Welche Konstruktionen können mit einem Lineal erstellt werden? Konstruktion mit Lineal und Zirkel. Mögliche und unmögliche Konstruktionen

Beispiel

Ein Segment in zwei Hälften teilen

Halbierungsproblem. Teilen Sie dieses Segment mit einem Zirkel und einem Lineal AB in zwei gleiche Teile. Eine der Lösungen ist in der Abbildung dargestellt:

  • Mit einem Zirkel zeichnen wir Kreise mit Mittelpunkten in Punkten A Und B Radius AB.
  • Schnittpunkte finden P Und Q zwei konstruierte Kreise (Bögen).
  • Zeichnen Sie mit einem Lineal ein Segment oder eine Linie, die durch die Punkte verläuft P Und Q.
  • Finden des gewünschten Mittelpunkts des Segments AB- Schnittpunkt AB Und PQ.

Formale Definition

Bei Konstruktionsproblemen werden die Menge aller Punkte der Ebene, die Menge aller Geraden der Ebene und die Menge aller Kreise der Ebene betrachtet, an denen folgende Operationen zulässig sind:

  1. Wählen Sie einen Punkt aus der Menge aller Punkte aus:
    1. beliebiger Punkt
    2. beliebiger Punkt auf einer gegebenen Linie
    3. beliebiger Punkt auf einem gegebenen Kreis
    4. der Schnittpunkt zweier gegebener Geraden
    5. Schnittpunkt/Tangentialpunkt einer gegebenen Geraden und eines gegebenen Kreises
    6. Schnittpunkte/Tangentenpunkte zweier gegebener Kreise
  2. "Mit Hilfe Lineale» Wählen Sie eine Zeile aus der Menge aller Zeilen aus:
    1. beliebige Gerade
    2. eine beliebige gerade Linie, die durch einen bestimmten Punkt verläuft
    3. eine gerade Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft
  3. "Mit Hilfe Kompass» Wählen Sie einen Kreis aus der Menge aller Kreise aus:
    1. beliebiger Kreis
    2. ein beliebiger Kreis mit einem Mittelpunkt an einem bestimmten Punkt
    3. ein beliebiger Kreis mit einem Radius, der dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten entspricht
    4. ein Kreis mit einem Mittelpunkt an einem gegebenen Punkt und einem Radius, der dem Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten entspricht

In den Problembedingungen wird eine bestimmte Menge von Punkten angegeben. Es ist erforderlich, unter Verwendung einer endlichen Anzahl von Operationen aus den oben aufgeführten zulässigen Operationen eine weitere Menge von Punkten zu konstruieren, die in einer bestimmten Beziehung zur ursprünglichen Menge steht.

Die Lösung des Konstruktionsproblems besteht aus drei wesentlichen Teilen:

  1. Beschreibung der Methode zum Aufbau einer gegebenen Menge.
  2. Beweis, dass die auf die beschriebene Weise konstruierte Menge tatsächlich in einer gegebenen Beziehung zur ursprünglichen Menge steht. Üblicherweise erfolgt der Beweis der Konstruktion als regulärer Beweis des Satzes, basierend auf Axiomen und anderen bewährten Sätzen.
  3. Analyse der beschriebenen Konstruktionsmethode auf ihre Anwendbarkeit auf verschiedene Versionen der Anfangsbedingungen sowie auf die Einzigartigkeit oder Nichteinzigartigkeit der durch die beschriebene Methode erhaltenen Lösung.

Bekannte Probleme

  • Apollonius‘ Problem, einen Kreis zu konstruieren, der drei gegebene Kreise tangiert. Liegt keiner der gegebenen Kreise innerhalb des anderen, dann hat dieses Problem 8 deutlich unterschiedliche Lösungen.
  • Brahmaguptas Problem, ein beschriftetes Viereck aus seinen vier Seiten zu konstruieren.

Konstruktion regelmäßiger Vielecke

Die alten Geometer wussten, wie man richtig konstruiert N-gons für , , und .

Mögliche und unmögliche Konstruktionen

Alle Konstruktionen sind nichts anderes als Lösungen einer Gleichung, und die Koeffizienten dieser Gleichung hängen mit der Länge gegebener Segmente zusammen. Daher ist es zweckmäßig, über die Konstruktion einer Zahl zu sprechen – einer grafischen Lösung für eine Gleichung eines bestimmten Typs. Im Rahmen der oben genannten Anforderungen sind folgende Konstruktionen möglich:

  • Konstruktion von Lösungen für lineare Gleichungen.
  • Konstruieren von Lösungen für quadratische Gleichungen.

Mit anderen Worten: Es ist nur möglich, Zahlen zu konstruieren, die arithmetischen Ausdrücken entsprechen, indem man die Quadratwurzel der ursprünglichen Zahlen (Längen von Segmenten) verwendet. Zum Beispiel,

Variationen und Verallgemeinerungen

  • Konstruktionen mit einem Kompass. Nach dem Mohr-Mascheroni-Theorem kann man mit Hilfe eines Zirkels jede Figur konstruieren, die man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. In diesem Fall gilt eine Gerade als konstruiert, wenn darauf zwei Punkte angegeben sind.
  • Konstruktionen mit einem Lineal. Es ist leicht zu erkennen, dass mit Hilfe eines Lineals nur projektiv-invariante Konstruktionen durchgeführt werden können. Insbesondere ist es unmöglich, ein Segment überhaupt in zwei gleiche Teile zu teilen oder den Mittelpunkt eines gezeichneten Kreises zu finden. Befindet sich jedoch auf der Ebene ein vorgezeichneter Kreis mit markiertem Mittelpunkt, können Sie mit einem Lineal die gleichen Konstruktionen wie mit Zirkel und Lineal durchführen (Satz von Poncelet-Steiner ( Englisch)), 1833. Wenn ein Lineal zwei Kerben hat, dann sind Konstruktionen, die es verwenden, äquivalent zu Konstruktionen, die Zirkel und Lineal verwenden (Napoleon hat einen wichtigen Schritt getan, um dies zu beweisen).
  • Konstruktionen mit Werkzeugen mit begrenzten Fähigkeiten. Bei Problemen dieser Art gelten Werkzeuge (im Gegensatz zur klassischen Problemstellung) nicht als ideal, sondern als begrenzt: Eine Gerade durch zwei Punkte kann mit einem Lineal nur gezogen werden, wenn der Abstand zwischen diesen Punkten einen bestimmten Wert nicht überschreitet Wert; Der Radius von mit einem Zirkel gezeichneten Kreisen kann von oben, unten oder sowohl oben als auch unten begrenzt werden.
  • Konstruktionen mit flachem Origami. siehe Hujit-Regeln

siehe auch

  • Mit dynamischen Geometrieprogrammen können Sie Konstruktionen mithilfe eines Zirkels und eines Lineals am Computer durchführen.

