AT javor Postoji nekoliko načina za predstavljanje funkcije.
Metoda 1: Definiranje funkcije pomoću operatora dodjeljivanja ( := ): nekom izrazu je dato ime, na primjer:
> f:=sin(x)+cos(x);
Ako postavite određenu vrijednost za varijablu X, tada dobijate vrijednost funkcije f za ovo X. Na primjer, ako nastavimo prethodni primjer i izračunamo vrijednost f za , tada biste trebali napisati:
> x:=Pi/4;
Nakon izvršenja ovih naredbi, varijabla X ima zadatu vrijednost.
Kako ne biste trajno dodijelili određenu vrijednost varijabli, zgodnije je koristiti naredbu zamjene subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), gdje su varijable zatvorene u vitičaste zagrade xi i njihova nova značenja ai(i=1,2,…), koji treba zamijeniti u funkciju f . Na primjer:
> f:=x*exp(-t);
>subs((x=2,t=1),f);
Sve kalkulacije u javor po defaultu se proizvode simbolički, to jest, rezultat će eksplicitno sadržavati iracionalne konstante, kao što su i druge. Da biste dobili približnu vrijednost kao broj s pomičnim zarezom, koristite naredbu evalf(izraz,t), gdje expr- izraz, t– preciznost, izražena brojevima iza decimalnog zareza. Na primjer, u nastavku prethodnog primjera izračunavamo rezultirajuću vrijednost funkcije približno:
> evalf(%);
Simbol koji se ovdje koristi je ( % ) za pozivanje prethodne komande.
Metoda 2. Definiranje funkcije pomoću operatora funkcije koji se preslikava u skup varijabli (x1,x2,…) jedan ili više izraza (f1,f2,…). Na primjer, definiranje funkcije dvije varijable pomoću operatora funkcije izgleda ovako:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
Poziv ove funkcije se izvodi na najpoznatiji način u matematici, kada su određene vrijednosti varijabli naznačene u zagradama umjesto argumenata funkcije. Nastavljajući prethodni primjer, izračunava se vrijednost funkcije:
Metod 3. Korišćenje naredbe poništiti (izraz,x1,x2,…), gdje expr- izraz, x1,x2,…- skup varijabli od kojih zavisi, možete transformirati izraz expr u funkcionalnu izjavu. Na primjer:
> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);
AT javor moguće je definirati neelementarne funkcije oblika
po komandi
> po komadima (kond_1,f1, kond_2, f2, …).
Na primjer, funkcija
je napisano kako slijedi.
Katedra: Informacione tehnologije
Laboratorijski rad
Na temu: " SINTAKSA, GLAVNI OBJEKTI I NAREDBE SISTEMA MAPLE "
Moskva, 2008
Radni ciljevi :
poznaju glavne objekte i varijable Maple sistema;
znati i biti sposoban primijeniti komande koje se koriste pri radu sa objektima i varijablama Maple sistema;
· poznaju sintaksu osnovnih matematičkih funkcija Maple sistema.
Uvod
Maple analitički računarski sistem je interaktivni sistem. U ovom slučaju, to znači da korisnik unosi Javorovu naredbu ili operator u polje za unos radnog lista i pritiskom na tipku
Svaki operater ili tim obavezno doći do kraja znak separatora. U sistemu Maple postoje dva takva znaka - tačka-zarez (;) i dvotačka (:). Ako se rečenica završava tačkom-zarezom, rečenica se procjenjuje i rezultat se prikazuje u izlaznom području. Kada se dvotočka koristi kao separator, naredba se izvršava, ali rezultati njenog rada se ne prikazuju u izlaznom području radnog lista. Ovo je zgodno, na primjer, kod programiranja u Mapleu, kada nema potrebe za prikazivanjem bilo kakvih međurezultata dobijenih iz naredbi petlje, budući da izlaz ovih rezultata može zauzeti puno prostora na radnom listu i može zauzeti značajan vrijeme za njihovo prikazivanje.
Ovdje i ispod, Maple komande su napisane u obliku sintakse jezika Maple. Ako prilikom izvođenja primjera postoji želja da se naredbe prikažu u matematičkoj notaciji, tada naredba Opcije ® Input displej ® standard Math notacija podesite odgovarajući način prikaza.
Maple implementira vlastiti jezik, preko kojeg korisnik komunicira sa sistemom. Osnovni koncepti su objekti i varijable od kojih se, uz pomoć valjanih matematičkih operacija, sastavljaju izrazi.
Protozoa objekata sa kojim može da radi javor , su brojevi, konstante i nizovi.
