Zweck des Dienstes. Mit diesem Dienst können Sie online algebraische Komplemente, die transponierte Matrix AT, die alliierte Matrix und die inverse Matrix finden.

Online-Rechner. Umkehrung einer Matrix.

Die Entscheidung wird direkt auf der Website (online) getroffen und ist kostenlos. Die Berechnungsergebnisse werden in einem Bericht im Word- und Excel-Format dargestellt (d. h. es besteht die Möglichkeit, die Lösung zu überprüfen). siehe Designbeispiel.

1. Bestimmen Sie, ob die Matrix quadratisch ist. Wenn nicht, dann gibt es dafür keine inverse Matrix.
2. Berechnung der Determinante einer Matrix. Ist sie ungleich Null, setzen wir die Lösung fort, andernfalls existiert die inverse Matrix nicht.
3. Sie führen eine Prüfung durch: Sie multiplizieren die Original- und die resultierenden Matrizen. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.

Algebraische Ergänzungen.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Dann inverse Matrix kann geschrieben werden als:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Finden der inversen Matrix

Matrix A-1 wird in Bezug auf die Matrix als inverse Matrix bezeichnet, wenn A*A-1 = , wobei es sich um die Identitätsmatrix der ten Ordnung handelt. Eine inverse Matrix kann nur für quadratische Matrizen existieren.

siehe auch Inverse Matrix mit der Jordano-Gauß-Methode

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

1. Bestimmen Sie, ob die Matrix quadratisch ist. Wenn nicht, dann gibt es dafür keine inverse Matrix.
2. Berechnung der Determinante einer Matrix. Ist sie ungleich Null, setzen wir die Lösung fort, andernfalls existiert die inverse Matrix nicht.
3. Finden der transponierten Matrix AT.
4. Definition algebraischer Komplemente. Ersetzen Sie jedes Element der Matrix durch sein algebraisches Komplement.
5. Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der resultierenden Matrix wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
6. Sie führen eine Prüfung durch: Sie multiplizieren die Original- und die resultierenden Matrizen. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.

Der folgende Algorithmus zum Finden der inversen Matrix ähnelt dem vorherigen, mit Ausnahme einiger Schritte: Zuerst werden die algebraischen Komplemente berechnet und dann wird die alliierte Matrix bestimmt.

1. Bestimmen Sie, ob die Matrix quadratisch ist. Wenn nicht, dann gibt es dafür keine inverse Matrix.
2. Berechnung der Determinante einer Matrix. Ist sie ungleich Null, setzen wir die Lösung fort, andernfalls existiert die inverse Matrix nicht.
3. Definition algebraischer Komplemente.
4. Ausfüllen der Unionsmatrix (gegenseitig, adjungiert).
5. Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der adjungierten Matrix wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
6. Sie führen eine Prüfung durch: Sie multiplizieren die Original- und die resultierenden Matrizen. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.

Beispiel Nr. 1. Schreiben wir die Matrix in der Form:

Eine inverse Matrix liegt vor, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist. Finden wir die Determinante der Matrix:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Die Determinante ist 10 und ist ungleich Null. Fahren wir mit der Lösung fort.
Finden wir die transponierte Matrix:
Algebraische Ergänzungen.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Dann inverse Matrix kann geschrieben werden als:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Ein weiterer Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

Lassen Sie uns ein anderes Schema zum Finden der inversen Matrix vorstellen.

1. Finden Sie die Determinante dieser quadratischen Matrix.
2. Wir finden algebraische Komplemente zu allen Elementen der Matrix.
3. Wir schreiben algebraische Additionen von Zeilenelementen zu Spalten (Transposition).
4. Wir dividieren jedes Element der resultierenden Matrix durch die Determinante der Matrix.

Wie wir sehen, kann die Transpositionsoperation sowohl am Anfang auf die Originalmatrix als auch am Ende auf die resultierenden algebraischen Additionen angewendet werden.

Sonderfall: Die Umkehrung der Identitätsmatrix ist die Identitätsmatrix.

Beispiel Nr. 2. Finden Sie die Matrixinverse einer Matrix .
Lösung.
1. Lasst uns finden
.
2. Wir suchen nach algebraischen Komplementen für jedes Element der Matrix A:
; ; .
Wir haben algebraische Komplemente der Elemente der ersten Zeile erhalten.