Anmerkungen

Literatur

  • A. Adler Theorie geometrischer Konstruktionen / Übersetzung aus dem Deutschen von G. M. Fikhtengolts. - Dritte Edition. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 S.
  • I. I. Alexandrow Sammlung geometrischer Konstruktionsprobleme. - Achtzehnte Auflage. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 S.
  • B. I. Argunov, M. B. Balk. - Zweite Ausgabe. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 S.
  • A. M. Voronets Geometrie des Kompasses. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 S. - (Volksbibliothek für Mathematik unter der Gesamtherausgeberschaft von L. A. Lyusternik).
  • V. A. Geiler Unlösbare Bauprobleme // Kühlmittel. - 1999. - Nr. 12. - S. 115-118.
  • V. A. Kirichenko Konstruktionen mit Zirkel und Lineal und Galois-Theorie // Sommerschule „Moderne Mathematik“. - Dubna, 2005.
  • Yu. I. Manin Buch IV. Geometrie // Enzyklopädie der Elementarmathematik. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 S.
  • Y. Petersen Methoden und Theorien zur Lösung geometrischer Konstruktionsprobleme. - M.: Druckerei von E. Lissner und Y. Roman, 1892. - 114 S.
  • V. V. Prasolov Drei klassische Konstruktionsprobleme. Einen Würfel verdoppeln, einen Winkel dreiteilen, einen Kreis quadrieren. - M.: Nauka, 1992. - 80 S. - (Beliebte Vorlesungen über Mathematik).
  • J. Steiner Geometrische Konstruktionen, die mit einer geraden Linie und einem festen Kreis ausgeführt werden. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 S.
  • Wahlfach Mathematik. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaya. - M.: Bildung, 1991. - S. 80. - 383 S. - ISBN 5-09-001287-3

Wikimedia-Stiftung. 2010.

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    Ein seit der Antike bekannter Zweig der euklidischen Geometrie. Bei Konstruktionsaufgaben sind folgende Operationen möglich: Markieren Sie einen beliebigen Punkt auf der Ebene, einen Punkt auf einer der konstruierten Linien oder den Schnittpunkt zweier konstruierter Linien. Mit Hilfe von... ... Wikipedia

    Konstruktionen mit Zirkel und Lineal sind ein seit der Antike bekannter Zweig der euklidischen Geometrie. Bei Konstruktionsaufgaben sind folgende Operationen möglich: Markieren Sie einen beliebigen Punkt auf der Ebene, einen Punkt auf einer der konstruierten Linien oder einen Punkt... ... Wikipedia

    Substantiv, s., verwendet. vergleichen oft Morphologie: (nein) was? Bau, was? Bau, (ich verstehe) was? Bau, was? Bau, worüber? über den Bau; pl. Was? Bau, (nein) was? Konstruktionen, warum? Konstruktionen, (ich verstehe) was? Konstruktion, womit?... ... Dmitrievs erklärendes Wörterbuch

KLEINE AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN DER SCHÜLER DER KRIM

"SUCHER"

Abschnitt „Mathematik“

GEOMETRISCHE KONSTRUKTIONEN MIT EINEM DOPPELSEITIGEN LINEAL

Ich habe die Arbeit erledigt A

_____________

Klassenschüler

Wissenschaftlicher Leiter

EINFÜHRUNG……………………………………………………………………………..…..3

I. GEOMETRISCHE KONSTRUKTIONEN IM FLUGZEUG………………...4

I.1. Allgemeine Axiome der konstruktiven Geometrie. Axiome mathematischer Instrumente……………………………………………………………………………..4

I.2. ……………………….....5

I.3. Geometrische Konstruktionen mit einem Lineal……………………………..7

ICH.4. Grundaufgaben zum Konstruieren mit einem doppelseitigen Lineal………………..8

I.5. Lösung verschiedener Bauprobleme …………………………………12

I.6. Konstruktionen mit einseitigem Lineal………………………………….....20

I.7. Austauschbarkeit eines doppelseitigen Lineals mit einem Zirkel und einem Lineal....21

FAZIT…………………………………………………………….24

Referenzliste……………………………..………….25

Einführung

Zu den Problemen beim Bauen mit begrenzten Mitteln gehören Probleme beim Bauen nur mit Zirkel und Lineal, die im Lehrplan der Schule berücksichtigt werden. Ist es möglich, Konstruktionsprobleme mit nur einem Lineal zu lösen? Oftmals hat man keinen Kompass zur Hand, aber ein Lineal lässt sich immer finden.

Probleme zu Konstruktionen in der Geometrie sind ein faszinierender Abschnitt. Das Interesse daran beruht auf der Schönheit und Einfachheit seines geometrischen Inhalts. Die Relevanz der Betrachtung dieser Probleme steigt aufgrund der Tatsache, dass sie in der Praxis eingesetzt werden. Die Fähigkeit, mit einem Lineal die in dieser Arbeit betrachteten Probleme zu lösen, ist in der praktischen Tätigkeit von großer Bedeutung, denn Wir stehen ständig vor dem Problem, ein Segment in zwei Hälften zu teilen, ein bestimmtes Segment zu verdoppeln usw.

In diesem Artikel werden die wichtigsten Konstruktionsprobleme untersucht, die als Grundlage für die Lösung komplexerer Probleme dienen.

Wie die Erfahrung zeigt, wecken Bauaufgaben Interesse und tragen zur Aktivierung der geistigen Aktivität bei. Bei der Lösung wird das Wissen über die Eigenschaften von Figuren aktiv genutzt, die Denkfähigkeit entwickelt und die Fähigkeiten geometrischer Konstruktionen verbessert. Dadurch entwickeln sich konstruktive Fähigkeiten, was eines der Ziele des Geometriestudiums ist.

Hypothese: Alle Konstruktionsprobleme, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden können, können nur mit einem doppelseitigen Lineal gelöst werden.

Studienobjekt: Bauaufgaben und doppelseitiges Lineal.

Forschungsziele: Beweisen, dass alle Konstruktionsprobleme nur mit Hilfe eines doppelseitigen Lineals gelöst werden können.

Forschungsziele: Untersuchung der theoretischen Grundlagen zur Lösung von Bauproblemen; Lösen Sie grundlegende Konstruktionsprobleme mit einem doppelseitigen Lineal. Beispiele für komplexere Bauaufgaben nennen; theoretisches und praktisches Material systematisieren.

I. GEOMETRISCHE KONSTRUKTIONEN IM FLUGZEUG

I.1. Allgemeine Axiome der konstruktiven Geometrie. Axiome mathematischer Werkzeuge

Für die konstruktive Geometrie ist eine genaue und für mathematische Zwecke vollständige Beschreibung eines bestimmten Werkzeugs erforderlich. Diese Beschreibung erfolgt in Form von Axiomen. Diese Axiome drücken in abstrakter mathematischer Form jene Eigenschaften realer Zeichengeräte aus, die für geometrische Konstruktionen verwendet werden.

Die am häufigsten verwendeten geometrischen Konstruktionswerkzeuge sind:Lineal (einseitig) , Kompass, zweiseitig Lineal (mit parallelen Kanten) und einige andere.

A. Herrscheraxiom.

Mit dem Lineal können Sie folgende geometrische Konstruktionen durchführen:
a) Konstruieren Sie ein Segment, das zwei konstruierte Punkte verbindet;

b) Konstruieren Sie eine gerade Linie, die durch zwei konstruierte Punkte verläuft;

c) Konstruieren Sie einen Strahl, der von einem konstruierten Punkt ausgeht und durch einen anderen konstruierten Punkt geht.

B. Das Kompass-Axiom.

Mit dem Kompass können Sie die folgenden geometrischen Konstruktionen durchführen:
a) Konstruieren Sie einen Kreis, wenn der Mittelpunkt des Kreises und ein Segment gleich dem Radius des Kreises (oder seiner Enden) konstruiert wurden;

B. Axiom eines doppelseitigen Herrschers.

Mit dem doppelseitigen Lineal können Sie:

a) Führen Sie eine der in Axiom A aufgeführten Konstruktionen aus;

b) Konstruieren Sie in jeder der durch die konstruierte Linie definierten Halbebenen eine Linie, die parallel zu dieser Linie verläuft und in einiger Entfernung von ihr verläuftA, Wo A - ein für ein bestimmtes Lineal festgelegtes Segment (Breite des Lineals);

c) Wenn zwei Punkte A und B konstruiert werden, dann bestimmen Sie, ob AB größer als ein bestimmtes festes Segment sein wirdA (Linealbreite) und wenn AB >A , konstruieren Sie dann zwei Paare paralleler Linien, die jeweils durch die Punkte A und B verlaufen und einen Abstand voneinander habenA .