Brojevi
Brojevi u sistemu Maple mogu biti sljedećih tipova: cijeli brojevi, razlomci, radikali, brojevi s pokretnim zarezom i kompleksni brojevi. Prve tri vrste brojeva vam omogućavaju izvođenje tacne kalkulacije(bez zaokruživanja) različiti matematički izrazi, realizujući tačnu aritmetiku. Brojevi s pomičnim zarezom su aproksimacije u kojima je broj značajnih cifara ograničen. Ovi brojevi služe za aproksimaciju (ili aproksimaciju) tačnih brojeva Javora. Kompleksni brojevi mogu biti i tačni ako su predstavljeni stvarni i imaginarni dijelovi tačne brojke, i približne, ako se brojevi s pomičnim zarezom koriste kada se specificiraju stvarni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja.
Cijeli brojevi su specificirani kao niz cifara od 0 do 9. Negativni brojevi su navedeni sa znakom minus (–) ispred broja, nule ispred prve cifre različite od nule nisu značajne i ne utiču na vrijednost cijelog broja. Maple sistem može raditi sa cijelim brojevima proizvoljne veličine, broj cifara je praktično ograničen na 2 28 . Izračuni sa cijelim brojevima implementiraju četiri aritmetičke operacije (sabiranje +, oduzimanje -, množenje *, dijeljenje /) i računanje faktorijala (!).
Maple predstavlja veliki cijeli broj koji se ne uklapa u izlaznu liniju koristeći obrnutu kosu crtu (\) kao izlazni nastavak u sljedećem redu. Posljednja komanda izračunava broj cifara iz prethodnog izračuna. Koristi % operaciju kao parametar, što je samo zgodan oblik upućivanja na rezultat prethodne operacije. Maple ima još dvije slične operacije koje identificiraju rezultate preprev i preprev naredbi, a njihova sintaksa je sljedeća:
Maple ima prilično veliki skup naredbi koje vam omogućavaju da izvršite radnje specifične za obradu cijelih brojeva: dekompoziciju na proste faktore (ifaktor), izračunavanje kvocijenta (iquo) i ostatka (irem) prilikom izvođenja operacije dijeljenja cijelih brojeva, pronalaženje najveći zajednički djelitelj dva cijela broja (igcd), provjeravanje da li je cijeli broj prost (isprime) i još mnogo toga.
Za provjeru izračuna količnika i ostatka dva cijela broja korištene su operacije dobivanja rezultata izvršenja prethodne (izračunavanje količnika) i prethodne (izračunavanje ostatka) naredbi. Rezultat naredbe isprime() je logička konstanta true (true) ili false (false).
Upisivanjem komande u polje za unos radnog lista? integer, možete dobiti listu svih naredbi za rad sa cijelim brojevima
Uobičajeni razlomci date su operacijom dijeljenja dva cijeli brojevi. Imajte na umu da Maple automatski izvodi operaciju smanjenja razlomaka. Sve osnovne aritmetičke operacije mogu se izvesti nad običnim razlomcima.
Ako se, prilikom navođenja razlomka, njegov imenilac smanji (pogledajte posljednji proračun u primjeru), tada se takav "razlomak" Javorov sistem tretira kao cijeli broj.
Često predstavljanje rezultata u obliku običnog razlomka nije baš zgodno, pa se javlja problem pretvaranja u decimalni razlomak. Da biste to učinili, koristite naredbu evalf() koja aproksimira uobičajeni razlomak s brojevima s pomičnim zarezom koristeći deset značajnih cifara u mantisi njihove reprezentacije. Ako zadana preciznost nije dovoljna, onda se može postaviti kao drugi parametar navedene funkcije.
Razlomak i njegov decimalni prikaz nisu identični Maple objekti. Decimalna reprezentacija je pravedna aproksimacija tačnu vrijednost predstavljenu običnim razlomkom.
Radikali su specificirani kao rezultat podizanja cijelih ili razlomačkih brojeva na razlomak, ili izračunavanja njihovog kvadratnog korijena pomoću funkcije sqrt () ili izračunavanja korijena n‑-ti stepen pomoću funkcije surd(broj, n). Operacija eksponencijaliranja je određena simbolom ^ ili nizom od dvije zvjezdice (**). Kada se razlomci podižu na stepen, oni bi trebali biti stavljeni u zagrade, baš kao i razlomak eksponenta. Prilikom specificiranja radikala, vrše se i moguća pojednostavljenja koja se odnose na uklanjanje maksimalne moguće vrijednosti ispod predznaka radikala.
Izračuni s cijelim brojevima, razlomcima i radikalima su apsolutno tacno jer kada radi sa ovim tipovima podataka, Maple ne vrši nikakvo zaokruživanje, za razliku od brojeva s pomičnim zarezom.
