwenden die Formel zur Zerlegung der Determinante in die Elemente der 3. Zeile



Wir haben



Das Problem, die Determinante einer Matrix der Ordnung 4 mal 4 zu finden, wurde also auf die Berechnung von drei Determinanten von Matrizen der Ordnung 3 mal 3 reduziert:



Wenn wir die erhaltenen Werte ersetzen, kommen wir zu dem Ergebnis:


Wir verwenden die Formel zur Zerlegung der Determinante in die Elemente der 2. Spalte


und wir handeln genauso.

Wir werden die Berechnung der Determinanten von Matrizen dritter Ordnung nicht im Detail beschreiben.



Beispiel.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix etwa 4 mal 4.

Lösung.

Sie können die Determinante einer Matrix auf die Elemente einer beliebigen Spalte oder Zeile erweitern. Es ist jedoch rentabler, die Zeile oder Spalte auszuwählen, die die größte Anzahl von Nullelementen enthält, da dies dazu beiträgt, unnötige Berechnungen zu vermeiden. Erweitern wir die Determinante in die Elemente der ersten Zeile:



Berechnen wir die resultierenden Determinanten von Matrizen der Ordnung 3 mal 3 nach der uns bekannten Formel:



Ersetzen Sie die Ergebnisse und erhalten Sie den gewünschten Wert


Beispiel.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix etwa 5 mal 5.

Lösung.

Die vierte Zeile der Matrix hat von allen Zeilen und Spalten die größte Anzahl an Nullelementen, daher empfiehlt es sich, die Determinante der Matrix genau nach den Elementen der vierten Zeile zu erweitern, da wir in diesem Fall weniger Berechnungen benötigen.



Die resultierenden Determinanten von Matrizen der Ordnung 4 x 4 wurden in vorherigen Beispielen gefunden, also verwenden wir die vorgefertigten Ergebnisse:



Beispiel.

Berechnen Sie die Determinante der Matrix etwa 7 mal 7.

Lösung.

Sie sollten die Determinante nicht sofort in die Elemente einer Zeile oder Spalte einsortieren. Wenn Sie sich die Matrix genau ansehen, werden Sie feststellen, dass die Elemente der sechsten Zeile der Matrix durch Multiplikation der entsprechenden Elemente der zweiten Zeile mit zwei erhalten werden können. Das heißt, wenn die entsprechenden Elemente der zweiten Zeile zu den Elementen der sechsten Zeile multipliziert mit (-2) addiert werden, ändert sich die Determinante aufgrund der siebten Eigenschaft nicht und die sechste Zeile besteht aus der resultierenden Matrix von Nullen. Die Determinante einer solchen Matrix ist aufgrund der zweiten Eigenschaft gleich Null.

Antwort:

Es ist zu beachten, dass die betrachtete Eigenschaft die Berechnung der Determinanten von Matrizen beliebiger Ordnung ermöglicht, dafür aber viele Rechenoperationen durchführen muss. In den meisten Fällen ist es vorteilhafter, die Determinante von Matrizen höherer Ordnung als der dritten mit der Gaußschen Methode zu finden, die wir im Folgenden betrachten werden.

Die Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer quadratischen Matrix mit den algebraischen Komplementen der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) ist gleich Null.


Beispiel.

Zeigen Sie, dass die Summe der Produkte der Elemente der dritten Spalte der Matrix ist auf den algebraischen Komplementen der entsprechenden Elemente der ersten Spalte ist gleich Null.

Lösung.




Die Determinante des Produkts quadratischer Matrizen gleicher Ordnung ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten, d. h. , wobei m eine natürliche Zahl größer als eins ist, A k, k=1,2,...,m quadratische Matrizen derselben Ordnung sind.

Beispiel.

Überprüfen Sie, ob die Determinante das Produkt zweier Matrizen ist und ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten.

Lösung.

Finden wir zunächst das Produkt der Determinanten der Matrizen A und B:


Führen wir nun eine Matrixmultiplikation durch und berechnen die Determinante der resultierenden Matrix:



Auf diese Weise, , was gezeigt werden musste.

Berechnung der Determinante einer Matrix nach der Gauß-Methode.

Lassen Sie uns die Essenz dieser Methode beschreiben. Mithilfe elementarer Transformationen wird Matrix A auf eine solche Form reduziert, dass in der ersten Spalte alle Elemente außer diesen zu Null werden (dies ist immer möglich, wenn die Determinante von Matrix A von Null verschieden ist). Wir werden diesen Vorgang etwas später beschreiben, aber jetzt erklären wir, warum dies geschieht. Es werden Nullelemente erhalten, um die einfachste Entwicklung der Determinante über die Elemente der ersten Spalte zu erhalten. Nach einer solchen Transformation der Matrix A unter Berücksichtigung der achten Eigenschaft und erhalten wir

Wo - kleinere (n-1)-te Ordnung, erhalten aus Matrix A durch Löschen der Elemente ihrer ersten Zeile und ersten Spalte.