Finden Sie die inverse Matrix online

Ebenso erhalten wir für die Elemente der zweiten und dritten Zeile:
; ; .
; ; .
Durch die Kombination der Punkte 3 und 4 erhalten wir die inverse Matrix

.
Stellen Sie zur Überprüfung sicher, dass A-1A = E.

Anweisungen. Um eine Lösung zu erhalten, ist es notwendig, die Dimension der Matrix anzugeben. Füllen Sie als Nächstes die Matrix im neuen Dialogfeld aus.

Finden der inversen Matrix

Matrix A-1 wird in Bezug auf die Matrix als inverse Matrix bezeichnet, wenn A*A-1 = , wobei es sich um die Identitätsmatrix der ten Ordnung handelt. Eine inverse Matrix kann nur für quadratische Matrizen existieren.

Zweck des Dienstes. Mit diesem Dienst können Sie online algebraische Komplemente, die transponierte Matrix AT, die alliierte Matrix und die inverse Matrix finden. Die Entscheidung wird direkt auf der Website (online) getroffen und ist kostenlos. Die Berechnungsergebnisse werden in einem Bericht im Word- und Excel-Format dargestellt (d. h. es besteht die Möglichkeit, die Lösung zu überprüfen). siehe Designbeispiel.

Die inverse Matrix online finden

siehe auch Inverse Matrix mit der Jordano-Gauß-Methode

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

1. Bestimmen Sie, ob die Matrix quadratisch ist. Wenn nicht, dann gibt es dafür keine inverse Matrix.
2. Berechnung der Determinante einer Matrix. Ist sie ungleich Null, setzen wir die Lösung fort, andernfalls existiert die inverse Matrix nicht.
3. Finden der transponierten Matrix AT.
4. Definition algebraischer Komplemente. Ersetzen Sie jedes Element der Matrix durch sein algebraisches Komplement.
5. Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der resultierenden Matrix wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
6. Sie führen eine Prüfung durch: Sie multiplizieren die Original- und die resultierenden Matrizen. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.

Der folgende Algorithmus zum Finden der inversen Matrix ähnelt dem vorherigen, mit Ausnahme einiger Schritte: Zuerst werden die algebraischen Komplemente berechnet und dann wird die alliierte Matrix bestimmt.

1. Bestimmen Sie, ob die Matrix quadratisch ist. Wenn nicht, dann gibt es dafür keine inverse Matrix.
2. Berechnung der Determinante einer Matrix. Ist sie ungleich Null, setzen wir die Lösung fort, andernfalls existiert die inverse Matrix nicht.
3. Definition algebraischer Komplemente.
4. Ausfüllen der Unionsmatrix (gegenseitig, adjungiert).
5. Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der adjungierten Matrix wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
6. Sie führen eine Prüfung durch: Sie multiplizieren die Original- und die resultierenden Matrizen. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.

Beispiel Nr. 1. Schreiben wir die Matrix in der Form:

Eine inverse Matrix liegt vor, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist. Finden wir die Determinante der Matrix:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Die Determinante ist 10 und ist ungleich Null. Fahren wir mit der Lösung fort.
Finden wir die transponierte Matrix:
Algebraische Ergänzungen.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Dann inverse Matrix kann geschrieben werden als:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Ein weiterer Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

Lassen Sie uns ein anderes Schema zum Finden der inversen Matrix vorstellen.

1. Finden Sie die Determinante dieser quadratischen Matrix.
2. Wir finden algebraische Komplemente zu allen Elementen der Matrix.
3. Wir schreiben algebraische Additionen von Zeilenelementen zu Spalten (Transposition).
4. Wir dividieren jedes Element der resultierenden Matrix durch die Determinante der Matrix.

Wie wir sehen, kann die Transpositionsoperation sowohl am Anfang auf die Originalmatrix als auch am Ende auf die resultierenden algebraischen Additionen angewendet werden.

Stellen Sie zur Überprüfung sicher, dass A-1A = E.

Anweisungen. Um eine Lösung zu erhalten, ist es notwendig, die Dimension der Matrix anzugeben. Füllen Sie als Nächstes die Matrix im neuen Dialogfeld aus.