Zusätzlich zu den aufgeführten Werkzeugen können Sie weitere Werkzeuge für geometrische Konstruktionen verwenden: einen beliebigen Winkel, ein Quadrat, ein Lineal mit Markierungen, ein Paar rechter Winkel, verschiedene Geräte zum Zeichnen spezieller Kurven usw.

I.2. Allgemeine Grundsätze zur Lösung von Bauproblemen

Bauaufgabe besteht darin, dass es erforderlich ist, eine bestimmte Figur mit den angegebenen Werkzeugen zu konstruieren, wenn eine andere Figur vorgegeben ist und bestimmte Beziehungen zwischen den Elementen der gewünschten Figur und den Elementen dieser Figur angegeben sind.

Jede Figur, die die Bedingungen des Problems erfüllt, wird aufgerufenEntscheidung diese Aufgabe.

Finde eine Lösung Eine Konstruktionsaufgabe besteht darin, sie auf eine endliche Anzahl von Grundkonstruktionen zu reduzieren, d. Die Liste der akzeptablen Grundkonstruktionen und damit der Fortschritt bei der Lösung des Problems hängt maßgeblich davon ab, welche spezifischen Werkzeuge für Konstruktionen verwendet werden.

Lösen Sie das Konstruktionsproblem - Bedeutet, Finden Sie alle Lösungen .

Die letzte Definition bedarf einiger Klarstellung. Figuren, die die Bedingungen des Problems erfüllen, können sich sowohl in Form oder Größe als auch in der Position auf der Ebene unterscheiden. Positionsunterschiede in der Ebene werden berücksichtigt oder nicht berücksichtigt, abhängig von der Formulierung des Konstruktionsproblems selbst und davon, ob der Zustand des Problems eine bestimmte Position der gewünschten Figur relativ zu bestimmten Figuren vorsieht oder nicht .

Wenn eine Lösung für ein Problem gefunden wird, darf diese Lösung künftig „im Ganzen“, also ohne Aufteilung in Hauptkonstruktionen, verwendet werden.

Es gibt eine Reihe einfacher geometrischer Konstruktionsprobleme, die besonders häufig als Komponenten in die Lösung komplexerer Probleme einbezogen werden. Wir nennen sie elementare geometrische Konstruktionsprobleme. Die Liste der Grundaufgaben ist natürlich bedingt. Zu den Grundaufgaben gehören in der Regel die folgenden:

    Teilen Sie dieses Segment in zwei Hälften.

    Teilen eines bestimmten Winkels in zwei Hälften.

    Konstruieren Sie auf einer gegebenen Linie ein Segment, das dem gegebenen entspricht.

    Konstruieren eines Winkels, der einem gegebenen Winkel entspricht.

    Konstruieren einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt parallel zu einer gegebenen Geraden verläuft.

    Konstruieren einer Linie, die durch einen bestimmten Punkt verläuft und senkrecht zu einer bestimmten Linie verläuft.

    Unterteilung eines Segments in dieser Hinsicht.

    Konstruieren eines Dreiecks aus drei vorgegebenen Seiten.

    Konstruieren eines Dreiecks aus einer Seite und zwei benachbarten Winkeln.

    Konstruieren Sie ein Dreieck aus zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen.

Bei der Lösung eines einigermaßen komplexen Konstruktionsproblems stellt sich die Frage, wie man argumentieren muss, um einen Weg zur Lösung des Problems zu finden, alle Lösungen des Problems zu erhalten, die Bedingungen für die Möglichkeit der Lösung des Problems herauszufinden usw. Deshalb Bei der Lösung konstruktiver Probleme verwenden sie ein Lösungsschema, das aus den folgenden vier Phasen besteht:

1) Analyse;
2) Bau;
3) Beweis;
4) Forschung.

I.3. Geometrische Konstruktionen mit einem Lineal

Wir werden den Herrscher aus zwei Blickwinkeln betrachten: als Herrscher und als doppelseitigen Herrscher.

1. Doppelseitiges Lineal Breite A Wir nennen ein Lineal mit parallelen Kanten im Abstand A voneinander, wodurch es möglich ist, direkt Folgendes aufzubauen:

a) eine beliebige Gerade;

b) eine Gerade, die durch zwei Punkte verläuft, die bei der Lösung des Problems gegeben oder erhalten werden;

c) parallele Linien, die jeweils durch einen der Punkte verlaufen, deren Abstände größer sindA (Bei dieser Konstruktion befindet sich das Lineal in einer solchen Position, dass sich auf jeder seiner beiden parallelen Kanten einer der beiden angegebenen Punkte befindet. In diesem Fall sprechen wir von einer direkten Konstruktion.)

Die Breite des Lineals wird bei dieser Konstruktion als konstant angesehen, und wenn es daher bei der Lösung eines bestimmten Problems erforderlich wird, eine direkte Konstruktion relativ zu einigen erhaltenen Punkten durchzuführenA Und IN , dann müssen wir die Länge beweisenAB länger A .

Wir betrachten einen Punkt als zu konstruieren, wenn er einer der Daten ist oder der Schnittpunkt zweier konstruierter Linien ist; Im Gegenzug betrachten wir eine gerade Linie als konstruiert, wenn sie durch die konstruierten oder gegebenen Punkte verläuft.

Mit einem doppelseitigen Lineal können Sie Folgendes konstruieren.

a) Durch zwei beliebige Punkte kann man eine Gerade ziehen, und zwar nur einen.

b) Was auch immer die Gerade ist, es gibt genau zwei Geraden in der Ebene, die parallel zu ihr verlaufen und durch einen Abstand von ihr getrennt sindA .

c) Durch zwei Punkte A und B bei ABA Es ist möglich, zwei Paare parallel zu zeichnen gerade; mit AB = A Sie können ein Paar paralleler Linien zeichnen, deren Abstand zwischen ihnen gleich istA .

Wenn ein, zwei, drei Punkte gegeben sind, können keine neuen Punkte konstruiert werden

(Abbildung 1);

Wenn vier Punkte gegeben sind, von denen einige drei (oder alle vier) auf derselben Linie liegen, können keine anderen Punkte konstruiert werden (Abb. 2);

Wenn Sie vier Punkte erhalten, die an den Eckpunkten eines Parallelogramms liegen, können Sie nur einen Punkt konstruieren – seinen Mittelpunkt. (Abb. 3).

Nachdem wir das oben Gesagte akzeptiert haben, betrachten wir separat die Probleme, die durch ein doppelseitiges Lineal gelöst werden.

ICH.4. Grundlegende Aufgaben zum Konstruieren mit einem doppelseitigen Lineal

1
. Konstruieren Sie die Winkelhalbierende ABC.

Lösung: (Abb. 4)

A  (IN C) Und B  (Eine Band B = D .

Wir bekommen B D– Winkelhalbierende ABC.

Tatsächlich erhalten von

Das Konstruieren eines Parallelogramms ist

Raute, da ihre Höhen gleich sind. IND –

Die Diagonale einer Raute ist eine Winkelhalbierende ABC. Abb.4

2
. Verdoppeln Sie den angegebenen Winkel ABC

Lösung : (Abb. 5) a) A  (AB),

A (IN C)= D , durch die Punkte B und D

B direkt;

b) durch die Punkte B undD M  B

direkt,B Ç a = F .

