Jednako zbiru proizvoda elemenata reda ili stupca njihovim algebarskim komplementama, tj. , gdje je i 0 fiksno.
Izraz (*) se naziva proširenje determinante D u elemente reda označene brojem i 0 .

Svrha usluge. Ova usluga je dizajnirana da pronađe determinantu matrice na mreži sa cijelim procesom rješenja snimljenim u Word formatu. Osim toga, u Excelu se kreira predložak rješenja.

Instrukcije. Odaberite dimenziju matrice, kliknite na Next. Determinanta se može izračunati na dva načina: a-priorat I po redu ili koloni. Ako trebate pronaći determinantu kreiranjem nula u jednom od redaka ili stupaca, možete koristiti ovaj kalkulator.

Algoritam za pronalaženje determinante

1. Za matrice reda n=2, determinanta se izračunava pomoću formule: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Za matrice reda n=3, determinanta se računa algebarskim sabiranjem ili Sarus metoda.
3. Matrica koja ima dimenziju veću od tri razlaže se na algebarske komplemente, za koje se izračunavaju njihove determinante (minori). Na primjer, Determinanta matrice 4. reda pronađeno kroz proširenje u redove ili stupce (vidi primjer).

Za izračunavanje determinante koja sadrži funkcije u matrici koriste se standardne metode. Na primjer, izračunajte determinantu matrice trećeg reda:

Koristimo metodu dekompozicije duž prvog reda.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metode za izračunavanje determinanti

Pronalaženje determinante algebarskim sabiranjem je uobičajena metoda. Njegova pojednostavljena verzija je izračunavanje determinante po Sarrusovom pravilu. Međutim, kada je dimenzija matrice velika, koriste se sljedeće metode:

1. izračunavanje determinante korištenjem metode redukcije naloga
2. izračunavanje determinante Gaussovom metodom (svođenjem matrice na trouglasti oblik).

U Excelu se funkcija =MOPRED(opseg ćelija) koristi za izračunavanje determinante.

Primijenjena upotreba determinanti

Determinante se računaju, po pravilu, za određeni sistem specificiran u obliku kvadratne matrice. Razmotrimo neke vrste problema na pronalaženje determinante matrice. Ponekad morate pronaći nepoznati parametar a za koji bi determinanta bila jednaka nuli. Da biste to učinili, potrebno je kreirati jednadžbu determinante (na primjer, prema pravilo trougla) i, izjednačavajući ga sa 0, izračunajte parametar a.
dekompozicija stupaca (prva kolona):
Minor za (1,1): Precrtajte prvi red i prvi stupac iz matrice.
Nađimo odrednicu za ovaj minor. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.

Odredimo minor za (2,1): da bismo to učinili, izbrišemo drugi red i prvi stupac iz matrice.

Nađimo odrednicu za ovaj minor. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Minor za (3,1): Precrtajte 3. red i 1. stupac iz matrice.
Nađimo odrednicu za ovaj minor. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Glavna determinanta je: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Nađimo determinantu koristeći proširenje red po red (prema prvom redu):
Minor za (1,1): Precrtajte prvi red i prvi stupac iz matrice.

Nađimo odrednicu za ovaj minor. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Minor za (1,2): Precrtajte 1. red i 2. kolonu iz matrice. Izračunajmo determinantu za ovaj minor. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. A da bismo pronašli minor za (1.3), precrtavamo prvi red i treći stupac iz matrice. Nađimo odrednicu za ovaj minor. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Pronađite glavnu determinantu: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

Koncept determinante jedan je od glavnih u kursu linearne algebre. Ovaj koncept je inherentan SAMO KVADRATNIM MATRICAMA, a ovaj članak je posvećen ovom konceptu. Ovdje ćemo govoriti o determinantama matrica čiji su elementi realni (ili kompleksni) brojevi. U ovom slučaju, determinanta je realan (ili kompleksan) broj. Sva daljnja izlaganja bit će odgovor na pitanja kako izračunati determinantu i koja svojstva ona ima.

Prvo, dajemo definiciju determinante kvadratne matrice reda n po n kao zbroj proizvoda permutacija matričnih elemenata. Na osnovu ove definicije zapisati ćemo formule za izračunavanje determinanti matrica prvog, drugog i trećeg reda i detaljno analizirati rješenja nekoliko primjera.

Zatim prelazimo na svojstva determinante, koju ćemo formulirati u obliku teorema bez dokaza. Ovdje ćemo dobiti metodu za izračunavanje determinante kroz njeno proširenje u elemente reda ili stupca. Ova metoda vam omogućava da smanjite izračunavanje determinante matrice reda n za n na izračunavanje determinanti matrica reda 3 za 3 ili manje. Definitivno ćemo pokazati rješenja na nekoliko primjera.

U zaključku ćemo se fokusirati na izračunavanje determinante pomoću Gaussove metode. Ova metoda je dobra za pronalaženje vrijednosti determinanti matrica reda većeg od 3 sa 3, jer zahtijeva manje računskih napora. Također ćemo pogledati rješenja primjera.

Navigacija po stranici.

Određivanje determinante matrice, izračunavanje determinante matrice po definiciji.

Prisjetimo se nekoliko pomoćnih pojmova.

Definicija.

Permutacija reda n Poziva se uređeni skup brojeva koji se sastoji od n elemenata.

Za skup koji sadrži n elemenata, postoji n! (n faktorijalne) permutacije reda n. Permutacije se razlikuju jedna od druge samo po redoslijedu u kojem se elementi pojavljuju.

Na primjer, razmotrite skup koji se sastoji od tri broja: . Zapišimo sve permutacije (ima ih ukupno šest, jer ):

Definicija.

Inverzijom u permutaciji reda n Poziva se svaki par indeksa p i q za koji je p-ti element permutacije veći od q-og.

U prethodnom primjeru, inverzna vrijednost permutacije 4, 9, 7 je par p=2, q=3, jer je drugi element permutacije jednak 9 i veći je od trećeg, jednak 7. Inverzija permutacije 9, 7, 4 će biti tri para: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) i p=2, q=3 (7>4).