Das Finden der Umkehrung einer Matrix ist ein wichtiger Bestandteil im Abschnitt über lineare Algebra. Mit solchen Matrizen, sofern vorhanden, kann man schnell eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem finden.

Eine Matrix heißt Inverse einer Matrix, wenn die folgenden Gleichungen gelten.

Wenn die Determinante einer Matrix ungleich Null ist, heißt die Matrix nicht speziell oder nicht singulär.

Damit eine Matrix eine Umkehrung hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie nicht singulär ist

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

Lassen Sie uns eine quadratische Matrix haben

und Sie müssen das Gegenteil dazu finden. Dazu müssen Sie Folgendes tun:

1. Finden Sie die Determinante der Matrix. Wenn es nicht Null ist, führen Sie die folgenden Aktionen aus. Ansonsten ist diese Matrix singulär und es gibt keine Umkehrung dafür

2. Finden Sie algebraische Komplemente von Matrixelementen. Sie entsprechen den Minderjährigen multipliziert mit der Potenz der Summe der gesuchten Zeile und Spalte.

3. Erstellen Sie eine Matrix aus den algebraischen Komplementen der Elemente der Matrixmatrix und transponieren Sie diese. Diese Matrix wird adjungiert oder alliiert genannt und mit bezeichnet.

4. Teilen Sie die adjungierte Matrix durch ihre Determinante. Die resultierende Matrix ist invers und weist die am Anfang des Artikels beschriebenen Eigenschaften auf.

Finden Sie die zur Matrix inverse Matrix (Dubovik V.P., Yurik I.I.

Finden der inversen Matrix

„Höhere Mathematik. Aufgabensammlung“)

1) Finden Sie die Determinante der Matrix

Da die Determinante ungleich Null () ist, existiert die inverse Matrix. Wir finden eine Matrix, die aus algebraischen Additionen besteht

Die Komplementmatrix wird die Form annehmen

Wir transponieren es und erhalten den Adjungierten

Teilen Sie es durch die Determinante und erhalten Sie die Umkehrung

Wir sehen, dass für den Fall, dass die Determinante gleich eins ist, die Matrizen addiert werden und die Umkehrung gleich ist.

2) Berechnen Sie die Determinante der Matrix

Finden der Matrix algebraischer Additionen

Endgültige Ansicht der Komplementmatrix

Wir transponieren es und finden die Vereinigungsmatrix

Finden der inversen Matrix

3) Berechnen wir die Determinante der Matrix. Erweitern wir es dazu auf die erste Zeile. Als Ergebnis erhalten wir zwei von Null verschiedene Terme

Wir finden die Matrix algebraischer Additionen. Wir planen die Determinante entlang der Zeilen und Spalten, die mehr Nullelemente haben (schwarz markiert).

Die endgültige Form der Komplementmatrix ist wie folgt

Wir transponieren es und finden die adjungierte Matrix

Da die Determinante der Matrix gleich eins ist, stimmt die inverse Matrix mit der adjungierten Matrix überein. Dieses Beispiel ist rückwärts.

Bei der Berechnung der Umkehrmatrix sind typische Fehler mit falschen Vorzeichen bei der Berechnung der Determinanten- und Komplementmatrix verbunden.

Höhere Mathematik » Matrizen und Determinanten » Inverse Matrix » Berechnung der inversen Matrix mittels algebraischer Additionen.

Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix mithilfe algebraischer Additionen: die Methode der adjungierten Matrix.

Die Matrix $A^(-1)$ heißt die Umkehrung der quadratischen Matrix $A$, wenn die Bedingung $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ erfüllt ist, wobei $E $ die Identitätsmatrix ist, deren Ordnung gleich der Ordnung der Matrix $A$ ist.

Eine nicht singuläre Matrix ist eine Matrix, deren Determinante ungleich Null ist. Dementsprechend ist eine singuläre Matrix eine Matrix, deren Determinante gleich Null ist.

Die inverse Matrix $A^(-1)$ existiert genau dann, wenn die Matrix $A$ nicht singulär ist. Wenn die inverse Matrix $A^(-1)$ existiert, dann ist sie eindeutig.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Umkehrung einer Matrix zu finden, und wir werden uns zwei davon ansehen. Auf dieser Seite wird die Adjungierte-Matrix-Methode besprochen, die in den meisten höheren Mathematikkursen als Standard gilt. Die zweite Methode zur Ermittlung der inversen Matrix (die Methode der Elementartransformationen), die die Verwendung der Gauß-Methode oder der Gauß-Jordan-Methode beinhaltet, wird im zweiten Teil besprochen.