Wir bekommen Ð AB F = 2 Ð ABC .

Abb.5


3 . Zu einer gegebenen Geraden M N in diesem

Zeichne eine Senkrechte zum Punkt A

Lösung : (Abb.6)

1) (AA 1) || (BB 1) || (SS 1) –

direkt (B(M N),

MIT Î (M N)); 2) durch A und B

M || N - direkt,

M Ç (SS 1) = D .

Wir erhalten (A D ) (M N ).

Abb.6.

4
. Durch einen bestimmten Punkt, der nicht aufliegt

gegebene Zeile, Zeichne eine Senkrechte

Zu diese Linie.

Lösung: Durch diesen Punkt O ziehen wir

zwei Geraden, die einen gegebenen Punkt schneiden

Gerade AB und verdoppeln Sie die Winkel der resultierenden Linie

Dreiecke daneben

gerade. OA N = 2 OAV und

OB N = 2 OVA (Abb. 7).

Abb.7

5. Konstruieren Sie einen Punkt symmetrisch zu einer gegebenen Geraden relativ zu einer gegebenen Geraden.

Lösung: siehe Aufgabe 4. (Punkt O ist symmetrisch zu PunktN. Abb.7)

6. Führe eine gerade Linie aus parallel zu diesem

P
gerade M N , durch Punkt A, nicht

gehört zur Linie M N .

Lösung 1: (Abb. 8)

1)(AA 1) || (BB 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (КК 1) -

– direkt, (SA)Ç (BB 1) = C 2;

2) (Mit 2 K) Ç (DD 1 ) = F .

(A F ) ist die gewünschte Gerade.

Abb. 8

Lösung 2 . In Abb. 8 ist 1 nummeriert

Folge von geraden Linien,

davon sind 1, 2 und 3 parallel

Direktbau;

(A F) || (M N).

Abb.8 1

7
. Teilen Sie dieses Segment AB in zwei Hälften.

Lösung 1. (Abb. 9) (nur für den Fall, dass die Breite des Lineals geringer ist als die Länge dieses Segments). Zeichnen Sie zwei Paare paralleler Linien direkt durch

die Enden dieses Segments und dann die Diagonale

die resultierende Raute. O – mittleres AB.

Reis. 9.

Lösung 2. (Abb. 9,a)

1) a || (Eine Band B || (AB) – direkt;

2) (AR), (AR)Ç a = C, (AP) Ç B = D ;

3) (D IN) Ç a = M, (SV) Ç B = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D ZU) Ç (A N ) = F ;

6) (B F ) Ç B = D 1, (B F ) Ç a = C 1;

7) (D IN ) Ç (A D 1 ) = X,

(AC 1) Ç (SV) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) =O. Wir erhalten AO = OB.

Abb.9,a

Lösung 3 .( Reis. 9, b)

Wie bekannt , in der Mitte Trapez

Basen, Schnittpunkt

Diagonalen und Schnittpunkt

Verlängerungen der Seiten

liegen auf derselben Geraden.

1) M || (AB) – direkt;

2) C Î M , D Î M , (ALS) Ç (IN D ) = ZU; Abb.9, geb

3) (NE) Ç (A D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) =O. Wir erhalten AO = OB.

I.5. Lösung verschiedener Bauprobleme

Bei der Lösung der folgenden Konstruktionsprobleme, bei denen nur ein doppelseitiges Lineal verwendet wird, werden die direkte Konstruktion paralleler Linien und die sieben oben aufgeführten Hauptprobleme verwendet.

1. Zeichnen Sie durch diesen Punkt zwei zueinander senkrechte Linien.

R Lösung: Lassen Sie uns diesen Punkt durchgehen

zwei beliebige Linien,

und dann - Winkelhalbierende

angrenzende Ecken. (Abb.10)

Abb.10

2. Gegeben sei ein Segment A D gegebene Länge a.

Konstruieren Sie ein Segment, dessen Länge gleich ist.

R
Entscheidung : Lasst uns ausführen M A Und H || M durch

Punkt A. F || (A D ) , k || (ANZEIGE) direkt.

Zeichnen wir AB und AC, wobei B =F M ,

ein C = M k . Auf bekannte Weise

Teile AB und AC in zwei Hälften und

Zeichnen wir die Mittelwerte des Dreiecks

ABC. Durch die Eigenschaft der Mediane

Dreieck, O D = - gesucht

Segment (Abb. 11)

Reis. elf

3. Konstruieren Sie ein Segment mit der Länge

gleich dem Umfang des gegebenen Dreiecks.

Lösung: (Abb. 12). Konstruieren wir Winkelhalbierende

zwei äußere Ecken des Dreiecks und dann

3 Gipfel IN Lass uns Senkrechte zeichnen

zu diesen Winkelhalbierenden.

DE = ein + B + s

Abb.12

4. Gegeben sei ein Segment der Länge a. Konstruieren Sie Längensegmente 2a, 3a.

R Lösung: (Abb. 13)

1M N) || (AB) und (M 1 N 1 ) || (M N) || (M 2 N 2 ) –

Direkt;

2) (CA) und (CB) durch A und B.

Es werden die Segmente A 1 B 1 und A 2 B 2 benötigt.

Eine andere Lösung für dieses Problem kann sein

erhalten aus der Lösung von Aufgabe 7.

Reis. 13

5. Auf einer Geraden sind zwei Strecken angegeben, deren Längen a und sind B . Konstruieren Sie Segmente, deren Länge gleich a + ist B , B - A, ( A + B )/2 und ( B - A )/2 .

Lösung: und für A + B(Abb. 14, a)

Abb. 14, a

b) für ( A + B)/2 (Abb. 14, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) – direkt;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (A 1 B 1 ) = N, (M H) Ç (A 1 B 1 ) = P;

3) (PY) Ç (A 2 B 2) = L, (LZ ) Ç (A 1 B 1 ) = Ö,

Wir bekommen: N Ö = NP + Postfach =
.

Reis. 14, geb

c) für B - A(Abb. 14, c)

Reis. 14,V

c) für ( B - A )/2 (Abb. 14,d)

Reis. 14,g

6
. Konstruieren Sie den Mittelpunkt dieses Kreises.

Lösung : (Abb. 15) Zeichnen wir eine gerade Linie AB,

den Kreis an den Punkten A und B schneiden;

Sonne AB, wobei C der Schnittpunkt ist

mit einem Kreis.

Durch Punkt C ziehen wir parallel zu AB

gerade C D; MITDschneidet einen Kreis

am PunktD.

VerbindenDmit B und A mit C erhalten wir

Der gewünschte Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Reis. 15

Lösung 2: (Abb. 16) Konstruieren Sie mit einem doppelseitigen Lineal zwei parallele AkkordeANZEIGE UndB.C. . Wir erhalten ein gleichschenkliges TrapezA B C D. LassenK UndP - Schnittpunkte von LinienA.C. UndBD , AB UndGleichstrom . Dann geradeP K verläuft durch die Mittelpunkte der Grundflächen des Trapezes senkrecht zu ihnen, was bedeutet, dass es durch den Mittelpunkt des gegebenen Kreises verläuft. Indem wir auf ähnliche Weise eine weitere solche gerade Linie konstruieren, finden wir den Mittelpunkt des Kreises.