Više će nas zanimati broj inverzija u permutaciji, nego sama inverzija.

Neka je kvadratna matrica reda n po n nad poljem realnih (ili kompleksnih) brojeva. Neka biti skup svih permutacija reda n skupa . Skup sadrži n! permutacije. Označimo k-tu permutaciju skupa kao , a broj inverzija u k-toj permutaciji kao .

Definicija.

Matrična determinanta I postoji broj jednak .

Opišimo ovu formulu riječima. Determinanta kvadratne matrice reda n po n je zbir koji sadrži n! uslovi. Svaki pojam je proizvod n elemenata matrice, a svaki proizvod sadrži element iz svakog reda i iz svake kolone matrice A. Koeficijent (-1) pojavljuje se prije k-tog člana ako su elementi matrice A u proizvodu poredani po broju reda, a broj inverzija u k-toj permutaciji skupa brojeva stupaca je neparan.

Determinanta matrice A obično se označava kao , a koristi se i det(A). Možete čuti i determinantu koja se zove determinanta.

dakle, .

Iz ovoga je jasno da je determinanta matrice prvog reda element ove matrice.

Izračunavanje determinante kvadratne matrice drugog reda - formula i primjer.

otprilike 2 sa 2 općenito.

U ovom slučaju n=2, dakle n!=2!=2.

.

Imamo

Tako smo dobili formulu za izračunavanje determinante matrice reda 2 sa 2, ona ima oblik .

Primjer.

naručiti .

Rješenje.

U našem primjeru. Primjenjujemo rezultirajuću formulu :

Izračunavanje determinante kvadratne matrice trećeg reda - formula i primjer.

Nađimo determinantu kvadratne matrice otprilike 3 sa 3 općenito.

U ovom slučaju n=3, dakle n!=3!=6.

Složimo u obliku tabele potrebne podatke za primjenu formule .

Imamo

Tako smo dobili formulu za izračunavanje determinante matrice reda 3 sa 3, ona ima oblik

Slično, možete dobiti formule za izračunavanje determinanti matrica reda 4 sa 4, 5 sa 5 i više. Izgledat će veoma glomazno.

Primjer.

Izračunajte determinantu kvadratne matrice otprilike 3 sa 3.

Rješenje.

U našem primjeru

Dobivenu formulu primjenjujemo za izračunavanje determinante matrice trećeg reda:

Formule za izračunavanje determinanti kvadratnih matrica drugog i trećeg reda se vrlo često koriste, pa preporučujemo da ih zapamtite.

Svojstva determinante matrice, izračunavanje determinante matrice koristeći svojstva.

Na osnovu navedene definicije, istinito je sljedeće: svojstva determinante matrice.

Determinanta matrice A jednaka je determinanti transponovane matrice A T, odnosno .

Primjer.

Uvjerite se da je determinanta matrice jednaka je determinanti transponovane matrice.

Rješenje.

Koristimo formulu za izračunavanje determinante matrice reda 3 sa 3:



Transponovana matrica A:


Izračunajmo determinantu transponovane matrice:



Zaista, determinanta transponovane matrice jednaka je determinanti originalne matrice.

Ako su u kvadratnoj matrici svi elementi barem jednog od reda (jednog od stupaca) jednaki nuli, determinanta takve matrice jednaka je nuli.

Primjer.

Provjerite da li je determinanta matrice red 3 prema 3 je nula.

Rješenje.




Zaista, determinanta matrice sa nultim stupcem jednaka je nuli.

Ako preuredite bilo koja dva reda (stupca) u kvadratnoj matrici, tada će determinanta rezultirajuće matrice biti suprotna od originalne (odnosno, predznak će se promijeniti).

Primjer.

Date su dvije kvadratne matrice reda 3 puta 3 I . Pokažite da su njihove determinante suprotne.

Rješenje.

Matrix B se dobija iz matrice A zamenom trećeg reda sa prvim, a prvog sa trećim. Prema svojstvu koje se razmatra, determinante takvih matrica moraju se razlikovati u predznaku. Provjerimo to tako što ćemo izračunati determinante koristeći dobro poznatu formulu.



Zaista, .

Ako su u kvadratnoj matrici najmanje dva reda (dva kolona) ista, tada je njena determinanta jednaka nuli.

Primjer.

Pokazati da je determinanta matrice jednaka nuli.

Rješenje.

U ovoj matrici, drugi i treći stupac su isti, pa prema razmatranom svojstvu njena determinanta mora biti jednaka nuli. Hajde da to proverimo.



U stvari, determinanta matrice sa dva identična stupca je nula.

Ako se u kvadratnoj matrici svi elementi bilo kojeg reda (stupca) pomnože određenim brojem k, tada će determinanta rezultirajuće matrice biti jednaka determinanti originalne matrice pomnoženoj s k. Na primjer,



Primjer.

Dokazati da je determinanta matrice jednako trostrukoj determinanti matrice .

Rješenje.

Elementi prve kolone matrice B dobijaju se iz odgovarajućih elemenata prve kolone matrice A množenjem sa 3. Tada, zbog razmatranog svojstva, mora vrijediti jednakost. Provjerimo to izračunavanjem determinanti matrica A i B.



Dakle, to je ono što je trebalo dokazati.

BILJEŠKA.

Nemojte brkati ili miješati koncepte matrice i determinante! Razmatrano svojstvo determinante matrice i operacija množenja matrice brojem su daleko od iste stvari.
, Ali .

Ako svi elementi bilo kojeg reda (stupca) kvadratne matrice predstavljaju zbir s članova (s je prirodni broj veći od jedan), tada će determinanta takve matrice biti jednaka zbroju s determinanti dobijenih matrica od originalnog, ako su elementi reda (kolone): ostavljajte jedan po jedan termin. Na primjer,


Primjer.