Brojevi s pomičnim zarezom su specificirani kao cijeli brojevi i razlomci odvojeni decimalnim zarezom, kojem prethodi znak broja, na primjer, 3,4567, -3,415. Brojevi s pomičnim zarezom mogu se specificirati korištenjem takozvane eksponencijalne notacije, u kojoj se odmah iza realnog broja s pomičnim zarezom ili običnog cijelog broja zvanog mantisa stavlja simbol e ili e, nakon čega se stavlja predpisani cijeli broj (eksponent). specificirano. Ova notacija znači da se mantisa mora pomnožiti sa deset na stepen broja koji odgovara eksponentu da bi se dobila vrijednost broja zapisanog u ovom eksponencijalnom obliku. Na primjer, 2.345e4 odgovara broju 23450.0. Dakle, moguće je predstaviti brojeve koji su vrlo veliki u apsolutnoj vrijednosti (eksponent je pozitivan broj) ili vrlo mali (eksponent je negativan broj).
Matematički izrazi se formiraju od brojeva pomoću aritmetičkih operacija. Simboli za aritmetičke operacije u Mapleu su navedeni u tabeli. 1.
Tabela 1. Aritmetičke operacije
Redoslijed izvođenja aritmetičkih operacija odgovara standardnim pravilima prvenstva operacija u matematici: prvo se vrši eksponencijacija, zatim množenje i dijeljenje i na kraju sabiranje i oduzimanje. Sve radnje se izvode s lijeva na desno. Faktorska operacija ima najveći prioritet. Za promenu redosleda aritmetičkih operacija se moraju koristiti zagrade.
Ako su svi brojevi u izrazu cijeli brojevi, razlomci ili radikali, tada je rezultat također predstavljen korištenjem ovih tipova podataka, ali ako je u izrazu prisutan broj s pomičnim zarezom, tada će i rezultat evaluacije takvog "mješovitog" izraza biti broj s pomičnim zarezom, osim ako izraz ne sadrži radikal. U ovom slučaju, radikal se izračunava tačno, a koeficijent za njega se izračunava tačno ili kao broj s pomičnim zarezom, u zavisnosti od vrste faktora.
Maple analitički sistem uvek pokušava da izračuna sa apsolutnom tačnošću. Ako ovo ne uspije, tada se koristi aritmetika s pomičnim zarezom.
Javor može raditi sa kompleksni brojevi . Za imaginarnu jedinicu
Maple koristi konstantu I. Definicija kompleksnog broja se ne razlikuje od njegove uobičajene definicije u matematici.AT javor Postoji nekoliko načina za predstavljanje funkcije.
Metoda 1: Definiranje funkcije pomoću operatora dodjeljivanja ( := ): nekom izrazu je dato ime, na primjer:
> f:=sin(x)+cos(x);
Ako postavite određenu vrijednost za varijablu X, tada dobijate vrijednost funkcije f za ovo X. Na primjer, ako nastavimo prethodni primjer i izračunamo vrijednost f za , tada biste trebali napisati:
> x:=Pi/4;
Nakon izvršenja ovih naredbi, varijabla X ima zadatu vrijednost.
Kako ne biste trajno dodijelili određenu vrijednost varijabli, zgodnije je koristiti naredbu zamjene subs((x1=a1, x2=a2,…, ),f), gdje su varijable zatvorene u vitičaste zagrade xi i njihova nova značenja ai(i=1,2,…), koji treba zamijeniti u funkciju f . Na primjer:
> f:=x*exp(-t);
>subs((x=2,t=1),f);
Sve kalkulacije u javor po defaultu se proizvode simbolički, to jest, rezultat će eksplicitno sadržavati iracionalne konstante, kao što su i druge. Da biste dobili približnu vrijednost kao broj s pomičnim zarezom, koristite naredbu evalf(izraz,t), gdje expr- izraz, t– preciznost, izražena brojevima iza decimalnog zareza. Na primjer, u nastavku prethodnog primjera izračunavamo rezultirajuću vrijednost funkcije približno:
> evalf(%);
Simbol koji se ovdje koristi je ( % ) za pozivanje prethodne komande.
Metoda 2. Definiranje funkcije pomoću operatora funkcije koji se preslikava u skup varijabli (x1,x2,…) jedan ili više izraza (f1,f2,…). Na primjer, definiranje funkcije dvije varijable pomoću operatora funkcije izgleda ovako:
> f:=(x,y)->sin(x+y);
Poziv ove funkcije se izvodi na najpoznatiji način u matematici, kada su određene vrijednosti varijabli naznačene u zagradama umjesto argumenata funkcije. Nastavljajući prethodni primjer, izračunava se vrijednost funkcije:
Metod 3. Korišćenje naredbe poništiti (izraz,x1,x2,…), gdje expr- izraz, x1,x2,…- skup varijabli od kojih zavisi, možete transformirati izraz expr u funkcionalnu izjavu. Na primjer:
> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);
AT javor moguće je definirati neelementarne funkcije oblika
po komandi
> po komadima (kond_1,f1, kond_2, f2, …).
Na primjer, funkcija
je napisano kako slijedi.