Mit der Matrix, der Minor entspricht, wird das gleiche Verfahren durchgeführt, um Nullelemente in der ersten Spalte zu erhalten. Und so weiter bis zur endgültigen Berechnung der Determinante.

Nun bleibt noch die Frage zu beantworten: „Wie bekomme ich null Elemente in die erste Spalte?“

Beschreiben wir den Aktionsalgorithmus.

Wenn , dann werden die entsprechenden Elemente der k-ten Zeile zu den Elementen der ersten Zeile der Matrix hinzugefügt, wobei . (Wenn alle Elemente der ersten Spalte der Matrix A ausnahmslos Null sind, dann ist ihre Determinante aufgrund der zweiten Eigenschaft gleich Null und es ist keine Gaußsche Methode erforderlich.) Nach einer solchen Transformation ist das „neue“ Element ungleich Null. Die Determinante der „neuen“ Matrix wird aufgrund der siebten Eigenschaft gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix sein.

Jetzt haben wir eine Matrix mit . Zu den Elementen der zweiten Zeile addieren wir die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, multipliziert mit , zu den Elementen der dritten Zeile – die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, multipliziert mit . Usw. Schließlich addieren wir zu den Elementen der n-ten Zeile die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, multipliziert mit . Dies führt zu einer transformierten Matrix A, in der alle Elemente der ersten Spalte außer Null sind. Aufgrund der siebten Eigenschaft ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Schauen wir uns die Methode beim Lösen eines Beispiels an, es wird klarer.

Beispiel.

Berechnen Sie die Determinante einer Matrix der Ordnung 5 mal 5 .

Lösung.

Verwenden wir die Gaußsche Methode. Lassen Sie uns Matrix A so transformieren, dass alle Elemente ihrer ersten Spalte außer Null werden.

Da das Element zunächst ist, fügen wir zu den Elementen der ersten Zeile der Matrix die entsprechenden Elemente beispielsweise der zweiten Zeile hinzu, denn:

Das Zeichen „~“ weist auf Äquivalenz hin.

Nun addieren wir zu den Elementen der zweiten Zeile die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, multipliziert mit , zu den Elementen der dritten Zeile – den entsprechenden Elementen der ersten Zeile, multipliziert mit , und verfahren Sie genauso bis zur sechsten Zeile:

Wir bekommen

Mit Matrix Wir führen das gleiche Verfahren durch, um Nullelemente in der ersten Spalte zu erhalten:

Somit,

Jetzt führen wir Transformationen mit der Matrix durch :

Kommentar.

In einem bestimmten Stadium der Matrixtransformation mit der Gaußschen Methode kann es vorkommen, dass alle Elemente der letzten Zeilen der Matrix Null werden. Dies zeigt an, dass die Determinante gleich Null ist.

Zusammenfassen.

Die Determinante einer quadratischen Matrix, deren Elemente Zahlen sind, ist eine Zahl. Wir haben uns drei Möglichkeiten zur Berechnung der Determinante angesehen:

1. durch die Summe der Produkte von Kombinationen von Matrixelementen;
2. durch die Zerlegung der Determinante in die Elemente einer Zeile oder Spalte der Matrix;
3. durch Reduzieren der Matrix auf eine obere Dreiecksmatrix (Gaußsche Methode).

Es wurden Formeln zur Berechnung der Determinanten von Matrizen der Ordnung 2 mal 2 und 3 mal 3 erhalten.

Wir haben die Eigenschaften der Determinante einer Matrix untersucht. Einige von ihnen ermöglichen es Ihnen, schnell zu verstehen, dass die Determinante Null ist.

Bei der Berechnung der Determinanten von Matrizen mit einer höheren Ordnung als 3 mal 3 empfiehlt es sich, die Gaußsche Methode zu verwenden: Führen Sie elementare Transformationen der Matrix durch und reduzieren Sie sie auf eine obere Dreiecksmatrix. Die Determinante einer solchen Matrix ist gleich dem Produkt aller Elemente auf der Hauptdiagonale.

Formulierung des Problems

Die Aufgabe erfordert, dass sich der Benutzer mit den Grundkonzepten numerischer Methoden wie Determinante und Umkehrmatrix sowie verschiedenen Methoden zu deren Berechnung vertraut macht. In diesem theoretischen Bericht werden zunächst die grundlegenden Konzepte und Definitionen in einfacher und zugänglicher Sprache vorgestellt, auf deren Grundlage weitere Untersuchungen durchgeführt werden. Der Benutzer verfügt möglicherweise nicht über besondere Kenntnisse auf dem Gebiet der numerischen Methoden und der linearen Algebra, kann die Ergebnisse dieser Arbeit jedoch problemlos nutzen. Der Übersichtlichkeit halber wird ein in der Programmiersprache C++ geschriebenes Programm zur Berechnung der Determinante einer Matrix mit mehreren Methoden angegeben. Das Programm dient als Laborstand zur Erstellung von Illustrationen für den Bericht. Außerdem wird eine Untersuchung von Methoden zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme durchgeführt. Die Nutzlosigkeit der Berechnung der inversen Matrix ist bewiesen, daher bietet die Arbeit optimalere Möglichkeiten, Gleichungen zu lösen, ohne sie zu berechnen. Es erklärt, warum es so viele verschiedene Methoden zur Berechnung von Determinanten und inversen Matrizen gibt, und erörtert deren Mängel. Dabei werden auch Fehler bei der Berechnung der Determinante berücksichtigt und die erreichte Genauigkeit beurteilt. Neben russischen Begriffen werden in der Arbeit auch deren englische Äquivalente verwendet, um zu verstehen, unter welchen Namen numerische Prozeduren in Bibliotheken zu suchen sind und was ihre Parameter bedeuten.