Dokaži da je determinanta matrice jednaka zbroju determinanti matrice .

Rješenje.

U našem primjeru , dakle, zbog razmatranog svojstva determinante matrice, jednakost mora biti zadovoljena . Provjerimo to tako što ćemo izračunati odgovarajuće determinante matrica reda 2 po 2 koristeći formulu .


Iz dobijenih rezultata jasno je da . Ovim je dokaz završen.

Ako se odgovarajući elementi drugog reda (kolone) dodaju elementima određenog reda (kolone) matrice, pomnožene proizvoljnim brojem k, tada će determinanta rezultirajuće matrice biti jednaka determinanti originalne matrice .

Primjer.

Uvjerite se da je na elemente treće kolone matrice dodajte odgovarajuće elemente drugog stupca ove matrice, pomnožene sa (-2), i dodajte odgovarajuće elemente prvog stupca matrice, pomnožene proizvoljnim realnim brojem, tada će determinanta rezultirajuće matrice biti jednaka determinanta originalne matrice.

Rješenje.

Ako pođemo od razmatranog svojstva determinante, tada će determinanta matrice dobijena nakon svih transformacija navedenih u zadatku biti jednaka determinanti matrice A.

Prvo, izračunajmo determinantu originalne matrice A:



Sada izvršimo potrebne transformacije matrice A.

Dodajmo elementima treće kolone matrice odgovarajuće elemente druge kolone matrice, prethodno ih pomnoživši sa (-2). Nakon toga, matrica će poprimiti oblik:


Elementima treće kolone rezultirajuće matrice dodajemo odgovarajuće elemente prvog stupca, pomnožene sa:


Izračunajmo determinantu rezultirajuće matrice i uvjerimo se da je jednaka determinanti matrice A, odnosno -24:



Determinanta kvadratne matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (stupca) njihovim algebarski dodaci.



Ovdje je algebarski komplement matričnog elementa , .

Ovo svojstvo omogućava da se izračunaju determinante matrica reda većeg od 3 puta 3 svođenjem na zbir nekoliko determinanti matrica reda jedan nižeg. Drugim riječima, ovo je rekurentna formula za izračunavanje determinante kvadratne matrice bilo kojeg reda. Preporučujemo da ga zapamtite zbog njegove prilično česte primjene.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

otprilike 4 sa 4, proširujući ga

• po elementima 3. reda,
• po elementima 2. kolone.

Rješenje.

Koristimo formulu za dekomponovanje determinante na elemente 3. reda



Imamo



Dakle, problem pronalaženja determinante matrice reda 4 sa 4 sveden je na izračunavanje tri determinante matrice reda 3 sa 3:



Zamjenom dobijenih vrijednosti dolazimo do rezultata:


Koristimo formulu za dekomponovanje determinante na elemente 2. kolone


i mi se ponašamo na isti način.

Nećemo detaljno opisivati ​​izračunavanje determinanti matrica trećeg reda.



Primjer.

Izračunati determinantu matrice otprilike 4 sa 4.

Rješenje.

Možete proširiti determinantu matrice na elemente bilo kojeg stupca ili bilo kojeg reda, ali je isplativije odabrati red ili stupac koji sadrži najveći broj nula elemenata, jer će to pomoći da se izbjegnu nepotrebna izračunavanja. Proširimo determinantu na elemente prvog reda:



Izračunajmo rezultirajuće determinante matrica reda 3 puta 3 koristeći nam poznatu formulu:



Zamijenite rezultate i dobijete željenu vrijednost


Primjer.

Izračunati determinantu matrice otprilike 5 sa 5.

Rješenje.

Četvrti red matrice ima najveći broj nultih elemenata među svim redovima i stupcima, pa je preporučljivo proširiti determinantu matrice upravo prema elementima četvrtog reda, jer će nam u ovom slučaju biti potrebno manje proračuna.



Rezultirajuće determinante matrica reda 4 sa 4 pronađene su u prethodnim primjerima, pa koristimo gotove rezultate:



Primjer.

Izračunati determinantu matrice otprilike 7 do 7.

Rješenje.

Ne biste trebali odmah žuriti da sortirate determinantu u elemente bilo kojeg reda ili stupca. Ako pažljivo pogledate matricu, primijetit ćete da se elementi šestog reda matrice mogu dobiti množenjem odgovarajućih elemenata drugog reda sa dva. To jest, ako se odgovarajući elementi drugog reda dodaju elementima šestog reda, pomnoženim sa (-2), tada se determinanta neće promijeniti zbog sedmog svojstva, a šesti red rezultirajuće matrice će se sastojati od nula. Determinanta takve matrice je jednaka nuli po drugom svojstvu.

odgovor:

Treba napomenuti da razmatrano svojstvo omogućava da se izračunaju determinante matrica bilo kog reda, ali je potrebno izvršiti mnogo računskih operacija. U većini slučajeva je povoljnije pronaći determinantu matrica reda većeg od treće pomoću Gaussove metode, koju ćemo razmotriti u nastavku.

Zbir proizvoda bilo kojeg reda (kolone) kvadratne matrice sa algebarskim komplementama odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone) jednak je nuli.


Primjer.

Pokazati da je zbir proizvoda elemenata treće kolone matrice na algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata prvog stupca jednaka je nuli.

Rješenje.




Determinanta proizvoda kvadratnih matrica istog reda jednaka je umnošku njihovih determinanti, tj. , gdje je m prirodni broj veći od jedan, A k, k=1,2,...,m su kvadratne matrice istog reda.

Primjer.

Provjerite da li je determinanta proizvoda dvije matrice i jednak je proizvodu njihovih determinanti.

Rješenje.

Nađimo prvo proizvod determinanti matrica A i B:


Sada izvršimo množenje matrice i izračunajmo determinantu rezultirajuće matrice:



dakle, , što je trebalo pokazati.

Izračunavanje determinante matrice Gaussovom metodom.