Na stranicu<Методические разработки>
Sistemi kompjuterske algebre
Maple je specijalizovani matematički paket koji koriste profesionalni matematičari širom sveta. Takvi paketi se nazivaju i sistemi kompjuterske algebre. Od mnogih takvih sistema (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica, Macsyma, Derive, Axiom, MuPAD), Maple je priznati lider u oblasti simboličkih proračuna (tj. u pretvaranju izraza pomoću varijabli, polinoma, funkcija itd. ). Osim toga, Maple uključuje module koji olakšavaju rad u oblastima matematike kao što su viša algebra, linearna algebra, analitička geometrija, teorija brojeva, račun, diferencijalne jednadžbe, kombinatorna analiza, teorija vjerovatnoće, statistika i mnoge druge.
Da biste dobili pomoć za određenu naredbu, unesite ?command u prozor Maple (zamijenite komandu imenom naredbe).
Javor kao super kalkulator
U radnom listu Maple možete unijeti komande nakon prompta ">". Naredba se mora završiti sa ";", njen rezultat se odmah prikazuje na ekranu. Ako se umjesto " ; " stavi " : ", tada će se naredba izvršiti, ali rezultat njenog rada neće biti ispisan. Na primjer:
> 57/179+91/1543;
Kao što vidimo, Maple daje tačan odgovor kao racionalni izraz. Ako želite da ga predstavite kao decimalni razlomak (sa određenom preciznošću), koristite funkciju evalf. Njegov prvi obavezni parametar je izraz koji treba procijeniti, drugi (opcijski) je broj značajnih decimalnih mjesta (imajte na umu da ovo zaokružuje izraz kako bi se prikazao odgovarajući broj decimalnih mjesta):
>evalf(%);
>evalf(%%,30);
0.377411774928764613663435880911
Simbol % označava posljednji izračunat Maple izraz, %% - pretposljednji, %%% - pretposljednji (ali oznaka %%%% više ne postoji).
Brojevi i konstante
Ako izraz sadrži broj napisan plutajućim zarezom (na primjer, 3.14 ili 5.6e-17), tada se svi proračuni izvode približno, u suprotnom se proračuni izvode tačno. Maple ima sljedeće konstante: Pi Broj pi
I Imaginarna jedinica i
exp(1) Baza prirodnih logaritama e
beskonačnost
true Boolean true
false Boolean false
Proračuni koji uključuju konstante se izvode tačno (osim ako se njihova vrijednost ne konvertuje u realnu vrijednost), npr.
> sin(Pi/3);
> sin(3.1415926);
0.5358979324 10 -7
Operateri
Maple ima sljedeće operatore:
Aritmetika: + , - , * , / , ^ (eksponencijacija), ! (faktorski).
mozgalica:< , > , >= , <= , = (равно), <>(nije jednako).
Operator dodjeljivanja: := .
Varijable
Varijabla je bilo koji identifikator (koji se sastoji od latiničnih slova i brojeva, koji počinju brojem). Varijabli se može dodijeliti bilo koja vrijednost pomoću operatora dodjeljivanja:= . Varijabla kojoj nije dodijeljena nikakva vrijednost smatra se slobodnom promjenljivom i njeno ime se čuva u aritmetičkim proračunima. Na primjer:
> a:=2: b:=3: > (a+b)^2;
Standardne karakteristike
Znak x (vraća 1, -1 ili 0) - znak(x)
Trigonometrijske funkcije: sin(x) , cos(x) , tan(x) , cot(x)
Inverzna trigonometrija: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arckot(x)
Eksponent: exp(x)
Prirodni, baza 10 i osnovni log: ln(x) , log10(x) , log[a](x)
Pretvaranje matematičkih izraza
Izraz može uključivati konstante, slobodne varijable, matematičke funkcije. Primjer izraza:
> A:=sin(sqrt(Pi)+exp(2));
A:=sin(Pi 1/2 +e 2)
Vrlo često, polinomi u jednoj ili više varijabli ili racionalni izrazi djeluju kao izrazi. Maple sadrži različite funkcije za transformaciju takvih izraza.
Funkcija faktor(eq) faktorizira izraz eq.
> P:=x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1: > faktor(P);
Funkcija expand(eq) proširuje zagrade u izrazu. Ako navedete jedan ili više dodatnih parametara u obrascu expand(eq,a,b,c), tada izrazi a, b, c neće biti prošireni. Ovo je korisno ako trebate svaki pojam pomnožiti nekim izrazom.
> proširi ((x+1)*(x+2));
> proširiti(sin(x+y));
sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
> proširiti((x+1)*(y+z),x+1);
Da biste sveli razlomke na zajednički nazivnik, a zatim ih smanjili, koristite normalnu (eq) funkciju.