Reis. 16

7. Gegeben ist ein Kreisbogen. Konstruieren Sie den Mittelpunkt des Kreises

Lösung . (Abb. 17) Markieren Sie auf diesem Bogen drei Punkte A, B und C. Legen Sie ein Lineal an die Enden des Segments AB und zeichnen Sie dessen Kanten nach. Wir erhalten zwei parallele Linien. Wenn wir die Position des Lineals ändern, zeichnen wir zwei weitere parallele Linien. Wir erhalten eine Raute (ein Parallelogramm mit gleichen Höhen). Eine der Diagonalen einer Raute ist die Mittelsenkrechte zum SegmentAB , da die Diagonale einer Raute auf der Mittelsenkrechten zur anderen Diagonale liegt. Auf ähnliche Weise konstruieren wir die Mittelsenkrechte zum SegmentA.C. . Der Schnittpunkt der konstruierten Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des gewünschten Kreises.

Reis. 17

8. Gegeben sei eine Strecke AB, eine nichtparallele Gerade l und ein Punkt M darauf. Konstruieren Sie mit einem doppelseitigen Lineal die Schnittpunkte der Geraden l mit einem Kreis mit Radius AB und Mittelpunkt M.

Lösung: (Abb.18)

Vervollständigen wir das DreieckA.B.M. zum ParallelogrammABNM . Konstruieren wir die Winkelhalbierenden MT undMSWinkel dazwischenMNund geradel . Lassen Sie uns den Punkt durchziehenN Geraden parallel zu diesen Winkelhalbierenden:NQ || MS, NR || M.T.. MT│ MSals Winkelhalbierende benachbarter Winkel. Bedeutet,NQ │ MT, also im DreieckNMQdie Winkelhalbierende ist die Höhe, daher ist das Dreieck gleichschenklig:MQ = MN. Ebenfalls,HERR. = MN. PunkteQUndRgesucht.

Reis. 18

9. Gegeben sei eine Gerade l und ein zu l paralleles Segment OA. Konstruieren Sie mit einem doppelseitigen Lineal die Schnittpunkte der Geraden l mit einem Kreis mit Radius OA und Mittelpunkt O.

Lösung: (Abb. 19, a)

Machen wir eine direktel 1 , parallel zur LinieO.A. und in einiger Entfernung davon entferntA . Nehmen wir es auf einer geraden Liniel beliebiger PunktB . LassenB 1 - Schnittpunkt der LinienO.B. Undl 1 . Lassen Sie uns den Punkt durchziehenB 1 gerade, parallelAB ; Diese Linie schneidet die LinieO.A. am PunktA 1 . Lassen Sie uns nun die Punkte durchgehenÖ UndA 1 ein Paar paralleler Linien, der Abstand zwischen ihnen beträgtA (es kann zwei solcher Linienpaare geben); lassenX UndX 1 - Schnittpunkte einer Linie, die durch einen Punkt verläuftÖ , mit geraden Linienl Undl 1 . AlsO.A. 1 = OCHSE 1 und ∆O.A. 1 X 1 ∆ OAX , dann OA = OX, PunktX gesucht.

Ebenso konstruieren wir den zweiten Schnittpunkt des Kreises und der Geraden – den PunktY(Abb. 18, b).

Reis. 18,a

Reis. 18, geb

I.6.Konstruktionen mit einseitigem Lineal

Z
Hier betrachten wir einen Sonderfall: Es seien Punkte P gegeben,Q, R 1 UndQ 1 . und sie liegen an den Eckpunkten des Trapezes.

1. Teilen Sie Segment P Q entzwei

Lösung siehe Abbildung 19

Gegebene Punkte P,Q, R 1 UndQ 1 und parallele Linien

RQ, R 1 Q 1 . Lasst uns R ausführenQ 1 QR 1 = B , RR 1 QQ 1 = A

Verbinden wir die Punkte A und B. ABRQ = F– Mitte

Segment PQ.

Reis. 19

2. Verdoppeln Sie das Segment R 1 Q 1.

R
Entscheidung in Abbildung 20 dargestellt. Lassen Sie uns bauen

PunktF– die Mitte des Segments PQund verbinden Sie es

MitQ 1. R 1 QFQ 1 = M. Führen wir RM aus. RMR 1 Q 1 = R

GleichwertigkeitRQund P 1 Q 1 folgt aus der Ähnlichkeit

Dreiecke RMFUnd RMQ 1 ,

FMQUnd R 1 MQ 1 , und Gleichheiten PFUndFQ.

Reis. 20

3
. Konstruieren Sie ein Längensegment N R 1 Q 1 .

M – 1 gleiche Segmente PQ 2 , Q 2 Q 3, … Q M -1 Q M

Dann bauen wir (RR 1 ) UndQ M Q 1 und verbinden

ihr Schnittpunkt A mit Punkten

Q 2 , Q 3, … Q M ErhaltenM -1 Direkte

teilenR 1 Q 1 AnM gleich Teile.

FürM = 4 Die Lösung ist in Abbildung 22 dargestellt

Abb.22

I.7. Austauschbarkeit von doppelseitigem Lineal mit Zirkel und Lineal

Lassen Sie uns beweisen, dass ein doppelseitiges Lineal mit einem Zirkel und einem Lineal austauschbar ist. Dazu beweisen wir die folgenden Aussagen:

Aussage 1: Alle Konstruktionen, die mit Zirkel und Lineal möglich sind, lassen sich auch mit einem doppelseitigen Lineal durchführen.

Da beim Konstruieren mit Zirkel und Lineal das Lineal eine Linie durch zwei Punkte zeichnet und der Zirkel einen Kreis konstruiert (eine Reihe von Punkten mit gleichem Abstand von einem gegebenen Punkt findet), werden alle Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auf reduziert Konstruieren des Schnittpunkts zweier Geraden, zweier Kreise und eines Kreises mit einer Geraden.

Der Schnittpunkt zweier Geraden kann mit einem Lineal konstruiert werden.

Der Schnittpunkt eines Kreises und einer Geraden (Abb. 23):

Konstruktion:Gegeben sei die Strecke AB – der Radius des Kreises, eine Geradel , der Mittelpunkt des Kreises O, dann:

1) Wir führen das OS || durchl , OS = AB.

2) Wir führen das OS || durchkund entfernt von a.

3) Wir führen ausAußendurchmesser, Außendurchmesserl = D; Außendurchmesserk) Als Konsequenz zum Satz von Thales

4) Nach dem Gesetz der Transitivität von Gleichheiten

5) Überlegen SieOMQE. OMQEist ein Parallelogramm, da OM ||EQund OE ||M.C.(Die Seiten des Lineals sind parallel). Beweisen wir, dass es sich um eine Raute handelt.

5.1) VerhaltenQZO.C.UndQGAN, DannQG = QZ = A.

5.2) OMQ = RQM(querliegend); Betriebssystem =AN, was bewiesen werden musste.

Schnittpunkt zweier Kreise: ähnlich.

Aussage 2: Alle Konstruktionen, die mit einem doppelseitigen Lineal möglich sind, lassen sich auch mit Zirkel und Lineal durchführen.

Dazu führen wir den Konstruktionsstandard für ein doppelseitiges Lineal anhand eines Zirkels und eines Lineals durch.

1) Eine gerade Linie aus zwei Punkten lässt sich ganz einfach mit einem Lineal konstruieren.

2) Konstruktion einer Geraden parallel zu einer gegebenen und in einem gegebenen Abstand von ihr entfernt:

2.1) Gegeben sei eine Geradekund LängensegmentA.

2.2) Konstruieren Sie eine beliebige GeradeBk, lassenkB= B.

2.3) EinBauf beiden Seiten des PunktesBauf einer geraden LinieBLegen Sie ein Stück Länge beiseiteA, lass die PunkteCUndD.

2.4) Durch einen PunktCBaue eine gerade LinieCk.

2.5) Durch einen PunktDBaue eine gerade LinieDk.