Hajde da opišemo suštinu ove metode. Koristeći elementarne transformacije, matrica A se svodi na takav oblik da u prvom stupcu svi elementi osim onih postaju nula (ovo se uvijek može učiniti ako je determinanta matrice A različita od nule). Ovu proceduru ćemo opisati malo kasnije, ali sada ćemo objasniti zašto se to radi. Nulti elementi se dobijaju da bi se dobila najjednostavnija ekspanzija determinante preko elemenata prvog stupca. Nakon takve transformacije matrice A, uzimajući u obzir osmo svojstvo i, dobijamo

Gdje - manji (n-1) red, dobijen iz matrice A brisanjem elemenata njenog prvog reda i prve kolone.

Sa matricom kojoj odgovara minor, isti postupak se izvodi kako bi se dobili nulti elementi u prvom stupcu. I tako sve do konačnog izračunavanja determinante.

Sada ostaje odgovoriti na pitanje: "Kako dobiti nula elemenata u prvom stupcu"?

Hajde da opišemo algoritam akcija.

Ako je , tada se odgovarajući elementi k-tog reda dodaju elementima prvog reda matrice, u kojem . (Ako su svi elementi prve kolone matrice A, bez izuzetka, nula, tada je njena determinanta po drugom svojstvu jednaka nuli i nije potrebna Gausova metoda). Nakon takve transformacije, "novi" element će biti različit od nule. Determinanta “nove” matrice će biti jednaka determinanti originalne matrice zbog sedmog svojstva.

Sada imamo matricu sa . Kada elementima drugog reda dodamo odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa , elementima trećeg reda - odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa . I tako dalje. Konačno, elementima n-tog reda dodajemo odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa . Ovo će rezultirati transformiranom matricom A, čiji će svi elementi prvog stupca, osim , biti nula. Determinanta rezultirajuće matrice će biti jednaka determinanti originalne matrice zbog sedmog svojstva.

Pogledajmo metodu prilikom rješavanja primjera, bit će jasnije.

Primjer.

Izračunajte determinantu matrice reda 5 puta 5 .

Rješenje.

Koristimo Gaussovu metodu. Transformirajmo matricu A tako da svi elementi njenog prvog stupca, osim , postanu nula.

Budući da je element inicijalno , dodajemo elementima prvog reda matrice odgovarajuće elemente, na primjer, drugog reda, jer:

Znak "~" označava ekvivalentnost.

Sada elementima drugog reda dodajemo odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa , na elemente trećeg reda – odgovarajući elementi prvog reda, pomnoženi sa , i nastavite slično do šestog retka:

Dobijamo

Sa matricom Provodimo isti postupak za dobijanje nula elemenata u prvom stupcu:

dakle,

Sada izvodimo transformacije sa matricom :

Komentar.

U nekoj fazi transformacije matrice Gaussovom metodom može nastati situacija kada svi elementi posljednjih nekoliko redova matrice postanu nula. Ovo će pokazati da je determinanta jednaka nuli.

Rezimiraj.

Determinanta kvadratne matrice čiji su elementi brojevi je broj. Razmotrili smo tri načina za izračunavanje determinante:

1. kroz zbir proizvoda kombinacija matričnih elemenata;
2. kroz dekompoziciju determinante na elemente reda ili stupca matrice;
3. svođenjem matrice na gornju trouglastu (Gaussova metoda).

Dobijene su formule za izračunavanje determinanti matrica reda 2 po 2 i 3 po 3.

Ispitivali smo svojstva determinante matrice. Neki od njih vam omogućavaju da brzo shvatite da je determinanta nula.

Prilikom izračunavanja determinanti matrica reda većeg od 3 puta 3, preporučljivo je koristiti Gaussovu metodu: izvršiti elementarne transformacije matrice i svesti je na gornji trokut. Determinanta takve matrice jednaka je proizvodu svih elemenata na glavnoj dijagonali.

Formulacija problema

Zadatak zahtjeva od korisnika da se upozna sa osnovnim konceptima numeričkih metoda, kao što su determinanta i inverzna matrica, te različitim načinima njihovog izračunavanja. Ovaj teorijski izvještaj najprije uvodi osnovne pojmove i definicije jednostavnim i pristupačnim jezikom na osnovu kojih se sprovode dalja istraživanja. Korisnik možda nema posebna znanja iz oblasti numeričkih metoda i linearne algebre, ali lako može koristiti rezultate ovog rada. Radi jasnoće, dat je program za izračunavanje determinante matrice pomoću nekoliko metoda, napisan u programskom jeziku C++. Program se koristi kao laboratorijski stalak za izradu ilustracija za izvještaj. U toku je i proučavanje metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina. Dokazana je beskorisnost izračunavanja inverzne matrice, pa rad pruža optimalnije načine rješavanja jednadžbi bez njenog izračunavanja. Objašnjava zašto postoji toliko različitih metoda za izračunavanje determinanti i inverznih matrica i razmatra njihove nedostatke. Razmatraju se i greške u izračunavanju determinante i ocjenjuje se postignuta tačnost. Pored ruskih termina, u radu se koriste i njihovi engleski ekvivalenti da bi se razumelo pod kojim nazivima treba tražiti numeričke procedure u bibliotekama i šta znače njihovi parametri.

Osnovne definicije i najjednostavnija svojstva

Odrednica

Hajde da uvedemo definiciju determinante kvadratne matrice bilo kojeg reda. Ova definicija će biti ponavljajuća, odnosno, da biste ustanovili koja je determinanta matrice reda, morate već znati koja je determinanta matrice reda. Imajte na umu da determinanta postoji samo za kvadratne matrice.

Determinantu kvadratne matrice ćemo označiti sa ili det.

Definicija 1. Odrednica kvadratna matrica poziva se broj drugog reda .

Odrednica kvadratna matrica reda, naziva se broj

gdje je determinanta matrice reda dobijena iz matrice brisanjem prvog reda i stupca sa brojem .