Methode der adjungierten Matrix

Gegeben sei die Matrix $A_(n\times n)$. Um die inverse Matrix $A^(-1)$ zu finden, sind drei Schritte erforderlich:

1. Finden Sie die Determinante der Matrix $A$ und stellen Sie sicher, dass $\Delta A\neq 0$, d.h. dass Matrix A nicht singulär ist.
2. Bilden Sie algebraische Komplemente $A_(ij)$ jedes Elements der Matrix $A$ und schreiben Sie die Matrix $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ aus der gefundenen Algebra Ergänzungen.
3. Schreiben Sie die inverse Matrix unter Berücksichtigung der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Die Matrix $(A^(*))^T$ wird oft als adjungiert (reziprok, verbündet) zur Matrix $A$ bezeichnet.

Wenn die Lösung manuell erfolgt, eignet sich die erste Methode nur für Matrizen relativ kleiner Ordnung: zweite (Beispiel Nr. 2), dritte (Beispiel Nr. 3), vierte (Beispiel Nr. 4). Um die Umkehrung einer Matrix höherer Ordnung zu finden, werden andere Methoden verwendet. Zum Beispiel die Gaußsche Methode, die im zweiten Teil besprochen wird.

Beispiel Nr. 1

Finden Sie die Umkehrung der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

inverse Matrix

Da alle Elemente der vierten Spalte gleich Null sind, ist $\Delta A=0$ (d. h. die Matrix $A$ ist singulär). Da $\Delta A=0$ ist, gibt es keine inverse Matrix zur Matrix $A$.

Beispiel Nr. 2

Finden Sie die Umkehrung der Matrix $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Wir verwenden die Methode der adjungierten Matrix. Finden wir zunächst die Determinante der gegebenen Matrix $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Da $\Delta A \neq 0$ ist, existiert die inverse Matrix, daher werden wir mit der Lösung fortfahren. Wir finden die algebraischen Komplemente jedes Elements einer gegebenen Matrix:

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Wir erstellen eine Matrix algebraischer Additionen: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Wir transponieren die resultierende Matrix: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the Die resultierende Matrix wird oft als adjungierte oder mit der Matrix $A$ verbündete Matrix bezeichnet. Mit der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ erhalten wir:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Somit wird die inverse Matrix gefunden: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\right) $. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, reicht es aus, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $A^(-1)\cdot A=E$ oder $A\cdot A^(-1)=E$. Überprüfen wir die Gleichheit $A^(-1)\cdot A=E$. Um weniger mit Brüchen arbeiten zu müssen, ersetzen wir die Matrix $A^(-1)$ nicht in der Form $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, und in der Form $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

Antwort: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Beispiel Nr. 3

Finden Sie die inverse Matrix für die Matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

Beginnen wir mit der Berechnung der Determinante der Matrix $A$. Die Determinante der Matrix $A$ ist also:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Da $\Delta A\neq 0$ ist, existiert die inverse Matrix, daher werden wir mit der Lösung fortfahren. Wir finden die algebraischen Komplemente jedes Elements einer gegebenen Matrix:

Wir erstellen eine Matrix algebraischer Additionen und transponieren sie:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Mit der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ erhalten wir:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Also $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, reicht es aus, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $A^(-1)\cdot A=E$ oder $A\cdot A^(-1)=E$. Überprüfen wir die Gleichheit $A\cdot A^(-1)=E$. Um weniger mit Brüchen arbeiten zu müssen, ersetzen wir die Matrix $A^(-1)$ nicht in der Form $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ und in der Form $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Die Prüfung war erfolgreich, die inverse Matrix $A^(-1)$ wurde korrekt gefunden.

Antwort: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Beispiel Nr. 4

Finden Sie die Matrixinverse der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Für eine Matrix vierter Ordnung ist es etwas schwierig, die inverse Matrix mithilfe algebraischer Additionen zu finden. Solche Beispiele kommen jedoch in Prüfungsarbeiten vor.