2.6) DirektCUndD-erforderlich, weilB.C.UndBDgleichAkonstruktionsbedingt und sind gleich dem Abstand zwischen der Geradenkund gerade

3) Konstruktion von geraden Linien, die parallel zueinander sind und durch zwei gegebene Punkte verlaufen und deren Abstand gleich dem gegebenen Segment ist:

3.1) Lassen Sie Punkte vergebenAUndBund LängensegmentA.

3.2) Konstruieren eines Kreises mit einem Mittelpunkt in einem PunktAund RadiusA.

3.3) Konstruieren Sie eine Tangente an einen gegebenen Kreis durch einen PunktB; Es gibt zwei solcher Tangenten, wennBliegt außerhalb des Kreises (fallsAB> A), eins wennBliegt auf dem Kreis (fallsAB= A), keine wennBliegt innerhalb des Kreises (AB< A). Diese Tangente ist eine der Linien, die wir suchen; es bleibt noch, durch den Punkt zu gehenAgerade Linie parallel dazu.

3.4) Da eine der Linien als Tangente senkrecht zum Radius des Kreises steht, steht die zweite auch senkrecht dazu (da sie parallel sind), daher ist der Abstand zwischen ihnen gleich dem Radius, der konstruktionsbedingt gleich istA, was benötigt wurde, um erhalten zu werden.

Damit haben wir die Austauschbarkeit eines doppelseitigen Lineals und eines Zirkels mit Lineal bewiesen.

Fazit: Ein doppelseitiges Lineal ist austauschbar mit einem Zirkel und einem Lineal.

Abschluss

Daher wurde die Frage nach der Möglichkeit, mit einem Lineal klassische Konstruktionsprobleme mithilfe eines Zirkels und eines Lineals zu lösen, geprüft und gelöst. Es zeigt sich, dass Konstruktionsprobleme nur mit einem Lineal mit parallelen Kanten gelöst werden können. Bei der Lösung komplexerer Probleme sollte man sich weiterhin auf die in dieser Arbeit besprochenen sogenannten Grundkonstruktionen stützen.

Die vorgestellten Materialien können nicht nur im Mathematikunterricht, im Mathematikzirkelunterricht, sondern auch in praktischen Aktivitäten direkt angewendet werden.

Liste der verwendeten Literatur

    Aliev A.V. Geometrische Konstruktionen. Mathematik in der Schule. 1978 Nr. 3

    Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. M., Aufklärung. 1981.

    Depman I.Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. M.. Aufklärung. 1989.

    Elensky Shch. Auf den Spuren von Pythagoras. M., Detgiz. 1961.

    Enzyklopädisches Wörterbuch eines jungen Mathematikers. M., Pädagogik. 1985

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Konstruktion mit Lineal und Zirkel Geometrie">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Konstruieren Sie ein Segment, das dem gegebenen Ú Problem A B entspricht"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Einen Winkel konstruieren, der einem gegebenen entspricht. Betrachten Sie Dreiecke"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Konstruktion der Winkelhalbierenden Problem Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Konstruktion senkrechter Linien Ú Problem Gegeben eine Linie"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Den Mittelpunkt eines Segments konstruieren Aufgabe Ú Konstruieren Sie den Mittelpunkt von a gegeben"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Städtische Haushaltsbildungseinrichtung

Sekundarschule Nr. 34 mit vertieftem Studium einzelner Fächer

MAN, Abschnitt Physik und Mathematik

„Geometrische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal“

Abgeschlossen von: Schüler der 7. Klasse „A“

Batishcheva Victoria

Leiter: Koltovskaya V.V.

Woronesch, 2013

3. Konstruieren eines Winkels, der dem angegebenen entspricht.

P Zeichnen wir einen beliebigen Kreis mit einem Mittelpunkt am Scheitelpunkt A eines bestimmten Winkels (Abb. 3). Seien B und C die Schnittpunkte des Kreises mit den Seiten des Winkels. Mit dem Radius AB zeichnen wir einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Punkt O, dem Startpunkt dieser Halblinie. Den Schnittpunkt dieses Kreises mit dieser Halbgeraden bezeichnen wir als C 1 . Beschreiben wir einen Kreis mit Mittelpunkt C 1 und Abb.3

Radius des Flugzeugs. Punkt B 1 der Schnittpunkt der konstruierten Kreise in der angegebenen Halbebene liegt auf der Seite des gewünschten Winkels.

6. Konstruktion senkrechter Linien.

Wir zeichnen einen Kreis mit einem beliebigen Radius r mit einem Mittelpunkt im Punkt O in Abb. 6. Der Kreis schneidet die Gerade in den Punkten A und B.Von den Punkten A und B zeichnen wir Kreise mit dem Radius AB. Melancholie C sei der Schnittpunkt dieser Kreise. Die Punkte A und B haben wir im ersten Schritt erhalten, als wir einen Kreis mit beliebigem Radius konstruierten.

Die gewünschte Gerade verläuft durch die Punkte C und O.


Abb.6

Bekannte Probleme

1.Brahmaguptas Problem

Konstruieren Sie ein beschriftetes Viereck aus seinen vier Seiten. Eine Lösung verwendet den Apollonius-Kreis.Lösen wir das Problem von Apollonius anhand der Analogie zwischen einem Dreikreis und einem Dreieck. So finden wir einen in ein Dreieck eingeschriebenen Kreis: Wir konstruieren den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, lassen von ihm Senkrechte zu den Seiten des Dreiecks fallen, die Basen der Senkrechten (die Schnittpunkte der Senkrechten mit der Seite, auf der sie liegt). fällt weg) und gib uns drei Punkte, die auf dem gewünschten Kreis liegen. Zeichnen Sie einen Kreis durch diese drei Punkte – fertig ist die Lösung. Dasselbe werden wir mit dem Problem des Apollonius machen.

2. Apollonius‘ Problem

Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal einen Kreis, der die drei vorgegebenen Kreise tangiert. Der Legende nach wurde das Problem um 220 v. Chr. von Apollonius von Perge formuliert. e. im Buch „Touch“, das verloren ging, aber 1600 von François Viète, dem „gallischen Apollonius“, wie ihn seine Zeitgenossen nannten, wiederhergestellt wurde.

Liegt keiner der gegebenen Kreise innerhalb des anderen, dann hat dieses Problem 8 deutlich unterschiedliche Lösungen.


Konstruktion regelmäßiger Vielecke.

P

richtig (oder gleichseitig ) Dreieck - Das regelmäßiges Vieleckmit drei Seiten, das erste der regelmäßigen Vielecke. Alle Seiten eines regelmäßigen Dreiecks sind einander gleich, und zwar alle die Winkel betragen 60°. Um ein gleichseitiges Dreieck zu konstruieren, müssen Sie den Kreis in drei gleiche Teile teilen. Dazu ist es notwendig, einen Bogen mit dem Radius R dieses Kreises von nur einem Ende des Durchmessers zu zeichnen, wir erhalten die erste und zweite Teilung. Die dritte Teilung befindet sich am gegenüberliegenden Ende des Durchmessers. Durch die Verbindung dieser Punkte erhalten wir ein gleichseitiges Dreieck.

Regelmäßiges Sechseck KannKonstruieren Sie mit Zirkel und Lineal. Untendie Bauweise ist angegebendurch Teilen des Kreises in 6 Teile. Wir verwenden die Gleichheit der Seiten eines regelmäßigen Sechsecks mit dem Radius des umschriebenen Kreises. Von den gegenüberliegenden Enden eines der Durchmesser des Kreises aus beschreiben wir Bögen mit dem Radius R. Die Schnittpunkte dieser Bögen mit einem gegebenen Kreis teilen ihn in 6 gleiche Teile. Durch sequentielles Verbinden der gefundenen Punkte entsteht ein regelmäßiges Sechseck.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks.