Grundlegende Definitionen und einfachste Eigenschaften

Bestimmend

Lassen Sie uns die Definition der Determinante einer quadratischen Matrix beliebiger Ordnung einführen. Diese Definition wird sein wiederkehrend, das heißt, um die Determinante der Ordnungsmatrix zu bestimmen, müssen Sie bereits wissen, was die Determinante der Ordnungsmatrix ist. Beachten Sie auch, dass die Determinante nur für quadratische Matrizen existiert.

Wir bezeichnen die Determinante einer quadratischen Matrix mit oder det.

Definition 1. Bestimmend quadratische Matrix Die zweite Ordnungsnummer wird aufgerufen .

Bestimmend Die quadratische Ordnungsmatrix wird als Zahl bezeichnet

wobei die Determinante der Ordnungsmatrix ist, die aus der Matrix durch Löschen der ersten Zeile und Spalte mit der Nummer erhalten wird.

Der Übersichtlichkeit halber schreiben wir auf, wie Sie die Determinante einer Matrix vierter Ordnung berechnen können:

Kommentar. In Ausnahmefällen wird die eigentliche Berechnung von Determinanten für Matrizen oberhalb dritter Ordnung auf Basis der Definition verwendet. Typischerweise wird die Berechnung mit anderen Algorithmen durchgeführt, auf die später noch eingegangen wird und die weniger Rechenaufwand erfordern.

Kommentar. In Definition 1 wäre es genauer zu sagen, dass die Determinante eine Funktion ist, die auf der Menge der quadratischen Ordnungsmatrizen definiert ist und Werte in der Zahlenmenge annimmt.

Kommentar. In der Literatur wird anstelle des Begriffs „Determinante“ auch der Begriff „Determinante“ verwendet, der die gleiche Bedeutung hat. Aus dem Wort „determinant“ entstand die Bezeichnung det.

Betrachten wir einige Eigenschaften von Determinanten, die wir in Form von Aussagen formulieren.

Aussage 1. Beim Transponieren einer Matrix ändert sich die Determinante nicht, d. h. .

Aussage 2. Die Determinante des Produkts quadratischer Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der Faktoren, d. h.

Aussage 3. Wenn zwei Zeilen in einer Matrix vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen ihrer Determinante.

Aussage 4. Wenn eine Matrix zwei identische Zeilen hat, ist ihre Determinante Null.

In Zukunft müssen wir Zeichenfolgen hinzufügen und eine Zeichenfolge mit einer Zahl multiplizieren. Wir werden diese Aktionen für Zeilen (Spalten) auf die gleiche Weise ausführen wie Aktionen für Zeilenmatrizen (Spaltenmatrizen), also Element für Element. Das Ergebnis ist eine Zeile (Spalte), die in der Regel nicht mit den Zeilen der Originalmatrix übereinstimmt. Wenn es Operationen gibt, bei denen Zeilen (Spalten) addiert und mit einer Zahl multipliziert werden, können wir auch von linearen Kombinationen von Zeilen (Spalten) sprechen, also von Summen mit numerischen Koeffizienten.

Aussage 5. Wenn eine Zeile einer Matrix mit einer Zahl multipliziert wird, wird ihre Determinante mit dieser Zahl multipliziert.

Aussage 6. Wenn eine Matrix eine Nullzeile enthält, ist ihre Determinante Null.

Aussage 7. Wenn eine der Zeilen der Matrix gleich einer anderen ist, multipliziert mit einer Zahl (die Zeilen sind proportional), dann ist die Determinante der Matrix gleich Null.

Aussage 8. Die i-te Zeile in der Matrix soll die Form haben. Dann wird die Matrix aus der Matrix erhalten, indem die i-te Zeile durch die Zeile ersetzt wird, und die Matrix wird durch Ersetzen der i-ten Zeile durch die Zeile erhalten.

Aussage 9. Wenn Sie einer der Matrixzeilen eine weitere Zeile hinzufügen, multipliziert mit einer Zahl, ändert sich die Determinante der Matrix nicht.

Aussage 10. Wenn eine der Zeilen einer Matrix eine Linearkombination ihrer anderen Zeilen ist, dann ist die Determinante der Matrix gleich Null.

Definition 2. Algebraisches Komplement zu einem Matrixelement ist eine Zahl gleich , wobei die Determinante der Matrix ist, die aus der Matrix durch Löschen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhalten wird. Das algebraische Komplement eines Matrixelements wird mit bezeichnet.