>normalno(1/x+1/y);
> (a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);
(a 4 -b 4)/((a 2 +b 2)ab)
Funkcija simplify(eq) pojednostavljuje izraz eq. Kao drugi (opcijski) parametar, možete odrediti koje izraze treba pretvoriti: trig - trigonometrijski, power - snaga, radikal - radikali, exp - eksponenti, ln - logaritmi.
> Pojednostavi(sin(x)^2+cos(x)^2);
Rješavanje jednačina
Obične jednačine
Za rješavanje jednačina koristite funkciju solve(eq,x) , gdje je eq jednačina koju treba riješiti, x je ime varijable u odnosu na koju se jednačina rješava. primjer:
> reši(x^2+x-1=0,x);
1/2-5 1/2 /2 ,-1/2+5 1/2 /2
> riješi (a*x+b=0,x);
> riješi (a*x+b=0,b);
Ako jednačina ima više rješenja, tada se rješenje jednadžbe može pripisati nekoj varijabli, kao što je p. Tada možete koristiti k -to rješenje jednadžbe u obliku p[k] :
> p:=riješi(x^2+x-1=0,x): p;
>pojednostavite (p*p);
Sistemi jednačina
Sistemi jednadžbi rješavaju se pomoću iste funkcije solve((eq1,eq2,...),(x1,x2,...)) varijable su navedene u zagradama, odvojene zarezima, u odnosu na koje je potrebno riješiti sistem. Ako dobijena rješenja jednadžbi trebate koristiti za daljnje proračune, tada je potrebno da rezultat koji vraća funkcija rješavanja dodijelite nekoj varijabli, na primjer p , a zatim izvršite naredbu assign(p) . primjer:
> p:=riješi((x+y=a,x-y=b), (x,y)): > dodijeli(p); >x;
Numeričko rješenje jednačina
Pokušajmo riješiti jednačinu: x 6 -2x+1=0. Korišćenje funkcije rešavanja će nam dati jedan koren -1 i drugi skup izraza kao što je RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1, index= 1). Činjenica je da proizvoljna jednadžba stepena većeg od 4 sa racionalnim koeficijentima možda nema korijene koji se mogu izraziti kao radikali nad racionalnim brojevima. Rješenja svih mogućih ovakvih jednadžbi nazivaju se algebarskim brojevima. Ova jednadžba je također nerješiva u radikalima, a Maple nam je pronašao jedini korijen izražen u radikalima (1) i objavio da su preostali korijeni algebarski brojevi: korijeni polinoma z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z- 1=0 (ovaj polinom je naveden u argumentu funkcije RootOf). Maple zna raditi s algebarskim brojevima, ali možete pronaći i približno numeričko rješenje pomoću funkcije fsolve:
> fsolve(x^6-2*x+1=0,x);
5086603916, 1.000000000
Ponekad Maple, kada rješava transcendentalne jednadžbe, ne prikazuje složene izraze u obliku radikala, već ih ostavlja u obliku korijena. Da biste prisilili Maple da ispiše sva rješenja kao radikale (naravno, ako se mogu predstaviti u ovom obliku), morate postaviti sistemsku varijablu _EnvExplicit (_EnvExplicit:=true) na true.
Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
Naredba solve, koja se koristi za rješavanje trigonometrijskih jednačina, pronalazi samo glavna rješenja, odnosno daje samo jedno rješenje iz niza periodičnih rješenja:
> riješi(sin(2*x)+cos(2*x)=1,x);
Da bi Maple pronašao sva rješenja, prvo morate postaviti sistemsku varijablu _EnvAllSolutions na true. Tada ćemo dobiti rezultat u drugačijem obliku, u kojem će se pojaviti varijable Z1~ i Z2~. Ove varijable označavaju proizvoljnu konstantu cjelobrojnog tipa; u poznatijem obliku, rješenje se može napisati kao π/4+πn, πk.
Vježbe
- Koje je 100. mjesto nakon decimalnog zareza u decimalnom zapisu za π?
- Koliko je cifara u decimalnom zapisu 179! ?
- Izračunajte vrijednost (6+2×5 1/2) 1/2 -(6-2×5 1/2) 1/2 .
- Izračunajte sin 4 (π/8)+cos 4 (3π/8)+sin 4 (5π/8)+cos 4 (7π/8).
- Pojednostavite izraz (1 + sin(2 x) + cos(2 x))/(1 + sin(2 x) - cos(2 x)).
- Faktor polinoma x 3 -4x 2 +5x-2.
- Naći numeričko rješenje jednačine cos x=x.
- Riješite jednačinu 3 x-(18x+1) 1/2 +1=0
- Riješi jednačinu ||2 x-3|-1|=x.
- Riješi jednačinu (pronađi sva rješenja) sin x- cos x=1/greh x.