P
ein regelmäßiges Fünfeck sein kannkonstruiert mit Zirkel und Lineal oder durch Einpassen in eine vorgegebene SituationKreis oder Konstruktion basierend auf einer bestimmten Seite. Dieser Vorgang wird von Euklid beschriebenin seinen Elementen um 300 v. Chr. e.

Hier ist eine Methode zum Konstruieren eines regelmäßigen Fünfecks in einem gegebenen Kreis:

    Konstruieren Sie einen Kreis, in den das Fünfeck eingeschrieben wird, und markieren Sie seinen Mittelpunkt alsÖ . (Dies ist der grüne Kreis im Diagramm rechts).

    Wählen Sie einen Punkt auf dem Kreis ausA , der einer der Eckpunkte des Fünfecks sein wird. Konstruieren Sie eine gerade Linie durchÖ UndA .

    Konstruieren Sie eine Linie senkrecht zur LinieO.A. , durch den Punkt gehenÖ . Bezeichnen Sie einen seiner Schnittpunkte mit dem Kreis als PunktB .

    Zeichnen Sie einen Punkt einC in der Mitte dazwischenÖ UndB .

    C durch den PunktA . Markieren Sie den Schnittpunkt mit der LinieO.B. (innerhalb des ursprünglichen Kreises) als PunktD .

    Zeichnen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt beiA Markieren Sie durch Punkt D den Schnittpunkt dieses Kreises mit dem Original (grüner Kreis) als PunkteE UndF .

    Zeichnen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt beiE durch den PunktA G .

    Zeichnen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt beiF durch den PunktA . Beschriften Sie den anderen Schnittpunkt mit dem ursprünglichen Kreis als PunktH .

    Konstruieren Sie ein regelmäßiges FünfeckAEGHF .

Unlösbare Probleme

Folgende drei Bauaufgaben wurden in der Antike gestellt:

    Dreiteilung eines Winkels - Teilen Sie einen beliebigen Winkel in drei gleiche Teile.

Mit anderen Worten, es ist notwendig, Winkeldreisektoren zu konstruieren – Strahlen, die den Winkel in drei gleiche Teile teilen. P. L. Wanzel bewies 1837, dass das Problem nur dann lösbar ist, wenn beispielsweise eine Dreiteilung für Winkel α = 360°/n möglich ist, vorausgesetzt, die ganze Zahl n ist nicht durch 3 teilbar. Allerdings wird in der Presse von Zeit zu Zeit (falsch ) Methoden zur Dreiteilung eines Winkels mit Zirkel und Lineal werden veröffentlicht.

    Den Würfel verdoppeln - klassisches antikes Problem, mit Zirkel und Lineal die Kante eines Würfels zu konstruieren, dessen Volumen doppelt so groß ist wie das Volumen eines gegebenen Würfels.

In der modernen Notation reduziert sich das Problem auf die Lösung der Gleichung. Es läuft alles auf das Problem der Konstruktion eines Längensegments hinaus. P. Wantzel bewies 1837, dass dieses Problem nicht mit Zirkel und Lineal gelöst werden konnte.

    Die Quadratur eines Kreises - eine Aufgabe, die darin besteht, mithilfe eines Zirkels und eines Lineals eine Konstruktion eines Quadrats zu finden, dessen Fläche dem vorgegebenen Kreis entspricht.

Wie Sie wissen, können Sie mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals alle vier Rechenoperationen durchführen und die Quadratwurzel ziehen; Daraus folgt, dass die Quadratur des Kreises genau dann möglich ist, wenn es mit einer endlichen Anzahl solcher Aktionen möglich ist, ein Segment der Länge π zu konstruieren. Die Unlösbarkeit dieses Problems folgt also aus der nichtalgebraischen Natur (Transzendenz) der Zahl π, die 1882 von Lindemann bewiesen wurde.

Ein weiteres bekanntes Problem, das mit Zirkel und Lineal nicht gelöst werden kann, istKonstruieren eines Dreiecks aus drei vorgegebenen Winkelhalbierenden .

Darüber hinaus bleibt dieses Problem auch bei Vorhandensein eines Dreisektors unlösbar.

Erst im 19. Jahrhundert konnte bewiesen werden, dass alle drei Probleme allein mit Zirkel und Lineal nicht lösbar waren. Die Frage nach der Möglichkeit der Konstruktion wird durch algebraische Methoden auf der Grundlage der Galois-Theorie vollständig gelöst.

Wussten Sie, dass...

(aus der Geschichte der geometrischen Konstruktionen)


Es war einmal, dass der Konstruktion regelmäßiger Vielecke eine mystische Bedeutung beigemessen wurde.

So lebten die Pythagoräer, Anhänger der von Pythagoras begründeten religiösen und philosophischen Lehre, die im antiken Griechenland lebten (V Ich-ich VJahrhunderte Chr Chr.) nahmen als Zeichen ihrer Vereinigung ein sternförmiges Polygon an, das aus den Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks besteht.

Die Regeln für die strenge geometrische Konstruktion einiger regelmäßiger Polygone sind im Buch „Elemente“ des antiken griechischen Mathematikers Euklid dargelegt, der dort lebteIIIV. Chr. Um diese Konstruktionen auszuführen, schlug Euklid vor, nur ein Lineal und einen Zirkel zu verwenden, die zu dieser Zeit nicht über eine Scharniervorrichtung zum Verbinden der Beine verfügten (eine solche Einschränkung bei Instrumenten war eine unveränderliche Anforderung der antiken Mathematik).

Regelmäßige Vielecke wurden in der antiken Astronomie häufig verwendet. War Euklid aus mathematischer Sicht an der Konstruktion dieser Figuren interessiert, so erwies sie sich für den antiken griechischen Astronomen Claudius Ptolemäus (ca. 90 - 160 n. Chr.) als notwendiges Hilfsmittel zur Lösung astronomischer Probleme. So ist im 1. Buch der Almagesten das gesamte zehnte Kapitel der Konstruktion regelmäßiger Fünfecke und Zehnecke gewidmet.

Doch neben rein wissenschaftlichen Werken war die Konstruktion regelmäßiger Vielecke fester Bestandteil von Baumeister-, Handwerker- und Künstlerbüchern. Die Fähigkeit, diese Figuren darzustellen, ist in der Architektur, im Schmuck und in der bildenden Kunst seit langem erforderlich.

In den „Zehn Büchern über Architektur“ des römischen Architekten Vitruv (der etwa zwischen 63 und 14 v. Chr. lebte) heißt es, dass die Stadtmauern im Grundriss die Form eines regelmäßigen Polygons haben sollten und die Türme der Festung „rund oder vieleckig sein sollten“. , für ein Viereck, das eher durch Belagerungswaffen zerstört wurde.“

Der Grundriss der Städte war für Vitruv von großem Interesse, der glaubte, dass es notwendig sei, die Straßen so zu planen, dass die Hauptwinde nicht an ihnen entlang wehten. Es wurde angenommen, dass es acht solcher Winde gab und dass sie in bestimmte Richtungen wehten.

In der Renaissance war die Konstruktion regelmäßiger Vielecke und insbesondere des Fünfecks kein einfaches mathematisches Spiel, sondern eine notwendige Voraussetzung für den Bau von Festungen.