Radi jasnoće, zapišimo kako možete izračunati determinantu matrice četvrtog reda:

Komentar. Stvarno izračunavanje determinanti za matrice iznad trećeg reda na osnovu definicije koristi se u izuzetnim slučajevima. Uobičajeno, proračun se vrši korištenjem drugih algoritama, o kojima će biti riječi kasnije i koji zahtijevaju manje računskog rada.

Komentar. U definiciji 1, tačnije bi bilo reći da je determinanta funkcija definirana na skupu kvadratnih matrica reda i uzima vrijednosti u skupu brojeva.

Komentar. U literaturi se umjesto pojma „determinanta“ koristi i termin „determinanta“ koji ima isto značenje. Iz riječi “determinanta” nastala je oznaka det.

Razmotrimo neka svojstva determinanti koje ćemo formulisati u obliku iskaza.

Izjava 1. Prilikom transponiranja matrice, determinanta se ne mijenja, tj.

Izjava 2. Determinanta proizvoda kvadratnih matrica jednaka je proizvodu determinanti faktora, tj.

Izjava 3. Ako se dva reda u matrici zamijene, njena determinanta će promijeniti predznak.

Izjava 4. Ako matrica ima dva identična reda, tada je njena determinanta nula.

U budućnosti ćemo morati da dodajemo nizove i množimo niz brojem. Ove akcije ćemo izvoditi na redove (kolone) na isti način kao i akcije na matrice redova (matrice kolona), odnosno element po element. Rezultat će biti red (kolona), koji se po pravilu ne poklapa sa redovima originalne matrice. Ako postoje operacije sabiranja redova (kolona) i njihovog množenja brojem, možemo govoriti i o linearnim kombinacijama redova (kolona), odnosno zbirovima sa numeričkim koeficijentima.

Izjava 5. Ako se red matrice pomnoži brojem, tada će se njegova determinanta pomnožiti s ovim brojem.

Izjava 6. Ako matrica sadrži nulti red, tada je njena determinanta nula.

Izjava 7. Ako je jedan od redova matrice jednak drugom, pomnožen brojem (redovi su proporcionalni), tada je determinanta matrice jednaka nuli.

Izjava 8. Neka i-ti red u matrici ima oblik . Zatim, gdje se matrica dobije iz matrice zamjenom i-tog reda sa redom, a matrica se dobije zamjenom i-tog reda sa redom.

Izjava 9. Ako jednom od redova matrice dodate još jedan red, pomnožen brojem, tada se determinanta matrice neće promijeniti.

Izjava 10. Ako je jedan od redova matrice linearna kombinacija njegovih ostalih redova, tada je determinanta matrice jednaka nuli.

Definicija 2. Algebarski komplement elementu matrice je broj jednak , gdje je determinanta matrice dobijena iz matrice brisanjem i-tog reda i j-te kolone. Algebarski komplement matričnog elementa označava se sa .

Primjer. Neka . Onda

Komentar. Koristeći algebarske sabiranja, definicija 1 determinante može se napisati na sljedeći način:

Izjava 11. Proširivanje determinante u proizvoljan niz.

Formula za determinantu matrice je

Primjer. Izračunati .

Rješenje. Koristimo proširenje duž trećeg reda, ovo je isplativije, jer su u trećem redu dva od tri broja nula. Dobijamo

Izjava 12. Za kvadratnu matricu reda u, vrijedi relacija: .

Izjava 13. Sva svojstva determinante formulisana za redove (izjave 1 - 11) važe i za kolone, posebno je važeća dekompozicija determinante u j-toj koloni i jednakost u .

Izjava 14. Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata njene glavne dijagonale.

Posljedica. Determinanta matrice identiteta jednaka je jedan, .

Zaključak. Gore navedena svojstva omogućavaju pronalaženje determinanti matrica dovoljno visokog reda sa relativno malom količinom proračuna. Algoritam proračuna je sljedeći.

Algoritam za kreiranje nula u koloni. Pretpostavimo da trebamo izračunati determinantu reda. Ako je , tada zamijenite prvi red i bilo koji drugi red u kojem prvi element nije nula. Kao rezultat toga, determinanta , bit će jednaka determinanti nove matrice sa suprotnim predznakom. Ako je prvi element svakog reda jednak nuli, tada matrica ima nulti stupac i, prema izjavama 1, 13, njena determinanta je jednaka nuli.

Dakle, vjerujemo da je već u originalnoj matrici. Ostavljamo prvu liniju nepromijenjenu. Dodajte u drugi red prvi red pomnožen brojem. Tada će prvi element drugog reda biti jednak .

Preostale elemente novog drugog reda označavamo sa , . Determinanta nove matrice prema iskazu 9 jednaka je . Pomnožite prvi red brojem i dodajte ga trećem. Prvi element nove treće linije bit će jednak

Preostale elemente novog trećeg reda označavamo sa , . Determinanta nove matrice prema iskazu 9 jednaka je .

Nastavićemo proces dobijanja nula umesto prvih elemenata linija. Na kraju, pomnožite prvi red brojem i dodajte ga posljednjem redu. Rezultat je matrica, označimo je , koja ima oblik

i . Za izračunavanje determinante matrice koristimo ekspanziju u prvom stupcu

Od tada

Na desnoj strani je determinanta matrice reda. Na njega primjenjujemo isti algoritam, a izračunavanje determinante matrice će se svesti na izračunavanje determinante matrice reda. Ponavljamo postupak dok ne dođemo do determinante drugog reda, koja se izračunava po definiciji.

Ako matrica nema nikakva specifična svojstva, tada nije moguće značajno smanjiti količinu proračuna u odnosu na predloženi algoritam. Još jedan dobar aspekt ovog algoritma je da ga je lako koristiti za kreiranje kompjuterskog programa za izračunavanje determinanti matrica velikih redova. Standardni programi za izračunavanje determinanti koriste ovaj algoritam sa manjim izmenama koje se odnose na minimiziranje uticaja grešaka zaokruživanja i grešaka ulaznih podataka u računarskim proračunima.