Beispiel. Lassen . Dann

Kommentar. Unter Verwendung algebraischer Additionen kann die Definition einer Determinante wie folgt geschrieben werden:

Aussage 11. Erweiterung der Determinante in einer beliebigen Zeichenfolge.

Die Formel für die Determinante der Matrix lautet

Beispiel. Berechnung .

Lösung. Nutzen wir die Entwicklung entlang der dritten Zeile, diese ist profitabler, da in der dritten Zeile zwei der drei Zahlen Nullen sind. Wir bekommen

Aussage 12. Für eine quadratische Matrix der Ordnung at gilt die Beziehung: .

Aussage 13. Alle für Zeilen formulierten Eigenschaften der Determinante (Aussagen 1 - 11) gelten auch für Spalten, insbesondere gilt die Zerlegung der Determinante in der j-ten Spalte und Gleichheit bei .

Aussage 14. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente ihrer Hauptdiagonale.

Folge. Die Determinante der Identitätsmatrix ist gleich eins, .

Abschluss. Die oben aufgeführten Eigenschaften ermöglichen es, mit relativ geringem Rechenaufwand Determinanten von Matrizen ausreichend hoher Ordnung zu finden. Der Berechnungsalgorithmus ist wie folgt.

Algorithmus zum Erstellen von Nullen in einer Spalte. Angenommen, wir müssen die Ordnungsdeterminante berechnen. Wenn , dann vertauschen Sie die erste Zeile und jede andere Zeile, in der das erste Element nicht Null ist. Infolgedessen ist die Determinante gleich der Determinante der neuen Matrix mit umgekehrtem Vorzeichen. Wenn das erste Element jeder Zeile gleich Null ist, dann hat die Matrix eine Nullspalte und gemäß den Aussagen 1, 13 ist ihre Determinante gleich Null.

Wir glauben also, dass dies bereits in der ursprünglichen Matrix der Fall ist. Wir lassen die erste Zeile unverändert. Addieren Sie zur zweiten Zeile die erste Zeile multipliziert mit der Zahl. Dann ist das erste Element der zweiten Zeile gleich .

Die restlichen Elemente der neuen zweiten Zeile bezeichnen wir mit , . Die Determinante der neuen Matrix gemäß Aussage 9 ist gleich . Multiplizieren Sie die erste Zeile mit einer Zahl und addieren Sie sie zur dritten. Das erste Element der neuen dritten Zeile wird gleich sein

Die restlichen Elemente der neuen dritten Zeile bezeichnen wir mit , . Die Determinante der neuen Matrix gemäß Aussage 9 ist gleich .

Wir werden den Prozess fortsetzen, Nullen anstelle der ersten Elemente von Linien zu erhalten. Zum Schluss multiplizieren Sie die erste Zeile mit einer Zahl und addieren sie zur letzten Zeile. Das Ergebnis ist eine Matrix, nennen wir sie , die die Form hat

Und . Um die Determinante der Matrix zu berechnen, verwenden wir die Erweiterung in der ersten Spalte

Seit damals

Auf der rechten Seite befindet sich die Determinante der Ordnungsmatrix. Wir wenden den gleichen Algorithmus darauf an und die Berechnung der Determinante der Matrix wird auf die Berechnung der Determinante der Ordnungsmatrix reduziert. Wir wiederholen den Vorgang, bis wir die Determinante zweiter Ordnung erreichen, die per Definition berechnet wird.

Wenn die Matrix keine spezifischen Eigenschaften aufweist, ist es nicht möglich, den Rechenaufwand im Vergleich zum vorgeschlagenen Algorithmus wesentlich zu reduzieren. Ein weiterer guter Aspekt dieses Algorithmus besteht darin, dass er leicht zum Erstellen eines Computerprogramms zur Berechnung von Determinanten von Matrizen großer Ordnungen verwendet werden kann. Standardprogramme zur Berechnung von Determinanten verwenden diesen Algorithmus mit geringfügigen Änderungen im Zusammenhang mit der Minimierung des Einflusses von Rundungsfehlern und Eingabedatenfehlern bei Computerberechnungen.

Beispiel. Berechnen Sie die Determinante der Matrix .

Lösung. Die erste Zeile lassen wir unverändert. Zur zweiten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit der Zahl:

Die Determinante ändert sich nicht. Zur dritten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit der Zahl:

Die Determinante ändert sich nicht. Zur vierten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit der Zahl:

Die Determinante ändert sich nicht. Als Ergebnis bekommen wir

Mit dem gleichen Algorithmus berechnen wir die Determinante der Matrix der Ordnung 3, die sich rechts befindet. Wir lassen die erste Zeile unverändert und fügen die erste Zeile multipliziert mit der Zahl zur zweiten Zeile hinzu :

Zur dritten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit der Zahl :

Als Ergebnis bekommen wir

Antwort. .