Um die Umkehrung einer Matrix zu finden, müssen Sie zunächst die Determinante der Matrix $A$ berechnen. Der beste Weg, dies in dieser Situation zu tun, besteht darin, die Determinante entlang einer Zeile (Spalte) zu erweitern. Wir wählen eine beliebige Zeile oder Spalte aus und finden die algebraischen Komplemente jedes Elements der ausgewählten Zeile oder Spalte.

Für die erste Zeile erhalten wir beispielsweise:

Die Determinante der Matrix $A$ wird nach folgender Formel berechnet:

$$ \Delta A=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14)= 6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

Matrix algebraischer Komplemente: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Adjungierte Matrix: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$

Inverse Matrix:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Untersuchung:

Daher wurde die Umkehrmatrix korrekt gefunden.

Antwort: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right )$.

Im zweiten Teil betrachten wir eine andere Möglichkeit, die inverse Matrix zu finden, die die Verwendung von Transformationen der Gaußschen Methode oder der Gauß-Jordan-Methode beinhaltet.

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Finden der inversen Matrix

Matrix A-1 wird in Bezug auf die Matrix als inverse Matrix bezeichnet, wenn A*A-1 = , wobei es sich um die Identitätsmatrix der ten Ordnung handelt. Eine inverse Matrix kann nur für quadratische Matrizen existieren.

Zweck des Dienstes. Mit diesem Dienst können Sie online algebraische Komplemente, die transponierte Matrix AT, die alliierte Matrix und die inverse Matrix finden. Die Entscheidung wird direkt auf der Website (online) getroffen und ist kostenlos. Die Berechnungsergebnisse werden in einem Bericht im Word- und Excel-Format dargestellt (d. h. es besteht die Möglichkeit, die Lösung zu überprüfen). siehe Designbeispiel.

siehe auch Inverse Matrix mit der Jordano-Gauß-Methode

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

1. Bestimmen Sie, ob die Matrix quadratisch ist. Wenn nicht, dann gibt es dafür keine inverse Matrix.
2. Berechnung der Determinante einer Matrix. Ist sie ungleich Null, setzen wir die Lösung fort, andernfalls existiert die inverse Matrix nicht.
3. Finden der transponierten Matrix AT.
4. Definition algebraischer Komplemente. Ersetzen Sie jedes Element der Matrix durch sein algebraisches Komplement.
5. Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der resultierenden Matrix wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
6. Sie führen eine Prüfung durch: Sie multiplizieren die Original- und die resultierenden Matrizen. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.

Der folgende Algorithmus zum Finden der inversen Matrix ähnelt dem vorherigen, mit Ausnahme einiger Schritte: Zuerst werden die algebraischen Komplemente berechnet und dann wird die alliierte Matrix bestimmt.

1. Bestimmen Sie, ob die Matrix quadratisch ist. Wenn nicht, dann gibt es dafür keine inverse Matrix.
2. Berechnung der Determinante einer Matrix. Ist sie ungleich Null, setzen wir die Lösung fort, andernfalls existiert die inverse Matrix nicht.
3. Definition algebraischer Komplemente.
4. Ausfüllen der Unionsmatrix (gegenseitig, adjungiert).
5. Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der adjungierten Matrix wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
6. Sie führen eine Prüfung durch: Sie multiplizieren die Original- und die resultierenden Matrizen. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.

Beispiel Nr. 1. Schreiben wir die Matrix in der Form:

Eine inverse Matrix liegt vor, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist. Finden wir die Determinante der Matrix:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Die Determinante ist 10 und ist ungleich Null. Fahren wir mit der Lösung fort.
Finden wir die transponierte Matrix:
Algebraische Ergänzungen.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Dann inverse Matrix kann geschrieben werden als:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Ein weiterer Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

Lassen Sie uns ein anderes Schema zum Finden der inversen Matrix vorstellen.

1. Finden Sie die Determinante dieser quadratischen Matrix.
2. Wir finden algebraische Komplemente zu allen Elementen der Matrix.
3. Wir schreiben algebraische Additionen von Zeilenelementen zu Spalten (Transposition).
4. Wir dividieren jedes Element der resultierenden Matrix durch die Determinante der Matrix.

Wie wir sehen, kann die Transpositionsoperation sowohl am Anfang auf die Originalmatrix als auch am Ende auf die resultierenden algebraischen Additionen angewendet werden.