- Riješite sistem jednačina:
10(xy) 1/2 +3x-3y=58 x-y=6
04. 01 Transformacija jednačina. Timovi lhs i rhs
* Unošenje i rukovanje jednadžbama: Thelhs irhs komande*
Podsjetimo da jednačina, baš kao i izraz, može dobiti ime. Sljedeći komandna linija unećemo jednačinu i dati joj ime " eq1 " :
> eq1:=x^3-5*x^2+23=2*x^2+4*x-8;
Možemo odvojeno prikazati lijevu i desnu stranu jednačine pomoću naredbi lhs i rhs :
> lhs(eq1);
> rhs(eq1);
Koristimo komande lhs i rhs kako bi se jednadžba dovela u standardni oblik, u kojem su svi pojmovi sakupljeni na lijevoj strani, a samo 0 ostaje na desnoj strani:
> eq2:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0;
04. 02 Pronalaženje tačnih korijena. Zapovjedi riješiti
* Pronalaženje tačnih rješenja: Theriješiti komanda*
Razmotrimo prvo racionalne jednadžbe. Poznato je da postoje algoritmi za određivanje tačnih korijena racionalnih korijena do 4. reda uključujući. Za Maple tim riješiti i ovi algoritmi su postavljeni.
Koristimo naredbu riješiti da pronađemo tačne korijene kubične jednadžbe 
:
> reši(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);
Imajte na umu da u naredbi naznačavamo u odnosu na koju varijablu jednačina treba riješiti. Iako u našem konkretnom slučaju to nije potrebno:
> reši(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0);
Maple je pronašao sva 3 prava korijena i ispisao ih ( neuređeno ).
Ponekad je vrlo važno odabrati određeni korijen, kako bi se kasnije koristio u daljnjim transformacijama. Da biste to učinili, prvo morate dodijeliti ime rezultatu izvršenja naredbe riješiti. Nazovimo to X. Zatim izgradnja Xće odgovarati prvom korijenu sa liste (podvlačenje: to nije nužno manji korijen!), X- do drugog korijena, itd. ( Zagrade su kvadratne!):
> X:=riješi(x^2-5*x+3=0,x);
Međutim, pogledajte šta će biti rezultat izvršenja slične naredbe:
> x=%;
Još jednom naglašavamo: praksa pokazuje da je preporučljivo jednadžbi dati ime. Tradicionalno, u Mapleu, takvo ime počinje slovima ekv :
> eq1:=7*x^3-11*x^2-27*x-9=0;
(Nemojte zbuniti operatora dodjeljivanja " := "sa znakom jednakosti" = " !)
Sada da riješimo jednačinu pomoću naredbe riješiti. Nazovimo skup korijena X :
> X:=riješi(eq1,x);
Radi uvjerljivosti, provjerimo ima li stranih korijena među pronađenim korijenima. Provjeravamo direktnom zamjenom
> subs(x=X,eq1);
> subs(x=X,eq1);
> subs(x=X,eq1);
Naravno, "precizna" rješenja su često, u najmanju ruku, prilično glomazna. Na primjer, ovo se tiče jednačine 
:
> eq1:=x^3-34*x^2+4=0;
> X:=riješi(eq1,x);
Sada razumete o čemu pričamo? Obratite pažnju na to imaginarna jedinica u Javoru je označeno sa veliko slovo I . Naravno, u takvim slučajevima nije grijeh pronaći približne vrijednosti korijena. Sa tačnim rješenjem u ruci, sami ćete shvatiti kako to učiniti:
> evalf(X);
U takvim situacijama dobra alternativa komandi riješiti je fsolve, čije će karakteristike biti riječi u sljedećem odjeljku.
Zapovjedi riješiti koristi se u pronalaženju tačnih rješenja ne samo racionalnih jednačina. Ispod su neke ilustracije volumena. Ali za mnoge vrste iracionalnih, eksponencijalnih, logaritamskih, trigonometrijskih, pa čak i racionalnih jednačina, beskorisno je tražiti točno rješenje. Tim je pozvan da pomogne fsolve .
Hajde da riješimo jednačinu 
:
> riješiti (5*exp(x/4)=43,x);
Ponekad (i u trigonometriji - uvek ) javor, default, ne prikazuje cijeli skup korijena:
> riješiti(sin(x)=1/2,x);
Ali nema bezizlaznih situacija! Na osnovu dobijenog rezultata iskoristite svoje znanje o trigonometrijskim jednadžbama i zapišite kompletno rješenje ( kao?).
Vježba 4.1
riješiti jednačinu 
Odredite koliko različitih korijena ima jednačina. Kako se javor nosi sa jednakim korijenima?
Savjet: faktorizirajte lijevu stranu jednačine.
> riješi(x^3-11*x^2+7*x+147=0,x);
> faktor(x^3-11*x^2+7*x+147);
Korijen x = 7 je dvostruk, pa stoga kubična jednadžba ima samo dva različita korijena. Faktorizacija lijeve strane jednačine je dokaz za to.