Primjer. Izračunati determinantu matrice .

Rješenje. Ostavljamo prvu liniju nepromijenjenu. U drugi red dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. U treći red dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. Četvrtom redu dodajemo prvi, pomnožen brojem:

Odrednica se ne mijenja. Kao rezultat dobijamo

Koristeći isti algoritam, izračunavamo determinantu matrice reda 3, koja se nalazi na desnoj strani. Ostavljamo prvi red nepromijenjen, u drugi red dodajemo prvi red pomnožen brojem :

U treći red dodajemo prvi, pomnožen brojem :

Kao rezultat dobijamo

Odgovori. .

Komentar. Iako su u proračunima korišteni razlomci, ispostavilo se da je rezultat cijeli broj. Zaista, korištenjem svojstava determinanti i činjenice da su originalni brojevi cijeli brojevi, operacije sa razlomcima bi se mogle izbjeći. Ali u inženjerskoj praksi brojevi su izuzetno retko celi brojevi. Stoga će, po pravilu, elementi determinante biti decimalni razlomci i neprikladno je koristiti bilo kakve trikove za pojednostavljenje proračuna.

inverzna matrica

Definicija 3. Matrica se zove inverzna matrica za kvadratnu matricu, ako je .

Iz definicije slijedi da će inverzna matrica biti kvadratna matrica istog reda kao i matrica (u suprotnom jedan od proizvoda ili ne bi bila definirana).

Inverz matrice se označava sa . Dakle, ako postoji, onda .

Iz definicije inverzne matrice slijedi da je matrica inverzna matrici, tj. Za matrice možemo reći da su inverzne jedna drugoj ili međusobno inverzne.

Ako je determinanta matrice nula, onda njen inverz ne postoji.

Budući da je za pronalaženje inverzne matrice važno da li je determinanta matrice jednaka nuli ili ne, uvodimo sljedeće definicije.

Definicija 4. Nazovimo kvadratnu matricu degenerisati ili posebna matrica, ako nedegenerisan ili nesingularna matrica, Ako .

Izjava. Ako inverzna matrica postoji, onda je jedinstvena.

Izjava. Ako kvadratna matrica nije singularna, tada postoji njen inverz i (1) gdje su algebarski komplementi elementima.

Teorema. Inverzna matrica za kvadratnu matricu postoji ako i samo ako je matrica nesingularna, inverzna matrica je jedinstvena i formula (1) je važeća.

Komentar. Posebnu pažnju treba obratiti na mjesta koja zauzimaju algebarski dodaci u formuli inverzne matrice: prvi indeks pokazuje broj kolona, a drugi je broj linije, u koji treba da upišete izračunato algebarsko sabiranje.

Primjer. .

Rješenje. Pronalaženje determinante

Budući da , tada je matrica nedegenerirana, a njen inverz postoji. Pronalaženje algebarskih komplementa:

Sastavljamo inverznu matricu, postavljajući pronađene algebarske sabirke tako da prvi indeks odgovara stupcu, a drugi redu: (2)

Rezultirajuća matrica (2) služi kao odgovor na problem.

Komentar. U prethodnom primjeru, tačnije bi bilo napisati odgovor ovako:
(3)

Međutim, notacija (2) je kompaktnija i pogodnije je s njom izvršiti daljnja izračunavanja, ako je potrebno. Stoga je zapisivanje odgovora u obliku (2) poželjno ako su elementi matrice cijeli brojevi. I obrnuto, ako su elementi matrice decimalni razlomci, onda je bolje napisati inverznu matricu bez faktora ispred.

Komentar. Prilikom pronalaženja inverzne matrice morate izvršiti dosta proračuna, a pravilo za sređivanje algebarskih sabiranja u konačnoj matrici je neobično. Stoga postoji velika vjerovatnoća greške. Da biste izbjegli greške, trebali biste provjeriti: izračunajte proizvod originalne matrice i konačne matrice ovim ili onim redoslijedom. Ako je rezultat matrica identiteta, onda je inverzna matrica ispravno pronađena. U suprotnom, morate potražiti grešku.

Primjer. Naći inverz matrice .

Rješenje. - postoji.

odgovor: .

Zaključak. Pronalaženje inverzne matrice pomoću formule (1) zahtijeva previše proračuna. Za matrice četvrtog reda i više, to je neprihvatljivo. Stvarni algoritam za pronalaženje inverzne matrice će biti dat kasnije.

Izračunavanje determinante i inverzne matrice Gaussovom metodom

Gaussova metoda se može koristiti za pronalaženje determinante i inverzne matrice.

Naime, determinanta matrice je jednaka det.

Inverzna matrica se nalazi rješavanjem sistema linearnih jednadžbi pomoću Gausove metode eliminacije:

Gdje je j-ti stupac matrice identiteta, je željeni vektor.

Rezultirajući vektori rješenja očito formiraju stupce matrice, budući da .

Formule za determinantu

1. Ako je matrica nesingularna, onda i (proizvod vodećih elemenata).

Prilikom rješavanja zadataka iz više matematike vrlo se često javlja potreba izračunati determinantu matrice. Determinanta matrice se pojavljuje u linearnoj algebri, analitičkoj geometriji, matematičkoj analizi i drugim granama više matematike. Dakle, jednostavno je nemoguće bez vještine rješavanja determinanti. Takođe, za samotestiranje možete besplatno preuzeti determinantni kalkulator, neće vas naučiti kako da sami rješavate determinante, ali je vrlo zgodno, jer je uvijek korisno znati tačan odgovor unaprijed!

Neću davati striktnu matematičku definiciju determinante i, generalno, pokušaću da minimiziram matematičku terminologiju većini čitalaca; Svrha ovog članka je da vas nauči kako riješiti determinante drugog, trećeg i četvrtog reda. Sav materijal je predstavljen u jednostavnom i pristupačnom obliku, a čak i pun (prazan) čajnik iz više matematike, nakon pažljivog proučavanja gradiva, moći će ispravno riješiti determinante.