Das regelmäßige Sechseck war Gegenstand einer besonderen Studie des großen deutschen Astronomen und Mathematikers Johannes Kepler (1571-1630), über die er in seinem Buch „Neujahrsgeschenk oder sechseckige Schneeflocken“ spricht. Bei der Erörterung der Gründe, warum Schneeflocken eine sechseckige Form haben, stellt er insbesondere Folgendes fest: „... eine Ebene kann nur mit den folgenden Figuren lückenlos bedeckt werden: gleichseitige Dreiecke, Quadrate und regelmäßige Sechsecke.“ Unter diesen Figuren nimmt das regelmäßige Sechseck die größte Fläche ein.“

Einer der berühmtesten Wissenschaftler, die sich mit geometrischen Konstruktionen beschäftigten, war der große deutsche Künstler und Mathematiker Albrecht Dürer (1471–1528), der ihnen einen bedeutenden Teil seines Buches „Handbücher...“ widmete. Er schlug Regeln für die Konstruktion regelmäßiger Polygone mit 3, 4, 5 ... 16 Seiten vor. Die von Dürer vorgeschlagenen Methoden zur Kreisteilung sind nicht universell, es kommt jeweils eine individuelle Technik zum Einsatz.

Dürer nutzte Methoden zur Konstruktion regelmäßiger Polygone in der künstlerischen Praxis, beispielsweise bei der Gestaltung verschiedener Arten von Ornamenten und Mustern für Parkett. Er skizzierte solche Muster während einer Reise in die Niederlande, wo in vielen Häusern Parkettböden gefunden wurden.

Dürer komponierte Ornamente aus regelmäßigen Vielecken, die zu Ringen verbunden sind (Ringe aus sechs gleichseitigen Dreiecken, vier Vierecken, drei oder sechs Sechsecken, vierzehn Siebenecken, vier Achtecken).

Abschluss

Also,geometrische Konstruktionen ist eine Methode zur Lösung eines Problems, bei der die Antwort grafisch ermittelt wird. Konstruktionen werden mit Zeichenwerkzeugen mit höchster Präzision und Arbeitsgenauigkeit ausgeführt, da davon die Richtigkeit der Lösung abhängt.

Dank dieser Arbeit lernte ich die Entstehungsgeschichte des Kompasses kennen, lernte die Regeln zur Durchführung geometrischer Konstruktionen besser kennen, erlangte neue Erkenntnisse und wandte sie in der Praxis an.
Das Lösen von Konstruktionsaufgaben mit Zirkel und Lineal ist ein nützlicher Zeitvertreib, der einen neuen Blick auf die bekannten Eigenschaften geometrischer Figuren und ihrer Elemente ermöglicht.In diesem Artikel werden die dringendsten Probleme im Zusammenhang mit geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal erörtert. Die Hauptprobleme werden betrachtet und ihre Lösungen angegeben. Die gestellten Aufgaben sind von großem praktischem Interesse, festigen erworbene Kenntnisse in der Geometrie und können für die praktische Arbeit genutzt werden.
Damit ist das Ziel der Arbeit erreicht, die gestellten Aufgaben sind erledigt.

Bei Konstruktionsaufgaben betrachten wir die Konstruktion einer geometrischen Figur, die mit Lineal und Zirkel durchgeführt werden kann.

Mit einem Lineal können Sie:

    beliebige gerade Linie;

    eine beliebige gerade Linie, die durch einen bestimmten Punkt verläuft;

    eine gerade Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Mit einem Kompass können Sie einen Kreis mit einem bestimmten Radius von einem bestimmten Mittelpunkt aus beschreiben.

Mit einem Kompass können Sie von einem bestimmten Punkt aus ein Segment auf einer bestimmten Linie zeichnen.

Betrachten wir die wichtigsten Bauaufgaben.

Aufgabe 1. Konstruieren Sie ein Dreieck mit den gegebenen Seiten a, b, c (Abb. 1).

Lösung. Zeichnen Sie mit einem Lineal eine beliebige Gerade und nehmen Sie darauf einen beliebigen Punkt B. Mit einer Zirkelöffnung gleich a beschreiben wir einen Kreis mit Mittelpunkt B und Radius a. Sei C der Schnittpunkt mit der Geraden. Mit einer Kompassöffnung gleich c beschreiben wir einen Kreis vom Mittelpunkt B aus, und mit einer Kompassöffnung gleich b beschreiben wir einen Kreis vom Mittelpunkt C aus. Sei A der Schnittpunkt dieser Kreise. Das Dreieck ABC hat die Seiten a, b, c.

Kommentar. Damit drei gerade Segmente als Seiten eines Dreiecks dienen können, muss das größte davon kleiner sein als die Summe der beiden anderen (und< b + с).

Aufgabe 2.

Lösung. Dieser Winkel mit Scheitelpunkt A und dem Strahl OM ist in Abbildung 2 dargestellt.

Zeichnen wir einen beliebigen Kreis, dessen Mittelpunkt am Scheitelpunkt A des angegebenen Winkels liegt. Seien B und C die Schnittpunkte des Kreises mit den Seiten des Winkels (Abb. 3, a). Mit dem Radius AB zeichnen wir einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Punkt O – dem Startpunkt dieses Strahls (Abb. 3, b). Bezeichnen wir den Schnittpunkt dieses Kreises mit diesem Strahl als C 1 . Beschreiben wir einen Kreis mit Mittelpunkt C 1 und Radius BC. Punkt B 1 des Schnittpunkts zweier Kreise liegt auf der Seite des gewünschten Winkels. Dies folgt aus der Gleichheit Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (das dritte Gleichheitszeichen der Dreiecke).

Aufgabe 3. Konstruieren Sie die Winkelhalbierende dieses Winkels (Abb. 4).

Lösung. Vom Scheitelpunkt A eines gegebenen Winkels sowie vom Mittelpunkt aus zeichnen wir einen Kreis mit beliebigem Radius. Seien B und C die Schnittpunkte mit den Seiten des Winkels. Von den Punkten B und C aus beschreiben wir Kreise mit gleichem Radius. Sei D ihr Schnittpunkt, der sich von A unterscheidet. Der Strahl AD halbiert den Winkel A. Dies folgt aus der Gleichheit Δ ABD = Δ ACD (dem dritten Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken).

Aufgabe 4. Zeichnen Sie eine Mittelsenkrechte zu diesem Segment (Abb. 5).

Lösung. Unter Verwendung einer beliebigen, aber identischen Kompassöffnung (größer als 1/2 AB) beschreiben wir zwei Bögen mit Mittelpunkten in den Punkten A und B, die sich an einigen Punkten C und D schneiden. Die gerade Linie CD ist die gewünschte Senkrechte. Tatsächlich ist, wie aus der Konstruktion hervorgeht, jeder der Punkte C und D gleich weit von A und B entfernt; daher müssen diese Punkte auf der Mittelsenkrechten zum Segment AB liegen.

Aufgabe 5. Teilen Sie dieses Segment in zwei Hälften. Die Lösung erfolgt auf die gleiche Weise wie Problem 4 (siehe Abb. 5).

Aufgabe 6. Zeichnen Sie durch einen gegebenen Punkt eine Linie senkrecht zur gegebenen Linie.

Lösung. Es gibt zwei mögliche Fälle:

1) Ein gegebener Punkt O liegt auf einer gegebenen Geraden a (Abb. 6).

Von Punkt O aus zeichnen wir einen Kreis mit beliebigem Radius, der die Linie a in den Punkten A und B schneidet. Von den Punkten A und B zeichnen wir Kreise mit demselben Radius. Der von O verschiedene Schnittpunkt sei O 1. Wir erhalten OO 1 ⊥ AB. Tatsächlich sind die Punkte O und O 1 von den Enden des Segments AB gleich weit entfernt und liegen daher auf der senkrechten Winkelhalbierenden zu diesem Segment.



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