Kommentar. Obwohl bei den Berechnungen Brüche verwendet wurden, stellte sich heraus, dass das Ergebnis eine ganze Zahl war. Durch die Nutzung der Eigenschaften von Determinanten und der Tatsache, dass die ursprünglichen Zahlen ganze Zahlen sind, könnten Operationen mit Brüchen tatsächlich vermieden werden. In der Ingenieurspraxis sind Zahlen jedoch äußerst selten ganze Zahlen. Daher werden die Elemente der Determinante in der Regel Dezimalbrüche sein und es ist unangemessen, irgendwelche Tricks anzuwenden, um die Berechnungen zu vereinfachen.

inverse Matrix

Definition 3. Die Matrix heißt inverse Matrix für eine quadratische Matrix, wenn .

Aus der Definition folgt, dass die inverse Matrix eine quadratische Matrix derselben Ordnung wie die Matrix ist (andernfalls wäre eines der Produkte oder nicht definiert).

Die Umkehrung einer Matrix wird mit bezeichnet. Wenn also existiert, dann .

Aus der Definition einer inversen Matrix folgt, dass die Matrix die Umkehrung der Matrix ist, also . Über Matrizen kann man sagen, dass sie zueinander invers oder zueinander invers sind.

Wenn die Determinante einer Matrix Null ist, existiert ihre Umkehrung nicht.

Da es zum Finden der inversen Matrix wichtig ist, ob die Determinante der Matrix gleich Null ist oder nicht, führen wir die folgenden Definitionen ein.

Definition 4. Nennen wir eine quadratische Matrix degenerieren oder spezielle Matrix, Wenn nicht entartet oder nicht singuläre Matrix, Wenn .

Stellungnahme. Wenn die inverse Matrix existiert, ist sie eindeutig.

Stellungnahme. Wenn eine quadratische Matrix nicht singulär ist, dann existiert ihre Umkehrung und (1) wo sind algebraische Ergänzungen zu den Elementen.

Satz. Eine inverse Matrix für eine quadratische Matrix existiert genau dann, wenn die Matrix nicht singulär ist, die inverse Matrix eindeutig ist und Formel (1) gültig ist.

Kommentar. Besonderes Augenmerk sollte auf die Stellen gelegt werden, die algebraische Additionen in der inversen Matrixformel einnehmen: Der erste Index zeigt die Zahl an Spalte, und die zweite ist die Zahl Linien, in die Sie die berechnete algebraische Addition schreiben müssen.

Beispiel. .

Lösung. Die Determinante finden

Da ist die Matrix nicht entartet und ihre Umkehrung existiert. Algebraische Komplemente finden:

Wir stellen die inverse Matrix zusammen und platzieren die gefundenen algebraischen Additionen so, dass der erste Index der Spalte und der zweite der Zeile entspricht: (2)

Die resultierende Matrix (2) dient als Antwort auf das Problem.

Kommentar. Im vorherigen Beispiel wäre es genauer, die Antwort so zu schreiben:
(3)

Allerdings ist die Notation (2) kompakter und es ist bequemer, bei Bedarf weitere Berechnungen damit durchzuführen. Daher ist es vorzuziehen, die Antwort in der Form (2) zu schreiben, wenn die Matrixelemente ganze Zahlen sind. Und umgekehrt, wenn die Elemente der Matrix Dezimalbrüche sind, ist es besser, die Umkehrmatrix ohne einen Faktor davor zu schreiben.

Kommentar. Beim Finden der inversen Matrix müssen Sie ziemlich viele Berechnungen durchführen und die Regel für die Anordnung algebraischer Additionen in der endgültigen Matrix ist ungewöhnlich. Daher besteht eine hohe Fehlerwahrscheinlichkeit. Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie Folgendes überprüfen: Berechnen Sie das Produkt der Originalmatrix und der endgültigen Matrix in der einen oder anderen Reihenfolge. Wenn das Ergebnis eine Identitätsmatrix ist, wurde die inverse Matrix korrekt gefunden. Andernfalls müssen Sie nach einem Fehler suchen.

Beispiel. Finden Sie die Umkehrung einer Matrix .

Lösung. - existiert.

Antwort: .

Abschluss. Das Finden der inversen Matrix mithilfe der Formel (1) erfordert zu viele Berechnungen. Für Matrizen vierter und höherer Ordnung ist dies nicht akzeptabel. Der eigentliche Algorithmus zum Finden der inversen Matrix wird später angegeben.

Berechnung der Determinante und der Umkehrmatrix mit der Gaußschen Methode

Die Gaußsche Methode kann verwendet werden, um die Determinante und die inverse Matrix zu finden.

Die Determinante der Matrix ist nämlich gleich det.

Die inverse Matrix wird durch Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gaußschen Eliminierungsmethode gefunden:

Wo ist die j-te Spalte der Identitätsmatrix, der gewünschte Vektor?

Die resultierenden Lösungsvektoren bilden offensichtlich Spalten der Matrix, da .