04. 03 Potražite približne korijene. Zapovjedi fsolve
* Pronalaženje približnih rješenja: The fsolve komanda*
Za približno rješenje jednačina koristi se naredba Maple fsolve. U slučaju racionalne jednačine, fsolve ispisuje cijelu listu pravih korijena (vidi primjer 01). Za transcendentalne jednačine, ova naredba, po defaultu, izlazi samo jedan koren(Vidi primjere 02 i 03).
Uz pomoć fsolve pronađite približne vrijednosti sva četiri realna korijena racionalne jednadžbe odjednom 
:
> eq:=x^4-x^3-17*x^2-6*x+2=0;
> riješiti(eq,x);
Ova četiri korijena čine iscrpno rješenje originalne racionalne jednadžbe ( iako blizu).
Koristeći komandu fsolve, nađi najmanje jedan pravi koren jednačine 
:
> eq:=x^3+1-exp(x)=0;
> riješiti(eq,x);
Javor i izlaz samo jedan korijen. Ovaj put Javor nije "farbao". Kako sada osigurati da nema drugih pravih korijena? Sljedeći primjer pruža takav komplet alata.
Primi Svi
realni koreni jednačine 
i uvjerite se u to.
Prvi korak ( Glavna ideja ) : pronaći grafičko rješenje jednačine. Da bismo to učinili, konstruiramo graf funkcije na lijevoj strani jednadžbe. Apscise presječnih tačaka ovog grafika sa Ox osom će biti željeni korijeni.
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..5,y=-5..15);
Jer vješto smo odabrali opsege promjena apscisa i ordinata tačaka grafikona, lako možemo pronaći 4 tačke preseka prave sa x-osom. Jedan od njih odgovara korijenu pronađenom u primjeru 02 ( koji?).
Drugi korijen je očigledan: x = 0. A kako preciznije pronaći ostatak?
korak dva ( Pojašnjenje ) : primeni naredbu fsolve"jasnije". Maple pruža mogućnost specificiranja intervala u kojem se korijeni nalaze. Konkretno, da bismo odredili negativni korijen naše jednadžbe, naznačavamo da pretragu treba izvršiti u "području" [-1;-0,2]. O tome rječito svjedoči i grafičko rješenje.
> fsolve(eq,x=-1..-.2);
Preostali korijeni jasno pripadaju intervalima i . Reci timu o tome fsolve :
> fsolve(eq,x=1..2);
fsolve(eq,x=4..5);
Pa, šta se dešava ako ubacimo "praznu parcelu" u Maple? Na primjer, segment za našu jednadžbu. Jasno je da nema grafičkog rješenja:
> fsolve(eq,x=2..4);
Maple daje ime naredbe, samu jednačinu, ime argumenta i segment. One. ništa novo. Kažu: "Potražite sami korijene, ali nisam našao."
Treći korak ( Dodatna analiza ) : Kako sada osigurati da su pronađeni svi koreni, a ne samo u vidljivom dijelu grafičkog rješenja? Da biste to učinili, proširite interval pretraživanja:
> plot(x^3+1-exp(x),x=-3..50,y=-10..15);
Nema novih raskrsnica. Na kraju, shvatamo da eksponencijalni član na granicama jaza daje najznačajniji doprinos vrednosti funkcije sa leve strane jednačine. Vrijednosti funkcije u ovoj oblasti teže , i stoga ne možemo pronaći dodatne korijene.
Pokušajmo na drugim mjestima: desno i lijevo od područja pronađenih korijena.
> fsolve(eq,x=5..50);
> fsolve(eq,x=-50..-1);
I nema niti jednog dodatnog korijena! Shvativši da je sve jasno sa uticajem eksponencijalnog dela jednačine, donosimo konačne zaključke.
Iscrpno rješenje jednačine 
sastoji se od četiri korijena: -.8251554597 , 0 , 1.545007279 , 4.567036837 .
Primijenimo naredbu fsolve za približno rješenje transcendentalne jednadžbe 
.
Kao iu prethodnom slučaju, prvo ćemo pronaći kvalitetno grafičko rješenje. Da biste to učinili, još uvijek morate pogoditi kako raspršiti njegove članove na obje strane jednačine. Ali grafičke mogućnosti Maple-a su toliko velike da je gotovo uvijek moguće sakupiti sve članove jednačine na jednoj strani.
Razmotrimo jednačinu koja je ekvivalentna datoj: 
. Apscise presječnih točaka grafa funkcije na lijevoj strani jednadžbe sa Ox osom će biti željeni korijeni.
> eq:=x^2/20-10*x-15*cos(x+15)=0;
> plot(lhs(eq),x=-10..10);
Grafikon pokazuje područje pretraživanja za korijene: span. Red je na tim fsolve :
> fsolve(eq,x=1..2);
Root pronađen. Ali očigledno nije jedini. Proširite područje pretraživanja i ponovo primijenite naredbu fsolve da pronađemo drugi koren.