Stellen Sie zur Überprüfung sicher, dass A-1A = E.

Anweisungen. Um eine Lösung zu erhalten, ist es notwendig, die Dimension der Matrix anzugeben. Füllen Sie als Nächstes die Matrix im neuen Dialogfeld aus.

Um die inverse Matrix online zu finden, müssen Sie die Größe der Matrix selbst angeben. Klicken Sie dazu auf die Symbole „+“ oder „-“, bis Sie mit der Anzahl der Spalten und Zeilen zufrieden sind. Geben Sie anschließend die erforderlichen Elemente in die Felder ein. Unten finden Sie die Schaltfläche „Berechnen“. Wenn Sie darauf klicken, erhalten Sie auf dem Bildschirm eine Antwort mit einer detaillierten Lösung.

In der linearen Algebra muss man sich häufig mit der Berechnung der inversen Matrix befassen. Es existiert nur für unausgedrückte Matrizen und für quadratische Matrizen, sofern die Determinante ungleich Null ist. Im Prinzip ist die Berechnung nicht besonders schwierig, insbesondere wenn es sich um eine kleine Matrix handelt. Wenn Sie jedoch komplexere Berechnungen oder eine gründliche Überprüfung Ihrer Entscheidung benötigen, ist es besser, diesen Online-Rechner zu verwenden. Mit seiner Hilfe können Sie eine inverse Matrix schnell und genau lösen.

Mit diesem Online-Rechner können Sie Ihre Berechnungen erheblich vereinfachen. Darüber hinaus hilft es, den theoretisch gewonnenen Stoff zu festigen – es ist eine Art Simulator für das Gehirn. Es sollte nicht als Ersatz für manuelle Berechnungen betrachtet werden; es kann Ihnen viel mehr bieten und das Verständnis des Algorithmus selbst erleichtern. Außerdem schadet es nie, sich selbst noch einmal zu überprüfen.

Matrix A -1 heißt die inverse Matrix bezüglich Matrix A, wenn A*A -1 = E, wobei E die Identitätsmatrix n-ter Ordnung ist. Eine inverse Matrix kann nur für quadratische Matrizen existieren.

Zweck des Dienstes. Mit diesem Online-Dienst können Sie algebraische Komplemente, transponierte Matrizen A T, alliierte Matrizen und inverse Matrizen finden. Die Entscheidung wird direkt auf der Website (online) getroffen und ist kostenlos. Die Berechnungsergebnisse werden in einem Bericht im Word- und Excel-Format dargestellt (d. h. es besteht die Möglichkeit, die Lösung zu überprüfen). siehe Designbeispiel.

Anweisungen. Um eine Lösung zu erhalten, ist es notwendig, die Dimension der Matrix anzugeben. Füllen Sie als Nächstes Matrix A im neuen Dialogfeld aus.

Siehe auch Inverse Matrix mit der Jordano-Gauß-Methode

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

1. Finden der transponierten Matrix A T .
2. Definition algebraischer Komplemente. Ersetzen Sie jedes Element der Matrix durch sein algebraisches Komplement.
3. Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der resultierenden Matrix wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.

Nächste Algorithmus zum Finden der inversen Matrixähnelt dem vorherigen, mit Ausnahme einiger Schritte: Zuerst werden die algebraischen Komplemente berechnet und dann wird die zugehörige Matrix C bestimmt.

1. Bestimmen Sie, ob die Matrix quadratisch ist. Wenn nicht, dann gibt es dafür keine inverse Matrix.
2. Berechnung der Determinante der Matrix A. Ist sie ungleich Null, setzen wir die Lösung fort, andernfalls existiert die inverse Matrix nicht.
3. Definition algebraischer Komplemente.
4. Ausfüllen der Vereinigungsmatrix (gegenseitig, adjungiert) C .
5. Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der adjungierten Matrix C wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
6. Sie führen eine Prüfung durch: Sie multiplizieren die Original- und die resultierenden Matrizen. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.

Beispiel Nr. 1. Schreiben wir die Matrix in der Form:

Algebraische Ergänzungen. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Ein weiterer Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

Lassen Sie uns ein anderes Schema zum Finden der inversen Matrix vorstellen.