U praksi najčešće možete pronaći odrednicu drugog reda, na primjer: i determinantu trećeg reda, na primjer: .

Odrednica četvrtog reda Takođe nije antikvitet, a do njega ćemo doći na kraju lekcije.

Nadam se da svi razumeju sledeće: Brojevi unutar determinante žive sami od sebe i nema govora o bilo kakvom oduzimanju! Brojevi se ne mogu zamijeniti!

(Konkretno, moguće je izvršiti parno preuređivanje redova ili stupaca determinante s promjenom njenog predznaka, ali to često nije potrebno - pogledajte sljedeću lekciju Svojstva determinante i snižavanje njenog reda)

Dakle, ako je data bilo koja determinanta, onda Ne diramo ništa unutar njega!

Oznake: Ako je data matrica , tada je označena njegova determinanta. Također se vrlo često odrednica označava latiničnim ili grčkim slovom.

1)Šta znači riješiti (pronaći, otkriti) odrednicu? Izračunati determinantu znači PRONAĆI BROJ. Znakovi pitanja u gornjim primjerima su potpuno obični brojevi.

2) Sada ostaje da shvatimo KAKO pronaći ovaj broj? Da biste to učinili, morate primijeniti određena pravila, formule i algoritme, o kojima će sada biti riječi.

Počnimo sa odrednicom "dva" sa "dva":

OVO TREBA ZAPAMTITI, barem dok studirate višu matematiku na fakultetu.

Pogledajmo odmah primjer:

Spreman. Najvažnije je DA SE NE ZBUNITE U ZNAKOVIMA.

Determinanta matrice tri po tri može se otvoriti na 8 načina, od kojih su 2 jednostavna i 6 normalna.

Počnimo s dva jednostavna načina

Slično determinanti dva po dva, determinanta tri po tri može se proširiti pomoću formule:

Formula je duga i lako je pogriješiti zbog nepažnje. Kako izbjeći dosadne greške? U tu svrhu izmišljena je druga metoda izračunavanja determinante, koja se zapravo poklapa s prvom. Zove se Sarrus metoda ili metoda “paralelnih traka”.
Suština je da desno od determinante dodijelite prvi i drugi stupac i pažljivo nacrtajte linije olovkom:

Množitelji koji se nalaze na „crvenim“ dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom „plus“.
Množitelji koji se nalaze na "plavim" dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom minus:

primjer:

Uporedite ta dva rješenja. Lako je vidjeti da je to ISTA stvar, samo u drugom slučaju faktori formule su malo preuređeni, a što je najvažnije, vjerovatnoća da se napravi greška je mnogo manja.

Pogledajmo sada šest normalnih načina za izračunavanje determinante

Zašto normalno? Jer u velikoj većini slučajeva kvalifikatori moraju biti otkriveni na ovaj način.

Kao što ste primijetili, determinanta tri po tri ima tri kolone i tri reda.
Odrednicu možete riješiti otvaranjem bilo kojim redom ili kolonom.
Dakle, postoji 6 metoda koje se koriste u svim slučajevima isti tip algoritam.

Determinanta matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata reda (kolone) odgovarajućim algebarskim komplementama. Strašno? Sve je mnogo jednostavnije, koristićemo nenaučan, ali razumljiv pristup, dostupan čak i osobi koja je daleko od matematike.

U sljedećem primjeru ćemo proširiti determinantu na prvoj liniji.
Za ovo nam je potrebna matrica znakova: . Lako je primijetiti da su znakovi raspoređeni u šahovnici.

Pažnja! Matrica znakova je moj vlastiti izum. Ovaj koncept nije naučni, ne treba ga koristiti u konačnom dizajnu zadataka, on samo pomaže da razumete algoritam za izračunavanje determinante.

Prvo ću dati kompletno rješenje. Ponovo uzimamo našu eksperimentalnu determinantu i izvodimo proračune:

I glavno pitanje: KAKO to dobiti od determinante "tri po tri":
?

Dakle, determinanta "tri po tri" se svodi na rješavanje tri male determinante, ili kako ih još zovu, MINOROV. Preporučujem da zapamtite pojam, pogotovo jer se pamti: minor – mali.

Jednom je odabrana metoda dekompozicije determinante na prvoj liniji, očigledno je da se sve vrti oko nje:

Elementi se obično gledaju s lijeva na desno (ili odozgo prema dolje ako je odabrana kolona)

Idemo, prvo se pozabavimo prvim elementom linije, odnosno jednim:

1) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

2) Zatim pišemo sam element:

3) MENTALNO precrtajte red i kolonu u kojima se pojavljuje prvi element:

Preostala četiri broja čine odrednicu “dva po dva”, koja se zove MINOR datog elementa (jedinice).

Pređimo na drugi element linije.

4) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

5) Zatim napišite drugi element:

6) MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem se pojavljuje drugi element:

Pa, treći element prvog reda. Bez originalnosti:

7) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:

8) Zapišite treći element:

9) MENTALNO precrtajte red i stupac koji sadrži treći element:

Preostala četiri broja upisujemo u malu odrednicu.

Preostale radnje ne predstavljaju nikakve poteškoće, jer već znamo prebrojati determinante dva po dva. NEMOJTE SE ZBUNITI U ZNAKOVIMA!

Slično, determinanta se može proširiti na bilo koji red ili u bilo koju kolonu. Naravno, u svih šest slučajeva odgovor je isti.

Odrednica četiri po četiri može se izračunati korištenjem istog algoritma.
U ovom slučaju, naša matrica znakova će se povećati:

U sljedećem primjeru proširio sam determinantu prema četvrtoj koloni:

Kako se to dogodilo, pokušajte sami da shvatite. Više informacija će doći kasnije. Ako neko želi riješiti odrednicu do kraja, tačan odgovor je: 18. Za vježbu je bolje riješiti determinantu po nekom drugom stupcu ili drugom redu.