Formeln für die Determinante

1. Wenn die Matrix nicht singulär ist, dann und (Produkt führender Elemente).

Bei der Lösung von Problemen in der höheren Mathematik entsteht sehr oft der Bedarf Berechnen Sie die Determinante einer Matrix. Die Determinante einer Matrix kommt in der linearen Algebra, der analytischen Geometrie, der mathematischen Analysis und anderen Zweigen der höheren Mathematik vor. Daher ist es einfach unmöglich, auf die Fähigkeit zur Lösung von Determinanten zu verzichten. Zum Selbsttest können Sie außerdem kostenlos einen Determinantenrechner herunterladen; er bringt Ihnen zwar nicht bei, wie man Determinanten löst, ist aber sehr praktisch, da es immer von Vorteil ist, die richtige Antwort im Voraus zu kennen!

Ich werde keine strenge mathematische Definition der Determinante geben und im Allgemeinen versuchen, die mathematische Terminologie zu minimieren, was es für die meisten Leser nicht einfacher macht. Der Zweck dieses Artikels besteht darin, Ihnen beizubringen, wie Sie Determinanten zweiter, dritter und vierter Ordnung lösen. Das gesamte Material wird in einer einfachen und zugänglichen Form präsentiert, und selbst eine volle (leere) Teekanne in höherer Mathematik wird nach sorgfältigem Studium des Materials in der Lage sein, die Determinanten richtig zu lösen.

In der Praxis findet man am häufigsten eine Determinante zweiter Ordnung, zum Beispiel: und eine Determinante dritter Ordnung, zum Beispiel: .

Determinante vierter Ordnung Es ist auch keine Antiquität und wir werden am Ende der Lektion darauf zurückkommen.

Ich hoffe, dass jeder Folgendes versteht: Die Zahlen innerhalb der Determinante leben von selbst, und von einer Subtraktion ist keine Rede! Nummern können nicht getauscht werden!

(Insbesondere ist es möglich, paarweise Neuordnungen von Zeilen oder Spalten einer Determinante mit einer Änderung ihres Vorzeichens durchzuführen, aber oft ist dies nicht notwendig – siehe nächste Lektion Eigenschaften der Determinante und Herabsetzen ihrer Reihenfolge)

Wenn also eine Determinante gegeben ist, dann Wir berühren nichts darin!

Bezeichnungen: Wenn eine Matrix gegeben ist , dann wird seine Determinante bezeichnet. Sehr oft wird die Determinante auch mit einem lateinischen oder griechischen Buchstaben bezeichnet.

1)Was bedeutet es, eine Determinante zu lösen (zu finden, aufzudecken)? Die Determinante zu berechnen bedeutet, DIE ZAHL ZU FINDEN. Die Fragezeichen in den obigen Beispielen sind ganz normale Zahlen.

2) Jetzt bleibt es noch herauszufinden WIE finde ich diese Nummer? Dazu müssen Sie bestimmte Regeln, Formeln und Algorithmen anwenden, die jetzt besprochen werden.

Beginnen wir mit der Determinante „zwei“ durch „zwei“:

Dies muss zumindest im Studium der höheren Mathematik an einer Universität beachtet werden.

Schauen wir uns gleich ein Beispiel an:

Bereit. Das Wichtigste ist, sich nicht von den Zeichen verwirren zu lassen.

Determinante einer Drei-mal-Drei-Matrix kann auf 8 Arten geöffnet werden, 2 davon sind einfach und 6 sind normal.

Beginnen wir mit zwei einfachen Möglichkeiten

Ähnlich wie die Zwei-mal-Zwei-Determinante kann die Drei-mal-Drei-Determinante mit der Formel erweitert werden:

Die Formel ist lang und aus Unachtsamkeit kann man leicht einen Fehler machen. Wie vermeide ich lästige Fehler? Zu diesem Zweck wurde eine zweite Methode zur Berechnung der Determinante erfunden, die tatsächlich mit der ersten übereinstimmt. Es wird Sarrus-Methode oder „Parallelstreifen“-Methode genannt.
Die Quintessenz ist, dass Sie rechts von der Determinante die erste und zweite Spalte zuordnen und sorgfältig Linien mit einem Bleistift zeichnen:

Multiplikatoren auf den „roten“ Diagonalen werden mit einem „Plus“-Zeichen in die Formel einbezogen.
Multiplikatoren auf den „blauen“ Diagonalen werden mit einem Minuszeichen in die Formel einbezogen:

Beispiel:

Vergleichen Sie die beiden Lösungen. Es ist leicht zu erkennen, dass dies dasselbe ist, nur dass im zweiten Fall die Formelfaktoren leicht neu angeordnet sind und, was am wichtigsten ist, die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, viel geringer ist.

Schauen wir uns nun die sechs normalen Methoden zur Berechnung der Determinante an

Warum normal? Denn in den allermeisten Fällen müssen Qualifikationsmerkmale auf diese Weise offengelegt werden.

Wie Sie bemerkt haben, hat die Drei-mal-Drei-Determinante drei Spalten und drei Zeilen.
Sie können die Determinante lösen, indem Sie sie öffnen nach jeder Zeile oder nach jeder Spalte.
Somit gibt es in allen Fällen 6 Methoden dieselbe Art Algorithmus.