1. Finden Sie die Determinante einer gegebenen quadratischen Matrix A.
2. Wir finden algebraische Komplemente zu allen Elementen der Matrix A.
3. Wir schreiben algebraische Additionen von Zeilenelementen zu Spalten (Transposition).
4. Wir dividieren jedes Element der resultierenden Matrix durch die Determinante der Matrix A.

Wie wir sehen, kann die Transpositionsoperation sowohl am Anfang auf die Originalmatrix als auch am Ende auf die resultierenden algebraischen Additionen angewendet werden.

Ein Sonderfall: Die Umkehrung der Identitätsmatrix E ist die Identitätsmatrix E.

Für jede nicht singuläre Matrix A gibt es eine eindeutige Matrix A -1, so dass

A*A -1 =A -1 *A = E,

wobei E die Identitätsmatrix der gleichen Ordnungen wie A ist. Die Matrix A -1 wird als Umkehrung der Matrix A bezeichnet.

Falls jemand es vergessen hat: In der Identitätsmatrix sind bis auf die mit Einsen gefüllte Diagonale alle anderen Positionen mit Nullen gefüllt, ein Beispiel für eine Identitätsmatrix:

Finden der inversen Matrix mit der Methode der adjungierten Matrix

Die inverse Matrix wird durch die Formel definiert:

wo A ij - Elemente a ij.

Diese. Um die inverse Matrix zu berechnen, müssen Sie die Determinante dieser Matrix berechnen. Finden Sie dann die algebraischen Komplemente für alle ihre Elemente und bilden Sie daraus eine neue Matrix. Als nächstes müssen Sie diese Matrix transportieren. Und dividieren Sie jedes Element der neuen Matrix durch die Determinante der ursprünglichen Matrix.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Finden Sie A -1 für eine Matrix

Lösung. Finden wir A -1 mit der Adjungierten-Matrix-Methode. Wir haben det A = 2. Finden wir die algebraischen Komplemente der Elemente der Matrix A. In diesem Fall sind die algebraischen Komplemente der Matrixelemente die entsprechenden Elemente der Matrix selbst, genommen mit einem Vorzeichen gemäß der Formel

Wir haben A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Wir bilden die adjungierte Matrix

Wir transportieren die Matrix A*:

Wir finden die inverse Matrix mit der Formel:

Wir bekommen:

Finden Sie mit der Adjungierten-Matrix-Methode A -1 if

Lösung Zunächst berechnen wir die Definition dieser Matrix, um die Existenz der inversen Matrix zu überprüfen. Wir haben

Hier haben wir zu den Elementen der zweiten Zeile die Elemente der dritten Zeile hinzugefügt, die zuvor mit (-1) multipliziert wurden, und dann die Determinante für die zweite Zeile erweitert. Da die Definition dieser Matrix ungleich Null ist, existiert ihre inverse Matrix. Um die adjungierte Matrix zu konstruieren, ermitteln wir die algebraischen Komplemente der Elemente dieser Matrix. Wir haben

Nach der Formel

Transportmatrix A*:

Dann nach der Formel

Finden der inversen Matrix mit der Methode der Elementartransformationen

Zusätzlich zu der Methode zum Ermitteln der inversen Matrix, die sich aus der Formel ergibt (die Methode der adjungierten Matrix), gibt es eine Methode zum Ermitteln der inversen Matrix, die als Methode der Elementartransformationen bezeichnet wird.

Elementare Matrixtransformationen

Die folgenden Transformationen werden als elementare Matrixtransformationen bezeichnet:

1) Neuanordnung von Zeilen (Spalten);

2) Multiplizieren einer Zeile (Spalte) mit einer Zahl ungleich Null;

3) Addieren der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) zu den Elementen einer Zeile (Spalte), zuvor multipliziert mit einer bestimmten Zahl.

Um die Matrix A -1 zu finden, erstellen wir eine rechteckige Matrix B = (A|E) der Ordnungen (n; 2n) und weisen der Matrix A rechts die Identitätsmatrix E durch eine Trennlinie zu:

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Finden Sie mit der Methode der Elementartransformationen A -1 if

Lösung: Wir bilden Matrix B:

Bezeichnen wir die Zeilen der Matrix B mit α 1, α 2, α 3. Führen wir die folgenden Transformationen an den Zeilen der Matrix B durch.

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