Vježbanje, otkrivanje, računanje je jako dobro i korisno. Ali koliko ćete vremena potrošiti na velike kvalifikacije? Zar ne postoji brži i pouzdaniji način? Predlažem da se upoznate sa efikasnim metodama za izračunavanje determinanti u drugoj lekciji - Svojstva determinante. Redukcija determinante.

BUDI PAZLJIV!

U opštem slučaju, pravilo za izračunavanje determinanti $n$-tog reda je prilično glomazno. Za determinante drugog i trećeg reda postoje racionalni načini za njihovo izračunavanje.

Proračuni determinanti drugog reda

Da biste izračunali determinantu matrice drugog reda, trebate oduzeti proizvod elemenata sekundarne dijagonale od proizvoda elemenata glavne dijagonale:

$$\left| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu drugog reda $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

Rješenje.$\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

Odgovori.$\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Metode za izračunavanje determinanti trećeg reda

Za izračunavanje determinanti trećeg reda postoje sljedeća pravila.

Pravilo trougla

Šematski, ovo pravilo se može prikazati na sljedeći način:

Proizvod elemenata u prvoj determinanti koji su povezani pravim linijama uzima se sa znakom plus; slično, za drugu odrednicu - odgovarajući proizvodi se uzimaju sa predznakom minus, tj.

$$\left| \begin(array)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(niz)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu $\left| \begin(niz)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (niz)\right|$ koristeći metodu trougla.

Rješenje.$\left| \begin(niz)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (niz)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Odgovori.

Sarus vlada

Desno od determinante dodajte prva dva stupca i uzmite proizvode elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama koje su joj paralelne sa znakom plus; i produkti elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala paralelnih s njom, sa predznakom minus:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu $\left| \begin(niz)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (niz)\right|$ koristeći Sarrusovo pravilo.

Rješenje.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Odgovori.$\left| \begin(niz)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (niz)\right|=54$

Proširivanje determinante po redu ili koloni

Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata reda determinante i njihovih algebarskih komplementa. Obično se bira red/kolona koji sadrži nule. Red ili stupac duž kojeg se vrši dekompozicija bit će označen strelicom.

Primjer

Vježbajte. Proširujući prvi red, izračunajte determinantu $\left| \begin(niz)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \right|$

Rješenje.$\left| \begin(niz)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \right| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(niz)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(niz)\desno|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(niz)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(niz)\desno|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(niz)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(niz)\right|=-3+12-9=0$

Odgovori.

Ova metoda omogućava da se proračun determinante svede na izračunavanje determinante nižeg reda.

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu $\left| \begin(niz)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \right|$

Rješenje. Izvršimo sljedeće transformacije na redovima determinante: od drugog reda oduzimamo prva četiri, a od trećeg prvog reda pomnoženog sa sedam, kao rezultat, prema svojstvima determinante, dobijamo determinantu jednaka datoj.

$$\left| \begin(niz)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \desno|=\lijevo| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(array)\right|=$$

$$=\lijevo| \begin(niz)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ kraj(niz)\desno|=\lijevo| \begin(niz)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(array)\right|=0$$

Determinanta je nula jer su drugi i treći red proporcionalni.

Odgovori.$\left| \begin(niz)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(niz) \right|=0$

Da bi se izračunale determinante četvrtog reda i više, koriste se ili proširenje redova/stupaca, ili svođenje na trouglasti oblik, ili korištenje Laplaceove teoreme.

Dekomponovanje determinante na elemente reda ili kolone

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu $\left| \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , razlažući ga na elemente nekog reda ili neke kolone.

Rješenje. Prvo izvršimo elementarne transformacije na redovima determinante, čineći što više nula u redu ili u koloni. Da biste to učinili, prvo oduzmite devet trećina od prve linije, pet trećina od druge i tri trećine od četvrte, dobićemo:

$$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(niz)\right|=\left| \begin(array)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(niz)\right|=\ lijevo| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$

Razložimo rezultujuću determinantu na elemente prvog stupca:

$$\left| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(niz)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \levo| \begin(niz)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ kraj(niz)\right|+0$$

Također ćemo rezultujuću determinantu trećeg reda proširiti na elemente reda i stupca, nakon što smo prethodno dobili nule, na primjer, u prvom stupcu. Da biste to učinili, oduzmite druga dva reda od prvog reda, a drugi red od trećeg:

$$\left| \begin(niz)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ kraj(niz)\desno|=\lijevo| \begin(niz)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( niz)\desno|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(niz)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(niz)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Odgovori.$\left| \begin(array)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(niz)\right|=0$

Komentar

Posljednje i pretposljednje determinante se nisu mogle izračunati, već se odmah zaključi da su jednake nuli, jer sadrže proporcionalne redove.

Svođenje determinante na trouglasti oblik

Koristeći elementarne transformacije nad redovima ili kolonama, determinanta se svodi na trouglasti oblik i tada je njena vrijednost, prema svojstvima determinante, jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu $\Delta=\left| \begin(niz)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$ svodeći ga na trouglasti oblik.

Rješenje. Prvo napravimo nule u prvom stupcu ispod glavne dijagonale. Sve transformacije će biti lakše izvesti ako je element $a_(11)$ jednak 1. Da bismo to učinili, zamijenit ćemo prvi i drugi stupac determinante, što će, prema svojstvima determinante, uzrokovati da promijeni svoj predznak u suprotan:

$$\Delta=\lijevo| \begin(niz)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(niz)\desno|=-\lijevo| \begin(niz)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(niz)\right|$$

$$\Delta=-\lijevo| \begin(niz)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Zatim dobijamo nule u drugom stupcu umjesto elemenata ispod glavne dijagonale. Opet, ako je dijagonalni element jednak $\pm 1$ onda će proračuni biti jednostavniji. Da biste to učinili, zamijenite drugi i treći red (i istovremeno promijenite u suprotan predznak determinante):

$$\Delta=\lijevo| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$