Die Determinante der Matrix ist gleich der Summe der Produkte der Elemente der Zeile (Spalte) mit den entsprechenden algebraischen Komplementen. Beängstigend? Alles ist viel einfacher; wir werden einen unwissenschaftlichen, aber verständlichen Ansatz verwenden, der auch für jemanden zugänglich ist, der weit von der Mathematik entfernt ist.

Im nächsten Beispiel erweitern wir die Determinante in der ersten Zeile.
Dazu benötigen wir eine Zeichenmatrix: . Es ist leicht zu erkennen, dass die Schilder im Schachbrettmuster angeordnet sind.

Aufmerksamkeit! Die Zeichenmatrix ist meine eigene Erfindung. Dieses Konzept ist nicht wissenschaftlich, es muss nicht bei der endgültigen Gestaltung von Aufgaben verwendet werden, es hilft Ihnen lediglich, den Algorithmus zur Berechnung der Determinante zu verstehen.

Ich werde zuerst die vollständige Lösung geben. Wir nehmen wieder unsere experimentelle Determinante und führen die Berechnungen durch:

Und die Hauptfrage: WIE erhält man dies aus der Determinante „drei mal drei“:
?

Bei der „drei mal drei“-Determinante kommt es also darauf an, drei kleine Determinanten zu lösen, oder wie sie auch genannt werden: Minorow. Ich empfehle, sich den Begriff zu merken, zumal er einprägsam ist: Moll – klein.

Sobald die Zerlegungsmethode der Determinante ausgewählt ist in der ersten Zeile, es ist offensichtlich, dass sich alles um sie dreht:

Elemente werden normalerweise von links nach rechts angezeigt (oder von oben nach unten, wenn eine Spalte ausgewählt wurde).

Los geht's, zunächst beschäftigen wir uns mit dem ersten Element der Zeile, also mit einem:

1) Aus der Zeichenmatrix schreiben wir das entsprechende Zeichen aus:

2) Dann schreiben wir das Element selbst:

3) Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, in der das erste Element vorkommt:

Die restlichen vier Zahlen bilden die Determinante „zwei mal zwei“, die man nennt UNERHEBLICH eines bestimmten Elements (Einheit).

Kommen wir zum zweiten Element der Zeile.

4) Aus der Zeichenmatrix schreiben wir das entsprechende Zeichen aus:

5) Dann schreiben Sie das zweite Element:

6) Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, in der das zweite Element vorkommt:

Nun, das dritte Element der ersten Zeile. Keine Originalität:

7) Aus der Zeichenmatrix schreiben wir das entsprechende Zeichen aus:

8) Schreiben Sie das dritte Element auf:

9) Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, die das dritte Element enthält:

Die restlichen vier Zahlen schreiben wir in eine kleine Determinante.

Die übrigen Aktionen stellen keine Schwierigkeiten dar, da wir bereits wissen, wie man die zwei-mal-zwei-Determinanten zählt. Lassen Sie sich nicht von den Zeichen verwirren!

Ebenso kann die Determinante über jede Zeile oder in jede Spalte erweitert werden. Natürlich ist die Antwort in allen sechs Fällen dieselbe.

Die Vier-mal-Vier-Determinante kann mit demselben Algorithmus berechnet werden.
In diesem Fall erhöht sich unsere Zeichenmatrix:

Im folgenden Beispiel habe ich die Determinante erweitert gemäß der vierten Spalte:

Wie es passiert ist, versuchen Sie es selbst herauszufinden. Weitere Informationen folgen später. Wenn jemand die Determinante bis zum Ende lösen möchte, lautet die richtige Antwort: 18. Zur Übung ist es besser, die Determinante nach einer anderen Spalte oder anderen Zeile zu lösen.

Üben, Aufdecken, Rechnen ist sehr gut und sinnvoll. Aber wie viel Zeit werden Sie für das große Qualifikationsspiel aufwenden? Gibt es nicht einen schnelleren und zuverlässigeren Weg? Ich schlage vor, dass Sie sich in der zweiten Lektion – Eigenschaften einer Determinante – mit effektiven Methoden zur Berechnung von Determinanten vertraut machen. Reduzieren der Ordnung der Determinante.

SEIEN SIE AUFMERKSAM!

Im allgemeinen Fall ist die Regel zur Berechnung von Determinanten n$-ter Ordnung recht umständlich. Für Determinanten zweiter und dritter Ordnung gibt es rationale Möglichkeiten, sie zu berechnen.

Berechnungen von Determinanten zweiter Ordnung

Um die Determinante einer Matrix zweiter Ordnung zu berechnen, müssen Sie das Produkt der Elemente der Nebendiagonale vom Produkt der Elemente der Hauptdiagonale subtrahieren:

$$\left| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Beispiel

Übung. Berechnen Sie die Determinante zweiter Ordnung $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

Lösung.$\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

Antwort.$\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Methoden zur Berechnung von Determinanten dritter Ordnung

Für die Berechnung von Determinanten dritter Ordnung gelten die folgenden Regeln.