Vježba 4.2
Pronađite sve realne korijene jednadžbe 
, počevši od grafičkog rješenja.
Nacrtajmo lijevu stranu jednačine:
> eq:=x^5-4*x^3+3*x^2+7*x-1=0;
> plot(lhs(eq),x=-5..5,y=-5..5);
Kao rezultat, nalazimo korijene jednadžbe u prvoj aproksimaciji: -2; -1.5 ; 0 . Sada primijenimo naredbu fsolve bez navođenja raspona pretraživanja ( procijeniti mogućnosti Maple-a):
> riješiti(eq,x);
Sa zadovoljstvom primjećujemo da Maple prikazuje sva tri korijena (Ne zaboravimo da smo rješavali racionalnu jednačinu.)
Vježba 4.3
Pronađite sve korijene jednadžbe 
. Koristite grafičko rješenje. Provjerite svaki korijen direktnom zamjenom.
Dovedemo jednačinu u standardni (za ovaj odjeljak) oblik:
> eq:=x^2-2-ln(x+5)=0;
Sada nacrtajmo lijevu stranu jednačine:
> plot(lhs(eq),x=-10..10);
Očigledno postoje dva korijena. Jedan je oko -2, a drugi izgleda kao 2.
Primijenimo naredbu fsolve, ograničavajući raspon pretraživanja:
> x:=fsolve(eq,x=-5..0);
> x:=fsolve(eq,x=1..3);
Provjerimo korijene direktnom zamjenom:
> evalf(subs(x=x,eq));
> evalf(subs(x=x,eq));
Imajte na umu da u oba slučaja ne postoji istinska jednakost. Uzimajući u obzir greške zaokruživanja, razumno odstupanje je sasvim prihvatljivo.
Uvjerite se da nema drugih korijena. Obrazložite odgovor.
Vježba 4.4
Grafovi funkcija 
i 
seku dva puta na segmentu [-5;5].
a). Nacrtajte grafikone obe funkcije u istom koordinatnom sistemu i koristite miša da pronađete koordinate tačaka preseka.
b). Napišite jednačinu čiji su korijeni apscise presječnih tačaka grafova.
c). Koristite komandu fsolve da riješimo ovu jednačinu.
d). Koristite rezultate iz tačke c) da procenite ordinate tačaka preseka grafova.
e). Zar nemate utisak da se prave mogu ukrštati u trećoj tački sa koordinatama (1;9)? Koristi fsolve i Mapleove grafičke mogućnosti da vidimo drugačije.
> y1:=10-x^2;
> y2:=4*sin(2*x)+5;
Sada nacrtajmo grafove funkcije:
> plot(,x=-5..5);
Približne koordinate raskrižnih tačaka: (-1.8, 6.6) i (2.75, 2) .
b) Postavite jednačinu:
> eq:= y1=y2;
c) Tim fsolve pomoći će pronaći odgovarajuće korijene:
> x1:=fsolve(y1=y2,x=-4..0);
> x2:=fsolve(y1=y2,x=0..4);
d) Koristite komandu subs da odredimo odgovarajuće ordinate tačaka preseka:
> y:=subs(x=x1,y1);
> y:=subs(x=x2,y1);
Uobičajene tačke grafikona: (-1.800.6.763) i (2.773.2.311) .
e) Grafički ispitajte okolinu tačke x = 1:
> plot(,x=.5..1.5);
Zapovjedi fsolve ovaj put će dokazati odsustvo korijena blizu tačke x = 1:
> fsolve(y1=y2,x=.5..1.5);
04. 04 Rješenje jednadžbi u opštem obliku
* Rješavanje literalnih jednačina*
U mnogim slučajevima, Maple pronalazi rješenje jednadžbe u općem (simboličkom) obliku. Govorimo o jednačini (ne sistemu!) koja sadrži nekoliko varijabli. Rješenje je da se jedna od varijabli izražava u terminima ostalih.
Neka je potrebno riješiti jednačinu 
u odnosu na varijablu g. Kao i obično, koristimo naredbu riješiti. I opravdava naše nade:
> riješi (4-v=2*T-k*g,g);
I tako se rješenje može formalizirati u uobičajenom obliku:
> g=rešiti(4-v=2*T-k*g,g);
Vježba 4.4
Riješite posljednju jednačinu u odnosu na ostale varijable: T, k i v.
> T=rešiti(4-v=2*T-k*g,T);
> k=rešiti(4-v=2*T-k*g,k);
> v=rešiti(4-v=2*T-k*g,v);
Vježba 4.5
riješiti jednačinu 
u vezi sa u. Imenujte niz korijena S. Kako su korijeni S i S povezani?
> S:=riješi(x^2+y^2=25,y);
Korijeni se razlikuju samo po predznaku.