Dreiecksregel

Schematisch lässt sich diese Regel wie folgt darstellen:

Das Produkt der Elemente in der ersten Determinante, die durch Geraden verbunden sind, wird mit einem Pluszeichen versehen; Ebenso werden für die zweite Determinante die entsprechenden Produkte mit einem Minuszeichen genommen, d.h.

$$\left| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Beispiel

Übung. Berechnen Sie die Determinante von $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ mit der Dreiecksmethode.

Lösung.$\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Antwort.

Sarrus-Herrschaft

Addieren Sie rechts von der Determinante die ersten beiden Spalten und bilden Sie die Produkte der Elemente auf der Hauptdiagonale und auf den Diagonalen parallel dazu mit einem Pluszeichen; und die Produkte der Elemente der Nebendiagonale und der dazu parallelen Diagonalen, mit Minuszeichen:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Beispiel

Übung. Berechnen Sie die Determinante von $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (array)\right|$ unter Verwendung der Sarrus-Regel.

Lösung.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Antwort.$\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (Array)\right|=54$

Erweitern der Determinante um Zeile oder Spalte

Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente der Reihe der Determinante und ihrer algebraischen Komplemente. Normalerweise wird die Zeile/Spalte ausgewählt, die Nullen enthält. Die Zeile oder Spalte, entlang derer die Zerlegung durchgeführt wird, wird durch einen Pfeil angezeigt.

Beispiel

Übung. Berechnen Sie die Determinante $\left|, indem Sie die erste Zeile erweitern \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \richtig|$

Lösung.$\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \richtig| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(array)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(array)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(array)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(array)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(array)\right|=-3+12-9=0$

Antwort.

Mit dieser Methode lässt sich die Berechnung der Determinante auf die Berechnung einer Determinante niedrigerer Ordnung reduzieren.

Beispiel

Übung. Berechnen Sie die Determinante von $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \richtig|$

Lösung. Führen wir die folgenden Transformationen an den Reihen der Determinante durch: Von der zweiten Reihe subtrahieren wir die ersten vier und von der dritten die erste Reihe multipliziert mit sieben, als Ergebnis erhalten wir entsprechend den Eigenschaften der Determinante eine Determinante gleich dem angegebenen.

$$\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$

$$=\left| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$

Die Determinante ist Null, da die zweite und dritte Zeile proportional sind.

Antwort.$\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=0$

Zur Berechnung von Determinanten vierter und höherer Ordnung werden entweder Zeilen-/Spaltenerweiterung, Reduktion auf Dreiecksform oder die Verwendung des Laplace-Theorems verwendet.

Zerlegen der Determinante in Elemente einer Zeile oder Spalte

Beispiel

Übung. Berechnen Sie die Determinante von $\left| \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ und zerlegt es in Elemente einer Zeile oder einer Spalte.

Lösung. Führen wir zunächst elementare Transformationen an den Zeilen der Determinante durch und erzeugen so viele Nullen wie möglich entweder in der Zeile oder in der Spalte. Dazu subtrahieren wir zunächst neun Drittel von der ersten Zeile, fünf Drittel von der zweiten und drei Drittel von der vierten, wir erhalten:

$$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=\left| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ links| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$

Zerlegen wir die resultierende Determinante in die Elemente der ersten Spalte:

$$\left| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|+0$$

Wir werden die resultierende Determinante dritter Ordnung auch in Zeilen- und Spaltenelemente erweitern, nachdem wir zuvor beispielsweise in der ersten Spalte Nullen erhalten haben. Subtrahieren Sie dazu die zweiten beiden Zeilen von der ersten Zeile und die zweite Zeile von der dritten:

$$\left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(array)\right|=\left| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( array)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Antwort.$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|=0$

Kommentar

Die letzten und vorletzten Determinanten konnten nicht berechnet werden, schlussfolgern aber sofort, dass sie gleich Null sind, da sie proportionale Zeilen enthalten.

Reduzieren der Determinante auf Dreiecksform

Durch elementare Transformationen über Zeilen oder Spalten wird die Determinante auf eine Dreiecksform reduziert und dann ist ihr Wert entsprechend den Eigenschaften der Determinante gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale.

Beispiel

Übung. Berechnen Sie die Determinante $\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ Reduzieren auf dreieckige Form.

Lösung. Zuerst machen wir Nullen in der ersten Spalte unter der Hauptdiagonale. Alle Transformationen sind einfacher durchzuführen, wenn das Element $a_(11)$ gleich 1 ist. Dazu vertauschen wir die erste und zweite Spalte der Determinante, was je nach den Eigenschaften der Determinante dazu führt sein Vorzeichen in das Gegenteil ändern:

$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$

$$\Delta=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Als nächstes erhalten wir in der zweiten Spalte Nullen anstelle der Elemente unter der Hauptdiagonale. Auch hier gilt: Wenn das Diagonalelement gleich $\pm 1$ ist, sind die Berechnungen einfacher. Vertauschen Sie dazu die zweite und dritte Zeile (und wechseln Sie gleichzeitig in das umgekehrte Vorzeichen der Determinante):

$$\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$